Интересные задачи на квадратные уравнения 8 класс

Урок алгебры для 8-го класса по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Разделы: Математика

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цели урока:

Закрепить навыки решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений;
Развивать у учащихся внимание при чтении условия задачи и выборе способа решения уравнения;
Воспитание ответственности и коллективизма у учащихся.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, графопроектор, шесть конвертов с шестью карточками, на каждой из которых написана задача.

Структура урока:

Организационный момент: замена тетрадей, учащиеся рассаживаются по группам: 6 групп по 5-6 человек в каждой, группы составлены разноуровневые– 3 мин.
Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, сообщение темы, цели и задач урока -2 мин
Актуализация изученного материала:
- Вопросы:
- - Какое уравнение называется квадратным?
  - Что показывает дискриминант?
  - Формулы корней квадратного уравнения?
- Задания для устного решения Презентация 1 – 7 мин:
- - Решить уравнения;
  - Найти натуральный корень уравнения.
Решение задач (работа в группах):

Каждой группе предлагается конверт с 6 задачами. Набор задач у каждой группы одинаков. Каждый ученик выбирает себе задачу и решает ее. В первую очередь выбирать задачи № 1-5. Возможно советоваться с ребятами из своей группы. Учитель контролирует процесс и, в случае необходимости, оказывает помощь – 7 мин.
От каждой группы выходят по 1 человеку (те, кто раньше решил свою задачу) и оформляют свои решения на доске (3 чел.), на пленках для графопроектора (2 чел). Учитель контролирует, чтобы задачи были различны (задачи 1-5).
Весь класс сверяет свои решения с теми, которые представлены на доске. Те задачи, которых у учеников нет в тетрадях, они записывают. Для удобства текст проверяемой на доске задачи представлен в виде слайдов Презентации 2.
В ходе проверки задач, записанных на доске, остальные ребята, решавшие эти же задачи, вносят свои коррективы, если необходимо. Задачу 6 проверяет учитель в тетрадях, если есть время, то – разбор на доске. (15 мин.)

Подведение итогов урока, обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. (4 мин.)
Постановка домашнего задания: № 656, 651, составить свою задачу, аналогичную одной из решенных в классе, и решить ее. (2 мин)

Задачи (в порядке разбора их у доски):

1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?

Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х – 1) фотографии. Всего фотографий было х(х – 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:

х(х – 1) = 30
х 2 – х – 30 = 0,
D = 1 + 120 = 121,
х = ,
х₁ = – 5 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 6.

По смыслу ясно, что х – натуральное число, и существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 30. Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.

2. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?

Решение:
Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х – 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего было сыграно х(х – 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и решим уравнение:
х(х – 1) = 36,
х(х – 1) = 72,
х 2 – х – 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х₁ = 9,
х₂ = – 8 – не удовлетворяет смыслу задачи.

Рассуждения, аналогичные задаче 1.

9 приятелей участвовало в турнире.

Ответ: 9 приятелей.

3. Задача Диофанта (III в.)

Найти два числа. Зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.

Пусть х – одно из чисел, тогда второе число – (20 – х). Значит х(20 – х) – произведение этих чисел, что по условию задачи равно 96. Составим и решим уравнение:

х(20 – х) = 96,
20х – х 2 – 96 = 0,
х 2 – 20х + 96 = 0,
= 100 – 96 = 4,
х = 10 + 2,
х₁ = 12,
х₂ = 8.
12 – первое число, тогда 20 – 12 = 8 – второе число;
8 – первое число, тогда 20 – 8 = 12 второе число.

4. Решение Диофанта (показывает учитель):

Пусть числа 10 + х и 10 – х (сумма их равна 20), тогда (10 + х)(10 – х) – их произведение, что равно 96. Имеем:

(10 + х)(10 – х) = 96,
100 – х 2 = 96,
х 2 = 4.
х = + 2.
В обоих случаях искомые числа 12 и 8.

5. Задача Бхаскары, Индия, XII в.

Цветок лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Пусть глубина озера х ф., тогда длина стебля (х + ) ф. Учитывая, что цветок рос вертикально, составим и решим уравнение:
х 2 + 22 = (х + ) 2
х 2 + 4 = х 2 + х +
х = 3
3 фута – глубина озера.
Ответ: 3 ф.

6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Пусть х узлов – скорость второго корабля, тогда (х – 10) узлов – скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х – 10) миль соответственно, т.к. они идут в перпендикулярных направлениях, то, используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:

(2х) 2 + (2(х + 10)) 2 = 100 2
4х 2 + 4(х 2 + 20х + 100) = 10000
2х 2 + 20х + 100 = 2500
х 2 + 10х + 50 – 1250 = 0
х 2 + 10х – 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225
х = – 5 + 35
х₁ = – 40 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х₂ = 30
30 узлов – скорость корабля, идущего на север, тогда 30 + 10 = 40 (узлов) – скорость корабля, идущего на восток.

Ответ: 30 узлов и 40 узлов.

7. Два равных прямоугольника сложили так, что они образуют букву Т и их общей частью является меньшая сторона одного из прямоугольников. Периметр образовавшейся фигуры равен 42 м, а площадь каждого прямоугольника равна 27 м 2 . Найти стороны прямоугольников.

P = 3b + 3a + (b – a) = 4b + 2a, a = – 2b, S = ab
Пусть b см длина прямоугольника, тогда ширина прямоугольника ( – 2b) м, т.к. P = 42 м, то длина – (21 – 2b)м. Площадь прямоугольника b(21 – 2b), что по условию равно 27 м 2 . Составим и решим уравнение.
b(21 – 2b) = 27
21b – 2b 2 – 27 = 0
2b 2 – 21b + 27 = 0
D = 441 – 4 * 2 * 27 = 441 – 216 = 225
b =
b₁ = 9
b₂ = 1
Если 9 м – длина, тогда 21 – 2 * 9 = 3(м) – ширина.
Если 1м – длина, тогда 21 – 2 * 1 = 18(м) – ширина, что не удовлетворяет смыслу задачи.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 \Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -16 \\ x_2 = 11 \end \right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 \cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = \frac<36 \pm 6> <2>= \left[ \begin x_1 = 15 \\ x_2 = 21 \end \right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x \gt y$.

По условию $x-y = 9 \Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 \cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = \frac<9 \pm 27> <2>= \left[ \begin x_1 = -9 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Получаем две пары чисел: $ \left[ \begin <\left\< \begin x_1 = -9 \\ y_1=-9-9=-18 \end \right.> \\ <\left\< \begin x_2 = 18 \\ y_2 = 18-9=9 \end \right.> \end \right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 6 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 \Rightarrow n^2 = 196 \Rightarrow n = \pm \sqrt <196>= \pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Урок-игра «Следствие ведут знатоки» по теме «Квадратные уравнения»; 8 класс

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 17

«Следствие ведут знатоки»

Шапкина Зинаида Андреевна

Урок-игра «Следствие ведут знатоки» по теме «Квадратные уравнения»

Повторить и систематизировать изученный материал; проверить усвоение учащимися изученного материала в условиях дифференциации.

Развивать познавательную и исследовательскую деятельность учащихся через игровую деятельность, наблюдательность, внимание; формировать потребность приобретения знаний.

Воспитывать у учащихся трудолюбие, взаимоуважение, чувство товарищества.

Оборудование: индивидуальные карточки с заданиями в 4-х вариантах, карточки-плакаты.

Тип урока: систематизация и обобщение знаний.

Ребята, сегодня мы проведем урок в форме игры «Следствие ведут знатоки» он посвящён систематизации и обобщению знаний по теме «Квадратные уравнения».

Сегодня наш класс – следственный отдел. Вы, ребята – сотрудники отдела, т.е. следователи. Я – начальник отдела, а ученицы 11 класса – мои помощницы.

Сегодня утром следственный отдел получил заявление от директора школы, в котором он просит разыскать похищенные неизвестными лицами ценные математические фигуры (зачитывается заявление).

Ученикам 8 класса МБОУ СОШ №17

директора школы Каранатова Р.В.

10 февраля сего года из кабинета, где я проводил занятия, исчезли математические фигуры, которые имеют историческую ценность: они были изготовлены выпускниками нашей школы.

Прошу принять меры для розыска этих фигур.

P / S . На месте преступления преступники оставили насмешливое письмо, которое я передам той команде, которая лучше подготовится к розыску.

Поэтому, мне – как начальнику следственного отдела необходимо выделить следственную группу, которая будет заниматься поиском пропавших математических фигур. Мною создано две следственных группы, которые должны пройти конкурс на лучшую подготовку к следствию. Задания конкурсов – задачи по теме «Квадратные уравнения».

Конкурсы на лучшую подготовку к следствию.

Проверка быстроты реакции: 1) среди данных уравнений укажите: линейные, рациональные, квадратные полные, неполные, приведённые.

2) объясните назначение формул:

2 .Умение вести перекрёстный допрос.

(Один ученик каждого класса выбирается в качестве свидетеля. Команда противника задаёт ему вопросы по теме «Квадратные уравнения».)

Проверка теоретического материала ( по 4 вопроса каждой команде)

1.Сформулировать определение квадратного уравнения.

2.Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

3.Сформулировать определение целого рационального уравнения.

4.Сформулировать теорему, обратную теореме Виета.

1.Какое уравнение называется приведённым квадратным уравнением?

2.Сколько корней может иметь уравнение вида х 2 =а?

3. Сформулировать теорему Виета.

4. Сформулировать определение дробного рационального уравнения.

III . Проверка умения применять теоретические знания на практике. (Проверка проводится дифференцировано)

2.Составить квадратное уравнение, корни которого равны -5 и 2.

Произведение двух натуральных чисел равно 84.найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого

Турист 3 км прошёл по шоссе и 6 км по просёлочной дороге, затратив на весь путь 2 часа. По шоссе он шёл со скоростью на 2 км/ч большей, чем по посёлку. С какой скоростью шёл турист по просёлочной дороге?

Проверка логического мышления.

При каком значении в уравнение х 2 + вх + 16 =0 имеет один корень?

При каком значении в уравнение х 2 + вх + 9 =0 имеет один корень?

Умение проводить экспертизу.

Установить, являются ли числа 6 — и 6 + корнями уравнения

Победившая команда получает задачу (письмо – отправленное неизвестным).

Задача. В уравнении х 2 +рх – 58 =0 один из корней равен -29. Число р укажет номер кабинета, а второй корень номер шкафа от окна, в котором находятся математические фигуры.

Домашнее задание: № 593( б ), №613, повт. п.24-25

1. Алгебра: учебник для 8кл. общеобразовательных учреждений, авторы: Ю.Н.Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова; под редакцией С.А.Теляковского, М. Просвещение, 2009г.

2. Сборник диагностических работ по алгебре для 7- 8 классов. /Под редакцией Р. Б. Копелевич. Бречки М.А., Кузнецова О. В. — Краснодар: Просвещение – ЮГ: 2010 – 76с;

3. В.И.Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дидактические материалы по алгебре для 8кл., — М: Просвещение, 2008г.

Автор: Шапкина Зинаида Андреевна → zinaida50

—> 08.04.2013 0 6137 716

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Есть мнение?
Оставьте комментарий

Упражнения на технику чтения и понимания прочитанного

Тонкости и секреты работы в Яндекс.Почте

Как работать с детьми с СДВГ в обычном классе?

Интеллектуальная игра по информатике «Умницы и Умники»; 3 класс

2007-2022 «Педагогическое сообщество Екатерины Пашковой — PEDSOVET.SU».
12+ Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-41726 от 20.08.2010 г. Выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций.
Адрес редакции: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Адрес учредителя: 603111, г. Нижний Новгород, ул. Раевского 15-45
Учредитель, главный редактор: Пашкова Екатерина Ивановна
Контакты: +7-920-0-777-397, info@pedsovet.su
Домен: https://pedsovet.su/
Копирование материалов сайта строго запрещено, регулярно отслеживается и преследуется по закону.

Отправляя материал на сайт, автор безвозмездно, без требования авторского вознаграждения, передает редакции права на использование материалов в коммерческих или некоммерческих целях, в частности, право на воспроизведение, публичный показ, перевод и переработку произведения, доведение до всеобщего сведения — в соотв. с ГК РФ. (ст. 1270 и др.). См. также Правила публикации конкретного типа материала. Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Для подтверждения подлинности выданных сайтом документов сделайте запрос в редакцию.

Опубликовать урок
Опубликовать статью
Дать объявление
Подписаться на новости
Частые вопросы
сервис вебинаров —>

О работе с сайтом

Мы используем cookie.

Публикуя материалы на сайте (комментарии, статьи, разработки и др.), пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьми лицами.

При этом редакция сайта готова оказывать всяческую поддержку как в публикации, так и других вопросах.

Если вы обнаружили, что на нашем сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору — материалы будут удалены.

источники:

http://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/reshenie-zadach-s-pomoshchyu-kvadratnyh-uravnenij/

http://pedsovet.su/load/136-1-0-35867