Интерпретация параметров уравнения парной линейной регрессии

Уравнение парной линейной регрессии, интерпретация его параметров.

Корреля́ция — это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Корреляция может быть положительной и отрицательной (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин). Отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции отрицателен. Положительная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, приэтом коэффициент корреляции положителен.

Автокорреляция — статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени.

Метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными, называется корреляционным анализом.

Корреляционный анализ — метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков для установления между ними статистических взаимосвязей.

Цель корреляционного анализа — обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют. В самом общем виде принятие гипотезы о наличии корреляции означает что изменение значения переменной А, произойдет одновременно с пропорциональным изменением значения Б: если обе переменные растут то корреляция положительная, если одна переменная растёт, а вторая уменьшается, корреляция отрицательная.

Корреляция отражает лишь линейную зависимость величин но не отражает их функциональной связности. Например, если вычислить коэффициент корреляции между величинами A = sin(x) и B = cos(x), то он будет близок к нулю, т. е. Зависимость между величинами отсутствует. Между тем, величины A и B очевидно связаны функционально по закону sin2(x) + cos2(x) = 1.

Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна:контроль качества промышленной продукции, металловедение, агрохимия, гидробиология, биометрия и прочие.

Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных.

Регрессионный анализ — метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной. Параметры модели настраиваются таким образом, что модель наилучшим образом приближает данные. Критерием качества приближения (целевой функцией) обычно является среднеквадратичная ошибка: сумма квадратов разности значений модели и зависимой переменной для всех значений независимой переменной в качестве аргумента. Регрессионный анализ — раздел математической статистик ии машинного обучения. Предполагается, что зависимая переменная есть сумма значений некоторой модели и случайной величины. Относительно характера распределения этой величины делаются предположения, называемые гипотезой порождения данных. Для подтверждения или опровержения этой гипотезы выполняются статистические тесты, называемые анализом остатков. При этом предполагается, что независимая переменная не содержит ошибок. Регрессионный анализ используется для прогноза, анализа временных рядов, тестирования гипотез и выявления скрытых взаимосвязей в данных.

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками — парная линейная корреляция.

Практическое значение ее в том, что есть системы, в которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного признака. Измерение парных корреляций составляет необходимый этап в изучении сложных, многофакторных связей. Есть такие системы связей, при изучении которых следует предпочесть парную корреляцию. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связей для выполнения расчетов преобразуются в линейную форму.

Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

где у — среднее значение результативного признака > при определенном значении факторного признака х;

а — свободный член уравнения;

b — коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения — вариация у, приходящаяся на единицу вариации х.

При интерпретации уравнения регрессии чрезвычайно важно помнить о трех вещах. В первую очередь, а является лишь оценкой a, а b —оценкой b. По этой причине вся интерпретация в действительности представляет собой лишь оценку. Во-вторых, уравнение регрессии отражает только общую тенденцию для выборки. При этом каждое отдельное наблюдение подвержено воздействию случайностей. В-третьих, верность интерпретации зависит от правильности спецификации уравнения.

Парная линейная регрессия. Задачи регрессионного анализа

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие линейной регрессии. Парная линейная регрессия

Линейная регрессия — выраженная в виде прямой зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины. В отличие от функциональной зависимости y = f(x) , когда каждому значению независимой переменной x соответствует одно определённое значение величины y, при линейной регрессии одному и тому же значению x могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y.

Если в результате наблюдения установлено, что при каждом определённом значении x существует сколько-то (n) значений переменной y, то зависимость средних арифметических значений y от x и является регрессией в статистическом понимании.

Если установленная зависимость может быть записана в виде уравнения прямой

то эта регрессионная зависимость называется линейной регрессией.

О парной линейной регрессии говорят, когда установлена зависимость между двумя переменными величинами (x и y). Парная линейная регрессия называется также однофакторной линейной регрессией, так как один фактор (независимая переменная x) влияет на результирующую переменную (зависимую переменную y).

В уроке о корреляционной зависимости были разобраны примеры того, как цена на квартиры зависит от общей площади квартиры и от площади кухни (две различные независимые переменные) и о том, что результаты наблюдений расположены в некотором приближении к прямой, хотя и не на самой прямой. Если точки корреляционной диаграммы соединить ломанной линией, то будет получена линия эмпирической регрессии. А если эта линия будет выровнена в прямую, то полученная прямая будет прямой теоретической регрессии. На рисунке ниже она красного цвета (для увеличения рисунка щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши).

По этой прямой теоретической регрессии может быть сделан прогноз или восстановление неизвестных значений зависимой переменной по заданным значениям независимой переменной.

В случае парной линейной регрессии для данных генеральной совокупности связь между независимой переменной (факториальным признаком) X и зависимой переменной (результативным признаком) Y описывает модель

— свободный член прямой парной линейной регрессии,

— коэффициент направления прямой парной линейной регрессии,

— случайная погрешность,

N — число элементов генеральной совокупности.

Уравнение парной линейной регрессии для генеральной совокупности можно построить, если доступны данные обо всех элементах генеральной совокупности. На практике данные всей генеральной совокупности недоступны, но доступны данные об элементах некоторой выборки.

Поэтому параметры генеральной совокупности оценивают при помощи соответствующих параметров соответствующей выборки: свободный член прямой парной линейной регрессии генеральной совокупности заменяют на свободный член прямой парной линейной регрессии выборки , а коэффициент направления прямой парной линейной регрессии генеральной совокупности — на коэффициент направления прямой парной линейной регрессии выборки .

В результате получаем уравнение парной линейной регрессии выборки

— оценка полученной с помощью модели линейной регрессии зависимой переменной Y,

— погрешность,

n — размер выборки.

Чтобы уравнение парной линейной регрессии было более похоже на привычное уравнение прямой, его часто также записывают в виде

Уравнение парной линейной регрессии и метод наименьших квадратов

Определение коэффициентов уравнения парной линейной регрессии

Если заранее известно, что зависимость между факториальным признаком x и результативным признаком y должна быть линейной, выражающейся в виде уравнения типа , задача сводится к нахождению по некоторой группе точек наилучшей прямой, называемой прямой парной линейной регрессии. Следует найти такие значения коэффициентов a и b , чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей:

Если через и обозначить средние значения признаков X и Y,то полученная с помощью метода наименьших квадратов функция регрессии удовлетворяет следующим условиям:

прямая парной линейной регрессии проходит через точку ;
среднее значение отклонений равна нулю: ;
значения и не связаны: .

Условие метода наименьших квадратов выполняется, если значения коэффициентов равны:

Пример 1. Найти уравнение парной линейной регрессии зависимости между валовым внутренним продуктом (ВВП) и частным потреблением на основе данных примера урока о корреляционной зависимости (эта ссылка, которая откроется в новом окне, потребуется и при разборе следующих примеров).

Решение. Используем рассчитанные в решении названного выше примера суммы:

Используя эти суммы, вычислим коэффициенты:

Таким образом получили уравнение прямой парной линейной регрессии:

Составить уравнение парной линейной регрессии самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Найти уравнение парной линейной регрессии для выборки из 6 наблюдений, если уже вычислены следующие промежуточные результаты:

;

Анализ качества модели линейной регрессии

Метод наименьших квадратов имеет по меньшей мере один существенный недостаток: с его помощью можно найти уравнение линейной регрессии и в тех случаях, когда данные наблюдений значительно рассеяны вокруг прямой регрессии, то есть находятся на значительном расстоянии от этой прямой. В таких случаях за точность прогноза значений зависимой переменной ручаться нельзя. Существуют показатели, которые позволяют оценить качество уравнения линейной регрессии прежде чем использовать модели линейной регрессии для практических целей. Разберём важнейшие из этих показателей.

Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1 и в случае качественной модели линейной регрессии стремится к единице. Коэффициент детерминации показывает, какую часть общего рассеяния зависимой переменной объясняет независимая переменная:

— сумма квадратов отклонений, объясняемых моделью линейной регрессии, которая характеризует рассеяние точек прямой регрессии относительно арифметического среднего,

— общая сумма квадратов отклонений, которая характеризует рассеяние зависимой переменной Y относительно арифметического среднего,

— сумма квадратов отклонений ошибки (не объясняемых моделью линейной регрессии), которая характеризует рассеяние зависимой переменной Y относительно прямой регресии.

Пример 3. Даны сумма квадратов отклонений, объясняемых моделью линейной регрессии (3500), общая сумма квадратов отклонений (5000) и сумма квадратов отклонений ошибки (1500). Найти коэффициент детерминации двумя способами.

F-статистика (статистика Фишера) для проверки качества модели линейной регрессии

Минимальное возможное значение F-статистики — 0. Чем выше значение статистики Фишера, тем качественнее модель линейной регрессии. Этот показатель представляет собой отношение объясненной суммы квадратов (в расчете на одну независимую переменную) к остаточной сумме квадратов (в расчете на одну степень свободы):

где m — число объясняющих переменных.

Сумма квадратов остатков

Сумма квадратов остатков (RSS) измеряет необъясненную часть дисперсии зависимой переменной:

—

остатки — разности между реальными значениями зависимой переменной и значениями, оценёнными уравнением линейной регрессии.

В случае качественной модели линейной регрессии сумма квадратов остатков стремится к нулю.

Стандартная ошибка регрессии

Стандартная ошибка регрессии (SEE) измеряет величину квадрата ошибки, приходящейся на одну степень свободы модели:

Чем меньше значение SEE, тем качественнее модель.

Пример 4. Рассчитать коэффициент детерминации для данных из примера 1.

Решение. На основании данных таблицы (она была приведена в примере урока о корреляционной зависимости) получаем, что SST = 63 770,593 , SSE = 10 459,587 , SSR = 53 311,007 .

Можем убедиться, что выполняется закономерность SSR = SST — SSE :

Получаем коэффициент детерминации:

Таким образом, 83,6% изменений частного потребления можно объяснить моделью линейной регресии.

Интерпретация коэффициентов уравнения парной линейной регрессии и прогноз значений зависимой переменной

Итак, уравнение парной линейной регрессии:

В этом уравнении a — свободный член, b — коэффициент при независимой переменной.

Интерпретация свободного члена: a показывает, на сколько единиц график регрессии смещён вверх при x=0, то есть значение переменной y при нулевом значении переменной x.

Интерпретация коэффициента при независимой переменной: b показывает, на сколько единиц изменится значение зависимой переменной y при изменении x на одну единицу.

Пример 5. Зависимость частного потребления граждан от ВВП (истолкуем это просто: от дохода) описывается уравнением парной линейной регрессии . Сделать прогноз потребления при доходе в 20 000 у.е. Выяснить, на сколько увеливается потребление при увеличении дохода на 5000 у.е. Меняется ли потребление, если доход не меняется?

Решение. Подставляем в уравнение парной линейной регрессии x i = 20000 и получаем прогноз потребления при доходе в 20 000 у.е. y i = 17036,4662 .

Подставляем в уравнение парной линейной регрессии x i = 5000 и получаем прогноз увеличения потребления при увеличении дохода на 5000 у.е. y i = 4161,9662 .

Если доход не меняется, то x i = 0 и получаем, что потребление уменьшается на 129,5338 у.е.

Задачи регрессионного анализа

Регрессионный анализ — раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статистическим данным.

Наиболее частые задачи регрессионного анализа:

установление факта наличия или отсутствия статистических зависимостей между переменными величинами;
выявление причинных связей между переменными величинами;
прогноз или восстановление неизвестных значений зависимых переменных по заданным значениям независимых переменных.

Также делаются проверки статистических гипотез о регрессии. Кроме того, при изучении связи между двумя величинами по результатам наблюдений в соответствии с теорией регрессии предполагается, что зависимая переменная имеет некоторое распределение вероятностей при фиксированном значении независимой переменной.

В исследованиях поведения человека, чтобы они претендовали на объективность, важно не только установить зависимость между факторами, но и получить все необходимые статистические показатели для результата проверки соответствующей гипотезы.

Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента направления прямой парной линейной регрессии

Одна из важнейших гипотез в регрессионном анализе — гипотеза о том, что коэффициент направления прямой регрессии генеральной совокупности равен нулю.

Если это предположение верно, то изменения независимой переменной X не влияют на изменения зависимой переменной Y: переменные X и Y не коррелированы, то есть линейной зависимости Y от X нет.

рассматривают во взаимосвязи с альтернативной гипотезой

Статистика коэффициента направления

соответствует распределению Стьюдента с числом степеней свободы v = n — 2 ,

где — стандартная погрешность коэффициента направления прямой линейной регресии b 1 .

Доверительный интервал коэффициента направления прямой линейной регрессии:

Критическая область, в которой с вероятностью P = 1 — α отвергают нулевую гипотезу и принимают альтернативную гипотезу:

Пример 6. На основе данных из предыдущих примеров (о ВВП и частном потреблении) определить доверительный интервал коэффициента направления прямой линейной регресии 95% и проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента направления прямой парной линейной регрессии.

Можем рассчитать, что , а стандартная погрешность регрессии .

Таким образом, стандартная погрешность коэффициента направления прямой линейной регресии b 1 :

Так как и (находим по таблице в приложениях к учебникам по статистике), то доверительный интервал 95% коэффициента направления прямой парной линейной регрессии:

Так как гипотетическое значение коэффициента — нуль — не принадлежит доверительному интервалу, с вероятностью 95% можем отвергнуть основную гипотезу и принять альтернативную гипотезу, то есть считать, что зависимая переменная Y линейно зависит от независимой переменной X.

Интерпретация уравнения регрессии

Интерпретация регрессионных уравнений Существует два этапа интерпретации уравнения регрессии. Первый этап Уточнить, потому что уравнения интерпретируются устно Тот, кто не является статистиком. Во вторых это Нет необходимости решать, делать это или больше. Тщательное исследование зависимости. Оба этапа очень важны.

На втором этапе мы рассмотрим несколько поз А пока давайте обратим основное внимание на первый этап. Это объясняет Определяется регрессионной моделью функции спроса, то есть регрессией между расами Потребители переходят на еду (у) и располагаемый личный доход (х) Данные Отображается в графическом формате (рисунок 2.7). Предположим, что истинная модель описывается y = a + $ x + u, (2,41) И регрессионная оценка £ = 55,3 + 0,093 *. (2,42)

Данные приведены в таблице. Б.1 в США за период с 1959 по 1983 год. Людмила Фирмаль

Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом: коэффициент в х (коэффициент градиента) Единица у увеличивается на 0,093 единицы. х и у оба измеряются в мил Миллиарды долларов по фиксированной цене. Поэтому склон Если выручка увеличится на 1 миллиард долларов, 64 Питательные вещества увеличились на 93 миллиона долларов.

Это значит Из реальных долларовых доходов 9,3 цента тратятся на еду. Как насчет констант уравнения? Формально она Если x = 0, указывает уровень прогнозирования ^. Это ясно имеет смысл. Иногда нет. Если х = 0 достаточно далеко от значения выборки х, В этом случае буквальная интерпретация может привести к неверным результатам.

Даже если Линия регрессии является очень точным представлением наблюдаемого значения выборки. Нет гарантии, что то же самое произойдет с экстраполяцией влево или вправо. в 150 грамм 100 грамм 50 Стоимость пища 200 400 600 800 —100 • ”0 120—0 X доходов Рисунок 2.7. Зависимость расходов на питание от дохода (США, 1959-1983).

В рассматриваемом случае путем экстраполяции на вертикальную ось Если доход равен нулю, стоимость еды Сделал бы 55,3 миллиарда долларов. Такое толкование может быть правдоподобным в отношении Лица, которые могут тратить накопления пищи Кредиты или заемные средства. Тем не менее, это не имеет смысла, если По отношению ко всему.

В этом случае константа сделает единственное Функция: может определить положение линии регрессии на графике Поддельный. Примеры констант с ясным значением приведены в упражнении. Институт 2.1. При интерпретации уравнений регрессии очень важно помнить три Вещь. Во-первых, a является только оценкой a, а a b является оценкой (3. Интерпретация на самом деле просто оценка.

Во-вторых Уравнение регрессии отражает только общую тенденцию выборки. В то же время Индивидуальные наблюдения подвержены случайности. третий В этих случаях точность интерпретации зависит от точности спецификации уравнения. По сути, мы построили довольно простую зависимость от функции спроса Мы вернемся к этому в следующем разделе и уточнить.

Определяя как определения, так и статистические методы, используемые при измерении Коэффициент уравнения. В то же время читателям рекомендуется начать с Упражнение 2.4, определить путем проведения параллельных экспериментов Функция спроса на другие товары приведена в таблице. B.1. После оценки регрессии возникают следующие вопросы:

Есть ли способ определить точность оценки? Это очень важно Рост будет обсуждаться в следующем разделе. Сначала рассмотрим дальше Подробно объясните роль остаточного члена и его влияние на оценки a и p. Интерпретация уравнений линейной регрессии.

Представьте себе простой способ интерпретации линейных коэффициентов. Людмила Фирмаль

Уравнение регрессии у = а + бх Если есть простая естественная единичная переменная Измерение. Сначала увеличим х на 1 единицу ( Единица переменной х) увеличивается у в б (единица переменной у). Второй этап Проверка того, что собой представляет хна на самом деле, Замените слово «единица измерения» на фактическое количество.

Третий этап Проверка возможности более простого выражения результата Это может быть не очень удобно. В примере В этом разделе указана единица измерения для х и у Потому что миллиарды долларов были потрачены, Замечательное упрощение. Константа а дает предсказанное значение у (единица ^). х = 0 Это может иметь или не иметь смысла в зависимости от значения Конкретная ситуация. Упражнение 1 2.1.

Регрессия стоимости продуктов питания (на основе того же Данные, для которых уже описана функция спроса, описанная в тексте) Меню определено как f = 1 в 1959 году, t = 2 в 1960 году и т. Д. Нини: у = 95,3 + 2,53 /. Интерпретация в Сравнение результатов оценки регрессии с аналогом Аналогичные результаты для модели регрессии функции спроса Пожалуйста, смотрите текст.

В этом случае постоянная Есть простая интерпретация. 2.2. Регрессивная зависимость от одноразовой зависимости стоимости жилья 1 Упражнение 2.4 особенно важно в том смысле, что оно запускает серию регрессий для развлечения. Общий спрос. Это оценивается читателем на протяжении всей книги.

Если это упражнение Если это делается группой студентов, учитель должен дать студентам задания Товарные. Более подробная информация о доступных данных доступна в Приложении B.go Личный доход в соответствии с таблицей. B.1, оба количества Можно оформить миллиарды долларов с 1959 по 1983 В следующем формате: j> = -27,6 + 0,178х.

Регрессивная зависимость и определение стоимости жилья с течением времени То же самое, что и упражнение 2.1, можно выразить как: f = 48,9 + 4,84 г. Вот экономическая интерпретация этих регрессий. У них разные предложения Описание тех же данных в переменной y. Сколько они Вы можете согласиться? 2,3.

Создайте уравнение регрессии между p и e из данных упражнения 1.3, сначала используйте все 12 наблюдений, затем исключите наблюдения 1. Дает экономическую интерпретацию для Японии. 2,4. В таблице. B.1 — потребительские расходы США располагаемый личный доход за период 1959-1983 гг. Назовите один продукт — не еду, а не домашнюю Пропустите регрессию между y и x. х — располагаемый личный доход, использующий Данные за 25 лет.

Интерпретация коэффициентов регрессии 2.5. Таким образом, регрессия между характеристиками продукта и временем Мы сделаем это в упражнении 2.1. Правильная интерпретация и сравнение У нее есть интерпретация регрессии, полученная в упражнении 2.4. 2.6. Два человека строят один и тот же набор временных тенденций 25 наблюдений за переменной y с использованием модели: у = а + р / + и

Где t — время (принимает значения непрерывно от 1 до 25), а -case Член чаепития. Получите первое уравнение: j> = 6,70 + 1,79 /. Вторая по ошибке оценивает регрессию между / и у и этим уравнением По мнению: t = -0,25 + 0,44 >>. Из этого уравнения он получает: у = 0,57 + 2,27 /. Объясните это уравнение и несоответствие между уравнениями, Получено первым исследователем. 2,7.

Как изменяется регрессионный балл в упражнении 2.1 Фактическая дата (1959-1983) используется как / вместо числа из 1 до 25? 2,8. Исследователи, 1 Не начинайте сначала вычислять коэффициент регрессии. Заполнены большинство арифметических расчетов в упражнении 1.3. 2 Учителя являются учениками, если это групповое занятие.

Удар, чтобы дать задачу оценки регрессии различных видов товаров в дополнение к еде жилья.люги, основанные на данных АМЕ (у) и общем располагаемом личном доходе (х) Риканская экономика (обе измеряются в миллиардах долларов) Фиксированная цена) с использованием данных и модели временных рядов за год: y = a + px + u. 1.

Исследователь выполняет регрессионный анализ, чтобы получить уравнение. Используйте обычный метод наименьших квадратов. Если предположить, что Обе ценности могут быть значительно недооценены внутренней системой Личные счета за желание людей не платить налоги Правительство, исследователи принимают два альтернативных улучшения Недооцененная оценка. 2.

Исследователи добавляют $ 90 млрд к показателю каждый год >> и Показатель х 200 миллиардов долларов. 3. Исследователь увеличивает x и y на 10% Каждый год. Оценить влияние корректировок (2) и (3) на результаты рег. ressii. 2.9. Исследователи имеют общие годовые данные временных рядов.

Заработная плата (W), валовой доход (P) и валовой доход (Y) Для страны сроком на n лет. По определению Y = W + T1. Получите регулярное уравнение, используя метод наименьших квадратов Рссии: fr = a0 + aiY; ft = Z> 0 + bxY. Указывает, что коэффициент регрессии автоматически удовлетворяет Следующее уравнение: но х + * я = 1; * o + K = 0. Интуитивно объясните, почему так должно быть. 2.10.

Исследователи не имеют нестохастической части истинной модели у пропорционально х. y = $ x + u. Исходя из исходного принципа, выведите формулу b, оценка МНК б. В этом случае (2.31) указывает, что это можно записать следующим образом. S = bj] + b2J, xj -2 £ Xx,. > 7 Для этого b = 2, xiyi / Zxf. 2,11. Выведите оценку наименьших квадратов модели из первого предположения. у = а + у. 68 То есть у это просто сумма констант Случайные участники с нами. Сначала переопределите 5, а затем дифференцируйте Цитирование.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

источники:

http://function-x.ru/statistics_regression1.html

http://lfirmal.com/interpretaciya-uravneniya-regressii/