Интеллект карта показательные уравнения и неравенства

Показательные неравенства

О чем эта статья:

10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательных неравенств

Показательными считаются неравенства, которые включают в себя показательную функцию. Другими словами, это неравенства с переменной в показателе степени: a f(x) > a g(x) , a f(x) g(x) .

Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.

Для изучения этой темы стоит повторить:

И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.

Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а больше и меньше единицы. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.

При этом заметьте — значения а всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2 -2 = 4, 2 -4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.

Для любых а и х верно неравенство a x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.

Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:

• a f(x) > a g(x) f(x) > g (x), когда функция возрастает, т. е. а > 1;
• a f(x) > a g(x) f(x)

Как решать показательные неравенства

Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости.

Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:

Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:

Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:

Проверим, верно ли в таком случае х > 2.

0,5 3 = 0, 125 и т. д.

Как видите, на самом деле в этом случае х

Если а > 1, то a x > a n a > n, и при решении неравенства можно просто убрать одинаковые основания степени.

Если 0 x > a n a

Наконец, если рассмотреть случай, когда а х > 9

Логичное, на первый взгляд, предположение, что х > 2, не выдержит проверки, потому что:

Если продолжить этот ряд, знаки будут чередоваться, и наш корень будет попеременно то меньше, то больше 2. Поэтому для ясности всегда предполагается, что основание степени — положительное число.

Это были общие правила, а сейчас рассмотрим разные виды показательных неравенств и примеры с решениями.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Решая показательные уравнения, вы наверняка первым делом исследовали их на возможность приведения к одинаковым основаниям или одинаковым степенным функциям. Так вот, с неравенствами можно делать то же самое! Помните лишь о смене знака, если основание степени меньше единицы. И да пребудет с вами сила. 😎

Попробуем на примере несложного показательного неравенства с разными основаниями.

Пример 1

Поскольку 3 больше 1, знак не меняем:

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Снова давайте вспомним, как аналогичный метод применялся к показательным уравнениям. Если все переменные имели общий множитель, его можно было обозначить новой переменной — в итоге у нас, как правило, получалось квадратное уравнение. Нужно было лишь найти дискриминант и произвести обратную замену. И снова алгоритм решения показательных неравенств будет совершенно таким же.

Пример 1

Наименьший общий множитель в данном случае будет 3 х , обозначим его новой переменной у и перенесем все слагаемые в левую сторону.

(3 х ) 2 — 12 × 3 х + 27 х = у

y 2 — 12y + 27 х 1 х 2

Поскольку 3 > 1, мы не меняем знак.

1 2 x — 5 sinx + 2 2 — 5y + 2

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Как вы, наверное, помните из предыдущего курса алгебры, рациональные показательные неравенства — это такие, в которых левая и правая часть представляют собой дробно-рациональные функции. Метод их решения таков: нужно перенести все в левую часть, чтобы в правой остался лишь ноль, и привести к общему знаменателю. Далее решаем уравнение, отмечаем все корни на оси и применяем метод интервалов (если забыли, что это такое — повторите).

Важно помнить: если в числителе и знаменателе встретятся одинаковые множители с переменной, сокращать их нельзя.

Пример 1

Преобразуем неравенство указанным выше способом:

(обратите внимание, мы избавились от минуса в числителе и поменяли знак неравенства).

Поскольку выражение 2 х + 2 в любом случае будет больше нуля, мы можем смело его исключить из неравенства.

(2 х — 2) × (2 х — 1/2) × (2 х — 3) > 0

Пример 2

Обозначим 3 х через новую переменную y:

3 х = y, при условии что 3 х > 0.

Применим метод интервалов и получим:

Вернем на место нашу старую переменную:

Однородные показательные неравенства

Однородными называются такие показательные неравенства, где в каждом слагаемом сумма степеней одинакова.

Иногда такие выражения бывают очень длинными и запутанными, но не стоит этого пугаться. Практически все неравенства с однородными показательными функциями решаются по одному принципу: стараемся упростить выражение, разделив его на одночлен, а затем при необходимости делаем замену переменных.

Пример 1

4 х — 2 × 5 2х — 2 х × 5 х > 0

2 × 2 х — 2 × 5 2х — 2 х × 5 х > 0

В левой части неравенства мы видим однородные функции относительно 2 х и 5 х . Следовательно, можно разделить обе части на 2 2х или 5 2х . Выберем 5 2х , т. е. 25 х . В итоге у нас получится:

Если обозначить (2/5) х новой переменной y, получим квадратное неравенство:

Неравенства, решаемые графическим методом

Этот метод решения показательных неравенств — самый наглядный, и для многих он может показаться самым простым. Нужно лишь построить графики функций, заданных в левой и правой части выражения, а затем посмотреть, в какой точке они пересекаются. Если бы мы имели дело с уравнением, эта точка стала бы корнем.

Но поскольку мы рассматриваем неравенства, нужно будет выделить искомую область. Для неравенства f(x) > g(x) это будет та область, где график функции f(x) находится выше.

Пример 1

2 х х и 3 — х, а также точка их пересечения.

Очевидно, что точкой пересечения является х = 1, при этом график функции 2 х ниже в области от -∞ до 1.

Пример 2

Начертим графики этих двух функций, чтобы найти точку пересечения.

Искомой точкой будет х = -1, а областью, где функция (1/2) х находится выше — диапазон от -∞ до -1.

Технологическая карта урока математики «Показательные уравнения и неравенства»

Технологическая карта по математике на тему «Показательные уравнения и неравенства» предназначена для учителей, работающих в 11 классе по учебнику Мордковича А.Г.Алгебра и начала математического анализа для 10 — 11 классов.Карта урока соответствует всем требованиям ФГОС, содержит цели, задачи, тип урока,планируемые УУД (с учетом разделов «Ученик научится», «Ученик получит возможность научиться»).

Просмотр содержимого документа
«Технологическая карта урока математики «Показательные уравнения и неравенства» »

Технологическая карта урока по математике

«Показательные уравнения и неравенства»

Чаплыгина Галина Ивановна, учитель математики, МБОУ «СОШ№ 54» , г. Курска

Показательные уравнения и неравенства.

Педагогические цели урока

1.Образовательная цель: закрепление и при необходимости коррекция и тренинг алгоритмов и способов решения показательных уравнений и неравенств.

2.Деятельностная цель: формирование у учащихся способностей к рефлексии коррекционно-контрольного типа и реализации коррекционной нормы (фиксирование собственных затруднений, выявление их причин, построение и реализация проекта выхода из затруднений).

3.Воспитательная цель: способствовать формированию ответственного отношения к учению, готовности и мобилизации усилий на выполнение заданий; воспитывать культуру учебного труда, навыков самоконтроля и экономного расходования времени; развивать коммуникативные навыки.

Закрепление навыков решения показательных уравнений и неравенств; ликвидировать пробелы в знаниях по этой теме.

Развивать речь учащихся, их память и способность логически мыслить, анализировать полученные знания; развивать внимание и целеустремленность; укреплять интерес к математике.

Формировать умение работать в коллективе, осуществлять самоконтроль, прилагать волевые усилия в преодолении трудностей.

Профилактика переутомления с помощью смены видов умственной деятельности и подвижности на уроке;

Планируемые образовательные результаты (с учетом разделов «Ученик научится», «Ученик получит возможность научиться»)

Учащиеся научатся: решать показательные уравнения и неравенства базового уровня.

Учащиеся получат возможность научиться: решать показательные уравнения и неравенства повышенного уровня.

Регулятивные: учащиеся научатся контролировать и корректировать свои действия при решении заданий базового уровня; прилагать волевые усилия в преодолении трудностей;

Учащиеся получат возможность научиться планировать деятельность, направленную на решение заданий повышенной трудности.

Познавательные: учащиеся научатся применять на практике знания алгоритмов решения показательных уравнений и неравенств;

Учащиеся получат возможность научиться осуществлять творческую деятельность при решении заданий повышенного уровня сложности; выбирать наиболее эффективные способы решения.

Коммуникативные: учащиеся научатся осуществлять взаимоконтроль, самоконтроль, прилагать волевые усилия в преодолении трудностей;

Учащиеся получат возможность научиться выступать перед аудиторией, доказывать свою точку зрения на решение вопросов и толерантно относиться к мнению других учеников.

Ученик разовьет внимание, аккуратность, память, трудолюбие.

Ученик получит возможность развития целеустремленности, интереса к учению, самовоспитанию.

Условия реализации урока

Информационные ресурсы (в том числе ЦОР и Интернет)

Методические ресурсы (методическая литература, стратегическая технология и тактические технологии

А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа.10-11 класс. Учебник. – М.: Мнемозина, 2014.

А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская Алгебра и начала математического анализа.10-11 класс. Задачник. – М.: Мнемозина,

ЕГЭ 2015. 3000 задач с ответами по математике .Семенов А.П., Ященко И.В.

А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа.10-11.Методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2014.

Технология уровневой дифференциации, технология группового обучения.

Доска, компьютер, проектор, экран, две самостоятельные работы ;карточки с заданиями для учащихся, работающих в группах, тексты дифференцированной самостоятельной работы, карточки с таблицей для рефлексии.

Показательное уравнение, показательное неравенство.

Формы проведения урока

фронтальная работа, работа в разноуровневых группах, индивидуальная дифференцированная работа.

Этап мотивации (самоопределения) к коррекционной деятельности.

Цель: выработка на личностно значимом уровне внутренней готовности к коррекционной учебной деятельности.

Продолжительность: 3 минуты.

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов

Организует фронтальную беседу о теме, целях и плане урока.

Показывает слайды с темой и целями урока.

Обдумать важность этого урока для дальнейшего успешного обучения и подготовки к контрольной работе и к ЕГЭ.

Записывают тему урока в тетрадь.

Объясняют важность научиться решать показательные уравнения и неравенства для дальнейшего успешного обучения.

Сформировать осознанный интерес к теме урока.

Учащиеся получат возможность научиться целостно представить изучение темы.

Научатся обдумывать цель; осознать практическую и личностную значимость учебного материала.

Учащиеся получат возможность научиться высказывать мнение.

Этап актуализации и пробного учебного действия.

Цель: подготовка мышления учащихся и осознание ими потребности к выявлению причин затруднений при решении заданий базового уровня по теме урока.

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов

Организует самостоятельную работу; организует самопроверку учащимися своих работ по ответам с фиксацией полученных результатов (без исправления ошибок).

А. – 0,5; В. – 1,5; С. 1,5

Решают самостоятельную работу №1 в виде теста в программе « Mimio Studio». После каждого задания показывается ответ; учащиеся сверяют результаты своей работы.

Научатся контролировать степень усвоения знаний, умений и навыков решения базовых показательных уравнений и неравенств.

Учащиеся получат возможность научиться сформировать навыки успешно, точно, безошибочно и быстро выполнять решение заданий базового уровня.

Научатся осуществлять самоконтроль, прилагать волевые усилия в преодолении трудностей;

Учащиеся получат возможность научиться активизировать соответствующие мыслительные операции и познавательные процессы(внимание, память и т.д.)

Этап локализации индивидуальных затруднений, построения проекта коррекции выявленных затруднений, обобщения затруднений во внешней речи.

Цель: осознание учащимися места и причины собственных затруднений в выполнении изученных ранее способов решения базовых показательных уравнений и неравенств; постановка цели и способов коррекционной деятельности; закрепление способов решения заданий, вызвавших затруднения.

Продолжительность: 10 минут.

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов

Организует фронтальный опрос учеников для выявления затруднений и объяснения способов решения заданий, которые вызвали трудности, самопроверку учащихся по эталону.

Учащиеся, которые выполнили работу без ошибок, получают карточки с дифференцирован-

ными заданиями высокого и повышенного уровней.

Выявить и озвучить затруднения и объяснить способы решения заданий, которые вызвали трудности; исправить свои ошибки с помощью эталона (эталон смотрите в приложении).

Технологическая карта урока «Показательные уравнения и неравенства»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Технологическая карта урока по математике

«Показательные уравнения и неравенства»

Педагогические цели урока

1.Образовательная цель: закрепление и при необходимости коррекция и тренинг алгоритмов и способов решения показательных уравнений и неравенств.

2.Деятельностная цель: формирование у учащихся способностей к рефлексии коррекционно-контрольного типа и реализации коррекционной нормы (фиксирование собственных затруднений, выявление их причин, построение и реализация проекта выхода из затруднений).

3.Воспитательная цель: способствовать формированию ответственного отношения к учению, готовности и мобилизации усилий на выполнение заданий; воспитывать культуру учебного труда, навыков самоконтроля и экономного расходования времени; развивать коммуникативные навыки.

Систематизировать, обобщить , расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения показательных неравенств.

Развивать речь учащихся, их память и способность логически мыслить, анализировать полученные знания; развивать внимание и целеустремленность; укреплять интерес к математике.

Формировать умение работать в коллективе, осуществлять самоконтроль, прилагать волевые усилия в преодолении трудностей.

Профилактика переутомления с помощью смены видов умственной деятельности и подвижности на уроке.

Урок открытия новых знаний.

Планируемые образовательные результаты (с учетом разделов «Ученик научится», «Ученик получит возможность научиться»)

Учащиеся научатся: решать показательные неравенства базового уровня.

Учащиеся получат возможность научиться: решать показательные неравенства повышенного уровня.

Регулятивные: учащиеся научатся контролировать и корректировать свои действия при решении заданий базового уровня; прилагать волевые усилия в преодолении трудностей;

Учащиеся получат возможность научиться планировать деятельность, направленную на решение заданий повышенной трудности.

Познавательные: учащиеся научатся применять на практике знания алгоритмов решения показательных неравенств;

Учащиеся получат возможность научиться осуществлять творческую деятельность при решении заданий повышенного уровня сложности; выбирать наиболее эффективные способы решения.

Коммуникативные: учащиеся научатся осуществлять взаимоконтроль, самоконтроль, прилагать волевые усилия в преодолении трудностей;

Учащиеся получат возможность научиться выступать перед аудиторией, доказывать свою точку зрения на решение вопросов и толерантно относиться к мнению других учеников.

Ученик разовьет внимание, аккуратность, память, трудолюбие.

Ученик получит возможность развития целеустремленности, интереса к учению, самовоспитанию.

Условия реализации урока

Информационные ресурсы (в том числе ЦОР и Интернет)

Методические ресурсы (методическая литература, стратегическая технология и тактические технологии)

А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа.10-11 класс. Учебник. – М.: Мнемозина, 2014.

А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская Алгебра и начала математического анализа.10-11 класс. Задачник. – М.: Мнемозина,

ЕГЭ 2017. 3000 задач с ответами по математике .Семенов А.П., Ященко И.В.

А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа.10-11.Методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2014.

Технология уровневой дифференциации, технология группового обучения.

Доска, компьютер, проектор, экран, две самостоятельные работы ;карточки с заданиями для учащихся, работающих в группах, тексты дифференцированной самостоятельной работы, карточки с таблицей для рефлексии.

Показательное уравнение, показательное неравенство.

Формы проведения урока

Фронтальная работа, работа в разноуровневых группах, индивидуальная дифференцированная работа.