Примеры решения иррациональных, тригонометрических, логарифмических и других уравнений, решаемых нетрадиционными методами
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕКОТОРЫХ ОРИГИНАЛЬНЫХ ПРИЕМОВ.
1
. Решение иррациональных уравнений.
1.1.1 Решите уравнение .
Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение
, .
Тогда,
Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .
Имеем систему уравнений
Т.к. а + в = 4, то
Значит: 9 – x = 8 х = 1. Ответ : х = 1.
1.1.2. Решите уравнение .
Введем обозначения: , ; , .
Значит:
Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем .
Имеем систему уравнений
а + в = 2, , , ,
.
Вернемся к системе уравнений:
, .
Решив уравнение относительно (ab), имеем ab = 9, ab = -1 (-1 посторонний корень, т.к. , .).
Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.
Ответ : нет решений.
Решите уравнение: .
Введем обозначение , где . Тогда , .
, ,
.
Рассмотрим три случая:
1) . 2) . 3) .
— а + 1 — а + 2 = 1, а — 1 — а + 2 = 1, а — 1 + а — 2 = 1, a = 1, 1 [ 0;1 ). [ 1 ; 2 ). а = 2.
Если , то , , .
Ответ: .
1.2. Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).
Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.
Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.
Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если
, , то
Решите уравнение: .
ОДЗ: .
Рассмотрим правую часть уравнения.
Введем функцию . Графиком является парабола с вершиной А(3 ; 2 ).
Наименьшее значение функции у(3) = 2, то есть .
Рассмотрим левую часть уравнения.
Введем функцию . С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x ( 2 ; 4 ).
.
при ,
,
, x=3.
g` + —
2 3 4
Имеем, .
В результате , , то
Составим систему уравнений , исходя из вышеуказанных условий :
Решая первое уравнение системы , имеем х = 3. Подстановкой этого значения во второе уравнение, убеждаемся, что х = 3 есть решение системы.
1.3. Применение монотонности функции.
1.3.1. Решите уравнение :
ОДЗ : , т.к . .
Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.
Левая часть представляет собой возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.
Предположим имеется корень х1 , больший 1, тогда выполняется
, т.к. х1 >1,
,
,
.
.Делаем вывод, что корней больших единицы нет.
Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.
Значит x=1 – единственный корень.
1.3.2. Решите уравнение:
ОДЗ: [ 0,5 ; + ), т.к . т.е. .
Преобразуем уравнение ,
,
.
Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, х = 7.
Проверка:
Можно доказать, что других корней нет( см. пример выше).
Метод оценки левой и правой частей.
Дадим оценку левой части уравнения.
2х — х 2 + 15 = — (х 2 — 2х — 15 ) = — ( ( х 2 — 2х + 1 ) — 1 — 15 ) = — ( х — 1 ) 2 + 16 16.
Тогда log2 (2х — х 2 + 15 ) 4.
Оценим правую часть уравнения.
x 2 — 2х + 5 = (х 2 — 2х + 1 ) — 1 + 5 = (х — 1) 2 + 4 4.
Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем.
значит
Для самостоятельной работы.
2.1.2. log4 (6х — х 2 + 7 ) = х 2 — 6х + 11 Отв.: х = 3.
2.1.3. log5 ( 8x — x 2 + 9 ) = x 2 — 8x + 18 Отв.: х = 6.
2.1.4. log4 (2x — x 2 + 3 ) = x 2 — 2x + 2 Отв.: х = 1.
2.1.5. log2 ( 6x — x 2 — 5 ) = x 2 — 6x + 11 Отв.: х = 3.
2.2. Использование монотонности функции, подбор корней.
Выполним замену 2x — x 2 + 15 = t, t>0. Тогда x 2 — 2x + 5 = 20 — t, значит
Функция y = log2 t — возрастающая, а функция y = 20 — t — убывающая. Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором t = 16.
Решив уравнение 2х — х 2 + 15 = 16, находим, что х = 1.
Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.
2.3. Некоторые “интересные” логарифмические уравнения.
2.3.1. Решите уравнение .
ОДЗ: ( x — 15 ) cosx > 0.
Перейдем к уравнению
, , ,
.
Перейдем к равносильному уравнению
(x — 15) (cos 2 x — 1) = 0,
x — 15 = 0, или cos 2 x = 1 ,
x = 15. cos x = 1 или cos x = -1,
x = 2 k, k Z . x = + 2 l, l Z.
Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.
1) если x = 15 , то (15 — 15) cos 15 > 0,
x = 15 – не является корнем уравнения.
2) если x = 2 k, k Z, то (2 k — 15) l > 0,
2 k > 15, заметим, что 15 5 . Имеем
3) если x = + 2 l, l Z, то ( + 2 l — 15 ) ( — 1 ) > 0,
2 l , заметим, что 15 5 .
Ответ: х = 2 k (k = 3,4,5,6,…); х = +2 1(1 = 1,0, -1,- 2,…).
3.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения.
4.1.1. Решите уравнение cos3x cos2x = -1.
0,5 ( cos x + cos 5 x ) = -1, cos x + cos 5 x = -2.
Поскольку cos x — 1 , cos 5x — 1, заключаем, что cos x + cos 5x > -2, отсюда
следует система уравнений
cos x = -1,
Решив уравнение cos x = -1, получим х = + 2 к ,где k Z.
Эти значения х являются также решениями уравнения cos 5x = -1, т.к.
cos 5 x = cos 5 ( + 2 k) = cos ( + 4 + 10 k) = -1.
Таким образом , х = + 2 к , где k Z , — это все решения системы, а значит и исходного уравнения.
Ответ: х = ( 2k + 1 ), k Z.
Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем
cos 2 x = — 1,
cos 2 x = 1,
Решив каждую систему уравнений , найдем объединение корней.
Ответ: x = ( 2 к + 1 ), k Z.
Для самостоятельной работы.
3.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Ответ: нет решений.
3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Ответ: нет решений.
3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Ответ: х = 2 к, k Z.
3.1.7. cos 3x + cos 5x/2 = 2.
Поскольку cos 3x 1 и cos 5x/2 1 , то данное уравнение равносильно системе
cos 3 x = 1, x = 2 n / 3,
cos 5 x /2 = 1; x = 4 k / 5.
Ответ: 4 m, m Z.
3.1.8. cos 2x + cos 3 x / 4 — 2 = 0. Ответ: 8 к, k Z .
Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)
Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.
\(\blacktriangleright\) Квадратные тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к квадратному уравнению.
Часто при решении таких уравнений используются
основные тождества: \[\begin
формулы двойного угла: \[\begin
Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)
С помощью формулы \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\) уравнение сводится к виду:
\(6\sin^2x+13\sin x+7=0\) . Сделаем замену \(t=\sin x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:
\(6t^2+13t+7=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-\dfrac76, \ t_2=-1\) .
Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\sin x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>2+2\pi n, n\in\mathbb
Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)
С помощью формулы двойного угла для косинуса \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha\) имеем:
\(\cos4x=1-2\sin^22x\) . Сделаем эту подстановку и получим:
\(2\sin^22x+5\sin 2x+2=0\) . Сделаем замену \(t=\sin 2x\) . Т.к. область значений синуса \(\sin 2x\in [-1;1]\) , то \(t\in[-1;1]\) . Получим уравнение:
\(2t^2+5t+2=0\) . Корни данного уравнения \(t_1=-2, \ t_2=-\dfrac12\) .
Таким образом, корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену: \(\sin 2x=-\dfrac12 \Rightarrow x_1=-\dfrac<\pi><12>+\pi n, \ x_2=-\dfrac<5\pi><12>+\pi n, n\in\mathbb
Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm
Т.к. \(\mathrm
\(t+\dfrac3t+4=0 \Rightarrow \dfrac
Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Кубические тригонометрические уравнения
Если после преобразования уравнение приняло следующий вид: \[<\Large
то такое уравнение с помощью замены \(f(x)=t\) сводится к кубическому уравнению.
Часто при решении таких уравнений в дополнение к предыдущим формулам используются
формулы тройного угла: \[\begin
Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)
При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\) :
\(12\sin^3x-9\sin x+11\sin x-3+11-22\sin^2 x=0\) . Сделаем замену \(\sin x=t, \ t\in[-1;1]\) :
\(6t^3-11t^2+t+4=0\) . Подбором находим, что один из корней равен \(t_1=1\) . Выполнив деление в столбик многочлена \(6t^3-11t^2+t+4\) на \(t-1\) , получим:
\((t-1)(2t+1)(3t-4)=0 \Rightarrow\) корнями являются \(t_1=1, \ t_2=-\dfrac12, \ t_3=\dfrac43\) .
Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad <\Large>, \quad a\ne 0,c\ne 0\]
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin^2 x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .
Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos^2 x\) или на \(\sin^2 x\) . Разделим, например, на \(\cos^2 x\) :
Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm
\(at^2+bt+c=0\) , способ решения которого вам известен.
Уравнения вида \[I’. \quad <\Large>, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]
Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде
\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)
Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)
Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:
\(\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x=0\) . Разделим данное уравнение на \(\cos^2x\) :
\(\mathrm
\(t^2+3t-4=0\) . Корнями являются \(t_1=-4, \ t_2=1\) . Сделаем обратную замену:
\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0\]
Заметим, что в данном уравнении никогда не являются решениями те значения \(x\) , при которых \(\cos x=0\) или \(\sin x=0\) . Действительно, если \(\cos x=0\) , то, подставив вместо косинуса ноль в уравнение, получим: \(a\sin x=0\) , откуда следует, что и \(\sin x=0\) . Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству, т.к. оно говорит о том, что если \(\cos x=0\) , то \(\sin x=\pm 1\) .
Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.
Значит, данное уравнение можно делить на \(\cos x\) или на \(\sin x\) . Разделим, например, на \(\cos x\) :
\(a \ \dfrac<\sin x><\cos x>+b \ \dfrac<\cos x><\cos x>=0\) , откуда имеем \(a\mathrm
Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)
Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\) :
\(1+\mathrm
\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]
Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:
1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: \(<\large<\sin x=2\sin<\dfrac x2>\cos<\dfrac x2>, \qquad \cos x=\cos^2 <\dfrac x2>-\sin^2 <\dfrac x2>,\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 <\dfrac x2>+\cos^2 <\dfrac x2>\Big)>>\) данное уравнение сведется к уравнению \(I\) :
Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
Распишем \(\sin 2x=2\sin x\cos x, \ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2 x, \ -1=-\sin^2 x-\cos^2x\) . Тогда уравнение примет вид:
\((1+\sqrt3)\sin^2x+2\sin x\cos x+(1-\sqrt3)\cos^2x=0\) . Данное уравнение с помощью деления на \(\cos^2x\) и замены \(\mathrm
\((1+\sqrt3)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) . Корнями этого уравнения являются \(t_1=-1, \ t_2=\dfrac<\sqrt3-1><\sqrt3+1>=2-\sqrt3\) . Сделаем обратную замену:
2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin
Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
\(\dfrac<(\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3><1+t^2>=0 \Rightarrow (\sqrt3+1)t^2+2t+1-\sqrt3=0\) (т.к. \(1+t^2\geqslant 1\) при всех \(t\) , то есть всегда \(\ne 0\) )
Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.
3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\]
Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin
Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)
Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt<1^2+(-\sqrt3)^2>=2\) :
\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac<\sqrt3>2\cos 2x=-\dfrac12\)
Заметим, что числа \(\dfrac12\) и \(\dfrac<\sqrt3>2\) получились табличные. Можно, например, взять за \(\dfrac12=\cos \dfrac<\pi>3, \ \dfrac<\sqrt3>2=\sin \dfrac<\pi>3\) . Тогда уравнение примет вид:
\(\sin 2x\cos \dfrac<\pi>3-\sin \dfrac<\pi>3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac<\pi>3\right)=-\dfrac12\)
Решениями данного уравнения являются:
Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.
\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[<\Large>, \text <где >a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[<\large<(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x>> \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.
Для этого необходимо сделать замену \(t=\sin x\pm \cos x\) , тогда \(\sin x\cos x=\pm \dfrac
Заметим, что формула \((*)\) есть не что иное, как формула сокращенного умножения \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) при подстановке в нее \(A=\sin x, B=\cos x\) .
Пример 10. Решить уравнение \(3\sin 2x+3\cos 2x=16\sin x\cos^3x-8\sin x\cos x\) .
Вынесем общий множитель за скобки в правой части: \(3\sin 2x+3\cos 2x=8\sin x\cos x(2\cos^2 x-1)\) .
По формулам двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin 2x, 2\cos^2x-1=\cos 2x\) имеем: \[3(\sin 2x+\cos 2x)=4\sin 2x\cos 2x\] Заметим, что полученное уравнение как раз записано в необходимом нам виде. Сделаем замену \(t=\sin 2x+\cos 2x\) , тогда \(\sin 2x\cos 2x=\dfrac
По формулам вспомогательного аргумента \(\sin2x+\cos 2x=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac<\pi>4\right)\) , следовательно, сделав обратную замену: \[\left[ \begin
\(\Rightarrow \left[ \begin
\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:
\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) :
\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)
\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :
\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)
\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\) :
\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)
\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)
\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\) :
\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\) (по первой формуле)
Иррациональные тригонометрические уравнения
Харцызск
Год
Виды тригонометрических уравнений.
1. Простейшие тригонометрические уравнения:
Пример 1. 2sin(3x — p/4) -1 = 0.
Решение. Решим уравнение относительно sin(3x — p/4).
sin(3x — p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим
3х — p/4 = (-1) n arcsin 1/2 + np, nÎZ.
Зх — p/4 = (-1) n p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1) n p/6 + p/4 + np, nÎZ;
x = (-1) n p/18 + p/12 + np/3, nÎZ
Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.
Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = — p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =
= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.
Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x2 =13p/36 + 2pn/3, nÎZ,
или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.
Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.
Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение примет вид
sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;
sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x — p/6) = 1/2.
По формуле для уравнения cosx = а находим
х — p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;
x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;
x2 = — p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;
Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.
2. Двучленные уравнения:
Пример 1. sin3x = sinx.
Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x — sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.
Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.
sinx = 0 или cos2x = 0.
x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.
Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.
3. Разложение на множители:
Пример 1. sinx + tgx = sin 2 x / cosx
Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p/2 + pn, nÎZ.
sinx + sinx/cosx = sin 2 x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.
sinx · cosx + sinx — sin 2 x = 0; sinx(cosx + 1 — sinx) = 0;
sinx = 0 или cosx — sinx +1=0;
x1 = pn, nÎZ; cosx — cos(p/2 — x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 — x) = -1;
Ö2 · sin(p/4 — x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 — x = (-1) n+1 arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;
x2 = p/4 — (-1) n+1 · p/4 — pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) n · p/4 + pn, nÎZ.
Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.
Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I) n · p/4 + pn, nÎZ.
Способ подстановки
Пример 1. 2 sin 2 x = 3cosx.
Решение. 2sin 2 x — 3cosx = 0; 2 (l — cos 2 x) — 3cosx = 0; 2cos 2 x + 3cosx — 2 = 0.
Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z 2 + 32z — 2=0.
Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 —
-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:
cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.
Однородные уравнения
Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:
a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или
a sin 3 x + b sin 2 x cosx + c sinx cos 2 x + d sin 3 x = 0 и т.д.
В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin 2 x или на cos 2 x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.
Пример 1. Ö3sin 2 2x — 2sin4x + Ö3cos 2 2x = 0.
Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.
Получим уравнение Ö3sin 2 2x — 4sin2xcos2x + Ö3cos 2 2x = 0.
Разделим на cos 2 2x. Уравнение примет вид Ö3 tg 2 2x – 4tg2x + Ö3 = 0.
Пусть z = tg2x, тогда Ö3z 2 — 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.
z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3
tg2x = Ö3 или tg2x = 1/Ö3
2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;
x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.
Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.
6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с
Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.
Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.
sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ.
Ответ: x = p/2 — arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.
Пример 1. 1/(Ö3-tgx) – 1/(Ö3 +tgx) = sin2x
Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения
tgx ¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.
Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.
(Ö3 + tgx — Ö3 + tgx)/3 — tg 2 x = 2tgx/ (1 + tg 2 x); 2tgx / (3 — tg 2 x) = 2tgx/(1 + tg 2 x)
Второе уравнение имеет вид
2tg 2 x — 2 = 0; tg 2 x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
Иррациональные тригонометрические уравнения
Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).
Пример 1. Ö( cos 2 x + ½) + Ö( sin 2 x + ½) = 2.
Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.
cos 2 x + ½ + 2 Ö(( cos 2 x + ½) ( sin 2 x + ½)) + sin 2 x + ½ = 4
Ö(( cos 2 x + ½) ( sin 2 x + ½)) = 1; ( cos 2 x + ½) ( sin 2 x + ½) = 1
( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ — ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 — ½ cos2x) = 1;
1 – ¼ cos 2 2x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz
Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.
9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция
Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.
Пример 1. tg(x 2 + 5x)ctg 6=1.
Решение. Запишем уравнение в виде tg(x 2 +5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х 2 + 5х = 6 + pn, nÎZ; х 2 + 5х — (6+pn) = 0, nÎz;
Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ± Ö(49 + 4pn))/2, nÎz
Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n ³ -49/4p; n ³ -3.
“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.
“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,
А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,
http://shkolkovo.net/theory/24
http://poisk-ru.ru/s51199t16.html