Интересные уравнения и системы уравнений

Изящные способы решения систем уравнений с двумя переменными второй степени

Разделы: Математика

Цели урока:

рассмотреть интересные способы решения систем уравнений с двумя переменными второй степени;
• продолжить работу по формированию у учащихся умений решать системы уравнений с двумя переменными различными способами;
• развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

Ход урока

Решение систем, содержащих два уравнения с двумя переменными второй степени весьма трудная задача, но в некоторых случаях системы могут быть решены с помощью простых и изящных приемов. Открыть некоторые из них – это цель сегодняшнего урока.

I. Проверка домашнего задания.

Решить систему уравнений способом подстановки и графически.

Первый ученик показывает решение системы уравнений:

(1)

— способом подстановки.

1) ху=-3;
2)

умножим обе части уравнения на ,получим:пусть и 0,тогда по теореме, обратной теореме Виета, получим:

Если z =9,то ,

z =1, то

-3,-1,1,3 отличны от нуля, значит, они являются корнями уравнения

3) Если то	то
то	то

Ответ:(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3)-решения системы (1).

Второй ученик показывает решение системы уравнений:

— графическим способом.

В одной системе координат построим графики уравнений: и ху= -3.

-графиком этого уравнения является окружность с центром в точке (0;0) и радиусом .

В треугольнике АВС,АВС =90°, АВ=1, ВС=3, АС=.

Длину отрезка АС= возьмем за радиус окружности .

ху=3; у=; — графиком этого уравнения является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных углах.

Графики изображены на рисунке 1.

Графики и пересекаются в четырех точках (они обозначены буквами А, В, С, Д), следовательно, данная система уравнений имеет четыре решения:

Интересно заметить, что решения данной системы симметричны. Точки С и В и А и Д симметричны относительно начала координат. Точки С и А и Д и В симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (прямой у=х), поэтому их координаты “меняются местами”.

II. “Открытие” новых способов решения этой же системы.

Для решения этой системы есть более изящные и красивые способы. Открыть их, понять и научиться применять — это цель нашего урока. Поставив цель мы в конце урока должны подвести итог нашей работе, для этого мы будем использовать идею Эдварда де Боно, которую он назвал “Шесть шляп — шесть способов мышления”- они нам и помогут с разных позиций проанализировать урок, работая в группах.

Работа в группах.

Решить систему новым способом (на работу 5-7мин.).

Свое решение на доске показывает одна из групп:

(1)

Система (1) “распадается” на две более простые системы:

(2)

(3)

Каждое решение системы (1) является решением хотя бы одной из систем (2) или (3).И каждое решение системы (2) и (3) является решением системы (1).

Системы (2) и (3) является симметричными, решим каждую из них:

(1)

(2)

Пусть и корни уравнения	Пусть и корни уравнения
и его корни, решения системы (1).	и его корни, решения системы (2)

Для того чтобы понять содержательную сторону приведенного решения, обратимся к графической иллюстрации. На рис.2 в одной системе координат показано графическое решение систем.

и

Каждая прямая х+у =2 и х+у =-2 пересекает гиперболу ху=-3 в двух точках, а всего мы имеем четыре точки пересечения (они обозначены буквами А, В, С, Д). Это те же точки, которые получились при пересечение гиперболы и окружности (смотри рис.1).

Еще один способ решения данной системы представил один из учеников, для которого это было домашнее индивидуальное задание.

Сложим почленно первое уравнение системы сначала с уравнением 2ху=-6,а затем с уравнением -2ху=6.Получим систему:

Из первого уравнения получаем, что

Из второго уравнения получаем, что

Рассматривая каждое уравнение первой строки совместно с каждым уравнение второй строки приходим к четырем системам линейных уравнений:

Решив каждую из них получим следующие решения исходной системы:

Решение проиллюстрировано графически на рис.3.

Теперь мы видим, что четыре прямые при попарном пересечении указывают нам те же самые точки, которые получились при пересечении окружности и гиперболы (смотри рис.1).

И еще разберем один из способов решения системы

Данная система является симметричной и решается она очень красиво с помощью введения новых переменных. Пусть , и учитывая, что ,получим:

Если u=-3, то или тогда получим:

и

Полученные системы тоже являются симметричными системами, которые мы уже решали. Итак,(3;1), (-1;3), (-3;1),(1;-3)-решения данной системы.

Мы рассмотрели пять различных способов решения одной и той же системы уравнений. Каждый выберет для себя способ, который ему больше всего понравился, самое главное — что каждый из Вас научился решать системы такого вида и поэтому эпиграфом урока могли служить слова Б.В.Гнеденко: “Ничто так не содействует усвоению предмета, как действие с ним в разных ситуациях”.

1 задание. Решить систему уравнений:

2 задание. На рисунке 4 построены: окружность парабола и прямая у=2х+10.Составьте всевозможные системы двух уравнений с двумя переменными и укажите их решения.

3 задание. Система уравнений. где b-произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Запишите конкретную систему, которая имела бы два решения. Проиллюстрируйте решение системы, графически на рисунке 5.

1 задание. Решить систему уравнений:

2 задание. На рисунке 6 построены кубическая парабола у=х, гипербола у= и прямая у=2х.

Составьте всевозможные системы двух уравнений с двумя переменными и укажите их решения.

3 задание. Система уравнений где b- произвольное число, может иметь одно, два, три или четыре решения, а также может не иметь решений. Запишите конкретную систему, которая имела бы одно решение. Проиллюстрируйте решение графически на рисунке 5.

IV. Подведение итогов урока.

Для анализа урока мы будем использовать идею Эдварда де Боно, которую он назвал “Шесть шляп”.

Зелёная шляпа-символ свежей листвы, изобилия и плодородия. Она символизирует творческое начало и расцвет новых идей.

Итак, первая группа ответит на вопросы: пригодятся ли нам знания, полученные на уроке, умения исследовать и находить различные способы решения систем уравнений?

Жёлтая шляпа — солнечный, жизнеутверждающий цвет. Она полна оптимизма, под ней живёт надежда и позитивное мышление.

Итак, вторая группа отметит какие положительные моменты были на уроке и обоснует свой оптимизм.

Белая шляпа — белый цвет беспристрастен и объективен. В ней “варятся” мысли, “замешанные” на цифрах и фактах.

Итак, третья группа должна изложить происходящее на уроке опираясь и подкрепляя свой ответ цифрами и фактами.

Красная шляпа-символ восприятия действительности на уровне чувств. В ней можно отдать себя во власть эмоций.

Итак, четвёртая группа постарается высказать свои эмоции по поводу данного урока.

Чёрная шляпа — черный цвет мрачный, зловещий, словом — недобрый. Это критика, доходящая до въедливости.

Итак, пятая группа должна высказать свое мнение о том, что получилось на уроке или что требует доработки.

Синяя шляпа — синий цвет холодный, это цвет неба. Синяя шляпа связана с организацией, обобщением того, что достигнуто.

Итак, шестая группа при подведении итогов урока должна указать, на что необходимо обратить внимание при изучении данной темы?

V. Домашнее задание.

А.П. Ершова, В.В. Голобородько “Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса” (разноуровневые дидактические материалы). С-9,стр. 19 (по уровням сложности)

Интересные уравнения и системы уравнений

Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = – 4, х₄ =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.

Эти загадочные уравнения

Окружная научная конференция учащихся

Эти загадочные уравнения

Наумов Виктор, ученик 6 класса

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

с. Красный Яр, 2013 г.

· Введение. Актуальность проблемы изучения способов решения

Глава 1. Исторические сведения…………………………………….4-8

Глава 2. Эти загадочные уравнения………………………………..8-15

2.1. Что мне было известно про уравнение………………………..8-9

2.2. Решение простейших уравнений …………………..……

2.3. Что я нового узнал об уравнениях из школьных учебников……………………………………………………………11-15

Глава 3. Что я нового узнал об уравнении из дополнительной

3.1. Тайное становится явным (исследование)………….……… 15-18

3.2. Способы решения уравнений……………………….……….. 18-20

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестной компоненты…………………………………………………….…………..18

б) Решение уравнений методом весов…………………………..18

в) Решение уравнений методом проб и ошибок………………..19

г) Решением уравнений методом перебора……………. 19

3.3 Математические фокусы…………………………………. 21-23

· Список использованной литературы……………………. 25

· Приложения. Задания для моих одноклассников

Введение. Актуальность проблемы

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить выражение, которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение для определения неизвестной величины. Кто и когда придумал уравнения? Кто ввёл неизвестные величины? Как решаются уравнения? Эти проблемные вопросы, думаю, интересны многим, в том числе и мне. Я высказал гипотезу, что существуют какие-то определенные способы решения уравнений и поставил перед собой цель:

• изучить способы решения уравнений

• углубить математические знания по этой теме

• расширить представления о математике как о языке описания окружающего мира

• изучить литературу и систематизировать материал по данной теме

• исследовать свойства преобразования уравнений

• выявить основные доступные способы решения уравнений

• выработать навыки поисково-исследовательской работы

• систематизация изученного материала

• классификация уравнений по способам их решения

Объект исследования: Уравнения

Предмет исследования: Способы решения уравнений

Слова уравнение и равенство имеют один и тот же корень. Да, и на самом деле, уравнение – это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

В начальной школе я научился решать самые простые уравнения, в пятом и шестом классах мы уже решали более сложные уравнения, а в старших классах я научусь решать разные виды уравнений. Существует целая наука алгебра, которая изучает различные виды уравнений и способы их решения. С алгеброй, как учебным предметом, мне предстоит встретиться только в седьмом классе.

Но мне не захотелось ждать седьмого класса. Из дополнительной литературы я решил узнать новое, интересное и загадочное об уравнениях. Поэтому тема моей работы «Эти загадочные уравнения».

Глава 1.Исторические сведения

Кто и когда придумал первое уравнение?

Задачи, которые довольно просто мы сегодня можем решить при помощи уравнений, решали хорошо обученные науке мудрецы, чиновники и жрецы ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные владели какими-то общими приёмами решения задач с неизвестными. Однако ни в одном папирусе, ни на одной глиняной табличке не дано описание приёмов. Авторы лишь изредка снабжают выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты верно нашёл!» В те времена не было ещё общепринятых теперь обозначений неизвестных буквами, а действий – знаками. Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначающее неизвестное число, но так как у них не было ещё знаков равенства и знаков действий, то записывать уравнения они, конечно, не умели. Уравнения записывались словами.

Но и в «словесной форме» уравнения существенно облегчали решение задач.

Первым придумал обозначение для

неизвестных греческий математик

Диофант, живший в III веке.

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешал проблем.

И засуху предсказывал, и ливни –

Поистине его познанья дивны.

Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней и переведена на русский язык.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки ещё не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые девять букв: обозначали числа от 1 до 9; следующие девять:обозначали числа от 10 до 90; наконец, следующие девять: обозначали числа от 100 до 900. чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами, обозначающими число, ставилась чёрточка. Букв в алфавите было 28, одна из них была особой – она обозначалась (сигма концевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать неизвестную величину, так же как мы обычно обозначаем её буквой х.

Придумав это, Диофант стал двигаться дальше. И вместо слова «получится» или «равняется» стал писать — две первые буквы слова («исос» — равный). Диофант придумал знак и для вычитания – им служила буква (пси), только перевёрнутая. А без знака сложения Диофант обходился довольно просто – слагаемые записывал рядом друг с другом. Придумал Диофант и два основных приёма решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. С этими приёмами я познакомлюсь при изучении математики в этом году.

Первым руководством по решению уравнений, получившим широкую известность, стал труд арабского учёного IX века Мухаммеда Бен Мус аль -Хорезми. Об аль – Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов по астрономии и географии. И самое главное – он написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мукабала» (Книга о восстановлении и противопоставлении). Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра. Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

Аль-Хорезми одним из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеется равенство 5х – 16 = 20 – 4х. Считая, что оно задаёт равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:

было 5х – 16 = 20 – 4х,

стало 5х = 36 – 4х.

После этой операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со знаком плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно так же на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х:

было 5х = 36 – 4х.,

Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой части оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х = 36 уже легко вычислить, что х = 4.

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число (если оно не нуль). Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль-Хорезми.

Новый великий прорыв в решении уравнений связан с именем французского учёного XVI века Франсуа Виета. Он первым из математиков ввёл буквенные обозначения для неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (х, у или z) мы обязаны соотечественнику Виета – Рене Декарту.

Таким образом, решению уравнений уделялось всегда большое внимание. В древности считалось, что уравнения связаны с тайной, которую нужно разгадать, найдя значение неизвестной величины. Людей, которые могли решать уравнения, считали мудрецами, посвященными в эту тайну, так как уравнения были связаны с решением житейских проблем.

Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы» С. Коваль

Сезам – заклинание в арабской сказке, силой которого раскрывалась тайная сокровищница.

Глава 2. Эти загадочные уравнения.

2.1.Что мне было известно про уравнение

В учебнике «Математика – 4, часть 2» в разделе «Справочный материал» на странице 92 про уравнение можно прочитать следующее:

« Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число в таком равенстве обозначают латинской буквой (например, х, а, b и др.). Решить уравнение – значит найти такое значение буквы, чтобы равенство стало верным. Например: 15 + х = 18 – уравнение. х = 3 – решение уравнения, так как 15 + 3 = 18 – верное равенство».

В учебнике Виленкина «Математика – 5», в п.10 на страницах 58-59 мы прочтём про уравнение почти то же самое.

Задача. На левой чашке весов лежит арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке – гиря в5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?

Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. Так как весы находятся в равновесии, то должно выполняться равенство х + 2 = 5.

Нужно найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3. Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.

Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. (Например, корнем первого уравнения х + 2 = 5 является число3).

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Таким образом, уравнение характеризуется двумя свойствами, которые легко определить на глаз, по внешнему виду: 1) уравнение – это равенство; 2) в этом равенстве есть буква.

2.2. Решение простейших уравнений

Пример 1. Решим уравнение х + 37 = 85.

Решение. По смыслу вычитания неизвестное слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого. Поэтому х = 85 – 37 , то есть х = 48.Число 48 является корнем уравнения х + 37 = 85, потому что 48 + 37 = 85.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример 2. Решим уравнение у – 94 = 18.

Решение. По смыслу вычитания у является суммой чисел 18 и 94. Значит, у = 18 + 94, то есть у = 112.Число 112 является корнем уравнения у – 94 = 18, так как верно равенство у – 94 = 18.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Пример 3. Решим уравнение 91 – z = 36.

Решение. По смыслу вычитания число 91 является суммой z и 36 , то есть z + 36 = 91. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое: z = 91 – 36, то есть z = 55.Число 55 является корнем уравнения 91 – z = 36, так как верно равенство 91 – 55 = 36.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Пример 4. Решим уравнение 35х = 175.

Решение. По смыслу деления имеем: х = 175 : 35, то есть х = 5. Число 5 является корнем уравнения 35х = 175, так как верно равенство 355 = 175.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Пример 5. Решим уравнение у : 8 = 16.

Решение. По смыслу деления у – произведение множителей 8 и 16. Значит, у = 168, то есть у = 128. Число 128 является корнем уравнения у : 8 = 16, так как верно равенство 128 : 8 = 16.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Пример 6. Решим уравнение 252 : z = 21.

Решение. По смыслу деления число 252 – произведение множителей 21 и z, то есть 21z = 252. Применяя правило нахождения неизвестного множителя, находим: z = 252 : 21, то есть z = 12. Число 12 является корнем уравнения 252 : z = 21, так как верно равенство 252 : 12 = 21.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Таким образом, при решении этих уравнений я использовал правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий (слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя).

Компонент — слово латинского происхождения, на русский язык переводится как составляющая часть, элемент чего-либо. По этим правилам мы решаем уравнения, начиная со второго класса.

2.3.Что я узнал об уравнениях из школьных учебников

При решении уравнений кроме способа нахождения неизвестного компонента, мы использовали еще второй способ, при котором упрощали выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойства сложения, вычитания и умножения.

Рассмотрю несколько заданий из учебника.

№ 000. Решите двумя способами уравнение:

а) (х + 98) + 14 = 169; б) (35 + у) – 15 = 31 .

Решу первое уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное слагаемое х + 98:

а потом найду слагаемое х: х = 155 – 98,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя сочетательное свойство сложения

а затем найду неизвестное слагаемое х:

Решу второе уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное уменьшаемое 35 + у:

а потом найду слагаемое у: у = 46 – 35,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойство вычитания: (35 + у) – 15 = 31,

а затем найду неизвестное слагаемое у:

№ 000. Решите уравнение:

а) 3х + 5х + 96 = 1568;

Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, упрощу левую часть первого и третьего уравнения, а распределительное свойство умножения относительно вычитания для второго и получу более простые уравнения. а) 8х + 96 = 1568;

б) 208z – 1843 = 11469;

После этого найду неизвестные компоненты: слагаемое, вычитаемое и множитель а) 8х + 96 = 1568,

х = 144. Ответ: 144.

б) 208z – 1843 = 11469,

208z = 11469 + 1843,

у = 167. Ответ: 167.

Еще в пятом классе я научился решать задачи с помощью уравнений.

Решу задачи из нашего учебника.

№ 000. Для школы купили 220 столов и стульев, причем стульев – в 9 раз больше, чем столов. Сколько столов и сколько стульев купили?

Решение. Пусть столов купили х штук, тогда стульев – 9х штук. Всего купили (х + 9х) штук, или 220. Получил уравнение: х + 9х = 220. Решу его. х + 9х = 220,

х = 22. Итак, купили 22 стола, тогда стульев – 229 = 198 .

№ 000(1). Первое число в 2,4 раза больше третьего, а второе число на 0,6 больше третьего числа. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 2, 4.

Решение. Пусть третье число равно х, тогда 2,4х – первое число, а второе х + 0,6 . Среднее арифметическое этих чисел (2,4х + х + 0,6 + х) : 3 по условию задачи равно 2,4. Составлю уравнение и решу его.

(2,4х + х + 0,6 + х) : 3 = 2,4,

4,4х + 0,6 = 2,43,

1,5 –третье число, тогда 1,5 + 0,6 = 2,1 – второе число и 1,52,4 = 3,6 – первое число. Ответ: 3,6; 2,1 и 1,5.

Я провел маленькое исследование и убедился, что в учебнике «Математика – 5» достаточно много заданий, связанных с решением уравнений. Это задания первого вида: «Решите уравнение», «Угадайте корни уравнения» или «Найдите корни уравнения» и задания второго вида: «Решите задачу с помощью уравнения», «Придумайте задачу по уравнению», «Решите задачу».

372, 374, 375, 376, 379, 380, 395, 396, 439, 442, 445, 446, 462, 464, 482, 483, 485, 487, 490, 491, 496, 504, 505, 523, 524, 525 , 551, 568, 569, 570, 574, 576, 592, 593, 614, 615, 635, 639, 647, 660, 707, 727,

878, 1018, 1022, 1036, 1042, 1058, 1107, 1127, 1165, 1210, 1236, 1238, 1251, 1268, 1326, 1329, 1348, 1358, 1362, 1373, 1379, 1389, 1441, 1459, 1489, 1517, 1752, 1817.

373, 377, 397, 410, 440, 447, 484, 486, 489, 512, 526, 571,

572, 577, 578,579, 580, 581, 582, 583, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 594, 602, 603, 607, 618, 619, 621, 622, 623, 624, 641, 643, 665, 669, 704, 705, 706, 726, 777, 837, 870, 871, 997, 1126, 1081, 1073, 1105,

1140, 1170, 1253, 1328, 1349, 1350, 1351, 1430,1460, 1461, 1462, 1463, 1490, 1491, 1558, 1559, 15 97, 1647, 1669, 1755, 1756, 1757, 1758, 1760, 1838, 1839, 1840.

То есть, 155 номеров всех заданий учебника, а их 1849, связаны с решением уравнений, то есть = 0, 083 829…. 8,4%. Но если учесть, что в данном учебнике первое задание, связанное с решением уравнения начинается с номера 372, то 1849 – 371 = 1478 и = 0, 10 487… 10%.

Теперь можно сделать вывод, что после изучения темы «Уравнение», каждое 10-е задание учебника требует умений решать уравнения. И это еще раз подчеркивает важность изучения темы «Уравнение»

Глава 3. Что я узнал об уравнении из дополнительной литературы.

3.1.Тайное становится явным (исследование)

Представьте, что в очень лёгком — практиче­ски невесомом — кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не за­глядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелёк на одну чашу рычажных ве­сов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потре­буется — столько же их и в кошельке.

В кошельке семь монет.

Весы — испытанный измерительный инструмент продавцов, химиков и аптекарей приходит на помощь и в чуть более сложном случае.

На левой чаше находящихся в равновесии весов лежат кошелёк с неизвестным числом монет и ещё 5 монет рядом с ним, а на правой чаше — 15 точно таких же монеток. Для того чтобы узнать, сколько монет в кошельке, снимем по 5 монет с обеих чаш — равновесие при этом не нарушится.

Следовательно, внутри кошелька 10 монет

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. В своём сочинении об уравнениях арабский учёный аль – Хорезми замечает, что равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число, если оно не равно нулю. Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль – Хорезми. Попробую и я воспользоваться этой палочкой, и насколько мне позволяют знания, исследовать и доказать, что аль – Хорезми был прав. Рассмотрю это на простом уравнении.

Проведу исследования и узнаю, на самом ли деле значение х = 19, останется везде одинаковым.

1) Прибавлю к обеим частям уравнения число 12, получу новое уравнение 2х + 28 + 12 = 66 + 12,

воспользуюсь правилом, что два соседних слагаемых можно заменять их суммой, тогда 2х + 40 = 78,

2) Вычту из обеих частей уравнения 16,

чтобы найти неизвестное уменьшаемое (2х + 28) нужно к разности прибавить вычитаемое 2х + 28 = 50 + 16,

1) Умножу обе части уравнения на 3,

(2х + 28) 3= 663,

воспользуюсь правилом, что при умножении суммы на число можно на него умножить каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить. 2х 3 + 28 3 = 198, применю правило, что от перестановки множителей произведение не изменяется, и получу 3 2х + 84 = 198,

4) Разделю обе части уравнения на 2,

(2х + 28) : 2 = 66 : 2,

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить 2х : 2 + 28 :2 = 66 : 2,

Вывод: значение корня не изменится, если :

— к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Эти правила применяются для решения уравнений методом весов.

3.2. Способы решения уравнений.

Из дополнительной литературы я узнал о некоторых способах решения уравнений, с которыми я разобрался, и они оказались мне понятными.

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестного компонента. Решение уравнений этим методом я подробно рассмотрел в главе 2.

б) Решение уравнений методом весов. Решение уравнений методом весов я рассматривал в главе «Исторические сведения».

Решу уравнения таким методом.

а) 4х – 9 = 2х + 11, в) 8х – 10 = 5х + 8,

из обеих частей уравнения из обеих частей уравнения

отнимем по 2х и прибавим 9, отнимем по 5х и прибавим 10,

получим уравнение получим уравнение

х = 20 : 2, х = 18 : 3,

Проверка. 4 10 – 9 = 2 10 + 11, Проверка. 8 6 – 10 = 56 + 8,

40 – 9 = 20 + 11, 48 – 10 = 30 + 8,

Ответ: х = 10. Ответ: х = 6.

Уравнения такого вида мы научимся решать в конце 6 класса, используя правила преобразования выражений, а пока их можно решать методом весов.

в) Решение уравнений методом проб и ошибок

а) Решите уравнение х (х + 3) = 70.

Никакие известные нам правила не помогают найти решение этого уравнения. Попробуем тогда подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

Нам надо найти такое число х, чтобы значение выражения х(х + 3) было равно 70. Попробуем подставить в это выражение, например, х = 4: 4 (4 + 3) = 28. Мы видим, что выбранное число х слишком мало.

Возьмём теперь х = 6: 6 (6 + 3) = 54, и снова выбранное значение мало, хотя ближе к искомому. А следующая попытка оказывается удачной: при х = 7, имеем 7 (7 + 3) = 70. Значит, при х = 7 данное в условии равенство верно.

Казалось бы, уравнение уже решено, но это не так: ведь может оказаться, что буквенное выражение равно 70 при разных значениях букв. Поэтому нужны некоторые дополнительные рассуждения. Если бы число х было больше 7, то число х + 3 было больше 10, и тогда произведение оказалось бы больше 70. Точно так же число х не может быть меньше 7, иначе произведение будет меньше 70. Следовательно, среди натуральных чисел, есть только одно решение этого уравнения. Ответ: х = 7.

Итак, метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, если уравнение представляет собой новый, не изученный ещё объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и ни одно не пропущено.

г). Решение уравнений методом перебора.

При решении уравнений методом проб и ошибок мы видели, что простой подбор одного неизвестного числа не даёт уверенности в том, что найдены все искомые значения. В этом состоит существенный недостаток метода проб и ошибок.

Указанного недостатка лишен другой метод решения уравнений – метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором рассматриваются все мыслимые возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и даёт решение уравнение.

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем просто перебор всех чисел по — порядку.

Например, глядя на уравнение х (х + 3) = 54, можно заметить, что его натуральные корни должны быть делителями числа 54. Значит, х может принимать лишь значения: 1, 2, 3,6, 9, 18, 27, 54. Подставляя эти числа вместо буквы х в уравнение, находим единственный корень х = 6.

Решим еще одно уравнение методом перебора.

Делители числа 20 – 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Можно проанализировать и сделать вывод, что среди натуральных решений могут быть только числа большие 3, но меньшие 7. такими числами будут 4 и 5. проверим это.

х = 4, 4( 4 –– 4) = 4 13 = 12.

х = 5, 5(5 – 2)(7 – 5) = 52 2 = 20.

х= 5 – корень уравнения.

Если бы мы не делали анализа, то нам нужно было проверить все 6 чисел. А если число имеет много делителей, то перебор вариантов может оказаться слишком громоздким. Не всегда удаётся подобрать корни уравнения, и тем более доказать единственность решения. Может оказаться, что среди натуральных чисел решения нет, а среди других чисел оно есть.

Именно поэтому математики всегда стремились найти общие решения различных классов уравнений.

3.3. Математические фокусы.

В этом разделе я хочу показать, как с помощью уравнений отгадывать математические загадки и показывать математические фокусы. Основной темой математических фокусов являются угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет фокусов в том, что «отгадчик» знает и умеет использовать особые свойства чисел, а задумавший этих свойств не знает. Математический интерес каждого фокуса и заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы. Рассмотрю один из математических фокусов. Фокусник предложил каждому из публики задумать число. Потом он сказал: «Прибавьте к задуманному числу 5. Теперь из результата вычтите 2. Теперь к результату прибавьте 7». Потом фокусник спросил у желающих, какое число получилось. Услышав ответ, он немедленно объявил каждому, какое число тот задумал. Этот фокус легко разгадать, если умеешь составлять и решать уравнения. Слева запишу задания «фокусника», а справа — выражения, которые он мысленно при этом составляет.

Задумайте число. Обозначаю его буквой х. Прибавьте к нему число 5. Получается число х + 5.

Из результата вычтите 2. Получается (х + 5) – 2.

К результату прибавьте 7. Получается ((х + 5) – 2) + 7. Скажите ваш результат. Допустим, он равен 17.

Приравнивая составленное выражение ((х + 5) – 2) + 7 к 17, получаю уравнение. ((х + 5) – 2) + 7 = 17, Упростим левую часть уравнения, воспользовавшись свойствами сложения и вычитания: ((х + 5) – 2) + 7 = (х + (5 – 2)) + 7 = (х + 3) + 7 = х + (3 + 7) = х + 10. Уравнение теперь получилось совсем простое : х + 10 = 17. Задуманное число х = 17 – 10, х = 7. Такие фокусы нетрудно придумать и самому. Например, эти два фокуса я придумал сам.

· Задумайте число, утройте его. Прибавьте к результату 10, а затем вычтите 1.Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 9 и результат разделить на 3).

· Задумайте число, прибавьте к нему 15, затем вычтите 7 и прибавьте задуманное число. Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 8 и результат разделить на 2).

Удивительной для непосвященных кажется способность отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые. Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычисть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (x-1)2 – x, где x – задуманное число. Раскрыв скобки, и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно x-2. Если ответ равен 23, то задумано число 21. Чтобы угадать задуманное число нужно от результата отнять 2

1.Задумайте число. Умножьте его на 3. К полученному прибавьте полученное разделите на 3. Скажите, сколько получилось?

Решение. (3х + 6) : 3 = х + 2. Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 2.

2. Задумайте число. Умножьте его на 4. Из полученного вычтите 3. Полученное умножьте на 3, К полученному прибавьте 5. Полученное разделите на 4. К полученному прибавьте 1. Скажите, сколько получилось? Решение. ((4х – 3)3 + 5) : 4 + 1 = (12х – 9 + 5) : 4 + 1 = ( 12х – (9 – 5)) : 4 + +1 = (12х – 4) : 4 + 1 = 3х – 1 + 1 = 3х – (1 – 1) = 3х – 0 = 3х.

Чтобы получить задуманное число, нужно названное число разделить на 3.

3. Задумайте число. Прибавьте к нему 3. Умножьте полученное на 6. Отнимите от полученного 3. Вычтите из полученного результата задуманное число. Полученное разделите на 5. Скажите”, сколько получилось?

Решение (( х + 3) 6 – 3 – х ) : 5 = ( 6х + 18 – 3 – х) : 5 = ( 5х + 15) : 5 = х + 3 . Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 3.

4. Задумайте любое число. Удвойте его. К полученному прибавьте 3. Полученное число умножьте на задуманное. От полученного результата отнимите задуманное. Полученное разделите на удвоенное задуманное число. Скажите, сколько получилось? Чтобы получить задуманное число, надо от названного числа отнять 1.

Очень эффектно выглядят фокусы на отгадывание даты рождения и возраста зрителей, особенно в малознакомой компании.

Возраст и дата рождения

Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам. Получив эти листочки, вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения. Придется поступать так: из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой. Первая грань справа даст возраст, вторая — число и третья — порядковый номер месяца рождения.

Работа над данной темой помогла узнать мне много нового из истории математики. Мне пришлось рассмотреть дополнительную математическую литературу, чтобы узнать что-то новое про уравнения, и я подтвердил гипотезу, что существуют различные способы решения уравнений.

Просмотрев все учебники по математики с 5 по 11 классы, я убедился в важности выбранной темы. В течение всех лет мы расширяем знания по теме «Уравнения». Я узнал решение более сложных уравнений с помощью правила

нахождения неизвестной компоненты и решение задач на составление уравнений, решал уравнения с применением их свойств, узнал названия уравнений: линейные, квадратные, дробно — рациональные, биквадратные, тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические уравнений.

Конечно, эти названия мне ни о чём не говорят, но я теперь знаю, какие бывают уравнения, и что со временем я научусь их решать.

Мне было интересно узнать, что уравнения и математические фокусы, которые сейчас могут решать ученики 5-6 класса, в древности были по силам только математикам и мудрецам. И что, используя известные мне свойства сложения и умножения, я смог провести исследования и доказал на простых уравнениях, что значение корня не изменится, если:

— к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Я научился решать более сложные уравнения, используя 4 способа, о них я прочитал в дополнительной литературе. При выполнении работы мне пришлось решить более 120 уравнений. Во время недели математики я показал математические фокусы в 5-х классах и в 3 – 4 классах.

Вместе с моим руководителем мы составили задания для одноклассников. Среди этих заданий есть те, для решения которых достаточно знаний, полученных на уроках. Но есть и такие уравнения, которые решаются новыми способами, о которых я рассказал в работе, то есть требуют дополнительных знаний. Это для тех ребят, кто захочет научиться решать уравнения, используя новые способы.

Я, думаю, что новые знания, которые я получил, пригодятся мне в дальнейшей учёбе. Все цели и задачи, которые я ставил перед собой, я выполнил.

Список использованной литературы

общеобразовательных учреждений. // М.: Мнемозина, 2005.

2. , БеленковаЕ. Ю. Математика 5 класс.

Задания для обучения и развития учащихся.// М.: Интеллект-

3. Математика: Учебник-собеседник для 5 – 6 классов средних школ//

Просвещение, 1989. (Б-ка учителя математики), стр.187

4. , и др. Математика. Учебник для 4 класса нач.

Школы в 2 ч. Ч. 2. (Второе полугодие) – М.: Просвещение, 2005.

5. Энциклопедический словарь юного математика //

Сост. . М.: Педагогика, 1985, стр.345

6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика // Ред. коллегия:

М. Аксёнова, В. Володин и др. – М.: Аванта, 2005, стр.237