Интегральные уравнения вариационное исчисление методы решения задач

«Физический факультет В. Т. Волков, А. Г. Ягола Интегральные уравнения Вариационное исчисление Методы решения задач Учебное пособие для студентов 2 курса физического факультета Москва 2006 . »

Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

В. Т. Волков, А. Г. Ягола

Методы решения задач

Учебное пособие для студентов 2 курса

ЛИТЕРАТУРА

Основная 1. Ягола А.Г. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. (общий курс).

Курс лекций опубликован в Интернет:

2. Васильева А.Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 2002.

3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

4. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А.

Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление.

М.: Физматлит, 2003.

Дополнительная 1. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

2. Г.Е. Шилов. Введение в теорию линейных пространств.

3. В.В. Городецкий, Н.И. Нагнибида, П.П. Настасиев. Методы решения задач по функциональному анализу. Киев: Выща школа, 1991.

4. М.М. Вайнберг. Функциональный анализ. М.: Просвещение, 1979.

5. Функциональный анализ в примерах и задачах. Методическое пособие под ред.

В.В. Корнева. Изд. Саратовского ун-та, 1998.

6. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики.

М.: Физматлит, 2001.

7. Владимиров В.С., Вашарин А.А. Сборник задач по уравнениям математической физике. М.: Физматлит, 2001.

ТЕМА Метрические, нормированные и евклидовы пространства Основные определения и теоремы Множество L называется (вещественным) линейным пространством, если для любых двух его элементов x, y определен элемент x + y L (называемый суммой x и y), и для любого элемента x L и любого (вещественного) числа определен элемент x L, причем выполнены следующие условия:

1) для любых элементов x, y L x + y = y + x (коммутативность сложения);

2) для любых элементов x, y, z L ( x + y ) + z = x + ( y + z ) (ассоциативность сложения);

3) существует элемент L (называемый нулевым элементом, или нулем пространства L) такой, что для любого элемента x L x + = x (существование нулевого элемента);

4) для любого элемента x L существует элемент ( x) L (называемый обратным к x) такой, что x + ( x) = (существование обратного элемента);

5) для любых элементов x, y L и любого (вещественного) числа ( x + y ) = x + y (дистрибутивность умножения суммы элементов на число);

6) для любых (вещественных) чисел и и любого элемента x L ( + )x = x + x (дистрибутивность умножения суммы чисел на элемент);

7) для любых (вещественных) чисел, и любого элемента x L ( ) x = ( x) (ассоциативность умножения на число);

8) для любого элемента x L 1 x = x (свойство единицы).

Элементы x1, x2. xm линейного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такие (вещественные) числа C1, C2. Cm, не все равные нулю, что m C x = ; если же последнее равенство имеет место в единственном случае k k k = C1 = C2 =. = Cm = 0, то элементы x1, x2. xm — линейно независимы.

Натуральное число n, называется размерностью линейного пространства, если существуют n линейно независимых элементов пространства, а любые n + 1 элементов линейно зависимы. В этом случае линейное пространство называется конечномерным (nмерным).

Если для любого натурального n можно указать n линейно независимых элементов, то линейное пространство называется бесконечномерным.

Множество M называется метрическим пространством, если для любых двух его элементов x, y M определено вещественное число ( x, y ) (называемое метрикой, или расстоянием), причем выполнены следующие условия:

( x, y ) 0, причем ( x, y ) = 0 тогда и только 1) для любых элементов x, y M тогда, когда элементы x и y совпадают (неотрицательность метрики);

( x, y ) = ( y, x) (симметричность метрики);

2) для любых элементов x, y M 3) для любых элементов x, y, z M ( x, y ) ( x, z ) + ( y, z ) (неравенство треугольника).

Метрическое пространство не обязательно является линейным.

Последовательность элементов метрического пространства xn M, n = 1, 2.

Линейное пространство N называется нормированным, если для любого элемента x N определено (вещественное) число || x || (называемое нормой), причем выполнены следующие условия:

1) для любого элемента x N x = — нулевой элемент пространства;

2) для любого элемента x N и любого (вещественного) числа || x || = | | || x || (неотрицательная однородность нормы);

3) для любых элементов x, y N || x + y || || x || + || y || (неравенство треугольника).

Последовательность элементов нормированного пространства xn N, n = 1, 2.

сходится (по норме пространства N) к элементу x0 N ( xn x0 при n ), если Из сходимости последовательности xn по норме пространства следует сходимость последовательности (числовой!) норм, т.е. если xn x0 при n, то || xn || || x0 || при n. Обратное, вообще говоря, неверно.

Последовательность xn, n = 1, 2. элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого 0 найдется номер K такой, что для любого n K и любого натурального p выполнено неравенство || xn + p xn ||.

Если последовательность сходится, то она фундаментальна. Если же любая фундаментальная последовательность элементов сходится, то нормированное пространство называется полным.

Полное нормированное пространство называется банаховым.

Последовательность xn, n = 1, 2. элементов нормированного пространства N называется ограниченной, если существует константа C такая, что || xn || C для всех n = 1, 2.

Последовательность xn, n = 1, 2. элементов нормированного пространства N, обладающая тем свойством, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся, называется компактной.

Любая компактная последовательность является ограниченной. В конечномерном пространстве верно и обратное утверждение, однако, для бесконечномерных пространств это, вообще говоря, не так.

Линейное пространство E называется евклидовым, для любых двух элементов x, y E определено вещественное число ( x, y ), называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие условия:

3) для любых элементов x, y E и любого вещественного числа ( x, y ) = ( x, y ) (однородность по первому аргументу);

4) для любого x E ( x, x) 0, причем ( x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = (свойство скалярного квадрата).

В евклидовом пространстве Е всегда можно ввести норму, порожденную скалярным произведением || x ||E = ( x, x).

Для любых двух элементов x и y произвольного евклидова пространства выполняется неравенство Коши-Буняковского ( x, y ) 2 ( x, x) ( y, y ) или | ( x, y ) | || x || || y ||, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда элементы x и y линейно зависимы.

Напомним определения основных встречающихся далее линейных пространств.

1. Нормированное пространство C[a, b]. Элементами этого пространства являются y C [ a,b ] = max | y ( x) |, сходимость по норме пространства C[a, b] — равномерная сходимость. Пространство C[a, b] — банахово (полное).

Нормированное пространство C ( p ) [a, b]. Элементами этого пространства являются функции, непрерывные с производными до p-го порядка включительно на отрезке пространства C ( p ) [a, b] — равномерная со всеми производными до p-го порядка.

Пространство C ( p ) [a, b] — банахово.

3. Евклидово (нормированное) пространство h[a, b]. Элементами этого пространства являются непрерывные на отрезке [a, b] функции. Для любых двух непрерывных функций положим ( y, z ) = y ( x) z ( x)dx — скалярное произведение, и введем норму, пространства h[a, b] — сходимость в среднем. Пространство h[a, b] не является Пример 1.1. Доказать, что множество (вещественных) функций, непрерывных на отрезке [a, b] образует (вещественное) линейное пространство (пространство C[a, b] ).

Решение. Так как сумма двух непрерывных функций, а также произведение непрерывной функции на вещественное число, также являются непрерывными функциями, то для решения задачи необходимо проверить аксиомы линейного пространства.

3) нулевым элементом пространства естественно считать Пример 1.2. Доказать, что пространство C[a, b] является нормированным, если для y ( x) C[a, b] определить y C [ a,b ] = max | y ( x) |.

Решение. Для доказательства достаточно убедиться в корректности указанного определения нормы, т.е. проверить аксиомы нормы.

Пример 1.3. Доказать неравенство Коши-Буняковского в пространстве h[a, b] и проверить Решение. Неравенство Коши-Буняковского в пространстве h[a, b] имеет вид элементов пространства y ( x), z ( x) h[a, b] и любого вещественного числа. Поэтому дискриминант квадратного (относительно ) трехчлена должен быть отрицательным, т.е.

4( y, z ) 2 4( y, y )( z, z ) 0, откуда и получаем требуемое неравенство:

Замечание. Приведенное доказательство может быть проведено в любом евклидовом пространстве.

Для проверки корректности определения нормы в пространстве h[a, b] нужно убедиться в справедливости соответствующих аксиом в определении нормы.

Пример 1.4. Найти норму y ( x) = sin x + cos x a) в пространстве C[0, 2 ] ;

б) в пространстве h[0, 2 ].

Пример 1.5. Доказать, что любая сходящаяся последовательность элементов нормированного пространства фундаментальна.

Решение. Последовательность xn элементов нормированного пространства N называется фундаментальной, если для любого 0 найдется номер K такой, что для любого n K и любого натурального p выполнено || xn + p xn ||.

Пусть последовательность xn элементов нормированного пространства сходится (по норме пространства N) к элементу x0 N, тогда для любого 0 существует номер К такой, что при n K и любом натуральном p одновременно выполнены два неравенства:

Пользуясь неравенством треугольника, получим при n K и любом натуральном p || xn + p xn ||=|| xn + p x0 + x0 xn || || xn + p x0 || + || xn x0 ||, что и требовалось.

Пример 1.6. Доказать, что пространство h[a, b] не является полным.

Решение. Для доказательства достаточно построить пример фундаментальной последовательности элементов пространства h[a, b], которая не является сходящейся в этом пространстве.

Рассмотрим для определенности пространство h[1,1] и такую последовательность непрерывных функций (элементов этого пространства):

Докажем, что эта последовательность фундаментальна в пространстве h[1,1].

Зададим произвольное 0 и положим m n, тогда существует такое натуральное число N ( ), для которого при m n N ( ) = + 1, что и требовалось доказать.

б) Пусть последовательность yn ( x) сходится в пространстве h[1,1], т.е. существует непрерывная функция ( x) такая, что для 0 N1 ( ) и при n N1 ( ) выполнено неравенство Рассмотрим разрывную функцию соотношения:

(здесь использовано неравенство Коши-Буняковского) Ввиду произвольности выбора 0 получаем противоречие, а значит предположение о сходимости последовательности yn ( x) в пространстве h[1,1] неверно.

Итак, построенная последовательность yn ( x) фундаментальна в пространстве h[1,1], но не является сходящейся, что и требовалось доказать.

Пример 1.7. Доказать, что не всякая ограниченная последовательность в пространстве C[a, b] является компактной.

Решение. Рассмотрим пространство C[0,1] и последовательность элементов этого пространства последовательность ограничена.

Покажем, что никакая ее подпоследовательность не может сходиться в C[0,1].

Действительно, для любого номера i существует точка x = i +1 [0,1] такая, что в ней yi ( x ) = sin 2i i +1 = 1. При этом для любого k i в этой же точке имеет место yk ( x ) = sin 2k i +1 = 0. Следовательно, yi yk C [0,1] | yi ( x ) yk ( x ) |= 1, т.е. никакая фундаментальной, а значит и не может сходиться.

Доказать, что пространство h[ a, b] является линейным.

1. 1. 1.3 Доказать, что в пространстве 1.4 Можно ли определить нормы следующими функциями для указанных множеств:

1.5 Найти нормы следующих функций, рассматривая их как элементы пространств C[0, 2] и Найти нормы в пространстве h[0,1] :

1. 1.7 Доказать, что если последовательность элементов нормированного пространства сходится, то эта последовательность ограничена.

Построить пример, показывающий, что из сходимости в среднем на отрезке [a, b] функциональной 1. последовательности не следует равномерная (и даже поточечная) сходимость.

Построить пример бесконечной ортонормированной системы в пространстве h[ a, b].

1. Привести пример ограниченной некомпактной последовательности в пространстве h[ a, b].

1. Доказать, что последовательность yn ( x ) = x ограничена и некомпактна в пространстве C[0,1].

1. Доказать, что последовательность непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций yn ( x), 1. пространстве C[ a, b].

Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор Оператор А, действующий из линейного пространства L1 в линейное пространство L называется линейным, если для любых элементов y1 и y2 из L1 и любых вещественных чисел 1 и 2 выполнено равенство A(1 y1 + 2 y2 ) = 1 Ay1 + 2 Ay2.

Пусть D( A) — область определения, а R( A) — множество значений оператора А. Если оператор A : y = Ax, действующий из линейного пространства L1 в линейное пространство L2, взаимно однозначный, то можно ввести обратный оператор A : A y = x с областью определения D( A1 ) = R ( A) и множеством Нуль-пространством оператора A называется множество Ker A = .

Очевидно, что Ker A – линейное подпространство L1, причем Ker A. Если Ker A < >(нуль-пространство нетривиально), то оператор A называется вырожденным.

Определение A. Оператор A называется непрерывным в точке y0 D( A), если для любого 0 найдется такое 0, что для всех y D( A) и удовлетворяющих неравенству || y y0 || выполняется неравенство || Ay Ay0 ||.

Определение Б. Оператор A называется непрерывным в точке y0 D( A), если для любой последовательности сходится к Ay0.

Определения А и Б эквивалентны.

Оператор A называется непрерывным на D( A) (на N1), если он непрерывен в каждой точке. Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, если он является непрерывным в нуле.

Нормой линейного оператора А называется число A N1 N2 = sup Ay N Теорема. Линейный оператор A : N1 N 2, является непрерывным тогда и только тогда, когда он ограничен.

Теорема. Для любого y N1 выполнено неравенство А – линейный ограниченный оператор, действующий из нормированного пространства N в нормированное пространство N 2.

Линейный оператор А называется вполне непрерывным, если для любой ограниченной последовательности элементов y n из N1 последовательность zn = Ayn элементов N 2 такова, что из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (т.е. вполне непрерывный оператор преобразует любую ограниченную последовательность в компактную).

Вполне непрерывный оператор является ограниченным (следовательно, непрерывным), однако не любой непрерывный линейный оператор является вполне непрерывным.

непрерывным ядром является ограниченным при действии из C[a, b] в C[a, b] и найдите оценку сверху для нормы оператора.

[a, b] функция, причем || y ||C [ a,b ] = max | y ( x) | = 1. Так как ядро K ( x, s ) непрерывно на замкнутом ограниченном множестве (квадрате [a, b] [a, b] ), то оно ограничено.

Обозначив K 0 = max | K ( x, s ) |, для любого x [a, b] получим. Тогда что оператор Фредгольма с непрерывным ядром, действующий из C[a, b] в C[a, b], ограничен.

Так как доказанное выше неравенство верно для любой непрерывной функции y ( x) : || y ||C [ a,b ] = 1, то для нормы оператора справедлива оценка Пример 2.2. Докажите, что интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром является вполне непрерывным при действии из C[a, b] в C[a, b].

Решение. Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность yn ( x) непрерывных на [a, b] функций, тогда для любого n имеет место оценка достаточно показать, что последовательность zn ( x) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на отрезке [a, b].

Докажем сначала равномерную ограниченность. Обозначим K 0 = max | K ( x, s ) |.

б) Докажем теперь равностепенную непрерывность последовательности zn ( x). Возьмем произвольные точки x1, x2 [a, b]. Имеем Фиксируем произвольное 0. Функция K ( x, s ) непрерывна по совокупности аргументов x, s на замкнутом ограниченном множестве [a, b] [a, b] и, следовательно, равномерно непрерывна на этом множестве. Поэтому для любого 0 найдется такое 0, что для всех n = 1, 2. и всех x1, x2 [a, b], удовлетворяющих неравенству x1 x2, т.е.

последовательность zn ( x) равностепенно непрерывна.

По теореме Арцела, из последовательности непрерывных функций z n (x) можно выделить равномерно сходящуюся (к непрерывной функции!) подпоследовательность.

Этим же свойством обладает и любая подпоследовательность последовательности z n (x), поэтому оператор А является вполне непрерывным при действии C[a, b] C[a, b].

Пример 2.3. Доказать, что если линейный оператор B : N 2 N 3 является ограниченным, а линейный оператор A : N1 N 2 вполне непрерывным, то BA : N1 N 3 – вполне непрерывный оператор ( N1, N 2, N 3 – нормированные пространства).

Оператор A: N1 N 2 является вполне непрерывным, поэтому для любой ограниченной последовательности zn N1 соответствующая ей последовательность Azn N 2 является компактной.

б) Докажем, что ограниченный оператор B: N 2 N 3 переводит компактную последовательность yn N 2 в компактную Byn N 3. Так как yn компактна, то из любой ее подпоследовательности можно выделить сходящуюся ynk y0 N 2. Рассмотрим последовательность Byn N 3 и любую ее подпоследовательность Bynk. Из соответствующей последовательности ynk N 2 можно выделить подпоследовательность ynm y0. Ввиду непрерывности оператора B последовательность Bynm также сходится:

Bynm By0 N 3, а значит Byn является компактной.

последовательность zn N1 в компактную BA zn N 3, т.е. является вполне непрерывным.

Пример 2.4. Пусть А — линейный ограниченный оператор, действующий в нормированном пространстве. Доказать, что множество элементов пространства таких, что Ay =, образует замкнутое линейное подпространство (нуль-пространство оператора).

Рассмотрим произвольные элементы y1 и y2 такие, что Ay1 = и Ay2 =. Тогда для любых 1, 2 выполнено A(1 y1 + 2 y2 ) = 1 Ay1 + 2 Ay2 =, т.е. множество элементов y : Ay = — линейное пространство.

Докажем его замкнутость, т.е. если Ayn = и yn y0, то Ay0 =.

Так как А — ограниченный линейный оператор, то Поэтому || Ay0 || = 0, а значит Ay0 =, что и требовалось доказать.

Замечание. Так как вполне непрерывный оператор является ограниченным, то доказанное утверждение справедливо и для вполне непрерывного оператора.

Пример 2.5. Доказать, что если линейный оператор А имеет обратный, то обратный оператор A также является линейным.

Решение. Пусть A — взаимно однозначный оператор, тогда существует обратный оператор A1. Для решения задачи достаточно проверить при любых y1, y2 R( A) и любых 1, справедливость равенства A1 (1 y1 + 2 y2 ) = 1 A1 y1 + 2 A1 y2.

Пусть Ax1 = y1, Ax2 = y2, тогда из линейности оператора А следует и по определению обратного оператора 1 x1 + 2 x2 = A1 (1 y1 + 2 y2 ).

С другой стороны, A1 y1 = x1, A1 y2 = x2, откуда умножая на 1, 2 и складывая, получим Из двух последних равенств имеем A1 (1 y1 + 2 y2 ) = 1 x1 + 2 x2 = 1 A1 y1 + 2 A1 y2, что и требовалось доказать.

Доказать, что если оператор А линейный, то обратный оператор A Пример 2.6.

существует тогда и только тогда, когда оператор A невырожденный.

Достаточность. Пусть оператор А невырожденный, т.е. Ax = x = (нульа) пространство оператора А тривиально). Тогда для любых двух элементов x1 x2 имеем A( x1 x2 ) Ax1 Ax2, т.е. оператор А взаимно однозначный, а значит существует обратный оператор A1.

б) Необходимость. Пусть оператор А имеет обратный A1. Заметим; что A1 — линейный оператор (см. пример 2.5) и докажем что А — невырожденный. Пусть это не так, т.е.

существует x такой, что Ax =. Тогда x = A1 Ax = A1 ( Ax) = A1 =. Полученное противоречие показывает, что если Ax =, то x =, т.е. оператор А — невырожденный.

Пример 2.7. Пусть оператор дифференцирования A = определен на подпространстве C0 [0,1] непрерывно дифференцируемых функций y ( x), удовлетворяющих условию y (0) = 0. Доказать, что оператор A имеет обратный и найти A1.

Решение. Множеством значений оператора А является пространство C[0,1]. Докажем, что обратный оператор A1 существует. Так как уравнение Ay = y ( x) 0, y (0) = имеет единственное решение y ( x) 0 =, т.е. нуль-пространство оператора А тривиально, то оператор А невырожденный, и обратный оператор A1 существует.

Чтобы найти A1, нужно для любой функции z ( x) C[0,1] решить уравнение Ay = z ( y ( x) C0 [0,1]), или y ( x) = z ( x), y (0) = 0. Решением указанной задачи Коши Если рассматривать оператор дифференцирования A = C (1) [0,1] C[0,1], то он является вырожденным, так как нуль-пространство в этом случае нетривиально и состоит из функций y ( x) = c. Поэтому обратный оператор не существует.

Вспомните, что первообразная непрерывной функции определяется с точностью до постоянной (элемент из Ker A (нуль-пространства) оператора A = ), т.е. отображение C [0,1] C[0,1], осуществляемое оператором дифференцирования, не является взаимно однозначным.

Пример 2.8. Доказать, что если оператор A, действующий в бесконечномерном нормированном пространстве является вполне непрерывным, то обратный оператор неограничен.

Решение. Предположим, что обратный оператор A1 является ограниченным. Так как А вполне непрерывный оператор, а по предположению, оператор A1 является ограниченным, то оператор A1 A является вполне непрерывным (см. пример 2.3), что неверно, так тождественный оператор A1 A = I не является вполне непрерывным (см.

курс лекций). Полученное противоречие доказывает, что A1 — неограничен.

а) Доказать, что В является ограниченным.

б) Доказать, что В имеет обратный оператор, который определен на некотором подпространстве и неограничен.

Построить оператор ( I B) 1.

а) Очевидно, что оператор В является линейным и определен на всем пространстве C[0,1]. Рассмотрим множество || y ||= max | y ( x) |= 1. На этом множестве имеем рассматриваемого оператора.

б) Оператор В отображает все пространство C[0,1] на линейное подпространство непрерывно дифференцируемых функций z ( x) = By = y ( s ) ds, удовлетворяющих условию то By = y =, т.е. нуль-пространство оператора В содержит только нулевой элемент, оператор В — невырожденный, а значит имеет обратный, который определен на указанном выше подпространстве. Обозначим D( A1 ) — область определения оператора A1.

Докажем, что обратный оператор неограничен. Рассмотрим последовательность yn D( A1 ) C[0,1] : yn ( x) = sin 2 nx, ( yn (0) = 0. ), || yn ||C [0,1] = 1, n = 1, 2,3. Тогда оператор B 1 является неограниченным.

Замечание 1. Действуя аналогично примеру 2.2, можно показать, что рассматриваемый оператор Вольтерра является вполне непрерывным, следовательно, обратный оператор неограничен (пример 2.8).

Чтобы построить оператор ( I B) 1, нужно для произвольной непрерывной функции z ( x) решить уравнение y ( x) y ( s )ds = z ( x). Заметим сразу, что y (0) = z (0).

Так как z ( x) может не быть дифференцируемой, то ищем решение в виде y ( x) = z ( x) + w( x), где w( x) — новая неизвестная функция, для которой имеем Замечание 2. Рассмотрим оператор B 2 y = dt y ( s ) ds = y ( s )ds dt = ( x s ) y ( s )ds. Легко показать, например, методом математической индукции, что представление оператора ( I B) 1 в виде ряда Неймана ( I B) 1 = I + B n.

а) не является вполне непрерывным при действии C [0,1] C[0,1] ;

б) является вполне непрерывным при действии C (2) [0,1] C[0,1].

Рассмотрим в C (1) [0,1] последовательность yn = Эта последовательность ограничена в C (1) [0,1], так как для любого номера n имеем || yn ||C (1) [0,1] = max | yn ( x) | + max | yn ( x) |= n + 1 2. Однако последовательность образов ее элементов при действии оператора дифференцирования Ayn = sin 2n x, n=1,2,3,… некомпактна в пространстве C[0,1] (см. пример 1.7). Поэтому оператор дифференцирования не является вполне непрерывным при действии C (1) [0,1] C[0,1].

а) Пусть yn — произвольная ограниченная последовательность в пространстве C (2) [0,1], т.е. существует M 0 такая, что || yn ||C ( 2 ) [0,1] = max | yn ( x) | + max | yn ( x) | + max | yn ( x) | M для любого номера n. Заметим, что отсюда вытекают два неравенства: max | yn ( x) | M и x[0,1] непрерывны, причем, ввиду сделанного замечания, последовательность zn ( x) = yn ( x) равномерно ограничена.

Докажем, что последовательность zn ( x) равностепенно непрерывна. Действительно, Далее, применяя теорему Арцела, получаем, что последовательность zn = Ayn компактна в C[0,1], а оператор дифференцирования A = является вполне непрерывным при действии C (2) [0,1] C[0,1].

2.1 Доказать, что интегральный оператор Фредгольма отображает линейное пространство h[ a, b] в себя и является линейным оператором.

2.2 Доказать, что интегральный оператор Вольтерра отображает линейное пространство h[ a, b] в себя и является линейным оператором.

2.3 Доказать, что линейный оператор, действующий в нормированных пространствах, непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле.

2.4 Доказать, что линейный оператор, действующий в нормированных пространствах, непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Доказать, что нелинейный интегральный оператор Ay = e xs y 2 ( s ) ds, действующий C[0,1] C[0,1], 2. является непрерывным и sup || Ay || +.

Замечание: результат предыдущей задачи в данном случае, вообще говоря, неприменим, так как оператор не является линейным.

2.6 Доказать эквивалентность двух определений непрерывности в точке оператора, действующего в нормированных пространствах.

Доказать, что линейный оператор ограничен тогда и только тогда, если существует постоянная C 0, 2. что для любого элемента y выполнено неравенство || Ay || C || y ||.

Доказать, что оператор дифференцирования, действующий из C (1) [ a, b] в C[ a, b ], является 2. ограниченным.

2.9 Доказать, что оператор дифференцирования, определенный на подпространстве непрерывно дифференцируемых функций пространства C[ a, b] и действующий из C[ a, b] в C[ a, b], не является ограниченным.

Доказать, что если A — линейный ограниченный оператор, действующий A : N1 N2, где N1 и N2 – 2. нормированные пространства, причем A 0, то || A || 0.

2.11 а) Доказать, что линейный оператор А имеет ограниченный обратный тогда и только тогда, если существует число m 0 такое, что для всех y D ( A) выполнено || Ay || m || y ||.

б) Доказать, что в этом случае норма обратного оператора равна || A1 || = 1, где М — максимальное из возможных значений m, найденных в п. а).

Доказать, что если линейный оператор B : N 2 N 3 является вполне непрерывным, а линейный 2. оператор A : N1 N2 ограниченный, то BA : N1 N 3 — вполне непрерывный оператор ( N1, N 2, N 3 – нормированные пространства). Сравнить с результатом примера 2.3.

Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из h[a, b] в C[ a, b], является вполне 2. непрерывным оператором.

2.14 Доказать, что интегральный оператор Фредгольма, действующий из h[ a, b] в h[ a, b], является вполне непрерывным оператором.

непрерывным при действии C[ a, b] C[ a, b].

Доказать, что оператор умножения на x : Ay = x y ( x ), действующий C[ a, b] C[ a, b], не является 2. вполне непрерывным.

Доказать, что единичный оператор, действующий в пространстве C[ a, b ], не является вполне 2. непрерывным.

2. действии C[0,1] C[0,1].

C0 [0,1] C[0,1] ( C0 [0,1] — подпространство непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций, обратный, и найти его.

Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным к оператору А, если y1, y2 E ( Ay1, y2 ) = ( y1, A y2 ). Если A = A, то оператор А называется самосопряженным.

Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве L. Число называется собственным значением оператора A, если существует элемент y такой, что Ay = y. Элемент y называется собственным вектором. Множество собственных векторов, соответствующих собственному значению, является подпространством пространства L.

Число = ( 0) называется характеристическим числом оператора A.

Теорема. Самосопряженный вполне непрерывный оператор А, действующий в бесконечномерном евклидовом пространстве, обладает собственным вектором, соответствующим собственному значению : | | = || A ||. Это собственное значение является максимальным по модулю среди всех собственных значений оператора А.

Теорема, вообще говоря, не верна, если отказаться от условий самосопряженности или вполне непрерывности оператора (см. примеры в конце темы).

Элемент е называется максимальным элементом (вектором) оператора A, если || e || = 1 и || Ae || = || A ||. Самосопряженный вполне непрерывный оператор А обладает максимальным вектором.

Если z — максимальный вектор самосопряженного оператора А, то z -собственный вектор оператора A 2, соответствующий собственному значению = || A ||2 = M 2. Если оператор A 2 обладает собственным вектором z, соответствующим собственному значению M 2, то оператор А имеет собственный вектор, соответствующий собственному значению Теорема.

h[a, b] h[a, b] является вещественным, симметрическим, непрерывным по совокупности переменных ( x, s ) [a, b] [a, b], и не равно тождественно нулю. Тогда оператор Фредгольма обладает собственным значением, 0 : Ay = y, y 0, y h[a, b].

Иногда удобнее использовать характеристические числа: =, 0. Тогда в утверждении теоремы следует записать A y = y.

Теорема. Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Теорема. Число собственных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора A, удовлетворяющих условию: || A || | | 0, ( — фиксированное положительное число) конечно.

Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению, называется кратностью собственного значения.

Теорема. Ненулевому собственному значению вполне непрерывного оператора A может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных векторов. Нулевому собственному значению может отвечать как конечное, так и бесконечное число линейно независимых собственных векторов.

а) Множество собственных значений самосопряженного вполне непрерывного оператора А, действующего в бесконечномерном евклидовом пространстве, представляет собой:

монотонно невозрастающая и ограниченная снизу нулем;

либо конечную последовательность, тогда || A || = | 1 | | 2 |. | n | n +1 = (каждое собственное значение повторяется в эти неравенствах столько раз, какова его кратность).

б) Если ненулевых собственных значений бесконечно много, то n 0.

в) Каждому собственному значению отвечает хотя бы один собственный вектор, причем можно выбрать собственные векторы так, что они образуют ортонормированную систему (собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям ортогональны, а собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно ортогонализовать, используя процедуру Грама-Шмидта).

Для характеристических чисел вполне непрерывного самосопряженного оператора справедливы аналогичные результаты:

либо 1 2. n (конечная последовательность характеристических чисел);

либо 1 2. n. (бесконечная последовательность характеристических чисел).

В этом случае lim n =.

Каждому характеристическому числу n можно сопоставить собственный вектор n, причем векторы < n >образуют ортонормированную систему.

Аналогичные утверждения верны для интегрального оператора с непрерывным, симметрическим и неравным тождественно нулю ядром. В этом случае вместо слов собственные векторы говорят собственные функции интегрального оператора или собственные функции ядра K ( x, s ).

Пусть А — вполне непрерывный самосопряженный оператор со следующей последовательностью характеристических чисел (неважно, конечной или бесконечной) :

1 2. n. которым соответствует ортонормированная последовательность собственных векторов 1, 2. n.

Теорема. Вектор y принадлежит нуль-пространству оператора А ( y Ker A ) тогда и только тогда, когда ( y, k ) = 0 k = 1,2. ( k — конечная или бесконечная последовательность).

Теорема Гильберта-Шмидта. Функция f (x) называется истокопредставимой через ядро K ( x, s ), если существует непрерывная функция g (x) такая, что f ( x) = K ( x, s ) g ( s ) ds. Если функция f (x) истокопредставима через симметрическое непрерывное ядро K ( x, s ), то она может быть разложена в ряд f ( x) = f k k ( x), где f k = ( f, k ) = f ( s ) k ( s ) ds, причем этот ряд сходится абсолютно и равномерно на [a, b].

Можно рассматривать оператор Фредгольма в пространстве непрерывных комплекснозначных функций hC [a, b], состоящем из комплекснозначных функций вещественной переменной x: y ( x) = u ( x) + i v( x) x [a, b], функции u(x), v(x) – непрерывные на [a,b] вещественные функции. В этом пространстве скалярное сопряжения).

Теорема. Пусть интегральный оператор с непрерывным симметрическим вещественным ядром K ( x, s ) действует в комплексном пространстве hC[a,b]. Тогда этот оператор может иметь только вещественные собственные значения.

K ( x, s ) = a j ( x) b j ( s ), где a1 ( x). a n ( x) и b1 ( s ). bn ( s ) — линейно независимы и непрерывны по своим аргументам на [a, b], то интегральный оператор является вырожденным. В этом случае и у него всегда есть нулевое собственное значение, причем кратность его равна. Отыскание других собственных значений сводится к решению эквивалентной алгебраической задачи на собственные значения и собственные векторы для некоторой матрицы Собственные значения n матрицы К и, следовательно, собственные значения (и характеристические числа n = ) интегрального оператора Фредгольма теперь можно найти, решив характеристическое уравнение det( K I ) = 0.

Некоторые задачи на нахождение характеристических чисел и собственных функций оператора Фредгольма с непрерывным невырожденным ядром рассмотрены также в примерах к теме 7.

Пример 3.1. Пусть M — подпространство евклидова пространства, инвариантное относительно самосопряженного оператора А. Доказать, что ортогональное дополнение M подпространства М также инвариантно относительно оператора А.

Решение. Рассмотрим любые элементы y M, z M, т.е. ( y, z ) = 0. Подпространство М инвариантно относительно оператора А, что означает Ay M для любого y M, т.е.

( Ay, z ) = 0. Нужно доказать, что Az M.

Оператор А — самосопряженный, поэтому ( Ay, z ) = ( y, Az ) = 0, т.е. элемент Az ортогонален любому y M, следовательно Az M, что и требовалось доказать.

Пример 3.2. Доказать, что норма вполне непрерывного самосопряженного оператора может быть найдена по формуле || A || = sup | ( Ay, y ) |.

Решение. Обозначим µ = sup | ( Ay, y ) | и докажем, что указанная точная верхняя грань | ( Ay, y ) | || Ay || || y || || A || || y || = || A ||, откуда следует существование sup | ( Ay, y ) | и оценка µ = sup | ( Ay, y ) | || A ||.

Докажем теперь, что справедливо неравенство µ || A ||. Для любого элемента у получаем | ( Ay, y ) | µ || y ||. Пользуясь линейностью оператора А, скалярного произведения и равенством ( Ay, z ) = ( y, Az ) (определение самосопряженного оператора), нетрудно получить 4( Ay, z ) = ( A( y + z ), y + z ) ( A( y z ), y z ). Из этого µ || y + z ||2 + µ || y z ||2 = 2 µ (|| y ||2 + || z ||2 ). Поэтому для произвольных элементов получим Замечание. Обратившись к теореме о существовании собственного вектора вполне непрерывного самосопряженного оператора, можно заключить, что если в рассмотренной задаче оператор А — вполне непрерывный, то максимальное по модулю собственное значение его удовлетворяет соотношению | | = || A || = sup | ( Ay, y ) | Пример 3.3.

а) Доказать, что указанный оператор является ограниченным и найти его норму.

б) Доказать, что у него нет максимального вектора.

а) Напомним, что нормой линейного оператора называется число нормы оператора получаем оценку || A || 1.

Докажем, что норма рассматриваемого оператора равна 1. Для этого достаточно построить последовательность yn ( x) непрерывных функций такую, что || Ayn ||h[0,1] 1.

Непосредственным вычислением легко проверить, что n || yn ||h[0,1] = 1 и Поэтому || A || = 1.

б) Докажем, что у рассматриваемого оператора в пространстве h[0,1] нет максимального вектора. Напомним, что элемент y : || y || = 1 называется максимальным вектором ограниченного оператора, если y0 ( x) : || y0 || = 1 является максимальным вектором рассматриваемого оператора, тогда Таким образом, сделанное предположение неверно, т.е. максимального вектора у оператора нет.

Замечание. Рассмотренный оператор умножения в пространстве h[0,1] является самосопряженным, но не вполне непрерывным, поэтому теорема о существовании максимального вектора в данном случае неприменима.

Пример 3.4. Пусть K ( 2 ) ( x, s ) = K ( x, s ) функция оператора Фредгольма Ay = K ( x, s ) y ( s ) ds с непрерывным симметрическим ядром, отвечающая характеристическому числу 1. Рассмотрим интегральный оператор а) все собственные функции 2. n. оператора А, отвечающие характеристическим соответствующими тем же характеристическим числам 2. n. ;

б) оператор A(2) не имеет других характеристических чисел, отличных от k, k = 2,3, 4. ;

в) функция 1 также является собственной функцией оператора A(2), соответствующей нулевому собственному значению ядра K ( 2 ) ( x, s ).

Так как ядро оператора А непрерывно и симметрично, то и ядро K ( 2 ) ( x, s ) Решение.

удовлетворяет тем же условиям, т.е. оператор A(2) является вполне непрерывным и самосопряженным. Заметим также, что действие оператора A(2) можно представить в Напомним, что собственные функции самосопряженного оператора образуют ортогональную систему, и A k = K ( x, s ) k ( s ) ds = k. Будем считать также, что Для любой собственной функции k, k = 2,3, 4. оператора A имеем характеристическому числу k.

Пусть — характеристическое число оператора A(2), а — отвечающая ему собственная функция, т.е.

характеристическим числом оператора A, т.е. совпадает с одним из k, k = 2,3, 4.

Действительно т.е. является характеристическим числом оператора A, что и требовалось. Здесь было использовано неочевидное (так как k и — собственные функции различных операторов. ) соотношение функция оператора A(2), отвечающая собственному значению 0 = 0.

пространстве h[0,1] а) является самосопряженным;

б) не имеет собственных значений.

б) Рассмотрим уравнение Ay x y ( x) = y ( x) ( x ) y ( x) = 0, откуда получаем y ( x) 0. Итак, при любом уравнение Ay = y имеет только тривиальное решение, что и означает отсутствие собственных значений у оператора А.

Замечание. Рассматриваемый оператор не является вполне непрерывным (см. задачу 2.16), поэтому теорема о существовании собственного вектора в данном случае неприменима.

а) является вполне непрерывным;

б) не имеет собственных значений.

а) Докажем сначала, что А — вполне непрерывный оператор при действии h[0,1] C[0,1].

Рассмотрим ограниченную последовательность Докажем равномерную ограниченность zn ( x) в пространстве C[0,1]. Действительно, сразу для всех x [0,1] и всех n=1,2,…, откуда следует || zn ||C [0,1] = sup | zn ( x) | M, что и требовалось.

произвольные точки x1, x2 [0,1]. Имеем zn ( x1 ) zn ( x2 ), т.е. последовательность z n (x) равностепенно непрерывна.

Итак, последовательность функций z n (x), непрерывных на сегменте [0,1], равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. Из теоремы Арцела следует, что из нее z n (x) можно выделить равномерно сходящуюся при x [0,1] к непрерывной функции подпоследовательность. Очевидно, что этим же свойством обладает и любая подпоследовательность последовательности z n (x). Следовательно, оператор А является вполне непрерывным при действии h[0,1] C[0,1]. Но, т.к. из равномерной сходимости следует сходимость в среднем, то та же самая подпоследовательность непрерывных функций, которая сходится равномерно к некоторой непрерывной функции, сходится и в среднем к той же функции. Поэтому оператор А является вполне непрерывным и при действии h[0,1] h[0,1].

б) Покажем, что рассматриваемый оператор не имеет собственных значений. Рассмотрим уравнение y ( x) = ce, а так как у(0)=0, то единственное решение его при любом y ( x) 0, что и доказывает отсутствие собственных значений.

Замечание. Рассматриваемый оператор не является самосопряженным. Действительно, путем интегрирования по частям легко показать, что Поэтому теорема о существовании собственного вектора в данном случае неприменима.

имеет характеристических чисел.

Решение. Рассмотрим уравнение y ( x) = sin x cos s y ( s ) ds. Требуется найти такие, при которых существуют нетривиальные решения этого уравнения.

C = cos s C sin s ds = 0. Следовательно, y ( x) 0 при любом, т.е. характеристических чисел у исследуемого оператора нет.

самосопряженным, и теорема о существовании собственного вектора неприменима.

Пример 3.8. Найти характеристические числа и построить ортонормированные собственные функции однородного уравнения Фредгольма с непрерывным вырожденным симметрическим ядром y ( x) = sin( x + s ) y ( s ) ds.

Решение. Ядро исследуемого оператора симметрическое и непрерывное, следовательно, оператор Фредгольма в данной задаче является вполне непрерывным и самосопряженным.

Представим ядро виде K ( x, s ) = sin( x + s ) = sin x cos s + cos x sin s и обозначим при 2 = получаем a2 = a1, и собственная функция y2 ( x) = C (sin x cos x).

Так как собственные функции, отвечающие различным характеристическим числам, ортогональны, то искомая ортонормированная система есть Пример 3.9.

ядро K ( x, s ) называется кососимметрическим.

Показать, что все отличные от нуля собственные значения оператора Фредгольма мнимые числа.

y ( x) 0 — соответствующая собственная функция (возможно, комплекснозначная). Так как ядро вещественно, то имеет место также комплексное сопряжение.

Умножим второе уравнение на y ( x), а первое — на комплексно сопряженную функцию y ( x), и проинтегрируем по отрезку [a, b]. Получим:

Меняя обозначения переменных интегрирования в последнем интеграле и учитывая, что K ( x, s ) = K ( s, x) приходим к соотношению Складывая первое и последнее равенства, найдем y ( x) 0, то =, т.е. либо = 0, либо является чисто мнимым.

Замечание. Напомним, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественные числа. В рассмотренном случае интегральный оператор Фредгольма не является самосопряженным, поэтому собственные значения могут не быть вещественными (в данном примере все ненулевые собственные значения оказались чисто мнимыми).

Пример 3.10. Найти характеристические числа и собственные функции оператора Фредгольма с вырожденным кососимметрическим ядром Ay = ( x s ) y ( s )ds, x [0,1].

Требуется найти такие, при которых существуют нетривиальные решения Решение.

тогда y ( x) = (C1 x C2 ), и для определения C1, C2 получим соотношения откуда Нетривиальные решения системы существуют при условии Пусть = 1 = 2i 3 тогда, полагая C1 = C 2 3, где С — произвольная постоянная, найдем C2 = C (i + 3) и собственные функции y1 ( x) = 1 (C1 x C2 ) = C (12i x 6i + 2 3).

собственные функции y2 ( x) = 2 (C1 x C2 ) = C (12i x + 6i + 2 3).

Замечание. Если оператор несамосопряженный, то характеристические числа могут не быть действительными. В данном случае, ядро оператора K ( x, s ) = x s не симметрическое, и характеристические числа оказались чисто мнимыми (см. пример 3.9).

отвечающие характеристическим числам n+1. k. являются также собственными функциями оператора A(n+1), соответствующими тем же характеристическим числам n +1. k. ;

б) оператор A(n+1) не имеет других характеристических чисел, отличных от соответствующими нулевому собственному значению ядра K ( n +1) ( x, s ).

3.2 Доказать, что интегральный оператор Фредгольма с непрерывным симметрическим ядром, действующий h[ a, b] h[ a, b], является самосопряженным оператором.

3.3 Доказать, что интегральный оператор Вольтерра с непрерывным не равным тождественно нулю ядром, действующий h[ a, b] h[ a, b], не является самосопряженным оператором.

Доказать, что интегральный оператор Вольтерра By = Пусть — собственный вектор самосопряженного оператора A, действующего в евклидовом 3. пространстве. Доказать, что множество векторов, ортогональных, образуют замкнутое линейное подпространство, инвариантное относительно A.

3.6 Доказать, что если интегральный оператор Фредгольма с непрерывным симметрическим вещественным ядром K ( x, s ) действует в комплексном пространстве h [ a, b] (комплексном расширении пространства h[ a, b] ), то этот оператор может иметь только вещественные собственные значения.

Доказать, что собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие различным 3. собственным значениям, ортогональны.

действующий в пространстве h[0, ], является невырожденным.

3.9 Доказать, что нуль является простым собственным значением интегрального оператора Фредгольма 3.10 Доказать, что нулевое собственное значение интегрального оператора Фредгольма с ядром 3.11 Привести пример интегрального оператора Фредгольма, нулевое собственное значение которого имеет конечную кратность.

3.12 Найти характеристические числа и собственные функции однородных уравнений Фредгольма с вырожденными непрерывными симметрическими ядрами в следующих случаях (все характеристические числа — вещественные):

3.13 Найти характеристические числа и собственные функции уравнений Фредгольма с вырожденными несимметрическими ядрами (характеристические числа необязательно вещественные, и их может не 3. 3.12 а) 3.13 а) в) характеристических чисел (и собственных функций) нет;

г) характеристических чисел (и собственных функций) нет.

Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с «малым».

Пусть D – оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий D : B B, где В банахово (полное нормированное) пространство.

Оператор D называется сжимающим (или сжимающим отображением), если существует константа q: 0 q 1, такая, что для любых y1, y2 B имеет место неравенство Элемент y называется неподвижной точкой оператора D, если Dy = y.

Теорема (о неподвижной точке). Пусть D – сжимающий оператор. Тогда существует, и притом единственная, точка y B такая, что Dy = y. Эта точка может быть найдена методом последовательных приближений: yn +1 = Dyn, n = 0, 1, 2. где y0 B произвольная фиксированная точка из B (начальное приближение), причем Теорема. Пусть D — оператор, отображающий банахово пространство B в себя, и пусть существует натуральное число k такое, что D k — сжимающий оператор. Тогда оператор D имеет единственную неподвижную точку (т.е. такую, что Dy = y ), причем y может быть найдено методом последовательных приближений: для любого y 0 B вообще говоря, не симметрическое. Обозначим:

| | оператор A является сжимающим. Заметим, что C[a, b] — банахово, т.е.

полное нормированное пространство.

Теорема. Если | | (такие будем называть «малыми»), то неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода решение для любой непрерывной функции f ( x) C[a, b], причем решение может быть найдено методом последовательных приближений.

Следствие 1. При | | однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Следствие 2. Если у оператора Фредгольма есть характеристические числа, то Если записать уравнение Фредгольма 2-го рода в операторной форме y = A y + f или ( I A) y = f, то в случае, когда решение существует и единственно, его (решение) можно представить в виде y = ( I A) 1 f = ( I + R ) f = f + R f, где R — интегральный оператор с непрерывным по x, s ядром R( x, s, ), т.е. y ( x) = f ( x) + R( x, s, ) f ( s)ds.

Ядро R( x, s, ) оператора R называется резольвентой.

резольвента R( x, s, ) может быть найдена по формуле R ( x, s, ) = m 1 K m ( x, s ).

В случае «малых» для оператора R имеет место представление R = n 1 An n = ряд Неймана.

Пример 4.1. Доказать, что сжимающий оператор является непрерывным.

Решение. Напомним определение сжимающего оператора. Оператор А, действующий в банаховом пространстве B называется сжимающим, если q : 0 q 1 такое, что Возьмем любое 0 и пусть 0, тогда для любых элементов y, y0 таких, что образом, оператор является непрерывным, что и требовалось доказать.

Пример 4.2. Пусть оператор А, действующий в банаховом пространстве В, обладает свойством, что P = An является сжимающим оператором.

Доказать, что уравнение y = Ay имеет единственное решение.

Решение. Так как Р — сжимающий, то существует единственная неподвижная точка у:

y = Py этого оператора, которая может быть найдена методом последовательных приближений, т.е. для указанного у справедливы следующие утверждения:

а) для y0 B последовательность P k y0 y (неподвижной точке оператора Р);

б) Py = y P( Py ) = Py = y. P k y = y для любого k=1,2,3….

предыдущее равенство, с учетом а) получим Ay = P k Ay = P k y0 y, откуда следует, что y = Ay, т.е. неподвижная точка оператора Р является также и неподвижной точкой оператора А.

Для доказательства единственности неподвижной точки оператора А предположим противное, т.е. пусть существуют две точки y y такие что Ay = y и Ay = y, тогда An y Py = y и An y Py = y, откуда следует, что y = y в силу единственности неподвижной точки оператора Р.

Пример 4.3. Пусть в банаховом пространстве В заданы два сжимающих оператора А и Зададим некоторое число 0. Назовем операторы А и D -близкими, если для z B выполнено || Az Dz ||.

Доказать, что неподвижные точки x и y этих операторов находятся на расстоянии Решение. Пусть x — неподвижная точка оператора А, т.е. x = Ax, а y — неподвижная точка оператора D: y = Dy.

Возьмем x в качестве начального приближения итерационного процесса для определения y, т.е. y0 = x, y1 = Dy0 Dx. yk = D k x ; y = lim D k x. Тогда Переходя в последнем неравенстве к пределу при k, получим доказать.

Пример 4.4. Привести пример оператора, переводящего банахово пространство В в себя, удовлетворяющего условию || Ay Az ||B || y z ||B для любых y, z B, и не имеющего неподвижной точки.

неподвижной точки рассматриваемого оператора.

Замечание. Указанный оператор не удовлетворяет теореме о неподвижной точке.

сжимающим а) при действии C[0,1] C[0,1] ;

б) при действии h[0,1] h[0,1].

а) Рассмотрим две непрерывные функции y ( x), z ( x) C[0,1], тогда и оператор А: C[0,1] C[0,1] будет сжимающим при | | 1.

б) Рассмотрим две непрерывные функции y ( x), z ( x) h[0,1], тогда оператор А: h[0,1] h[0,1] будет сжимающим при | | 6.

сжимающим а) при действии C[0,1] C[0,1] ;

б) при действии h[0,1] h[0,1].

а) Рассмотрим две непрерывные функции y ( x), z ( x) C[0,1], тогда и оператор В: C[0,1] C[0,1] будет сжимающим при | | 2.

б) Рассмотрим две непрерывные функции y ( x), z ( x) h[0,1], тогда оператор В: h[0,1] h[0,1] будет сжимающим при | | 12.

Замечание. Приведенный ниже способ построения резольвенты служит иллюстрацией к доказанной в курсе лекций теореме о возможности представлении резольвенты R ( x, s, ) в виде ряда R ( x, s, ) = m 1 K m ( x, s) при «малых». Так как ядро оператора Фредгольма в данной задаче является вырожденным, то решение уравнения может быть получено непосредственно методами, рассмотренными в примерах 6.1-6.2. Для построения резольвенты также могут быть использованы и другие приемы (сравните с результатом примера 6.3. ).

Решение. Начнем с построения резольвенты R ( x, s, ), выписав итерированные ядра:

Используя формулу для резольвенты R ( x, s, ) = m 1 K m ( x, s) и суммируя ряд Критерий «малого» в данном случае совпадает с условием сходимости ряда | |, и как легко видеть, выполняется на более широком множестве значений, чем достаточное условие, сформулированное в теореме о разрешимости уравнения Фредгольма Далее, так как решение представимо в виде y ( x) = f ( x) + R( x, s, ) f ( s) ds, то для f ( x) = cos x получим Тот же результат дает и непосредственное применение метода последовательных приближений. Положим y0 0, yn +1 = A yn + f, n = 0,1, 2. тогда ……………….

Легко видеть, что если | |, то при n обе подпоследовательности получена выше в качестве решения задачи другим способом.

Пример 4.8. Методом последовательных приближений решить уравнение Фредгольма y ( x) = y ( s ) ds + 1. Показать, что ряд Неймана сходится лишь в области | | 1, однако решение, полученное при этом условии, существует при всех 1.

An f ( x) = 1 (n = 2,3. ). Следовательно, при | | 1, ряд Неймана сходится, и решением уравнения является расходится, и справедливость полученной формулы оказывается под сомнением.

С другой стороны, если обозначить C = y ( s ) ds, то решение уравнения примет вид что совпадает с выражением, полученным ранее лишь для | | 1. Заметим, что при | | решение существует, несмотря на то, что ряд Неймана расходится.

4.1 Доказать, что интегральный оператор Фредгольма с вещественным непрерывным ядром, действующий в пространстве C[a,b], не имеет характеристических чисел на интервале 4.2 Доказать, что интегральный оператор Фредгольма с вещественным непрерывным ядром, действующий в пространстве h[a,b], не имеет характеристических чисел на интервале Доказать, что задача решения уравнения Фредгольма 2-рода y ( x ) = K ( x, s ) y ( s ) ds + f ( x) с 4. а) в пространстве C[a,b];

б) в пространстве h[a,b].

пространстве C[0.1] и найти его неподвижную точку.

4.5 Методом последовательных приближений построить резольвенту и получить решение уравнения Фредгольма 2-го рода:

4. последовательных приближений | | 3, достаточное условие теоремы выполнено при сходимости последовательных приближений | | 1 совпадает с достаточным условием последовательные приближения сходятся при | |, достаточное условие теоремы е) Резольвента R ( x, s, ) =, решение y ( x ) = 1 + 2sin x, последовательные приближения сходятся при | | 2, однако достаточное условие «малого» не выполнено.

приближения сходятся при | | 1, однако достаточное условие теоремы | |= не выполняется.

приближения сходятся при | | 2, достаточное условие теоремы | |= 1 2 также выполняется.

y = B y + f, называется уравнением Вольтерра 2-го рода.

Пусть ядро K ( x, s ) непрерывно по совокупности переменных на своей треугольной области определения = и не равно нулю тождественно, f ( x) – непрерывная на [a, b] функция.

Теорема. Уравнение Вольтерра 2-го рода при любом значении имеет единственное решение для любой непрерывной функции f ( x). Это решение может быть найдено методом последовательных приближений yn +1 = B yn + f, y0 C[a, b], Следствие 1. При любом однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Следствие 2. Оператор Вольтерра, действующий C[a, b] C[a, b], не имеет характеристических чисел. Таким образом, оператор Вольтерра является примером вполне непрерывного оператора, не имеющего ни одного характеристического числа.

Метод последовательных приближений для уравнения Вольтерра 2-го рода называется методом Пикара и выглядит так: для любого начального приближения Если записать уравнение Вольтерра 2-го рода в операторной форме y = A y + f или ( I A) y = f, то так как решение существует и единственно при любой непрерывной функции y = ( I A) f = ( I + R ) f = f + R f, где R — интегральный оператор с непрерывным Ядро R( x, s, ) оператора R называется резольвентой.

сходится равномерно по x, s [a, b] при любых, в отличие от аналогичного ряда для резольвента R( x, s, ) может быть получена по формуле R ( x, s, ) = m 1 K m ( x, s ).

Уравнения Вольтерра с ядрами специального вида могут также решаться путем сведения к дифференциальному уравнению, либо с использованием преобразования Лапласа (примеры 5.4 и 5.5).

решение этого уравнения при = 1.

Решение. Вычислим повторные ядра этого уравнения: K1 ( x, s ) = K ( x, s ) = e ( x s ), ………….

, что обеспечивается не малостью, как было в случае уравнения Фредгольма, а наличием множителя m! в знаменателях повторных ядер.

Далее, положив = 1, получим R ( x, s, ) = R ( x, s,1) = 1 и запишем решение Пример 5.2. Методом последовательных приближений решить уравнение Вольтерра yn +1 ( x) = ( s x) yn ( s ) ds + 1. Выберем в качестве начального приближения y0 ( x) 0, тогда последовательно найдем:

Переходя к пределу при n, получим функцию y ( x) = lim yn ( x) = cos x, которая и является решением рассматриваемого уравнения.

Пример 5.3. Доказать, что если ядро уравнения Вольтерра y ( x) = K ( x, s ) y ( s ) ds + f ( x) зависит только от разности аргументов, т.е. K ( x, s ) = K ( x s ), то все повторные ядра, а следовательно и резольвента, также являются функциями лишь от разности ( x s ).

что и требовалось доказать.

Пример 5.4. С помощью преобразования Лапласа найти резольвенту и записать решение уравнения Вольтерра y ( x) = sin( x s ) y ( s ) ds + f ( x).

Решение. Поставим в соответствие функциям, входящим в уравнение, их изображения:

функций есть произведение их изображений, получим Y ( p ) = K ( p ) Y ( p) + F ( p), откуда Используя результат предыдущей задачи, можно сделать вывод, что резольвента зависит лишь от разности ( x s ), следовательно, решение исходного уравнения представимо в виде Решение уравнения теперь можно записать так: y ( x) = f ( x) + ( x s ) f ( s) ds.

сведя его к задаче Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Легко видеть, что решение уравнения удовлетворяет условию y (0) = 0.

Последовательно продифференцируем интегральное уравнение и найдем Складывая последнее равенство с исходным, получим y = 0. Решение задачи Коши с начальными условиями y (0) = 0, y(0) = 1 дает y ( x) = x.

Замечание. Этот же результат можно получить, используя формулу решения предыдущего примера, полагая в ней f ( x) = sin x :

5.3 Доказать, что задача решения уравнения Вольтерра 2-рода корректно поставлена а) в пространстве C[a,b];

б) в пространстве h[a,b].

5.4 Решить интегральное уравнение, сведя его к задаче Коши:

в) y ( x) = sin x + 2 e s y ( x s ) ds (Указание: сделать в интеграле замену переменной x s = ).

5.6 Решить интегральное уравнение, используя преобразование Лапласа:

5.7 Решить уравнение Вольтерра 1-го рода а) применив преобразование Лапласа;

б) продифференцировав уравнение и сведя его к уравнению Вольтерра 2-го рода.

5.4 а) 5. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.

Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма y ( x) = K ( x, s ) y ( s ) ds + f ( x).

Сопряженным (союзным) интегральным уравнением называется уравнение с ядром K ( x, s ) = K ( s, x). Если ядро симметрическое, то союзное уравнение совпадает с исходным.

y = A y + f, будем рассматривать союзное с ним интегральное уравнение (в операторной форме = A + g ), g (x) — непрерывная функция.

Сформулируем 4 теоремы Фредгольма.

Теорема 1. Однородное уравнение и союзное с ним однородное уравнение (K*(x, s)=K(s, x)) при любом фиксированном имеют либо только тривиальные решения, либо одинаковое конечное число линейно независимых решений: 1. n ; 1. n.

В курсе лекций теорема была доказана для интегральных уравнений с вырожденными и симметрическими ядрами.

Теорема 2. Для разрешимости неоднородного уравнения необходимо и достаточно, чтобы f (x ) была ортогональна всем линейно независимым характеристическое число).

В курсе лекций теорема была доказана для случаев симметрических и вырожденных ядер.

Теорема 3 (альтернатива Фредгольма).

Либо неоднородное уравнение (3) разрешимо при любой неоднородности непрерывной функции f (x ), либо однородное уравнение (1) имеет нетривиальное решение.

В курсе лекций теорема была доказана для случаев симметрических и вырожденных ядер.

Теорема 4. Множество характеристических чисел однородного уравнения (1) не более, чем счетно, с единственной возможной предельной точкой.

Этот результат справедлив для любого вполне непрерывного оператора. В курсе лекций он был получен для вполне непрерывных самосопряженных операторов, и, тем самым, доказан для случая симметрических ядер. Для интегральных операторов с вырожденными ядрами результат тривиален.

Замечание. В курсе лекций теоремы Фредгольма были доказаны для уравнений с симметрическими непрерывными ядрами и уравнений с непрерывными вырожденными ядрами. Они справедливы и для общего случая произвольного непрерывного ядра, так как имеет место следующая Теорема. Интегральное уравнение Фредгольма 2 рода y = A y + f с невырожденным ядром при фиксированном можно заменить эквивалентным интегральным уравнением с вырожденным ядром.

Опишем процедуру решения неоднородного интегрального уравнения Фредгольма y ( x) = K ( x, s ) y ( s ) ds + f ( x) Ay + f в случаях вырожденного ядра и симметричного ядра.

Напомним, что ядро K ( x, s ) интегрального оператора Фредгольма называется вырожденным, если оно представимо в виде K ( x, s ) = a j ( x) b j ( s ) на [a, b], где функции можно считать, что a1 ( x). a n ( x) – линейно независимы, и b1 ( s ). bn ( s ) — линейно независимы.

вырожденным ядром K ( x, s ) = a j ( x) b j ( s ), f (x) — заданная непрерывная функция.

Теорема. Если не является характеристическим числом (т.е. D( ) 0 ), то интегральное уравнение Фредгольма 2 рода имеет, и притом, единственное, решение для любой непрерывной функции f (x).

Решение алгебраической системы для c j может быть получено, например, по формулам Крамера: ci = D( ) и Dik ( ) называются определителями Фредгольма. Тогда резольвента интегрального оператора.

Теперь рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода в случае симметрического ядра.

Пусть ядро K ( x, s ) непрерывно по совокупности переменных, симметрическое и K ( x, s ) 0 ; — вещественное число;

1 2. n. — последовательность характеристических чисел интегрального оператора, которым соответствует ортонормированная система собственных функций 1, 2. n. (каждое характеристическое число повторяется в этой последовательности столько раз, какова его кратность. ).

f ( x) по ортонормированной системе собственных функций 1, 2. n. или где R ( x, s, ) = — резольвента интегрального оператора Фредгольма.

= ko, где ko — характеристическое число интегрального оператора, имеющее кратность r, т.е. ему отвечают r ортонормированных собственных функций ko ( x). ko + r 1 ( x). В этом случае решение не единственно и определяется формулой где c k o. c k o + r 1 — произвольные константы, причем решение существует при условии ортогональности f (x) всем собственным функциям ko ( x). ko + r 1 ( x), соответствующим характеристическому числу ko. Бесконечный ряд, записанный в данном выражении, сходится абсолютно и равномерно.

Заметим, что решения отличаются одно от другого на функции, являющиеся элементами Ker ( I A) (нуль-пространства) оператора I A.

Теорема. Если однородное уравнение Фредгольма 2-го рода с непрерывным симметрическим ядром имеет только тривиальное решение (т.е. k, k = 1,2. ), то неоднородное уравнение имеет, и притом, единственное, решение для любой функции f (x). Если однородное уравнение имеет нетривиальное решение ( = k при некотором k), то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, если неоднородность – непрерывная функция – ортогональна всем собственным функциям, соответствующим данному (т.е. ортогональна всем решениям однородного уравнения).

В последнем случае, если решение есть, то оно не единственно.

Теорема. (Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода с симметрическими ядрами):

Либо неоднородное уравнение имеет решение при любой непрерывной функции f (x), либо однородное уравнение имеет нетривиальное решение.

Пример 6.1. Показать, что характеристические числа однородного уравнения Фредгольма z ( x) = ( x 2 + sx) z ( s )ds совпадают, и при этих указанные уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений.

решения указанных уравнений примут вид y ( x) = a1 + a2 x, z ( x) = b1 x 2 + b2 x, и для определения коэффициентов получим a2, a1, b1, b2 остаются произвольными. Поэтому, = является характеристическим числом для обоих рассматриваемые уравнений, и при этом они имеют по два линейно независимых решения y1 ( x) C, y2 ( x) = Cx и z1 ( x) Cx, z2 ( x) = Cx 2.

Для каждого исследовать разрешимость и построить решение Пример 6.2.

неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным несимметрическим Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y ( x) = ( s 2 sx) y ( s )ds.

a1 = a2 = 0, однородное уравнение имеет только тривиальное решение, а значит исходное неоднородное уравнение имеет единственное решение.

При = ± (характеристические числа) однородное уравнение имеет нетривиальные решения: если = +, то y1 ( x) = C, если =, то y2 ( x) = Cx. Поэтому, для указанных значений вопрос о разрешимости неоднородного уравнения сводится к проверке ортогональности функции f ( x) = x3 собственным функциям однородного союзного f ( x) z1 ( x) dx = C x3 x 2 dx = 0, т.е. исследуемое уравнение разрешимо и решение его не единственно;

y ( x) C + x + x 3, т.е. решение не единственно, и определяется с точностью до собственной функции ядра y1 ( x) = C, отвечающей = +.

Пример 6.3. Построить резольвенту уравнения Фредгольма а) вычислив определители Фредгольма;

б) в виде разложения по собственным функциям.

Ядро исследуемого оператора K ( x, s ) = sin( x + s ) = sin x cos s + cos x sin s является вырожденным. Обозначим a1 ( x) = sin x, a2 ( x) = cos x, b1 ( s ) = cos s, b2 ( s ) = sin s и найдем элементы определителей Фредгольма kij = a j ( x) bi ( x) dx :

Искомая резольвента R( x, s, ) = т.е. ±, примет вид R( x, s, ) = б) Характеристические числа и собственные функции однородного уравнения y ( x) = sin( x + s ) y ( s ) ds были получены в примере 3.8: 1 = и нормированная функция y2 ( x) = (sin x cos x). Подставляя их в формулу для резольвенты в случае Заметим, что этот же результат был получен ранее методом последовательных приближений в случае «малого» (см. пример 4.7).

y ( x) = (C1 sin x + C2 ) + sin 2 x. Постоянные C1, C2 могут быть найдены из системы определяется неоднозначно: y ( x) = sin 2 x 1 + (sin x + 2).

однородного уравнения y ( x) = ( sin x sin s + s ) y ( s ) ds. Поэтому решение неоднородного уравнения оказалось не единственно, и определилось с точностью до собственной функции соответствующего однородного уравнения, отвечающей характеристическому числу 0 =.

Действительно, используя введенные выше обозначения, решение однородного уравнения представим в виде y ( x) = (C1 sin x + C2 ). Постоянные C1, C2 найдем из системы нетривиальное решение которой C1 = C, C2 = 2C существует при =.

Рекомендуем самостоятельно найти собственные функции однородного союзного уравнения z ( x) = ( sin x sin s + x ) z ( s ) ds и убедиться в выполнении условия разрешимости, т.е. ортогональности неоднородности f ( x) = sin 2 x всем собственным функциям однородного союзного уравнения, отвечающим характеристическому числу Пример 6.5.

записать в виде y ( x) = 2C x + x. Подставляя это выражение в предыдущую формулу, для y ( x) = 2 xs y ( s ) ds + x решений также не имеет.

Замечание. Элементарно устанавливается, что 0 = 2 является характеристическим числом y0 ( x) = C x. Так как ядро симметрическое, то 0 = 2 является также характеристическим числом однородного союзного уравнения с той же собственной функцией z0 ( x) = C x.

В рассматриваемом случае имеем = 2 = 0, т.е. совпадает с характеристическим числом однородного уравнения. При этом условие разрешимости (ортогональность неоднородности f ( x) = x всем собственным функциям однородного союзного уравнения) не выполнено.

Пример 6.6. Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма с симметрическим непрерывным (невырожденным) ядром интегрального оператора Фредгольма (см. пример 7.7), построить резольвенту интегрального оператора и записать решение неоднородного уравнения.

Исследовать разрешимость уравнения при различных значениях и найти решение, если оно существует, в следующих случаях:

ортонормированную систему n ( x) = 2 sin nx, запишем соответствующую формулу для резольвенты интегрального оператора Фредгольма с симметрическим ядром Тогда решение неоднородного уравнения примет вид Меняя порядок суммирования и интегрирования в последней формуле, получим решение в виде разложения в ряд по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма с симметрическим ядром ортонормированной системе n ( x) = 2 sin nx.

Если n = n 2 2 (n ), то неоднородное уравнение разрешимо при любой непрерывной функции f ( x). Используя полученные выше формулы и вычисляя соответствующие интегралы, имеем:

характеристических чисел, то ответ на вопрос о разрешимости уравнения зависит от конкретного вида функции f ( x).

В случае б) решение не существует ни при каких = n = n 2 2 (n ), так как f ( x) = x при любом n не ортогональна соответствующей собственной функции n ( x) = 2 sin nx однородного союзного уравнения (ядро симметрично, поэтому однородное союзное уравнение совпадает с исследуемым при f ( x) 0 ).

В случае а) необходимо рассмотреть два варианта.

При = 4 2, решение не существует, так как f ( x) = sin 2 x не ортогональна собственной функции 2 ( x) = 2 sin 2 x однородного союзного уравнения, отвечающей заданному = 2 = 4 2 ;

При = n = n 2 2 4 2 функция f ( x) = sin 2 x ортогональна собственной функции рассматриваемому = n = n 2 2, n 2, т.е. решение существует, но не единственно и С — произвольная постоянная. Меняя порядок суммирования и интегрирования, заметим, что все слагаемые в сумме при k 2 равны нулю, т.к. sin ks sin 2 s dx = 0 (k 2).

Поэтому, учитывая что 6.1 Построить резольвенту уравнений Фредгольма 2-го рода с симметрическим вырожденным ядром при значениях, не совпадающих ни с одним их характеристических чисел:

— через определители Фредгольма;

— в виде разложения по собственным функциям ядра:

Фредгольма 2-го рода:

и) При л) При единственно;

Собственные значения и собственные функции.

Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный оператор 2-го порядка Ly = p( x) q( x) y, где коэффициенты p( x), q( x), ( x) удовлетворяют условиям: p( x) непрерывно дифференцируемая, а q( x) и ( x) непрерывные на [a, b] Поставим вопрос: найти такие числа, при которых существует нетривиальное решение следующей краевой задачи ( 12 + 2 0, 12 + 22 0 ):

Эта задача называется краевой задачей на собственные значения и собственные функции для оператора Штурма-Лиувилля (сокращенно — задача Штурма-Лиувилля); числа n, при которых существуют нетривиальные решения, — собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями.

Обозначим G ( x, s ) функцию Грина краевой задачи Функция G ( x, s ) непрерывна по совокупности аргументов и симметрична, т.е.

G ( x, s ) = G ( s, x) ; она существует, если однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, т.е. = 0 не является собственным значением оператора L.

При этих условиях задача Штурма-Лиувилля может быть сведена к эквивалентной задаче на характеристические числа и собственные функции для интегрального оператора с непрерывным ядром G ( x, s ) ( s ). Если ( s ) 1, то ядро интегрального оператора не является симметрическим. Однако ядро уже является непрерывным и симметрическим.

существование функции Грина при условиях ( x ) 0, p ( x) 0, q ( x) 0 и получены следующие свойства собственных значений и собственных функций.

Теорема. Задача Штурма-Лиувилля эквивалентна задаче на характеристические Теорема. Собственные значения n задачи Штурма-Лиувилля вещественны и образуют бесконечную последовательность, причем n + при n.

Теорема. Каждое собственное значение задачи Штурма-Лиувилля имеет кратность единица.

Теорема. Собственные функции yi ( x), yk ( x) задачи Штурма-Лиувилля, отвечающие различным собственным значениям i, k, ортогональны на отрезке [a, b] с весом ( x), Теорема. (Стеклова). Любая дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] и удовлетворяющая однородным краевым условиям на его концах функция f ( x) представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда Фурье по ортонормированной с весом ( x) системе собственных функций задачи Штурмаb Лиувилля: f ( x) = f n yn ( x), где коэффициенты Фурье равны f n = f ( x) yn ( x) ( x) dx.

Теорема. Собственные значения первой краевой задачи Штурма-Лиувилля положительны. Имеет место следующая оценка снизу для наименьшего собственного значения:

Заметим, что перечисленные результаты остаются справедливыми и для второй краевой задачи если q( x) 0, (граничные условия имеют вид y(a) = 0, y(b) = 0 ), для третьей краевой задачи (граничные условия имеют вид y(a ) h1 y (a ) = 0, y(b) + h2 y (b) = 0, h1, h2 – положительные постоянные), а также для смешанных краевых задач, когда левом конце задается условие одного вида, а на правом другого.

Необходимо помнить, что для второй краевой задачи в случае q( x) 0, существует нулевое собственное значение, а остальные собственные значения положительны.

В некоторых случаях задача построения последовательности характеристических чисел и собственных функций интегрального оператора Фредгольма с непрерывным невырожденным ядром специального вида может быть сведена к задаче Штурма-Лиувилля (примеры 7.7 и 7.8) подпространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций из h[a, b], симметрическим.

Решение. Требуется доказать, для любых двух функций y ( x), z ( x) из указанного подпространства имеет место равенство ( Ly, z ) = ( y, Lz ), где скалярное произведение в h[a, b] введено обычным образом: ( y, z ) = y ( x) z ( x)dx.

Рассмотрим произвольные дважды непрерывно дифференцируемые на [a, b] функции y ( x), z ( x) такие, что y(a) = 2 y (a ), y(b) = 0 и z (a) = 2 z (a ), z (b) = 0. Тогда, интегрируя по частям и учитывая граничные условия, будем иметь:

( Ly, z ) = [( p( x) y( x)] z ( x)dx = [ py]z a p( x) y( x) z( x)dx = 2 p(a) y (a) z (a) p( x) y( x) z ( x)dx Сравнивая полученные выражения, заключаем, что для любых элементов рассматриваемого подпространства выполнено соотношение ( Ly, z ) = ( y, Lz ), что и требовалось доказать.

Замечание. Из полученного результата вытекает, что все собственные значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля вещественны.

Пример 7.2. Доказать, что все собственные значения третьей краевой задачи ШтурмаЛиувилля положительны, если оператор Ly = p( x) q( x) y, причем ( x ) 0, p ( x ) 0, Решение. Заметим, что все собственные значения — вещественны. Это следует из симметричности оператора при заданных граничных условиях, которая может быть установлена аналогично примеру 7.1.

Пусть — собственное значение задачи, а y ( x) 0 — соответствующая собственная функция, удовлетворяющая уравнению уравнение на y ( x) и проинтегрируем по отрезку [a, b] (первое слагаемое в левой части формулы интегрируется по частям):

Учитывая граничные условия получим Если y( x) const, то правая часть равенства положительна, следовательно 0 ;

если же считать y( x) const, то из граничных условий следует y ( x) 0, что противоречит сделанному выше предположению. Итак, 0, что и требовалось.

Пример 7.3. Найти собственные значения и собственные функции задачи ШтурмаЛиувилля Решение. В рассматриваемом случае имеем ( x ) = 1 0, p ( x) = 1 0, q( x) 0 x [0, l ], поэтому можно, действуя как в примере 7.2, установить, что все собственные значения действительны, причем одно из них 0 = 0, а остальные — положительны.

получаем y0 ( x) = C.

Дополнительные условия дают n =, n = 1, 2,3. а отвечающие им собственные функции yn ( x) = C cos x.

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан физического факультета _ Б. Б. Педько _ 2007 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для студентов 2 курса очной формы обучения специальности: 010700.62 – физика, 010704.65 – физика конденсированного состояния вещества, 010801.65 – радиофизика и электроника Обсуждено на заседании. »

«Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Гершанов В.Ю. Гармашов С.И. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Методы и алгоритмы структурно-физического моделирования элементов интегральных схем в диффузионно-дрейфовом приближении. Часть II для студентов дневного отделения физического факультета к спецкурсам Компьютерное моделирование задач радиофизической электроники, Избранные вопросы математического моделирования и. »

«Белорусский государственный университет Химический факультет Кафедра физической химии Л.А.Мечковский Л.М.Володкович Развернутая программа дисциплины “Физическая химия” с контрольными вопросами и заданиями Учебно-методическое пособие для студентов химического факультета специальности Н 03.01.00—химия Минск 2004 1 УДК. ББК. Рецензенты Кандидат химических наук доцент Г.С. Петров Кандидат химических наук доцент А.Ф. Полуян Мечковский Л.А., Володкович Л.М. Развернутая программа дисциплины. »

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ кафедра Мобилизационной подготовки здравоохранения и медицины катастроф Основы радиобиологии Учебно-методическое пособие Волгоград – 2010 УДК 615.9-0.53.2:614.1:31 Рекомендуется Учебно-методическим объединением по медицинскому и фармацевтическому образованию вузов России в качестве учебного пособия для системы профессионального образования студентов медицинских вузов УМО Авторы: кандидат. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Материаловедение. Технология конструкционных материалов Основной образовательной программы по специальности: 260704.65Технология текстильных изделий Благовещенск 2012 г. 1 УМКД разработан старшим преподавателем Волковой Натальей Александровной. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ М.И. Мазурицкий, Г.Э. Яловега Учебно-методическое пособие к практикуму по атомной физике Закон Мозли и рентгеновские характеристические спектры Ростов-на-Дону 2012 Методические указания разработаны кандидатами физико-математических наук, доцентами кафедры физики наносистем и спектроскопии. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Муромский институт (филиал) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Владимирский государственный университет Программирование на языке ассемблера Методические указания к лабораторному практикуму Часть 2 Составители: Бейлекчи Д.В. Калинкина Н.Е. Муром 2007 УДК 681.3. ББК 32.973 – 018. П Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры электроники и. »

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Физического материаловедения и лазерных технологий УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ФИЗИКА Для специальности 080502 Экономика и управление на предприятии (по отраслям) Благовещенск 2010 1 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. Рабочая программа учебной дисциплины 4 2. Краткое изложение программного материала 19 3 Методические указания (рекомендации) 4 4. Контроль знаний 1. РАБОЧАЯ. »

«Бюллетени новых поступлений – Ноябрь 2013 г. 1 В1 Стойлова Любовь Петровна. С 81 Математика: учебник для образов. учреждений, реализующих образов. прогр. высшего проф. образования (дисцип. Мат. по направ. 050100 Пед. образование, профиль подгот. Начал. образование) / Стойлова Любовь Петровна. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва: Academia, 2012. — 464с.: ил. — (Высшее профессиональное образование. Педагогическое образование). — (Бакалавриат). — (Учебник). — ISBN 978-5в пер.) : 696-15р. 2 В 11. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Физики Кафедра Химии и естествознания УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Основной образовательной программы по специальности 032301.65 — Регионоведение Благовещенск 2012 2 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. Рабочая программа учебной дисциплины 4 2. Краткое изложение. »

«1 7. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к теме Физико-химические (инструментальные) методы анализа Физико-химические методы анализа (ФХМА) основаны на использовании зависимости между измеряемыми физическими свойствами веществ и их качественным и количественным составом. Поскольку физические свойства веществ измеряются с помощью различных приборов – инструментов, то эти методы анализа называют также инструментальными методами. Наибольшее практическое применение среди ФХМА имеют: — электрохимические методы –. »

«Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Государственное высшее учебное заведение Национальный горный университет Методические указания к лабораторной работе № 6.1 ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ПОЛУПРОВОДНИКА г. Днепропетровск 2011 1 Методические указания к лабораторной работе № 6.1 Изучение зависимости сопротивления полупроводников от температуры и определение ширины запрещенной зоны полупроводника по. »

«1 ГОУ ВПО Кемеровский государственный университет Кафедра теоретической физики Учебно-методический комплекс по специализации Теоретическая физика Для специальности 010701 Физика Кемерово 2008 2 Содержание 1. Характеристика специализации Теоретическая физика. 1.1. Кафедра и руководитель специализации. 1.2. Научная деятельность кафедры, связанная с данной специализацией, гранты и достижения кафедры. 1.3. Потребности рынка труда и распределение специалистов специализации 1.4. Характеристика. »

«Авторы-составители А.Г. Сизых, Е.А. Слюсарева. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Проверка правила зеркальной симметрии спектров поглощения и люминесценции у растворов красителей: Метод. указания / Краснояр. гос. ун-т; Авт.-сост. А.Г. Сизых, Проверка правила зеркальной симметрии Е.А. Слюсарева. — Красноярск, 2002. – 22 с. спектров поглощения и люминесценции у растворов красителей Предназначены для студентов 4-го курса физического факультета. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра биохимии СТРУКТУРНАЯ БИОХИМИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ МИНСК 2011 1 УДК 577. 11 (112, 113, 114, 115). 15. 16. ББК в.р. Б Авторы О.И. Губич, Т.Н. Зырянова, Е.О. Корик, Т.А.Кукулянская, С.И. Мохорева, Д.А. Новиков, Н. М. Орл, И.В. Семак Рекомендовано Ученым советом биологического факультета 7. 09. 2011 г., протокол № Рецензенты: кафедра биохимии и биофизики УО Международный государственный. »

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра физической химии А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Курс лекций В двух частях Часть 1 МИНСК 2002 Автор-составитель Блохин А.В., кандидат химических наук. Рецензенты: кандидат химических наук Н.Н. Горошко; Л.М. Володкович. Утверждено на заседании Ученого совета химического факультета 29 марта 2002 г., протокол № 5. 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие представляет собой лекции по курсу Теория эксперимента для студентов IV курса. »

«Министерство образования и науки РФ АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ГОУВПО АмГУ) Учебно-методический комплекс дисциплины ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ по направлению подготовки 010600.68 – Прикладные математика и физика Утвержден на заседании кафедры теоретической и экспериментальной физики инженерно-физического факультета _ 20г., (протокол № от _20г. ) Зав. кафедрой Е.А. Ванина Печатается по решению редакционно-издательского совета инженерно-физического факультета Амурского. »

«Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского Д.А. Усанов, А.В. Скрипаль, С.Ю. Добдин ПРОГРАММИРОВАНИЕ МИКРОПРОЦЕССОРНЫХ СИСТЕМ Учебное пособие для студентов факультета нано- и биомедицинских технологий Саратов, 2014 2 Усанов Д.А., Скрипаль Ан.В., Добдин С.Ю. Программирование микропроцессорных систем: Учеб. пособие для студентов факультета нано- и биомедицинских технологий – Саратов. »

«Федеральное агентство по образованию Сыктывкарский лесной институт – филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова Кафедра автоматизации технологических процессов и производств ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПРОИЗВОДСТВА САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированного специалиста по направлению 651900 Автоматизация и управление. »

«9435 УДК 519.711; 378.4 ОПЫТ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СТУДЕНТАМ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА А.Ю. Ощепков Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, Данщина ул., 19 E-mail: aos57@mail.ru Ключевые слова: система автоматического управления, преподавание теории управления, физические исследования, применение теории управления в физике, Аннотация: В докладе излагается опыт преподавания теории автоматического управления студентам физического факультета. »

© 2013 www.diss.seluk.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Интегральные уравнения, Задачи и примеры с подробными решениями, Краснов М.И., Киселев А.И., Макаренко Г.И., 2003

Интегральные уравнения, Задачи и примеры с подробными решениями, Краснов М.И., Киселев А.И., Макаренко Г.И., 2003.

В настоящем учебном пособии авторы предлагают задачи по методам решения интегральных уравнений. В начале каждого раздела книги приводится сводка основных теоретических положений, определений и формул, а также подробно разбирается более 70 типовых примеров. В книге содержится 350 задач и примеров для самостоятельного решения, большинство которых снабжено ответами и указаниями к решению.
Пособие предназначено для студентов технических ВУЗов с математической подготовкой, а также для всех лиц, желающих познакомиться с методами решений основных типов интегральных уравнений.

Основная трудность применения метода последовательных приближений состоит в вычислении интегралов в формулах (7). Как правило, приходится применять формулы приближенного интегрирования. Поэтому и здесь целесообразно заменить данное ядро вырожденным с помощью тейлоровского разложения, а затем уже ввести метод итераций.

Рассмотрим одну задачу, приводящую к интегральному уравнению Вольтерра типа свертки.
Магазин покупает и продает различные товары. Предполагается, что:
1) покупка и продажа суть непрерывные процессы, и купленные товары немедленно поступают в продажу;
2) магазин приобретает каждую новую партию любого товара в таком количестве, какое он может продать в промежуток времени Т, один и тот же для всех покупок;
3) каждая новая партия товара распродается равномерно в течение времени Т.
Магазин начинает продажу новой партии товара, общая стоимость которого равна единице. Требуется найти закон y(t), по которому он должен производить покупки, для того чтобы стоимость наличного товара оставалась постоянной.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предварительные замечания 3
Глава 1. Интегральные уравнения Вольтерра 9
§ 1. Основные понятия 9
§ 2. Связь между линейными дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра 11
§ 3. Резольвента интегрального уравнения Вольтерра. Решение интегрального уравнения с помощью резольвенты 15
§ 4. Эйлеровы интегралы 21
§ 5. Интегральное уравнение Абеля и его обобщения 25
Глава 2. Интегральные уравнения Фредгольма 30
§ 6. Уравнения Фредгольма. Основные понятия 30
§ 7. Метод определителей Фредгольма 34
§ 8. Итерированные ядра. Построение резольвенты с помощью итерированных ядер 39
§ 9. Интегральные уравнения с вырожденным ядром 49
§ 10. Характеристические числа и собственные функции 54
§ 11. Решение однородных интегральных уравнений с вырожденным ядром 72
§ 12. Неоднородные симметричные уравнения 73
§ 13. Альтернатива Фредгольма 79
§ 14. Построение функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений 88
§ 15. Применение функции Грина для решения краевых задач 98
§ 16. Краевые задачи, содержащие параметр, и сведение их к интегральным уравнениям 101
Глава 3. Применение интегральных преобразований к решению интегральных уравнений 105
§ 17. Применение преобразования Фурье к решению некоторых интегральных уравнений 105
§ 18. Применение преобразования Лапласа к решению некоторых интегральных уравнений 111
1°. Интегральные уравнения Вольтерра типа свертки 111
2°. Системы интегральных уравнений Вольтерра типа свертки 114
3. Интегро-дифференциальные уравнения 116
4°. Интегральные уравнения Вольтерра с пределами (ж, +оо) 118
5°. Обобщенная теорема умножения и некоторые ее применения 120
§ 19. Применение преобразования Меллина к решению некоторых интегральных уравнений 123
Глава 4. Интегральные уравнения 1-го рода 128
§ 20. Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода 128
§ 21. Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода типа свертки 130
§ 22. Интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода 136
Глава 5. Приближенные методы решения интегральных уравнений 146
§ 23. Замена ядра интегрального уравнения вырожденным ядром 146
§ 24. Замена интеграла конечной суммой 151
§ 25. Метод последовательных приближений 154
1°. Интегральные уравнения Вольтерра 2-го рода 154
2°. Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода 159
3°. Интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода 161
§ 26. Метод Бубнова—Пшёркина 163
§ 27. Приближенные методы отыскания характеристических чисел и собственных функций симметричных ядер 165
1°. Метод Ритца 165
2°. Метод следов 167
3°. Метод Келлога 169
Ответы 174
Приложение. Специальные функции 188.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Интегральные уравнения, Задачи и примеры с подробными решениями, Краснов М.И., Киселев А.И., Макаренко Г.И., 2003 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу