Иррациональные системы уравнений с параметрами

Решение иррациональных уравнений и систем уравнений с параметром

Иррациональными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала (корня) или под знаком возведения в дробную степень. При этом, степень корня может быть произвольной.

В России появится перечень разрешённых электронных образовательных ресурсов

К 1 января в России появится перечень электронных ресурсов, разрешенных к использованию в школах. Об этом в интервью «Российской газете» рассказала глава Комитета Госдумы по просвещению Ольга Казакова.

Госслужащих заставят сдавать экзамен по русскому языку

Чиновников скоро заставят сдавать экзамен на знание русского языка и умение говорить на нем правильно, красиво, без канцелярита. Об этом сообщила ректор Государственного института русского языка имени Пушкина, член Совета при президенте РФ по русскому языку Маргарита Русецкая.

Пробный вариант ЕГЭ-2022 по русскому языку

Соответствует демоверсии ЕГЭ-2022. Вариант составлен на основе заданий открытого банка ФИПИ.

Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МАОУ ЛИЦЕЙ №44 г. Липецка

Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.

Уроки математики в 11 классе

Задачи с параметрами

по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

Углубить знания учащихся по теме иррациональные уравнения и неравенства.

Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства с параметрами” реализуются в содержании ЕГЭ.

Развивать практические навыки в решении иррациональных неравенств с параметрами.

Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.

Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение. Повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами. Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.

Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.

Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.

Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.

Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.

В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.

Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.

Иррациональные уравнения и неравенства.

При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q – некоторые функции, , тогда:

1). , f ≥ 0; q ≥ 0.

2). , f ≥ 0; q > 0.

3). , q ≥ 0.

4). , , q ≠ 0.

5). , fq ≥0.

Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.

Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.

Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

Уравнение вида , равносильно системе:

Решить уравнение .

Заданное уравнение равносильно системе:

=> =>

Находим значения а, при которых

Ответ:

Решить уравнение .

Заданное уравнение равносильно системе:

=>

,

х ₁ , х ₂ являются действительными числами при а ≤ 9/16. При значениях а > 9/16 решений нет.

Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.

а) ≥ ½

≥ а

Если а ≤ 9/16, то 8а-5 справедливо при всех допустимых а.

б).

а ≥ ½ (а ≤ 9/16)

Следовательно, х ₂ является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16

Ответ: , если а , если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.

Решить уравнение

ОДЗ: х – а ≥ 0, х ≥ а

Если а = 1, то х ₁ = х ₁ = 1.

Если а ₁ = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.

Если а > 1, то х ₁ = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.

Ответ: 1) если а ₁ = 1; х ₂ = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.

При каких а уравнение имеет один корень?

Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а

Ответ: а = 4 или а

Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение имеет различные положительные корни.

ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0

D =

, . А = 17 – минимальное целое число.

Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения принадлежат отрезку [2;17].

Пусть

, t ≥ 0, х — 1 = t 2

,

,

1) => => =>

2) => =>

3) => => =>

Ответ: .

Решить уравнение .

х ≥ 2

(х + 1)(х — 2) = а; х 2 – х – 2 = а, х 2 – х – 2 – а = 0.

, .

Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х ₂ .

Ответ: при а ≥ 0 .

Решить уравнение .

. Так как , то m > 0. Пусть у = , тогда х = у 2 + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:

т.е. ,

, , .

Ответ: при m m >3 решений нет, при .

Решить уравнение .

Пусть , тогда ,

, , а т.к. t > 0, то ,

, , . ( а > ¼)

х = .

Ответ: х = при а > ¼.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение.

Если изобразить графики функций и , то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при .

При каких значениях а решением неравенства является промежуток [2;18)?

х 2 , т.к. , то

а = 7 – не подходит в ОДЗ.

Решить неравенство , где а – параметр.

При любом значении а, если правая часть х + а – 1

При х ≥ 1 – а равносильная система имеет вид :

=> (*)

Рассмотрим возможные случаи:

Если а > 1, то 1 – а ≤ х . Объединяя с множеством х .

Если а = 1, то х ≥ 1 – решение системы (*). Объединяя с множеством х

Ответ: , если а > 1; , если а ≤ 1.

Решить уравнение

Из данного уравнения следует:

1 – х 2 = х 2 + 2ах + а 2 ,

2х 2 + 2ах + а 2 — 1 = 0.

D /4 = 2 – а 2 . D > 0 при |a| .

Затем если изобразить графики функций и , то видно как меняется количество решений в зависимости от значений а.

Ответ: при нет решений; при и одно решение; при два решения.

1). Решить уравнение .

Ответ: .

2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение имеет различные положительные корни.

, х > 0, а ≥ 0.

D = 49 – 4 a 2 > 0

а = -3, 5 не входит в ОДЗ.

3). Решить уравнение .

Данное уравнение равносильно системе:

=>

При а = 2 второе уравнение имеет вид , т.е. .

При а ≠ 2 .

Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.

.

Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 ; при 1/3

4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения принадлежит отрезку [-4;44].

Ответ: .

5). При всех а решить неравенство .

ОДЗ:

а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех .

б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.

=> .

Ответ: при ; при .

Иррациональные системы уравнений и неравенств с двумя переменными

п.1. Решение иррациональных систем уравнений

п.2. Решение иррациональных систем неравенств

Внимание!
В иррациональных неравенствах возводить одновременно в чётную степень обе стороны можно только при условии, что обе стороны неотрицательны .
При выполнении этого условия знак неравенства сохраняется.
Иначе – знак неравенства не сохраняется, и получаем ложное высказывание.

Возводить одновременно в нечётную степень можно в любом случае.

Решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm<-2\leq x \lt \frac<\sqrt<5>-1><2>> & \\ \mathrm <-1\leq y\leq 3>& \end\right. \) прямоугольник на координатной плоскости.

Сторона CD в множество решений не входит.