Инварианты уравнений линий второго порядка

Реферат: Линии второго порядка

1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости.

2. Инварианты уравнений линий второго порядка.

3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.

4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.

5. Центры линий второго порядка.

6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.

7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.

8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.

Евклидова плоскость – это пространство размерности 2, (двумерное вещественное пространство).

Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести проис­ходит по одной из этих линий.

Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится ли­ния, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении по­лучится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих ко­нуса (на 1.1, в — это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

(1)

(1*)

Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F ₁ и F ₂ этой плоскости, называемых фо­кусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Оче­видно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на­чало О декартовой системы координат в середине отрезка F ₁ F ₂ , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F ₁ и F ₂ совпадают, то О совпадает с F ₁ и F ₂ , а за ось Ох можно взять лю­бую ось, проходящую через О).

Пусть длина отрезка F ₁ F ₂ равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F ₁ и F ₂ соответствен­но имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоян­ную, о которой говорится в опреде­лении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с ( Если М — точка эллипса (см. рис. 1.2), то | MF _] |+ | MF ₂ | = 2 a , а так как сумма двух сторон MF ₁ и MF ₂ треугольника MF ₁ F ₂ больше третьей стороны F ₁ F ₂ = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F ₁ F ₂ и эллипс вырождается в отрезок.).

Пусть М — точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1.2). Обозначим через r₁ и r₂ расстояния от точки М до точек F ₁ и F ₂ соответственно. Со­гласно определению эллипса равенство

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

(1.2)

Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие распо­ложения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. По­этому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4)

(1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). По­скольку при алгебраических преобразованиях, связанных с изба­влением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы дол­жны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величи­ны r₁ и r₂ для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравне­нию (1.4). Подставляя значение у 2 из (1.4) в правую часть вы­ражения (1.2) для г₁ после несложных преобразований найдем, что , тогда

.

Совершенно аналогично найдем, что . Таким обра­зом, для рассматриваемой точки М

, (1.6)

т. е.r ₁ + r ₂ = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объяс­няется тем, что а>Ь).

Замечание . Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b , а центр совпадает с началом координат.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина раз­ности расстояний до двух фиксированных точек, F ₁ и F ₂ этой пло­скости, называемых фокусами, есть величина постоянная ( Фокусы F ₁ и F ₂ гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF ₁ и F ₂ , которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F ₁ совпадает с F ₂ , то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F ₁ F ₂ , а оси Ох и Оу на­правим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F ₁ F ₂ равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F ₁ и F ₂ соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гипер­болы. Очевидно, 2a d , и поэтому такие точки можно исключить из рас­смотрения) то, согласно (1.12), соотношение

(1.14)

представляет собой необходимое и достаточное условие распо­ложения точки М с координатами х и у на данной параболе. Поэтому соотношение (1.14) можно рассматривать как уравне­ние параболы. Путем стандартного приема «уничтожения ра­дикалов» это уравнение приводится к виду

(1.15)

Убедимся в том, что уравнение (6.15), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.14), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.15), величины r и d равны (выполнено соотношение (1.12)).

Из соотношения (1.15) вытекает, что абсциссы х рассматри­ваемых точек неотрицательны, т. е. . Для точек с неотри­цательными абсциссами . Найдем теперь выражение для расстояния r от точки М до F . Подставляя у 2 из выражения (1.15) в правую часть выражения для r (1.13) и учитывая, что , найдем, что . Таким образом, для рассма­триваемых точек r = d , т. е. они располагаются на параболе.

Уравнение (1.15) называется каноническим уравнением пара­болы. Величина р называется параметром параболы.

Пример 1.1 . Установить вид кривой второго порядка, заданной урав­нением .

Решение : Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в и полуосями и .

Пример 1.2 . Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением x 2 + 10х — 2у + 11 = 0.

Решение : Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действи­тельно,

.

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и .

2. Инварианты уравнений линий второго порядка.

Назовем инвариантом уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразований де­картовой системы координат такую функцию f ( a ₁₁ , a ₁₂ , . а₃₃ ) от коэффициентов а _in этого уравнения, значения которой не ме­няются при переходе к новой декартовой прямоугольной си­стеме координат. Таким образом, если f ( a ₁₁ , a ₁₂ , . а₃₃ ) инва­риант и а’ _ij — коэффициенты уравнения линии второго порядка в новой системе декартовых координат, то

(2.1)

являются инвариантами уравнения (1) линии второго по­рядка относительно преобразований декартовой системы коор­динат.

Очевидно, инвариантность величин достаточно доказать отдельно для параллельного переноса системы координат и для поворота

Рассмотрим сначала параллельный перенос системы коорди­нат. При этом преобразовании координат коэффициенты группы старших чле­нов не изменяются. Поэтому не изменяются и величины . Займемся величиной . В новой системе координат О’х’у’ вели­чина равна

(2.2)

Вычитая из последней строки этого определителя первую стро­ку, умноженную на х₀ , и вторую, умноженную на у₀ (х₀ и у₀ — координаты нового начала О’), и используя при этом выраже­ния для а’₁₃ и а’₂₃ из формул параллельного переноса

(2.3)

где

найдем, что этот определитель равен:

Если теперь вычесть из последнего столбца полученного опре­делителя первый столбец, умноженный на х₀ , и второй, умно­женный на y _о , и использовать при этом выражения для а’₁₃ и а’₂₃ из формул (2.3), то в результате получится определитель, стоя­щий в правой части выражения для в формулах (2.1). Итак, инвариантность при параллельном переносе системы коорди­нат доказана.

Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат. При этом преобразо­вании коэффициенты а’ _ij уравнения линии L в новой системе свя­заны с коэффициентами а _ij уравнения этой линии в старой си­стеме с помощью формул

(2.4)

Докажем теперь инвариантность . Имеем, со­гласно (2.4):

Таким образом, инвариантность доказана. Обратимся теперь к

Разлагая этот определитель по элементам последнего столбца, учитывая только что доказанную инвариантность , т. е. ра­венство

(2.5)

Согласно формулам (2.4) первое слагаемое в правой части (2.5) может быть преобразовано следующим образом:

(2.6)

Совершенно аналогично получается равенство а’₂₃

(2.7)

Из соотношений (2.6) — (2.7) получаем

(2.8)

Так как величины А, В, С , углы не зависят от угла (эго вытекает из инвариантности ), то из (2.8) следует, что так же не зависит от угла , т. е. при любом значении имеет одно и то же значение. Но а’ _ij = а _ij при =0, и поэтому .Таким образом, инва­риантность также установлена. Теорема доказана.

3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.

Введем следующие обозначения:

, ,

, ,

№	Название линии	Признаки		Наличие центра
		типа	класса
1	эллипс			точка
2	мнимый эллипс
3	точка
4	гипербола
5	2 пересекающиеся прямые
6	Парабола			центра нет
7	2 параллельные. прямые		бесконечно много центров
8	2 мнимые параллельные прямые
9	2 совпадающие прямые			, ,

Пример 3.1 : Определение зависимости типа данной кривой (3.1) от параметра b с помощью инвариантов

(3.1)

Для уравнения кривой второго порядка (3.1) имеем:

Вычислим инварианты кривой

.

.

.

В соответствии с классификацией кривых второго порядка:

Если I ₂ = 0, то уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа.

Но I ₂ = -306-11b , следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа.

Но при этом , следовательно, если , то уравнение (1) определяет параболу.

Если I ₂ ¹ = 0, то данная кривая – центральная. Следовательно, при данная кривая – центральная.

Если I ₂ > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом I ₁ I ₃ = (1-b )(4885b -306) 0, I ₁ I ₃ 2 /a 2 ) — (y 2 /b 2 ) = 1 находим Y = ±(b/a)∙[x/√(x 2 — a 2 )]∙X ± [ab/√(x 2 — a 2 )]. Полагая х = ∞, найдем ±(b/a) — [x//√(x 2 — a 2 )] = ±(b/a)∙[1/√(1 — a 2 / x 2 )] = ±(b/a), и ±[ab//√(x 2 — a 2 )] = 0; следовательно, уравнение А. рассматриваемой гиперболы будет У = ±(b/a)Х или, что все равно, Y = +(b/a)X и Y = -(b/a)X; последние два уравнения показывают, что гипербола имеет две А. Можно также определить А. следующим образом. Пусть будет У А. = Х + В уравнение А., не параллельной оси у. Ордината у кривой, соответствующая абсциссе x, для весьма больших величин сей абсциссы будет очень мало разниться от ординаты У а-ты, так что можно ее принять у = Ах + В ± ε, подразумевая под ε количество, уничтожающееся вместе с 1/x. Итак, полагая x = ∞, найдем пред. (Y/X) = пред.

и пред. (у — Ах) = пред. (В ± ε) = В. Следовательно, для определения постоянного количества стоит только в уравнении кривой положить Y/X = q или y = xq и сыскать предел, к которому стремится q для бесконечно больших значений х. Величина В определится, если в уравнении кривой примем у — Ах = ν, или у = Ах + ν. Изменив х на у и наоборот и рассуждая так же, как и выше, найдем А., не параллельные оси х. Так, например, уравнение рассмотренной нами гиперболы через подстановку qx вместо у дает a 2 /x 2 — q 2 x 2 /b 2 = 1 или q 2 = b 2 /a 2 — b 2 /x 2 ; полагая х = ∞, найдем q 2 = b 2 /a 2 , или q = ±(b/a)A. Полагая в том же уравнении y = Ax + ν = +(b/a)x + ν, получим x 2 /a 2 — [(±x(b/a) + ν) 2 /b 2 ] = 1, или ν = ±(b/a)∙[√(x 2 — a 2 ) — x], где, полагая x = ∞, получим ν = 0 = B; следовательно, уравнение А. предложенной гиперболы будет, как и выше, Y = +(b/a)X, что и требовалось доказать. Бесчисленное множество кривых имеет А.; укажем, кроме упомянутой уже гиперболы, следующие кривые, имеющие А.: конхоида, логарифмическая линия, циссоида, декартов лист и др. Чертежи I, II и III представляют (см.) примеры а-ты: линии KL и MN служат (черт. I) асимптотами нормальной равносторонней гиперболы, получающейся от пересечения поверхности конуса плоскостью, — пересекающимися в точке О, начала координат, под прямыми углами;

линии AF и AG (черт. II) изображают А. частей СВ и CED так называемой пересечной гиперболы.

Змиевидная гипербола DBE (черт. III) имеет асимптотой линию АС.

В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллель­ных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая назы­вается диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряжённым этой хорде (и всем хордам, которые ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр.

Если эллипс задан уравнением

(6.1)

то его диаметр, сопряжённый хордам с угловым коэффициентом k, опреде­ляется уравнением:

(6.2)

Если гипербола задана уравнением

(6.3)

то её диаметр, сопряжённый хордам с угловым коэффициентом k , опреде­ляется уравнением:

(6.4)

Все диаметры параболы параллельны её оси.

Если парабола задана урав­нением

то её диаметр, сопряжённый хордам с угловым коэффициентом k , опреде­ляется уравнением

(6.6)

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, па­раллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряжён­ными.

Если k и k’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжённых диаметров эллипса (6.1), то

(6.7)

Если k и k’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжённых диа­метров гиперболы (6.3), то

(6.8)

Соотношения (6.7) и (6.8) называются условиями сопряжённости диаметров со­ответственно для эллипса и для гиперболы. Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряжённым хор­дам, называется главным.

7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.

Упрощение общего уравнения кривой второго порядка

Задача упрощения уравнения или состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении были устранены:

1) член, содержащий произведение текущих координат,

2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.

В том случае, когда уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, упрощение его следует начинать с поворота осей без изменения начала координат и надлежащим выбором угла поворота добиться того, чтобы из преобразованного уравнения был устранен член, содержащий произведение текущих координат. Преобразование координат в этом случае будем вести по формулам

(7.1)

Если после устранения из преобразованного уравнения члена с произведением текущих координат в нем останутся члены с первыми степенями текущих координат, то последующим параллельным переносом осей можно, как это было показано, привести уравнение к каноническому виду.

Координатную систему, полученную в результате поворота первоначальной системы координат, будем обозначать через x₁ Oy₁ , а систему координат, полученную от параллельного переноса координатной системы x₁ Oy₁ , — через x₂ O₁ y₂ (см. рис. 7.1)

Упрощение уравнения центральной линии второго порядка

Дано уравнение , определяющее центральную линию второго порядка ( = АС — В 2 ¹ 0 ). Пере­нося начало координат в центр S (х₀ ; у₀ ) этой линии и преобразуя уравне­ние по формулам:

(7.2)

Для вычисления можно пользоваться формулой:

Или

Дальнейшее упрощение уравнения (7.2) достигается при помощи преобра­зования координат

(7.3)

соответствующего повороту осей на угол α.

Если угол α выбран так, что:

(7.4)

то в новых координатах уравнение линии примет вид

(7.5)

где .

Замечание . Уравнение (7.4) позволяет определить , тогда как в формулах (3) участвуют и . Зная , можно найти и по формулам тригонометрии

Между коэффициентами уравнений (1*) и (7.5) существуют важные соотно­шения:

,

которые позволяют определить коэффициенты А’ и С’, не проводя преобразования координат.

09. Инварианты кривой второго порядка

Инвариантом уравнения (1) относительно преобразования системы координат ОХУ называется такая функция

F(а11, а12, a22, a13, а23, а33),

Которая не меняется при переходе к новой системе координат 0’Х’У’. Таким образом, если f — инвариант, то f(a11. а33) = f(a’11. а’33).

(6)

Являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка

Относительно преобразований декартовой системы координат.

Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота.

Инвариантность I1 и I2 следует из формул (2). Заметим, что из этих формул также следует, что

(7)

Тогда в новой системе координат O’X’Y’

Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x0, и затем вторую,

Умноженную на у0. Тогда

Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x0 и второй, умноженный на y0. Получим, что I’3=I3.

Рассмотрим теперь преобразование поворота

Разложим I’3 по элементам 3-го столбца. Получим:

=

(8)

Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).

(9)

(10)

(11)

Следовательно, из (8) следует, что

(12)

Величины А, В, С, углы α, β и I2 не зависят от угла φ. Значит, при любом повороте системы координат, выражение в правой части (12) не изменяется. С другой стороны, при φ=О, I’3=I3. Это и доказывает инвариантность I3. Теорема доказана.

Определим теперь тип линии в зависимости от знаков инвариантов I1, I2 и I3.

Будем говорить, что

при I2>О, уравнение (1) задает Линию эллиптического типа;

Кривые второго порядка. Канонический вид уравнений второго порядка.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек на плоскости, прямоугольные координаты

которых удовлетворяют уравнению вида:

в котором, по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂ не равен нулю.

Инварианты кривых второго порядка.

Вид кривой зависим от 4 инвариантов, приведенных ниже:

— инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

— инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Для изучения кривых второго порядка рассматриваем произведение А*С.

Общее уравнение кривой второго порядка выглядит так:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

— Если А*С > 0, то уравнение принимает вид уравнения эллиптического типа. Любое эллиптическое

уравнение – это уравнение или обычного эллипса, или же вырожденного эллипса (точки), или мнимого

эллипса (в таком случае уравнение не определяет на плоскости ни одного геометрического образа);

уравнение выражает или простую гиперболу, или вырожденную гиперболу (две пересекающиеся прямые);

— Если А*С = 0, то линия второго порядка не будет центральной. Уравнения такого типа называют

уравнениями параболического типа и выражают на плоскости или простую параболу, или 2 параллельных

(либо совпадающих) прямых, или не выражают на плоскости ни одного геометрического образа;

— Если А*С ≠ 0, кривая второго порядка будет центральной;

Таким образом, виды кривых второго порядка:

Канонический вид уравнений второго порядка.

Вводя новую систему координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному

каноническому виду. Характеристики канонических уравнений очень легко выражаются через инварианты

Δ, D, I и корни характеристического уравнения .