Инвариантность уравнений максвелла относительно преобразований лоренца

Фантазии о физической причине лоренцева сокращения, объясняющей инвариантность скорости света и пр

Всем известно об инвариантности скорости света в любой инерциальной системе отсчёта, но наука пока не может объяснить физику, т.е. природу механизма этого феномена.

Математическая же модель явления постулирует, что все процессы протекают в 4-х мерном пространстве-времени, в котором феномены СТО следуют из сохранения интервала событий при преобразованиях вращения системы координат. Вряд ли можно отрицать, что реальность как бы натягивают на математические конструкции. Причём то, что в оных почти сплошь важную роль играют мнимые числа, в реальности непредставимые, нисколько не умаляет успехов науки. Ещё Э.Мах говорил, что объяснения излишни, если наблюдаемые феномены хорошо описываются формулами. И не будем с этим эмпириокритицизмом спорить.

Математики изобретают абстракции и примеряют их к реальности. Отсюда Сингулярность, кротовые норы и пр. экзотика. А может стоит пофантазировать, например и о том, что изменится в наших представлениях о мире, если бы причиной лоренцева сокращения был некий гипотетически предполагаемый физический механизм. Почему бы нет?

1.Физическая причина лоренцева сокращения

Сначала выскажу такую, как бы очевидную, сентенцию, что частицы, атомы, молекулы взаимодействуют между собой посредством физических полей. Можно, конечно сказать, что они обмениваются квантовыми частицами, но мы сейчас играем на поле релятивистской теории, поэтому пока забудем о квантах. Итак, первое фантастическое допущение состоит в том, что именно благодаря взаимоуравновешиванию полевых воздействий частицы складываются в определённую конфигурацию и образуют тела. Если какая-то частичка отклонится от положения равновесия, то от неё побежит полевое возмущение, которое сдвинет остальные частицы, что, в свою очередь вызовет обратное полевое воздействие от них на эту частицу.

И, второе допущение, это что полевое возмущение распространяется в некоем общем пространстве с некоей определённой скоростью. А фантастичность этого допущения в том, что по науке поле существует само по себе в 4-х мерном пространстве-времени (П-В) и ни по чему не распространяется. В общем, сложно по науке… Мы предположим, что поля распространяются и существуют в едином 3-х мерном пространстве – в котором находимся мы, Земля и звёзды. Вроде бы сиё само собой разумеется и кто ж этого не знает, однако посмотрим что получится. Кому не интересно заморачиваться с формулами, могут ограничиться чтением только выделенного текста.

Итак, соглашаемся, что между частицами существует время взаимодействия, которое складывается из времени прихода к ним возмущения и времени возвращения отклика от них обратно. А в результате постепенно снова установится прежняя конфигурация тела.
Рис.1 Полевые воздействия, определяющие положение частицы
Для любой точки тела можно выделить группы точек, с которыми у неё будут равные времена взаимодействия и которые назовём изохронными с данной точкой. Ситуация отражена на рис.1. Естественно, что в покое сфера любого радиуса R _покоя вокруг точки является геометрическим местом точек (ГМТ) изохронных с ней.

Заметим, что движение частицы в каждый момент определяется суммой равнодействующих сил, которые прикладываются одновременно от совокупности всех изохронных с ней групп частиц. Попытаемся выяснить как изменится при движении тела поверхность ГМТ, образуемая совокупностью точек 2, 3 и т.д. с одинаковыми временами взаимодействия с точкой 1, которая может уже и не быть сферой.
Пусть точки 1 и 2 тела взаимно неподвижны и синхронно движутся вправо со скоростью V. Когда точка 1 находится в начале координат, посылается полевое возмущение к точке 2. Взаимное расположение точек при этом отмечено литерой A.
Рис.2 Схема полевых взаимодействий точек тела — туда и обратно
Когда возмущение достигнет точки 2, она пройдёт расстояние V∙t₁. Позиции точек при этом отмечены литерой B. За время возврата возмущения от точки 2 к точке 1, точка 2 пройдёт расстояние V∙t₂. Их новые позиции отмечены литерой C.

Формулы (1) описывают по теореме Пифагора расстояния на рис.2, а полученные из них (2) являются уравнениями для вычисления времён t₁ и t₂, значения которых даются формулами (3) и (4) для положительных значений корней, где β=V/c.

Формула (5) даёт значение времени взаимодействия от посылки возмущения до получения отклика.

Из (5) получим уравнение (6) для координат x и y геометрического места изохронных точек, с которыми одинаково время взаимодействия точки 1.
Формула (6) описывает эллипсоид, показанный на рис.3, сжатый вдоль направления движения (вдоль оси X) в √(1 ‑ β 2 ) раз, то есть соответственно формуле Лоренца. Точка 2 на поверхности сферы в покое, при движении сдвинется в положение 2′. При этом материальные точки, бывшие изохронными с точкой 1 в покое, останутся изохронными с ней и при движении.
Рис.3
Итак, при движении материальный объект сжимается по Лоренцу именно потому, что сжимается сама «картинка» физических полей обеспечивающая его целостность в пространстве.

Так как лоренцево сокращение одинаково для всех изохронных точек окружающих каждую точку объекта, то весь движущийся объект одинаково пропорционально сократится вдоль оси движения.

2.Вывод формулы замедления времени

Определим время взаимодействия при движении объекта по сравнению с временем взаимодействия в покое.
Формулы (7) связывают координаты точек при движении с их же координатами при покое в соответствии с
уравнением (6). В формуле (8) вычисляется время взаимодействия при покое. Формулы (9) и (10) получены из формулы (6) при подстановке в неё значений координат x и y и R_покоя из формул (7). Формула (11) эквивалентна (10). Формула (12), полученная из (11) при подстановке в неё левой части формулы (8), связывает времена взаимодействий при покое и при движении. В традиционной форме это отображено в формуле (13), где T₀ обозначен интервал времени между событиями в покоящемся объекте, а T – это интервал времени между теми же событиями в движущемся теле.
Итак, времена взаимодействия всех точек в движущемся объекте увеличиваются в одинаковой пропорции по Лоренцу по сравнению с временем взаимодействия при покое. Соответственно, вообще все процессы в движущемся объекте реально замедляются в таком же отношении.
Причину замедления времени легко понять, если учесть, что возмущение поля от задней из взаимодействующих частиц должно будет догонять переднюю по ходу движения. Когда скорость тела почти сравняется со скоростью света, догонять придётся долго, а при скорости тела равной скорости света, оно её не догонит никогда. Все изменения в теле прекратятся и время в нём как бы остановится.

3.Объяснение феномена постоянства скорости света и пр.

Проведём мысленный эксперимент. Пусть из последнего вагона поезда испускается импульс света, который принимается в его головном вагоне. Мы должны измерить время T₀, которое свет затратит на прохождение поезда известной длины L₀ в его собственной системе. При доказательстве будем использовать предположения об однородности и изотропности пространства, в частности предполагать одинаковые результаты измерения для первой и второй половин поезда, а также для направлений вперёд и назад. Но, строго говоря, эти предположения действенны только в пределах места и времени проведения эксперимента.

Рис.4. Мысленный эксперимент по определению скорости света в движущемся поезде
Для синхронизации момента посылки сигнала из последнего вагона поезда и начала отсчёта счётчика времени в его переднем вагоне используем стартовый импульс света из середины поезда в оба его конца.

Когда стартовый сигнал из середины поезда достигнет его хвоста (время t₁), будет послан импульс света. Когда стартовый сигнал достигнет головы поезда (время t₂), начнётся отсчёт времени до прибытия посланного импульса.
Когда свет распространяется к хвосту, то его скорость суммируется со скоростью поезда, когда к голове – скорость поезда вычитается. Получаем соотношения, приведённые ниже в формулах (1)-(6).
Время T = t₃ — t₂ – это временно́й интервал, который, по мнению наблюдателя в поезде, разделяет события момента посылки сигнала из конца поезда (от момента получения там стартового сигнала) и момента его получения в голове поезда.
Из (6) получим формулу (7), которую преобразуем к виду (8). Далее учтём, что все величины L, T и t здесь измерены в системе отсчёта стороннего наблюдателя в пространстве, где проходит мысленный эксперимент. Но при движении объекта в пространстве его длина, как доказано в гл.1, реально подвергается лоренцеву сокращению, а времена событий, как доказано в гл.2, во столько же раз реально замедляются, т.е. протекают длительнее чем в покое, что и отражено в формулах (9) и (10). Подставляя эти соотношения в формулу (8) для интервала T – времени прохождения света от хвоста до головы поезда, получим соотношение (11).
Но какое отношение эти T₀ и L₀ при покое имеют к собственным времени и длине для тех же событий, измеренным в инерциальной системе отсчёта (ИСО) связанной с движущимся поездом? Очевидно, что они им равны. Дело в том, что время и длина численно выражаются через отношение к эталонам. Соответственно, измерения временны́х и пространственных координат чего-то, сделанные при покое, будут численно равны измерениям того же, сделанным в движущейся ИСО, так как при движении значения и измерений, и эталонов, изменятся пропорционально.
Вопрос в том, как именно они изменяются при движении в пространстве. Мысленный эксперимент с поездом и доказывает, что изменяются они так, что численное значение измеренной в ИСО скорости света остаётся равным значению его скорости в пространстве. Вот именно это не являлось априори очевидным и требовало доказательства.
Мы видим, что «постулат постоянства скорости света» выводится из одного только факта лоренцева сокращения, которое математически выводится из зависимости расположения вещественной материи от скорости распространения и конфигурации физических полей в пространстве.
Для полноты картины определим также скорость света поперёк движения поезда, например между стенками вагона на расстоянии S₀ друг от друга. Для этого измерим время движения светового импульса (2·t₀) туда и обратно. Ввиду очевидной симметричности «туда» и «обратно» рассмотрим только «туда». В системе стороннего наблюдателя движение в пространстве происходит как показано на рис.5.
Отсюда имеем (с·t) 2 = S 2 +(V·t) 2 , откуда получаем t = S/(c·√(1 ‑ β²)), где β=V/c.
В системе поезда прошедшее собственное время t₀ связано с временем прошедшим в пространстве соотношением t = t₀/(√(1 ‑ β²)). Подставляя это выражение в формулу для t в пространстве получим t₀ = S/c.
Рис.5. Мысленный эксперимент по определению скорости света в движущемся поезде/

В собственной системе поезда для этого же t₀ мы имеем соотношение t₀ = S₀/c₀. Но поскольку поперечные размеры при движении не изменяются, т.е. S = S₀, получаем, что и c₀ = c.
Полагаю не нужно доказывать постоянство измеренной скорости света для произвольной ориентации луча, что лишь добавило бы неоправданной сложности. Считая доказанным инвариантность скорости света, нетрудно вывести и преобразования Лоренца (ПЛ), причём без какой-либо апелляции к уравнениям Максвелла или к математически абстрактному пространству Минковского.

4.Вывод преобразований Лоренца

Событие состоит в прибытии светового импульса в точку «E«, находящуюся в неизменных координатах x’ и y’ в системе отсчёта , движущейся со скоростью V относительно неподвижной ИСО , посланного в момент, когда точки O и O’ обеих СО совпадали.
Рис.6.

В собственной СО длине L, измеренной в СО , будет соответствовать координата x’. Для события справедлива система уравнений (1), решая которую получим (2), а затем (3) и (4).
Поскольку длины тел при движении сжимаются по Лоренцу, а скорость света, как доказано в гл.3, одинакова в любой СО, то для собственных x’ и t’ в СО справедливы соотношения (5). Подставив соотношения из (5) в (3) получим (6), а подставив их в (4) получим (7). В силу относительности движения можно считать движущейся систему , но тогда в (6) и (7) надо нештрихованные переменные заменить штрихованными, а скорость V следует взять с обратным знаком, либо просто решить систему относительно x и t.
В результате получим выражения (8) для канонического вида преобразований Лоренца координат и времени событий в разных ИСО.
При использовании ПЛ как чисто формального математического метода, физический механизм феноменов СТО остаётся непроявленным. Поэтому в моих предыдущих статьях о релятивистских эффекте Доплера и аберрации света, а также законах отражения от движущегося наклонного зеркала, ПЛ принципиально не использовались с целью демонстрации именно физической причины этих феноменов.

5.Обоснование принципа относительности и ограничения его применимости

Отметим, что если в покое на схеме рис.1 возмущение от точки 1 до ГМТ изохронных с нею точек приходило одновременно, то при движении, на схеме рис.2, это уже не выполняется. В каждой точке этого ГМТ отклик на возмущение будет создаваться в разные времена, но сойдутся они в точке 1 одновременно. Вопрос в том, будет ли результат от этого такой же как и в покое?

Выше было доказано, что в любой ИСО измеренные собственные времена и расстояния между всеми точками будут такие же, как в покое. Следовательно и количество периодов, например инициированной электромагнитной волны, между любыми точками будет таким же, как и в покое. Поскольку возмущение поля произвольной конфигурации может быть представлено разложением по ряду монохроматических гармоник, то соответственно конфигурации и напряжённости всех полей в собственной системе будут одинаковы им же при покое. Следовательно фазовые соотношения и синхронизация полей, образующих тело, не нарушаются, и все процессы в нём будут протекать как и при покое.

Именно это и провозглашает эйнштейновский «принцип относительности», и, как видим, он математически неизбежно выводится из двух допущений (см. гл.1), напомню: первое: что положение вещественных частиц определяется структурой полей, и второе, что распространение полей происходит с конечной скоростью.

То есть принцип относительности уже как бы вовсе и не априори всеобщий принцип, а следствие, и имеет понятные границы применимости. В частности, скорость света имеет смысл не мировой константы, а является конкретной скоростью света в конкретной области пространства. И кое-где может быть иной вследствие взаимодействия с местными физическими полями, например, гравитацией. Итак, имеем две альтернативы, которые имеют результатом совершенно одинаковые релятивистские формулы:

• первая, ортодоксальная и научная: требует постулировать априори истинным принцип относительности;
• вторая и фантастическая: предлагает признать зависимость положения вещественной материи от конфигурации и скорости распространения физических полей в пространстве, в том числе связанных с вещественными частицами

.
В первом случае феномены СТО не требуют объяснений, а их причины и механизмы остаются непознаваемы. Вопрос «Почему?» оказывается даже как бы вне науки.
Во втором, допущения вполне даже логичны и ничего постулировать не требуется, а «фантастичны» они лишь постольку, поскольку в науке приняты иные причины релятивизма. На вопрос «почему таковы феномены СТО?» здесь даётся наглядное и даже чуть ли не тривиальное объяснение. Зато возникает насущная потребность выяснить природу материи и в каких она отношениях с физическими полями.

Поэтому продолжим фантазировать дальше.

6.Вывод формулы E = Mc² и уравнений динамики

Сначала выясним, как преобразуются силы при релятивистских скоростях. Выделим в теле элемент объёма, на который действуют уравновешенные моменты сил. При движении тела продольный размер (вдоль траектории движения) выделенного элемента сократится в соответствии с коэффициентом Лоренца. Чтобы элемент остался в равновесии, точно в таком же соотношении должны увеличиться силы, перпендикулярные движению.
Рис.7.
Величина сил параллельных движению не изменится. Фактор зависимости сил от ориентации относительно направления движения следует учитывать при векторном разложении сил в следующих ниже формулах.

Заметим, что разгон тела до некоей скорости осуществляется приложенной силой, которая соответственно при том выполняет некую работу, чем увеличивает энергию тела. А чем в пространстве отличается разогнанное тело от находящегося в покое? Тем, что разогнанное сжато по Лоренцу. В гл.1 выводится формула для геометрического места точек (ГМТ), окружающих данную точку, с которой у них одинаково время взаимодействия физических полей. Это ГМТ оказывается эллипсоидом сжатым по Лоренцу в направлении движения. Обратим теперь внимание на то, что объём W этого эллипсоида уменьшается пропорционально лоренцеву сокращению. Это отражено в формуле (1) ниже. Вот теперь сделаем уже действительно фантастическое предположение, что при ускорении тела работа силы затрачивается на сжатие занимаемого им объёма пространства, который остаётся затем неизменным при свободном движении. По крайней мере, это предположение ничем не хуже научных сентенций, что пространство может искривляться или раздуваться.

Предположим, что эта энергия E обратно пропорциональна объёму, до которого его удалось сжать согласно формуле (2), или (3) после подстановки в неё (1).
E из (3) разложим в ряд Тейлора (4), откуда (5) – приращение энергии от скорости в первом приближении при малых скоростях. Но при малых скоростях оно же равно (6). Сравнивая (5) и (6), получим (7) и (8). Подставляя (8) в (3), получим (9), связывающее энергию тела в сжатом пространстве с его массой покоя.
Релятивистскую массу выразим формулой (10), откуда, подставляя (2), получим известное выражение (11), связывающее массу и энергию. Сравнивая (9) и (11), получим (12).
Масса является просто иной формулировкой энергии затраченной на сжатие пространства. И в этом смысле они эквивалентны. А вещество всего лишь «маркирует» занимаемый телом участок пространства.

Изменение полной энергии E системы, т.е. энергии сжатия пространства, в полном соответствии с ньютоновой классической механикой, равно работе приложенной силы как произведению силы на путь, а изменение импульса P системы равно произведению той же силы на время её действия. Эти зависимости отражены в формулах (13). После подстановки в них выражений для энергии из (11) и импульса P из формулы (14) получаем систему уравнений (15), которая в форме малых приращений записана в (16) в векторной форме. Затем, дифференцируя по времени, запишем систему дифференциальных уравнений (17), описывающих релятивистскую динамику. Силу F дифференцировать не надо, так как она внешняя и не зависит от вариаций переменных системы. Подставив в формулу (A) выражение для массы из (12), получим известную релятивистскую формулу прямолинейного движения (18).
Из системы уравнений (17) можно выяснить зависимость массы от скорости. Подставив F из формулы (B) в формулу (A) и разделив обе части равенства на c², при ускорении вдоль траектории движения, получим выражения (19) и (20). Откуда, интегрируя, получим выражение (21). Легко видеть, что оно эквивалентно прологарифмированному выражению (12) для релятивистской массы, где const равна логарифму от массы покоя m₀. Это значит, что именно такая зависимость массы от скорости обеспечивает соответствие энергии Mc² и импульса M·V, в формулах (16, 17). И отсюда также следует, что величина, принятая нами ранее за массу покоя, является не зависящей от скорости константой, как это и записано в исходных формулах (9). И значит верно наше предположение о зависимости энергии от степени сжатия пространства.

Конечно заявление о сжатии пространства не слишком убедительно. Если пространство предполагается пустым вместилищем частиц и тел, то как можно сжать пустоту? Пустота так и останется пустотой. Наука, правда, позволяет себе говорить об искривлении пустого пространства – формулы того требуют. Однако, строго говоря, её пространство является математической абстракцией.

Но мы вполне обоснованно можем предположить, что пространство не пусто, а заполнено некоей материей, которая, предположим, не в сжатом состоянии воспринимается нами как пустота. Когда же, например, она находится под напряжением сжатия, мы имеем вещественные частицы и тела. Когда оные в ней покоятся, то степень сжатия (энергия) участка этой материи соответствует массе покоя тела, а при его ускорении увеличивается и степень сжатия (энергия) тела, и соответствующая ему масса.

И вот в этой материальной среде вполне могут существовать и распространяться с конкретной скоростью физические поля определяющие местоположение и взаимодействие частиц (вплоть до «самых-самых» первичных – которые, продолжаем фантазировать, окажутся явлением фокусировки полей от окружающей их обстановки без которой они и не существуют), энергия покоя и движения которых определяется степенью сжатия занимаемого ими участка первоматерии. Собственно, уравнения релятивистской динамики как раз и описывают движение этих неоднородностей напряжений (вещественных тел) в первоматерии. Как мы могли видеть, при этом никаких противоречий с опытом Майкельсона и преобразованиями Лоренца не возникает.

максвелла уравнения

МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ

1. Краткая история

2. Каноническая форма

3. Максвелла уравнения в интегральной форме

4. Общая характеристика Максвелла уравнений

5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд

6. Алгебраические Максвелла уравнения

7. Материальные уравнения

8. Граничные условия

9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений

10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении

11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений

12. Лагранжиан для электромагнитного поля

13. Единственность решений Максвелла уравнений

14. Классификация приближений Максвелла уравнений

15. Максвелла уравнения в различных системах единиц

Максвелла уравнения — ур-ния, к-рым подчиняется (в пределах применимости классической ыакроскопич. электродинамики, см. Электродинамика классическая), электромагнитное поле в вакууме и сплошных средах.

1. Краткая история

Установлению M. у. предшествовал ряд открытий законов взаимодействий заряженных, намагниченных и токонесущих тел (в частности, законов Кулона, Био — Савара, Ампера). В 1831 M. Фарадей (M. Faraday) открыл закон эл—магн. индукции и примерно в то же время ввёл понятие электрич. и магн. полей как самостоят, физ. субстанций. Опираясь на фарадеевское представление о поле и введя ток смещения, равнозначный по своему магн. действию обычному электрич. току, Дж. К. Максвелл (J. С. Maxwell, 1864) сформулировал систему ур-ний, названную впоследствии ур-ниями Максвелла. M. у. функционально связывают электрич. и магн. поля с зарядами и токами и охватывают собой все известные закономерности макроэлектромагнетизма. Впервые о M. у. было доложено на заседании Лондонского Королевского общества 27 окт. 18(34. Первоначально Максвелл прибегал к вспомогат. механич. моделям «эфира», но уже в «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) эл—магн. поле рассматривалось как самостоят, физ. объект. Физ. основа M. у.- принцип близкодействия, утверждающий, что передача эл—магн. возмущений от точки к точке происходит с конечной скоростью (в вакууме со скоростью света с). Он противопоставлялся ньютоновскому принципу дальнодействия, сводящемуся к мгновенной передаче воздействий на любое расстояние Матем. аппаратом теории Максвелла послужил векторный анализ, представленный в инвариантной форме через кватернионы Гамильтона. Сам Максвелл считал, что его заслуга состоит лишь в матем. оформлении идей Фарадея.

2. Каноническая форма

Канонич. форма записи, принятая ныне, принадлежит Г. Герцу (H. Hertz) и О. Хевисайду (О. Heaviside) и основана на использовании не кватернионных, а векторных полей: напряжённости электрического поля E, напряжённости магнитного поля H, векторов электрической индукции D и магнитной индукции В. M. у. связывают их между собой, с плотностью электрического заряда и плотностью электрического тока J, к-рые рассматриваются как источники:

Здесь использована Гаусса система единиц (о записи M. у. в др. системах см. в разделе 15). Входящие в (1) — (4) величины E, D, j являются истинными, или полярными, векторами (а величина r — истинным скаляром), поля H к В — псевдовекторами, или аксиальными векторами. Все эти величины предполагаются непрерывными (вместе со всеми производными) ф-циями времени t и координат Следовательно, в ур-ниях (1) — (4) не учитывается ни дискретная структура электрич. зарядов и токов, ни квантовый характер самих полей. Учёт дискретности истинных источников может быть произведён даже в доквантовом (классич.) приближении с помощью Лоренца — Максвелла уравнений.

3. Максвелла уравнения в интегральной форме

Используя Гаусса — Остроградского формулу и С такса формулу, ур-ниям (1) — (4) можно придать форму интегральных:

Криволинейные интегралы в (1a), (2a) берутся по произвольному замкнутому контуру (их наз. циркуляция-ми векторных полей), а стоящие в правых частях поверхностные интегралы — по поверхностям, ограниченным этими контурами (опирающимся на них), причём направление циркуляции (направление элемента контура) связано с направлением нормали к S (вектор) правовинтовым соотношением (если в качестве исходного выбрано пространство с правыми системами координат). В интегралах по замкнутым поверхностям (S) в (3а), (4а) направление вектора элемента площади совпадает с наружной нормалью к поверхности; V — объём, ограниченный замкнутой поверхностью S.

M. у. в форме (1a) — (4a) предназначаются не только для изучения топологич. свойств эл—магн. полей, но и являются удобным аппаратом решения конкретных задач электродинамики в системах с достаточно высокой симметрией или с априорно известными распределениями полей. Кроме того, в матем. отношении эта система ур-ний содержательнее системы (1) — (4), поскольку пригодна для описания разрывных, нодиффе-ренцируемых распределений полей. Но в отношении физ. пределов применимости обе системы ур-ний равнозначны, т. к. любые скачки полей в макроэлектродинамике должны рассматриваться как пределы микромасштабно плавных переходов, с тем чтобы внутри них сохранялась возможность усреднения ур-ний Лоренца — Максвелла. С этими оговорками резкие скачки можно описывать и в рамках M. у. (1) — (4), прибегая к аппарату обобщённых функций.

Наконец, M. у. в интегральной форме облегчают физ. интерпретацию MH. эл—магн. явлений и поэтому нагляднее сопоставляются с теми экспериментально установленными законами, к-рым они обязаны своим происхождением. Так, ур-ние (1a) есть обобщение Био — Савара закона (с добавлением к току максвелловского смещения тока).

Ур-ние (2a) выражает закон индукции Фарадея; иногда его правую часть переобозначают через «магн. ток смещения»

где— плотность «магн. тока смещения», Ф В — магн. поток. Ур-ние (За) связывают с именем Гаусса , установившим соленоидальность поля В, обусловленную отсутствием истинных магн. зарядов. Впрочем вопрос о существовании магнитных монополей пока остаётся открытым. Но соответствующее обобщение M. у. произведено (Хевисайд, 1885) на основе принципа двойственной симметрии M. у. (см. в разделе 9), для чего в (2) и (2a) наряду с магн. током смещения вводится ещё и «истинный» магн. ток (процедура, обратная проделанной когда-то Максвеллом с электрич. током в первом ур-нии), а в ур-ние Гаусса (3), (За) — магн. заряд

где — плотность магн. заряда. Фактически все экспериментальные установки для регистрации ожидаемых магнитных монополей основаны на этом предположении. Наконец, ур-ние (4a) определяет поле свободного электрич. заряда; его иногда называют законом Кулона (Ch. A. Coulomb), хотя, строго говоря, оно не содержит утверждения о силе взаимодействия между зарядами, да и к тому же справедливо не только в электростатике, но и для систем с произвольным изменением поля во времени. На тех же основаниях иногда и ур-нпе (Ia) связывают с именем Ампера (A. Ampere).

4. Общая характеристика Максвелла уравнений

Совокупность M. у. (1) — (4) составляет систему из восьми (двух векторных и двух скалярных) линейных дифференц. ур-ний 1-го порядка для четырёх векторов Источники (скаляри вектор) не могут быть заданы произвольно; применяя операцию к ур-нию (1) и подставляя результат в (4), получаем:

или в интегральной форме:

Это ур-ние непрерывности для тока, содержащее в себе закон сохранения заряда для замкнутых изолнров. областей,- один из фундам. физ. принципов, подтверждаемых в любых экспериментах.

Ур-ния (1) — (4) распадаются на два самостоят, «блока»: ур-ния (1) и (4), содержащие векторы и источники и ур-ния (2) и (3) — однородные ур-ния для не содержащие источников. Ур-ння (2) и (3) допускают получение общего решения, в к-ромвыражаются через т. H. потенциалы электромагнитного поляПри этом ур-ние (3) «почти следует» из (2), т. к. операция (у), применённая к (2), даёт что отличается от (3) только константой, определяемой нач. условиями. Аналогично ур-ние (4) «почти следует» из (1) и ур-ния непрерывности (5).

Система M. у. (1) — (4) не является полной: по существу, она связывает 4 векторные величины двумя векторными ур-ниями. Её замыкание осуществляется путём добавления соотношений, связывающих векторы 1-го «блока»с векторами 2-го «блока» Эти соотношения зависят от свойств сред (материальных сред), в к-рых происходят эл—магн. процессы, и наз. материальными ур-ниями (см. раздел 7).

5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд

В силу линейности системы (1) — (4) для её решений справедлив суперпозиции принцип .Часто оказывается удобным фурье-представление общего решения (1) — (4) как ф-ции времени (см. Фурье преобразование). Записывая временной фактор в виде , для комплексных фурье-амплитуди т. д.) получаем систему ур-ний

Система (1б) — (4б) в нек-ром смысле удобнее (1) — (4), ибо упрощает применение к эл—динамич. системам, обладающим временной дисперсией (см. раздел 7), т. е. зависимостью параметров от частоты

6. Алгебраические Максвелла уравнения

Если распространить (в силу линейности M. у.) фурье-разложение и на зависимость полей от пространственных координат, т. е. представить общее решение ур-ний (1) — (4) в виде суперпозиции плоских волн типа (k — волновой вектор), то для фурье-компонентов нолейk и т. д.) получим систему алгебраич. ур-ний:

Такое сведение M. у. к набору ур-ний для осцилляторов (осцилляторов поля) составляет важный этап перехода к квантовой электродинамике, где эл—магн. поле рассматривается как совокупность фотонов, характеризуемых энергиями и импульсами Однако и в макроэлектродинамике представления (1в) — (4в) оказываются иногда вполне адекватными физ. сущности процессов: напр., при выделении откликов высокодобротных систем (см. Объёмный резонатор) или при изучении «механизма формирования» мод со сложной пространственной структурой из набора плоских волн и т. п. Наконец, M. у. в форме (1в) — (4в) удобны для описания свойств эл—динамич. систем, обладающих не только временной, но и пространственной дисперсией, если последняя задаётся в виде зависимости параметров от волнового вектора k.

7. Материальные уравнения

В макроэлектродинамике материальные связи, характеризующие эл—магн. свойства сред, вводятся феноменологически; они находятся либо непосредственно из эксперимента, либо на основании модельных представлений. Существуют два способа описания: в одном векторы E и H считаются исходными и материальные ур-ния задаются в виде D = D(E , H) и В = В( Е,Н), в другом — за исходные берутся векторы 2-го «блока» E и В, и соответствующие материальные связи представляются иначе: D = D(E,В), H= H(E, В). Оба описания совпадают для вакуума, где материальные уравнения вырождаются в равенства D = E и B = H.

Рассмотрим простейшую модель среды, характеризуемую мгновенным, локальным поляризац. откликом на появляющиеся в ней поля E и H. Под действием поля E в такой среде возникает электрич. поляризация (см. Поляризации вектор), а под действием поля H — магн. поляризация . Чаще её наз. намагниченностью и обозначают М.

Материальные ур-ния для таких сред имеют вид

При этом индуцированные в среде электрич. заряды наз. связанными или поляризац. зарядами с плотностью , а токи, обусловленные их изменениями,- поляризац. токами с плотностью:

Эти понятия были перенесены и на магн. поля, что можно выразить в виде системы ур-ний, аналогичной

и только потом выяснилось, что истинными источниками намагничивания среды оказались электрич. токи , а не магн. заряды. Поэтому терминология сложилась на основе физически некорректной системы

тогда как следовало бы принять беззарядовые ур-ния

что равносильно замыканию исходных M. у. (1) — (4) с помощью материальных связей

Из (6) и (7a) следует, что 2-й вариант представления материальных соотношений, в к-ром постулируются в качестве исходных векторы E и B, физически предпочтительнее.

В модели Лоренца — Максвелла усреднение микрополя Нмикро, произведённое с учётом вклада со стороны индуциров. полей, приводит к ур-ниям (9) и соответственно = В. Однако обычно параметры сред вводятся с помощью ур-ний (7), что облегчает двойственную симметризацию ф-л (подробнее см. в разделе 9). Напр., скалярные восприимчивости сред (c e , c m ) определяются соотношениями

Простейшие модели сред характеризуются пост, значениямиВ случае вакуума0.

Классификация разл. сред ооычно основывается на материальных ур-ниях типа (10) и их обобщениях. Если проницаемости e и m не зависят от полей, то M. у. (1) — (4) вместе с материальными ур-ниями (10) остаются линейными, поэтому о таких средах говорят как о линейных средах. При наличии зависимостейсреды наз. нелинейными: решения M. у. в нелинейных средах не удовлетворяют принципу суперпозиции. Если проницаемости зависят от координат то говорят о неоднородных средах, при зависимости от времени — о нестац попарных средах (иногда такие эл—динамич. системы наз. параметрическими). Для анизотропных сред скаляры e, m в (10) заменяются на тензоры: (по дважды встречающимся индексам производится суммирование). Важное значение имеют также эффекты запаздывания и нелокальности отклика среды на внеш. поля.

Значение индуциров. поляризации Р е , напр, в момент г, может определяться, вообще говоря, значениями полей во все предыдущие моменты времени, т. е.

что при преобразовании Фурье по времени приводит к зависимости [соответственноi]. Такие среды наз. средами с временной (частотной) дисперсией или просто диспергирующими средами. Аналогичная связь устанавливается и для нелокальных взаимодействий, когда отклик в точке г зависит от значения полей, строго говоря, во всех окружающих точкахно обычно всё-таки в пределах нек-рой конечной её окрестности: При преобразовании Фурье по г это приводит к появлению зависимостей такие среды наз. средами с пространственной дисперсией (см. Дисперсия пространственная).

В проводящих средах входящая в M. у. (1) — (5) плотность тока состоит из двух слагаемых: одно по-прежнему является сторонним токомобусловленным заданным перемещением электрич. зарядов под действием сторонних сил (обычно неэлектрич. происхождения), а другое — током проводимостизависящим от полей, определяемых системой M. у., и связанным с ними материальными ур-ниями вида В простейшем случае эта зависимость сводится к локальному Ома закону,

где — электропроводность (проводимость) среды. Иногда в (11) вводят обозначение, благодаря к-рому различают системы с заданными токами и системы с заданными полями (напряжениями). Для синусоидальных во времени полей, подчинённых ур-ниям (1б) — (4б) и материальным связям (10) и (11), вводится комплексная диэлектрич. проницаемость, объединяющая (10) и (11),, мнимая часть к-рой обусловлена проводимостью и определяет диссипацию энергии эл—магн. поля в среде. По аналогии вводится комплексная магн. проницаемость, мнимая часть к-рой обусловливает потери, связанные с перемагничиванием среды. Комплексные проницаемости в общем случае зависят от частоты w и волнового вектораэти зависимости не могут быть произвольными: причинности принцип связывает их действительные и мнимые части Крамерса — Кронига соотношениями.

В общем случае вид материальных ур-ний зависит также и от системы отсчёта, в к-рой эти ур-ния рассматривают. Так, если в неподвижной системе К среда характеризуется простейшими ур-ниями (10), то в инер-циальной системе К’ , движущейся относительно К с пост, скоростью и, появляется анизотропия:

где индексыобозначают продольные и поперечные ксоставляющие векторов. В рамках алгебраич. M. у. (1в) — (4в) материальные ур-ния (12) могут быть переписаны в виде

что можно трактовать как наличие временной и пространственной дисперсии. Исследование процессов с материальными связями типа (12) составляет предмет электродинамики движущихся сред. Заметим, что хотя характеристики е и m удобно симметризуют материальные ур-ния, их введение не является непременным условием замыкания M. у. Соответствующей перенормировкой допустимо свести описание магн. поля к одно-векторному, т. е. сделать но при этом даже для изотропной среды диэлектрич. проницаемость становится тензором, она различна для вихревых и потенциальных полей. Физически это связано с неоднозначностью модельного представления диполь-ных моментов, во всяком случае приони могут равноправно интерпретироваться и как зарядовые, и как токовые.

8. Граничные условия

Поскольку M. у. справедливы для любых (в рамках применимости макроэлектродинамики) неоднородных сред, то в областях резкого изменения их параметров иногда можно игнорировать тонкую структуру распределения полей в переходном слое и ограничиться «сшиванием» полей по разные стороны от него, заменяя тем самым переходный слой матем. поверхностью — границей, лишённой толщины. Если внутри переходной области имелись заряды с объёмной плотностьюили токи с объёмной плотностьюто при сжатии слоя в поверхность сохраняются их интегральные значения ·- вводятся поверхностные заряды r пов и поверхностные токи

— толщина переходного слоя.

Применение M. у. и ур-ния непрерывности приводит к следующим граничным условиям:

Здесь индексы 1 и 2 характеризуют поля по разные стороны от границы, а— единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2. Правила (1г) — (5г) пригодны для перехода через любые поверхности, независимо от того, совпадают ли они с границами раздела сред или проходят по однородным областям, поэтому их иногда наз. поверхностными M. у.

Иногда граничные условия (1г) — (5г) порождают краевые условия, т. е. задают не правила перехода через границу, а сами поля на ней. Напр., внутри идеального проводника в силу (11) (иначе возник бы ток неограниченной плотности), поэтому на границе раздела диэлектрик — идеальный проводник в согласии с (2г)Такие границы наз. идеальными электрич. стенками. Аналогично вводится понятие идеальной магн. стенки, на к-рой Если структура полей по одну сторону от границы универсальна, т. е. не зависит от распределения полей по др. сторону, то краевые условия могут состоять в задании не самих полей, а лишь связей между ними, напр. где Z — нек-рая скалярная или тензорная ф-ция координат границы (— тангенциальный компонент). К условиям такого рода относится, в частности, Леонтовича граничное условие для синусоидально меняющихся во времени полей на поверхности хороших проводников.

9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений

Двойственная симметрия M. у. имеет место для любой формы их записи. Она состоит в инвариантности M. у. относительно линейных преобразований нолей, производимых по след, правилам:

Здесь— произвольный угл. параметр; в частности, при= О получаются тождественные преобразования, а при — стандартные преобразования перестановочной двойственности (операция ): замена даёт в областях, свободных от источников, новое решение M. у. При этом, однако, оно меняет местами ур-ния

и, следовательно, там, где раньше были распределены электрич. источники, возникают источники магнитные

. Поэтому с точки зрения двойственной симметрии M. у. задание материальных связей в виде представляется вполне удобным. Дуально-симметричные M. у. обладают рядом достоинств, по крайней мере в чисто методич. плане. Так, напр., они симметризуют скачки тангенциальных компонентов магн. и электрич. полей и, если задание ff Tall на поверхности идеальной электрич. стенки эквивалентно заданию поверхностного электрич. тока, то задание Я 1а „ на идеальной магн. стенке сводится к заданию магн. поверхностного тока:

Таким сведением задач с заданнымиполями к задачам с заданными токами широко пользуются в теории дифракции волн, в частности в дифракции радиоволн.

Принцип перестановочной двойственности является представителем класса дискретных преобразований (см. Симметрия ),оставляющих инвариантными M. у. Такого же сорта преобразованиями являются, в частности, операция обращения времени

последовательно осуществляемые комбинации операций

10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении

Придавая времени t смысл четвёртой координаты и представляя её чисто мнимой величиной (см. Минковского пространство-время ),можно заключить описание электромагнетизма в компактную форму. Эл—магн. поле в 4-описании может быть задано двумя антисимметричными тензорами

где— Леви-Чивиты символ ,лат. индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4, а греческие — 1, 2, 3. В 4-век-торе тока объединены обычная плотность тока j e и плотность электрич. заряда

аналогично вводят 4-вектор магн. тока.

В этих обозначениях M. у. допускают компактное 4-мерное представление:

Взаимной заменой векторов поля и индукции в ф-лах (13),(14) вводятся тензоры индукции эл—магн. поля

через к-рые также могут быть записаны M. у.:

Любая пара тензорных ур-ний, содержащая в правых частях оба 4-тока (электрич. и мат.), тождественна системе M. у. Чаще используют пару ур-ний (15 а), (18), при этом материальные ур-ния сводятся к функциональной связи между тензорами (последний чаще обозначают через.

Из антисимметрии тензоров поля, индукции и M. у. в форме (17) — (18) следует равенство нулю 4-дивергенций 4-токов:

к-рое представляет собой 4-мерную запись ур-ний непрерывности для электрич. (магн.) зарядов. T. о., 4-векторы токов являются чисто вихревыми, и соотношения (17), (18) можно рассматривать как их представление в виде 4-роторов соответствующих тензоров. Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мерное описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом О) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гипербодич. сигнатура в таком пространстве приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и контравариантность).

11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений

Все экспериментально регистрируемые эл—динамич. явления удовлетворяют относительности принципу .Вид M. у. сохраняется при линейных преобразованиях, оставляющих неизменным интервал и составляющих 10-мерную Пуанкаре группу: 4 трансляции, 3 пространственных (орто-) поворота и 3 пространственно-временных (орто-хроно-) поворота, иногда называемых ло-ренцевыми вращениями. Последние соответствуют перемещениям системы отсчёта вдоль осей x a с пост, скоростямиВ частности, для получается простейшая разновидность Лоренца преобразований:

, где Соответственно поля преобразуются по правилам:

Релятивистски-ковариантная запись M. у. позволяет легко находить инвариантные комбинации полей, токов и потенциалов (4-скаляров или инвариантов Лоренца группы), сохраняющихся, в частности, при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Во-первых, это чисто полевые инварианты (см. Инварианты электромагнитного поля ).Во-вторых, это токовые (источниковые) инварианты:

В-третьих, это потенциальные инварианты:

где— магн. потенциалы (получающиеся из А е и преобразованием перестановочной двойственности), источниками к-рых являются магн. токи j m и заряды. И, наконец, многочисл. коыбиниров. инварианты типаи им подобные. Число таких комбиниров. инвариантов (квадратичных, кубичных и т. д.) по полям н источникам неограниченно.

12. Лагранжиан для электромагнитного поля

M. у. могут быть получены из наименьшего действия принципа, т. е. их можно совместить с Эйлера — Лаг-ранжа уравнениями, обеспечивающими вариационную акстремальность ф-ции действия:

здесь — лагранжиан ,являющийся релятивистски-инвариантной величиной; интегрирование ведётся по 4-мерному объёму V, (t 2 — t 1 ) с фиксиров. границами. В качестве обобщённых координат принято обычно использовать потенциалы А a и f. Поскольку лагран-жев формализм должен давать полное (замкнутое) динамич. описание системы, то при его построении нужно принимать во внимание материальные ур-ния. Они фигурируют как зависимости связанных зарядов и токов от полей В и Е·

В результате лагранжиан принимает вид инвариантной комбинации полей, потенциалов и источников:

А ур-ния Эйлера — Лагранжа для нек-рой обобщённой координаты получают приравниванием нулю соответствующих вариационных производных:

Для приходим к (4), для- к ур-нию (1) в соответствующих обозначениях. Вариационный подход позволяет придать теории универсальную форму описания, распространяемую и на описания динамики любых взаимодействий, даёт возможность получать ур-ния для комбиниров. динамич. систем, напр, электромеханических. В частности, для систем с сосредоточенными параметрами, характеризуемых конечным числом степеней свободы, соответствующие ур-ния наз. ур-ниями Лагранжа — Максвелла.

13. Единственность решений Максвелла уравнений

Различают теоремы единственности для стационарных и нестационарных процессов. Условия единственности нестационарных решений извлекаются из Пойн-тинга теоремы, где источники считаются заданными ф-циями координат и времени. Если бы они порождали два разл. поля, то разность этих полей в вакууме (или в любой линейной материальной среде) вследствие принципа суперпозиции была бы решением однородных M. у. Для обращения этой разности в нуль и, следовательно, получения единств, решения достаточно удовлетворить след, трём условиям. 1) На поверхности S, окружающей область V, где ищется поле, должны быть заданы тангенциальные составляющие поля Е тан или поля Н тан либо соотношения между ними импедансного типа: (п — нормаль к S) со значениями Z, исключающими приток энергии извне. К таковым относятся, в частности, условия излучения (см. Зоммерфельда условия излучения ),к-рым удовлетворяют волны в однородной среде на больших расстояниях от источников. Во всех случаях поток энергии для разностного поля вообще исчезает или направлен наружу (из объёма). 2) В нач. момент времени должны быть заданы все поля всюду внутри V. 3) Плотность энергии электромагнитного поля HB) должна быть положительна (вакуум, среды с . Эта частная теорема единственности обобщается на среды с нелокальными связями, а также на нек-рые виды параметрич. сред. Однако в нелинейных средах, где принцип суперпозиции не работает, никаких общих утверждений о единственности не существует.

В стационарных режимах нач. условия выпадают, и теоремы единственности формулируются непосредственно для установившихся решений. Так, в электростатике достаточно задать все источники r e ст , все полные заряды на изолиров. проводниках или их потенциалы, чтобы при соответствующих условиях на бесконечности (нужное спадание поля) решение было бы единственным. Аналогичные теоремы устанавливаются для магнитостатики и электродинамики пост, токов в проводящих средах.

Особо выделяется случай синусоидальных во времени процессов, для к-рых формулируют след, признаки, достаточные для получения единств, решения: 1) задание источников задание E тан или Н тан на ограничивающей объём V поверхности S или соответствующих импедансных условий, обеспечивающих отсутствие потока вектора Пойнтинга внутрь V; 3) наличие малого поглощения внутри V или малой утечки энергии через S для исключения существования собств. колебаний на частоте

14. Классификация приближений Максвелла уравнений

Классификация приближений M. у. обычно основывается на безразмерных параметрах, определяющих и критерии подобия для эл—магн. полей. В вакууме таким параметром является отношение , где — характерный масштаб изменения полей (либо размер области, в к-рой ищется решение), — характерный временной масштаб изменения полей.

а) а = 0 — статич. приближение, статика.

Система M. у. распадается на три.

Материальная связь в простейшем случае имеет вид . Это система M. у. для электростатики, в к-рой источниками служат заданные распределения плотности электрич. заряда и сторонней поляризации . В однородной среде эл—статич. потенциал f определяется Пуассона уравнением

Релятивистская ковариантность уравнений Максвелла Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Идаятов Э.И., Мусаев Г.М., Рабазанов А.К.

Приведено непосредственное доказательство ковариантности уравнений Максвелла в материальной среде при наличии зарядов и токов в трехмерной форме относительно преобразований Лоренца. Показана невозможность доказательства ковариантности отдельно взятого уравнения Максвелла относительно преобразований Лоренца. Ковариантность двух уравнений Максвелла, не содержащих заряды и токи, доказывается отдельно от ковариантности двух других уравнений Максвелла, содержащих заряды и токи. Внесена ясность в часто обсуждаемый в литературе вопрос о том, какие из уравнений Максвелла считать первой парой, а какие второй парой. Также указано на ошибочность часто повторяемого в литературе утверждения о том, что уравнения Максвелла релятивистски инвариантны.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Идаятов Э.И., Мусаев Г.М., Рабазанов А.К.

Maxwell»s equations relativistic covariance

The given article produces immediate proof of Maxwell’s equations covariance in the material medium under the conditions of charges and currents in three-dimensional form with regard to Lorentz’s transformation laws. The authors stress that it is impossible to prove covariance of Maxwell equation taken separately with the regard to Lorentz’s transformation laws. The covariance of Maxwell’s two equations containing no charges and currents is proved apart from two other equations containing charges and currents. The problem widely debated in literature concerning the order of priority in Maxwell’s equations (which pair of the equations comes first) is clarified. It is also stressed that a widely propagated statement that Maxwell’s equations are relatively invariant are misguiding and errraneous.

Текст научной работы на тему «Релятивистская ковариантность уравнений Максвелла»

Э.И. Идаятов, Г.М. Мусаев, А.К. Рабазанов

Релятивистская ковариантность уравнений Максвелла

Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а; mgm20001942@mail.ru

Приведено непосредственное доказательство ковариантности уравнений Максвелла в материальной среде при наличии зарядов и токов в трехмерной форме относительно преобразований Лоренца. Показана невозможность доказательства ковариантности отдельно взятого уравнения Максвелла относительно преобразований Лоренца. Ковариантность двух уравнений Максвелла, не содержащих заряды и токи, доказывается отдельно от ковариантности двух других уравнений Максвелла, содержащих заряды и токи. Внесена ясность в часто обсуждаемый в литературе вопрос о том, какие из уравнений Максвелла считать первой парой, а какие — второй парой. Также указано на ошибочность часто повторяемого в литературе утверждения о том, что уравнения Максвелла релятивистски инвариантны.

Ключевые слова: ковариантность уравнений Максвелла в трехмерной форме, первая и вторая пара уравнений Максвелла.

Известно, что уравнения Максвелла

rot E = -18B, div B = 0, rot H = — j + 18D, div D = 4жр, (1)

лежащие в основе электродинамики, не изменяются при переходе от одной системы отсчета S к другой инерциальной системе отсчета S’, движущейся относительно S прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью v . Другими словами, уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца для координат x, y, z и времени t. Однако численные значения конкретных физических величин

E, B, H, D, j, р, входящих в уравнения (1), изменяются.

В обширной литературе, посвященной изложению теории электромагнитных явлений в средах 3, непосредственно в трехмерной форме не показана ковариантность уравнений Максвелла (1) относительно преобразований Лоренца.

Чтобы показать ковариантность уравнений (1) относительно преобразований Лоренца, положим, что система отсчета S’ движется относительно S с постоянной скоростью v вдоль оси Ox и соответственные оси обеих систем параллельны. В этом случае преобразования Лоренца для координат и времени можно записать в виде:

где i, p пробегают значения 0,1,2,3 ; индекс p в (2) немой, следовательно, по p идет суммирование от 0 до 3; x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z, x’° = ct’, x’1 = x’, x’2 = y’, x’3 = z ; oc’p — матрица преобразований Лоренца от системы S к системе S’:

Свяжем с равномерно и прямолинейно движущейся средой систему отсчета 5′, которая движется вдоль оси Ох со скоростью V , равной скорости среды. Относительно этой системы 5 ‘ среда покоится, но относительно системы отсчета 5 среда движется. Уравнения Максвелла относительно системы отсчета 5 ‘ будут

rot’E = — —, divB = 0, rot’H = — J + , div’D = 4кр’. c dt’ c c dt’

Здесь штрих означает, что производные по координатам и времени берутся по X’, у’, z’, t’ от величин Е’, В’, Н’, D’ , 7′, р’, измеряемых наблюдателем, покоящимся относительно 5 ‘, т. е. наблюдателем, движущимся вместе со средой.

Преобразования Лоренца для компонент векторов Е’, В’, Н’, D’ , 7′ и плотности заряда р’ задаются формулами [3]:

Е’х = ЕХ, Е’у = у( Еу — рвг), е: = у( Е + рВу),

В’х = Вх, Ву = у( Ву + 0: ), в: = у( ВВ: — рЕу ) ,

Ях = ^Зх, Ву = у(¿у — рНг), Я: = у(Д + рНу), НХ = Н, ну = у( ну + рЬг), н: = у( Н: — рЬу),

¿Х = у(!’х — ^), ]’у = 1у, ¿’г = Л , р’ = у

Заметим, что Е, В, Н, Д 7 и р есть значения этих величин, измеряемые наблюдателем относительно 5 , но не покоящимся относительно 5 , т. е. относительно

движущеися среды. Очевидно, что

аг . а«и а«и ахк K а«

ах’ ‘ ах’ ‘ ахк ах’р

где « — ^ -тая компонента любого из вышеприведенных векторов E , B , H , D , J или величина р .

Если в уравнениях (4) переИти от штрихованных величин E’ , B’ , H’ , D’ , J’, р ‘ к нештрихованным величинам согласно (5) и воспользоваться соотношениями (6), то получим (учитывая, что /3 = —c = const):