Интегральные уравнения вольтерра первого рода примеры

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Интегральные уравнения вольтерра первого рода примеры

Перевод с английского
Б. В. БОЯРСКОГО и И. И. ДАНИЛЮКА

Под редакцией
И. Н. ВЕКУА
1957
INTERSCIENCE PUBLISHERS, INC., NEW YORK
INTERSCIENCE PUBLISHERS LTD., LONDON

ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА, 1960

Оглавление Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие к английскому изданию 6 Глава I. Уравнения Вольтерра 1.1. Задача механики, приводящая к интегральному уравнению 9 1.2. Интегральные уравнения и системы линейных алгебраических уравнений 11 1.3. Уравнения Вольтерра 14 1.4. L 2 -ядра и L 2 -функции 18 1.5. Решение интегральных уравнений Вольтерра второго рода 21 1.6. Уравнение Вольтерра первого рода 27 1.7. Пример 29 1.8. Интегральные уравнения Вольтерра и линейные дифференциальные уравнения 31 1.9. Уравнения типа свёртки 37 1.10. Поперечные колебания балки 42 1.11. Приложение к функциям Бесселя 49 1.12. Некоторые обобщения теории уравнений Вольтерра 56 1.13. Нелинейные уравнения Вольтерра 61 Глава II. Уравнения Фредгольма 2.1. Решение методом последовательных приближений: ряд Неймана 69 2.2. Пример 74 2.3. Уравнения Фредгольма с ядрами Пинкерле–Гурса 76 2.4. Теорема Фредгольма для ядер общего вида 87 2.5. Формулы Фредгольма 89 2.6. Численное решение интегральных уравнений 100 2.7. Решение задачи Дирихле методом Фредгольма 102 Глава III. Симметричные ядра и 3.1. Предварительные замечания и процесс ортогонализации 107 3.2. Приближение и сходимость в среднем 110 3.3. Теорема Рисса–Фишера 116 3.4. Полнота и замкнутость 119 3.5. Полнота системы тригонометрических функций и многочленов 126 3.6. Приближение общего вида 130 3.7. Метод Энскога 132 3.8. Спектр симметричного ядра 135 3.9. Билинейная формула 140 3.10. Теорема Гильберта–Шмидта и её приложения 145 3.11. Экстремальные свойства и оценки собственных значений 155 3.12. Положительные ядра; теорема Мерсера 162 3.13. Связь с теорией линейных дифференциальных уравнений 166 3.14. Критические скорости вращающегося вала и поперечные колебания балки 177 3.15. Симметричные уравнения Фредгольма первого рода 185 3.16. Приведение уравнения Фредгольма к уравнению Фредгольма с симметричным ядром 188 3.17. Некоторые обобщения 195 3.18. Колебания мембраны 199 Глава IV. Некоторые типы сингулярных и нелинейных 4.1. Общие замечания и примеры 207 4.2. Уравнения, содержащие интегралы в смысле главного значения по Коши, и преобразование Гильберта 213 4.3. Преобразование Гильберта на конечном интервале и уравнение профиля крыла самолёта 222 4.4. Сингулярные интегральные уравнения типа Карлемана 237 4.5. Общие замечания о нелинейных интегральных уравнениях 251 4.6. Нелинейные уравнения типа Гаммерштейна 257 4.7. Вынужденные колебания конечной амплитуды 272 Приложение I. Системы линейных алгебраических уравнений 278 Приложение II. Теорема Адамара 283 Упражнения 286 Литература 292

Я весьма польщён, что и эта моя книга будет опубликована на русском языке. Это особенно приятно для меня, ибо на русском языке имеется ряд хороших трактатов по интегральным уравнениям. Среди них, пожалуй, ближе всего к моей книге — книга С. Г. Михлина. Впрочем, эти две книги скорее дополняют друг друга, нежели конкурируют между собой. Действительно, в то время как я лишь слегка касаюсь приложений (сведя их к минимуму, неизбежному для понимания основных методов), в книге Михлина приложения занимают около двух третей объёма и представляют значительный самостоятельный интерес.

Напротив, я уделяю достаточно много места уравнениям типа Вольтерра, которые я излагаю независимо, несмотря на то, что их можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма. Делаю я это не только большой важности уравнений Вольтерра в теории дифференциальных уравнений, но в первую очередь из дидактических соображений, поскольку предварительное изучение этих уравнений является наилучшей подготовкой к успешному усвоению более трудных уравнений типа Фредгольма.

Интегральные уравнения были одной из первых областей математики, привлёкших к себе моё внимание, однако эта книга появляется только теперь, после ряда других книг. Почему? Да по той причине, что написание книги по интегральным уравнениям представляется довольно трудным делом, требующим многолетних размышлений.

В самом деле, такая книга должна удовлетворять двум не легко примиримым между собой требованиям. С одной стороны, чтобы облегчить применение теории к доказательствам существования, она должна содержать главные результаты теории, изложенные с достаточной общностью и в соответствии с современными нормами математической строгости. G другой стороны, она не должна быть настолько абстрактной, чтобы отталкивать физиков и инженеров, определённо нуждающихся в этом математическом орудии.

Удалось ли мне удовлетворить обоим требованиям? Это может решить только читатель. Я могу лишь надеяться, что если я и не всегда успешно справлялся с задачей доступного изложения трудных вопросов, то по крайней мере меня не смогут обвинить в искусственном усложнении простых вопросов, как это делается иногда в математических сочинениях.

В моём стремлении примирить общность с простотой большую услугу оказала идея, выдвинутая моим другом, проф. М. Пиконе (Picone M., Appunti di analisi superiore, Napoli, 1940.). Несмотря на то, что эта идея применялась уже Э. Шмидтом, одним из основателей теории интегральных уравнений, она до сих пор мало известна. Она позволяет при помощи ряда Неймана легко перейти от интегрального уравнения с «вырожденным» ядром к уравнению с ядром общего вида.

То здесь, то там, особенно в последней главе, специалист встретит новые факты, или же старые в новой форме: например, теория интегральных уравнений Вольтерра излагается в вместо пространства непрерывных функций. Однако, вообще, я избегал изменения традиционного материала, в изложении которого достигнута удовлетворительная систематичность. Кроме того, я считаю, что книга, подобная моей, должна содержать, за редким исключением, только вопросы и методы, уже достаточно хорошо установившиеся в рамках анализа. По этой причине я не использовал современных топологических методов функционального анализа; возможно это удастся сделать в последующих изданиях. Как это ни было неприятно, но во избежание разрастания объёма книги мне пришлось исключить из рассмотрения ряд вопросов; например, изложение применений интегральных уравнений с какой бы то ни было степенью полноты потребовало бы изложения значительной части математической физики и современной теории колебаний.

Эта книга писалась в расчёте на то, чтобы служить современным учебником по интегральным уравнениям для студентов, а также для всех лиц, имеющих дело с прикладной математикой. По этой причине я стремился обойтись минимумом математических знаний, требуемых от читателей; твёрдые знания основ дифференциального и интегрального исчислений и элементов теории функций вполне достаточны.

Книга состоит из четырёх глав, каждая из которых делится на несколько параграфов (последовательно пронумерованных 1.1, 4.7) и двух Приложений

Формулы пронумерованы последовательно в рамках каждого параграфа или Приложения и ссылка в том же параграфе делается только на их номер. В других параграфах к их номеру прибавляется номер параграфа. Например, (4.3.4) означает из § 4.3.

Я глубоко обязан моему другу который, со своей необыкновенной компетентностью в этой области, дал мне много ценных советов не только математического, но и языкового характера.

Я благодарен также мисс Р. Струик, потратившей много времени на отделку рукописи.