Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:
Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:
В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения
.
В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.
Эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:
.
Тогда полуоси эллипсоида будут
, , .
Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
.
Мнимый эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:
,
, , .
Мнимый конус
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:
,
, , .
Однополостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
, , ,
то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид
.
Двуполостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Конус
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.
Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:
,
известном как каноническое уравнение конуса.
II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.
Общее уравнение можно переписать в виде:
.
Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая
,
,
получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:
.
Гиперболический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.
Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:
.
III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:
.
Мнимый эллиптический цилиндр
Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.
Мнимые пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:
.
Гиперболический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
.
Пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, пересекающихся плоскостей:
.
IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.
Параболический цилиндр
Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:
,
.
Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:
.
V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
.
Параллельные плоскости
Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Мнимые параллельные плоскости
Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Совпадающие плоскости
Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:
.
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
(как вычислить определитель).
I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,
Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.
.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
;
.
,
, , .
Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
.
.
Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.
.
I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .
Решаем характеристическое уравнение:
.
.
,
, .
Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
,
,
,
I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .
Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.
.
.
Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Реферат: Поверхности второго порядка
Название: Поверхности второго порядка Раздел: Рефераты по математике Тип: реферат Добавлен 21:13:49 07 августа 2005 Похожие работы Просмотров: 10660 Комментариев: 23 Оценило: 12 человек Средний балл: 4.3 Оценка: 4 Скачать | ||||||
Возможны следующие случаи:
—1°. Коэффициенты a11 ,а 22 , a 33 одного знака, а коэффициента 44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.
Если коэффициенты a11 ,а 22 , a 33 , а 44 одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом .
Если знак коэффициентов a11 ,а 22 , a 33 противоположен знаку коэффициента а 44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом . В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.
Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа
положительны. Обозначим эти числа соответственно а 2 , b 2 , с 2 . После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:
Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида .
Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz . называются его главными осями.
—2°. Из четырех коэффициентов a11 ,а 22 , a 33 , а 44 два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом .
Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0,а 22 >0, a 33 2 , b 2 , с 2 . После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:
Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида .
Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу иOz называются его главными осями.
—3° . Знак одного из первых трех коэффициентов a11 ,а 22 , a 33 , а 44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.
Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 0,а 44 2 , b 2 , с 2 . Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида .
Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим
уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.
— 4° . Коэффициент а 44 равен нулю. В этом случае поверхность S называетсяконусом второго порядка .
Если коэффициенты a11 ,а 22 , a 33 одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а 44 =0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка . Если коэффициенты a11 ,а 22 , a 33 имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.
Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,
a11 > o, а 22 > 0,a 33 2 , b 2 , с 2 . Тогда уравнение (2) можно записать в виде
Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка .
2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка.
Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариантI 3 равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид
для системы координат Ox´y´z´
Так как инвариант I 3 =0 и его значение, вычисленное для уравнения (7), равно
a´11 • а ´22 • a´ 33 , то один или два из коэффициентов a´11 , а ´22 , a´ 33 равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.
—1° . Один из коэффициентов a´11 , а ´22 , a´ 33 равен нулю. Радиопределенности будем считать, чтоa´ 33 =0(если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х’, у’, z’ к новым координатам х, у, z по формулам
Подставляях’, у’ и z’, найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем
1) Пусть р=0, q =0. Поверхность S распадается на пару плоскостей
При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a11 и а 22 одинаковы, и вещественными, если знаки a11 и а 22 различны.
2) Пусть р=0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид
Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz . При этом если a11 , а 22 , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым . Если же среди коэффициентов a11 , а 22 , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным . Отметим, что в случае, когда a11 и а 22 имеютодинаковые знаки, a q — противоположный, то величины
Обозначая их соответственно через а 2 и b 2 , мы приведем уравнение (10) к виду
Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр . В случае, a11 и а 22 имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр . Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду
3) Пусть р ≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами
При этом оставим старые обозначения координатх, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)
Получим следующее уравнение:
Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды . Причем если a11 и а 22 имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим . Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:
Уравнение (14) легко получается из (13). Если a11 и а 22 имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим . Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид
Это уравнение также легко может быть получено из (13).
Подставляя х’, у’ и z’ , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´ 33 на a 33 , a´ 14 на р , a´ 24 наq и a´ 44 на r , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz :
a 33 z 2 + 2px + 2qy + r = 0 (17)
1) Пусть р=0, q=0 . Поверхность Sраспадается на пару параллельных плоскостей
При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми , если знаки a 33 и r одинаковы, и вещественными , если знаки a 33 и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.
2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг осиOz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+ 2qy+r=0 . Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид
которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси Ох.
§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
1. Эллипсоид.
Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат—центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе формуэллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.
Ради определенности рассмотрим линииLh пересечения эллипсоида с плоскостями
параллельными плоскости Оху. Уравнение проекцииL * h линииLh на плоскость Оху получается из уравнения (3), если положить в немz = h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид
Если положить
то уравнение (21) можно записать в виде
т. е.L * h представляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как Lh получается «подъемом»L * h на высоту h по оси О z (см. (20)), то и Lh представляет собой эллипс.
Представление об эллипсоиде можно получить следующим образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23) (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят отh (см. (22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на какую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мыполучим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «карту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.
(Метод представления формы фигуры путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)
Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.
Эллипсоид
.
—1° . Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому
уравнению (4) однополостного гиперболоида
Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.
—2° . Двуполостный гиперболоид. Из канонического уравнения (5)двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости являются его плоскостями симметрии, а начало координат — его центром симметрии.
—1°. Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида
мы видим, что для негоOxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.
—2°. Гиперболический параболоид. Из канонического уравнения (15)
гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. ОсьOz называется осью гиперболического п aраболоида .
Прим. : получение «карты высот» для гиперболического п aраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.
Линииz=h пересечения гиперболического параболоида плоскостямиz=h представляют собой при h>0 гиперболы
а приh 2 за скобку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит на конусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляютсобой эллипсы с полуосями :
Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.
—3° . Гиперболический цилиндр.
Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.
—4° . Параболический цилиндр.
a 33 z 2 + 2q´y = 0 (19)
Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболического цилиндра.
Поверхности второго порядка
§ 1. Понятие поверхности второго порядка.
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a 11 х 2 + а 22 у 2 + a 33 z 2 + 2a 12 xy + 2a 23 уz + 2a 13 xz + 2а 14 x + 2а 24 у+2а 34 z +а 44 = 0 (1)
в котором по крайней мере один из коэффициентов a 11 , а 22 , a 33 , a 12 , a 23 , a 13 отличен от нуля.
Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.
Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.
Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a 11 > 0, а 22 > 0, a 33 44 Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a 11 22 33 > 0, а 44 a 11 > o, а 22 > 0, a 33 060.jpg» />
072.gif» />
http://www.bestreferat.ru/referat-46660.html
http://www.km.ru/referats/32B0C10F0129459D8CAFBC288CA428E6