Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:
Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:
В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения
.
В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.
Эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:
.
Тогда полуоси эллипсоида будут
, , .
Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
.
Мнимый эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:
,
, , .
Мнимый конус
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:
,
, , .
Однополостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
, , ,
то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид
.
Двуполостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Конус
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.
Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:
,
известном как каноническое уравнение конуса.
II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.
Общее уравнение можно переписать в виде:
.
Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая
,
,
получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:
.
Гиперболический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.
Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:
.
III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:
.
Мнимый эллиптический цилиндр
Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.
Мнимые пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:
.
Гиперболический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
.
Пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, пересекающихся плоскостей:
.
IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.
Параболический цилиндр
Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:
,
.
Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:
.
V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
.
Параллельные плоскости
Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Мнимые параллельные плоскости
Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Совпадающие плоскости
Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:
.
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
(как вычислить определитель).
I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,
Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.
.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
;
.
,
, , .
Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
.
.
Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.
.
I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .
Решаем характеристическое уравнение:
.
.
,
, .
Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
,
,
,
I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .
Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.
.
.
Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Кривые второго порядка. Канонический вид уравнений второго порядка.
Кривая второго порядка — геометрическое место точек на плоскости, прямоугольные координаты
которых удовлетворяют уравнению вида:
в котором, по крайней мере один из коэффициентов a11, a12, a22 не равен нулю.
Инварианты кривых второго порядка.
Вид кривой зависим от 4 инвариантов, приведенных ниже:
— инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
— инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):
Для изучения кривых второго порядка рассматриваем произведение А*С.
Общее уравнение кривой второго порядка выглядит так:
Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0
— Если А*С > 0, то уравнение принимает вид уравнения эллиптического типа. Любое эллиптическое
уравнение – это уравнение или обычного эллипса, или же вырожденного эллипса (точки), или мнимого
эллипса (в таком случае уравнение не определяет на плоскости ни одного геометрического образа);
уравнение выражает или простую гиперболу, или вырожденную гиперболу (две пересекающиеся прямые);
— Если А*С = 0, то линия второго порядка не будет центральной. Уравнения такого типа называют
уравнениями параболического типа и выражают на плоскости или простую параболу, или 2 параллельных
(либо совпадающих) прямых, или не выражают на плоскости ни одного геометрического образа;
— Если А*С ≠ 0, кривая второго порядка будет центральной;
Таким образом, виды кривых второго порядка:
Канонический вид уравнений второго порядка.
Вводя новую систему координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному
каноническому виду. Характеристики канонических уравнений очень легко выражаются через инварианты
Δ, D, I и корни характеристического уравнения .
Линии второго порядка
1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости.
2. Инварианты уравнений линий второго порядка.
3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.
4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.
5. Центры линий второго порядка.
6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.
7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.
8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.
Евклидова плоскость – это пространство размерности 2, (двумерное вещественное пространство).
Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий.
Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится линия, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении получится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (на 1.1, в — это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.
Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:
(1)
(1*)
Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.
Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F 1 и F 2 совпадают, то О совпадает с F 1 и F 2 , а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О).
Пусть длина отрезка F 1 F 2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 и F 2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с ( Если М — точка эллипса (см. рис. 1.2), то | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , а так как сумма двух сторон MF 1 и MF 2 треугольника MF 1 F 2 больше третьей стороны F 1 F 2 = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F 1 F 2 и эллипс вырождается в отрезок.).
Пусть М — точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1.2). Обозначим через r1 и r2 расстояния от точки М до точек F 1 и F 2 соответственно. Согласно определению эллипса равенство
является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.
Используя формулу расстояния между двумя точками, получим
(1.2)
Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение
(1.3)
представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. Поэтому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду
(1.4)
(1.5)
Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины r1 и r2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4). Подставляя значение у 2 из (1.4) в правую часть выражения (1.2) для г1 после несложных преобразований найдем, что , тогда
.
Совершенно аналогично найдем, что . Таким образом, для рассматриваемой точки М
, (1.6)
т. е.r 1 + r 2 = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>Ь).
Замечание . Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b , а центр совпадает с началом координат.
Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек, F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная ( Фокусы F 1 и F 2 гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF 1 и F 2 , которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F 1 совпадает с F 2 , то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).
Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F 1 F 2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 и F 2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2a d , и поэтому такие точки можно исключить из рассмотрения) то, согласно (1.12), соотношение
(1.14)
представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной параболе. Поэтому соотношение (1.14) можно рассматривать как уравнение параболы. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду
(1.15)
Убедимся в том, что уравнение (6.15), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.14), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.15), величины r и d равны (выполнено соотношение (1.12)).
Из соотношения (1.15) вытекает, что абсциссы х рассматриваемых точек неотрицательны, т. е. . Для точек с неотрицательными абсциссами . Найдем теперь выражение для расстояния r от точки М до F . Подставляя у 2 из выражения (1.15) в правую часть выражения для r (1.13) и учитывая, что , найдем, что . Таким образом, для рассматриваемых точек r = d , т. е. они располагаются на параболе.
Уравнение (1.15) называется каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.
Пример 1.1 . Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .
Решение : Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в и полуосями и .
Пример 1.2 . Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением x 2 + 10х — 2у + 11 = 0.
Решение : Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,
.
Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и .
2. Инварианты уравнений линий второго порядка.
Назовем инвариантом уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат такую функцию f ( a 11 , a 12 , . а33 ) от коэффициентов а in этого уравнения, значения которой не меняются при переходе к новой декартовой прямоугольной системе координат. Таким образом, если f ( a 11 , a 12 , . а33 ) инвариант и а’ ij — коэффициенты уравнения линии второго порядка в новой системе декартовых координат, то
(2.1)
являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат.
Очевидно, инвариантность величин достаточно доказать отдельно для параллельного переноса системы координат и для поворота
Рассмотрим сначала параллельный перенос системы координат. При этом преобразовании координат коэффициенты группы старших членов не изменяются. Поэтому не изменяются и величины . Займемся величиной . В новой системе координат О’х’у’ величина равна
(2.2)
Вычитая из последней строки этого определителя первую строку, умноженную на х0 , и вторую, умноженную на у0 (х0 и у0 — координаты нового начала О’), и используя при этом выражения для а’13 и а’23 из формул параллельного переноса
(2.3)
где
найдем, что этот определитель равен:
Если теперь вычесть из последнего столбца полученного определителя первый столбец, умноженный на х0 , и второй, умноженный на y о , и использовать при этом выражения для а’13 и а’23 из формул (2.3), то в результате получится определитель, стоящий в правой части выражения для в формулах (2.1). Итак, инвариантность при параллельном переносе системы координат доказана.
Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат. При этом преобразовании коэффициенты а’ ij уравнения линии L в новой системе связаны с коэффициентами а ij уравнения этой линии в старой системе с помощью формул
(2.4)
Докажем теперь инвариантность . Имеем, согласно (2.4):
Таким образом, инвариантность доказана. Обратимся теперь к
Разлагая этот определитель по элементам последнего столбца, учитывая только что доказанную инвариантность , т. е. равенство
(2.5)
Согласно формулам (2.4) первое слагаемое в правой части (2.5) может быть преобразовано следующим образом:
(2.6)
Совершенно аналогично получается равенство а’23
(2.7)
Из соотношений (2.6) — (2.7) получаем
(2.8)
Так как величины А, В, С , углы не зависят от угла (эго вытекает из инвариантности ), то из (2.8) следует, что так же не зависит от угла , т. е. при любом значении имеет одно и то же значение. Но а’ ij = а ij при =0, и поэтому .Таким образом, инвариантность также установлена. Теорема доказана.
3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.
Введем следующие обозначения:
№ | Название линии | Признаки | Наличие центра | |
типа | класса | |||
1 | эллипс | точка | ||
2 | мнимый эллипс | |||
3 | точка | |||
4 | гипербола | |||
5 | 2 пересекающиеся прямые | |||
6 | Парабола | центра нет | ||
7 | 2 параллельные. прямые | бесконечно много центров | ||
8 | 2 мнимые параллельные прямые | |||
9 | 2 совпадающие прямые | , , |
Пример 3.1 : Определение зависимости типа данной кривой (3.1) от параметра b с помощью инвариантов
(3.1)
Для уравнения кривой второго порядка (3.1) имеем:
Вычислим инварианты кривой
.
.
.
В соответствии с классификацией кривых второго порядка:
Если I 2 = 0, то уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа.
Но I 2 = -306-11b , следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа.
Но при этом , следовательно, если , то уравнение (1) определяет параболу.
Если I 2 ¹ = 0, то данная кривая – центральная. Следовательно, при данная кривая – центральная.
Если I 2 > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом I 1 I 3 = (1-b )(4885b -306) 0, I 1 I 3 2 /a 2 ) — (y 2 /b 2 ) = 1 находим Y = ±(b/a)∙[x/√(x 2 — a 2 )]∙X ± [ab/√(x 2 — a 2 )]. Полагая х = ∞, найдем ±(b/a) — [x//√(x 2 — a 2 )] = ±(b/a)∙[1/√(1 — a 2 / x 2 )] = ±(b/a), и ±[ab//√(x 2 — a 2 )] = 0; следовательно, уравнение А. рассматриваемой гиперболы будет У = ±(b/a)Х или, что все равно, Y = +(b/a)X и Y = -(b/a)X; последние два уравнения показывают, что гипербола имеет две А. Можно также определить А. следующим образом. Пусть будет У А. = Х + В уравнение А., не параллельной оси у. Ордината у кривой, соответствующая абсциссе x, для весьма больших величин сей абсциссы будет очень мало разниться от ординаты У а-ты, так что можно ее принять у = Ах + В ± ε, подразумевая под ε количество, уничтожающееся вместе с 1/x. Итак, полагая x = ∞, найдем пред. (Y/X) = пред.
и пред. (у — Ах) = пред. (В ± ε) = В. Следовательно, для определения постоянного количества стоит только в уравнении кривой положить Y/X = q или y = xq и сыскать предел, к которому стремится q для бесконечно больших значений х. Величина В определится, если в уравнении кривой примем у — Ах = ν, или у = Ах + ν. Изменив х на у и наоборот и рассуждая так же, как и выше, найдем А., не параллельные оси х. Так, например, уравнение рассмотренной нами гиперболы через подстановку qx вместо у дает a 2 /x 2 — q 2 x 2 /b 2 = 1 или q 2 = b 2 /a 2 — b 2 /x 2 ; полагая х = ∞, найдем q 2 = b 2 /a 2 , или q = ±(b/a)A. Полагая в том же уравнении y = Ax + ν = +(b/a)x + ν, получим x 2 /a 2 — [(±x(b/a) + ν) 2 /b 2 ] = 1, или ν = ±(b/a)∙[√(x 2 — a 2 ) — x], где, полагая x = ∞, получим ν = 0 = B; следовательно, уравнение А. предложенной гиперболы будет, как и выше, Y = +(b/a)X, что и требовалось доказать. Бесчисленное множество кривых имеет А.; укажем, кроме упомянутой уже гиперболы, следующие кривые, имеющие А.: конхоида, логарифмическая линия, циссоида, декартов лист и др. Чертежи I, II и III представляют (см.) примеры а-ты: линии KL и MN служат (черт. I) асимптотами нормальной равносторонней гиперболы, получающейся от пересечения поверхности конуса плоскостью, — пересекающимися в точке О, начала координат, под прямыми углами;
линии AF и AG (черт. II) изображают А. частей СВ и CED так называемой пересечной гиперболы.
Змиевидная гипербола DBE (черт. III) имеет асимптотой линию АС.
В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряжённым этой хорде (и всем хордам, которые ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр.
Если эллипс задан уравнением
(6.1)
то его диаметр, сопряжённый хордам с угловым коэффициентом k, определяется уравнением:
(6.2)
Если гипербола задана уравнением
(6.3)
то её диаметр, сопряжённый хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением:
(6.4)
Все диаметры параболы параллельны её оси.
Если парабола задана уравнением
то её диаметр, сопряжённый хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
(6.6)
Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряжёнными.
Если k и k’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжённых диаметров эллипса (6.1), то
(6.7)
Если k и k’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжённых диаметров гиперболы (6.3), то
(6.8)
Соотношения (6.7) и (6.8) называются условиями сопряжённости диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы. Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряжённым хордам, называется главным.
7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.
Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
Задача упрощения уравнения или состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении были устранены:
1) член, содержащий произведение текущих координат,
2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.
В том случае, когда уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, упрощение его следует начинать с поворота осей без изменения начала координат и надлежащим выбором угла поворота добиться того, чтобы из преобразованного уравнения был устранен член, содержащий произведение текущих координат. Преобразование координат в этом случае будем вести по формулам
(7.1)
Если после устранения из преобразованного уравнения члена с произведением текущих координат в нем останутся члены с первыми степенями текущих координат, то последующим параллельным переносом осей можно, как это было показано, привести уравнение к каноническому виду.
Координатную систему, полученную в результате поворота первоначальной системы координат, будем обозначать через x1 Oy1 , а систему координат, полученную от параллельного переноса координатной системы x1 Oy1 , — через x2 O1 y2 (см. рис. 7.1)
Упрощение уравнения центральной линии второго порядка
Дано уравнение , определяющее центральную линию второго порядка ( = АС — В 2 ¹ 0 ). Перенося начало координат в центр S (х0 ; у0 ) этой линии и преобразуя уравнение по формулам:
(7.2)
Для вычисления можно пользоваться формулой:
Или
Дальнейшее упрощение уравнения (7.2) достигается при помощи преобразования координат
(7.3)
соответствующего повороту осей на угол α.
Если угол α выбран так, что:
(7.4)
то в новых координатах уравнение линии примет вид
(7.5)
где .
Замечание . Уравнение (7.4) позволяет определить , тогда как в формулах (3) участвуют и . Зная , можно найти и по формулам тригонометрии
Между коэффициентами уравнений (1*) и (7.5) существуют важные соотношения:
,
которые позволяют определить коэффициенты А’ и С’, не проводя преобразования координат.
Уравнение второй степени называется эллиптическим, если > 0, гиперболическим, если < 0, и параболическим, если = 0.
Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим, или гиперболическим.
Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет никакого геометрического образа).
Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пересекающихся прямых).
Упрощение параболического уравнения.
Пусть уравнение является параболическим, т. е. удовлетворяет условию .
В этом случае линия, определяемая уравнением , либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение при помощи формул (7.6)
Угол следует найти из уравнения (7.7)тогда в новых координатах уравнение приводится либо к виду (7.8)
где , либо к виду (7.9)
где .
Дальнейшее упрощение уравнений (7.8) и (7.9) достигается путём параллельного перенесения (повёрнутых) осей.
8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А.П. Веселов, Е.В. Троицкий, Лекции по аналитической геометрии, МГУ, 2002.
2. Д.А. Клетеник, Аналитическая геометрия.
3. П.И. Кузнецов, Лекции по аналитической геометрии МГУ.
4. С.Б. Кадомцев, Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Физматлит, 2003
http://www.calc.ru/1478.html
http://zinref.ru/000_uchebniki/02800_logika/011_lekcii_raznie_51/1623.htm