Иррациональные уравнения 10 класс определение

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №20. Иррациональные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие иррационального уравнения;

2) понятие иррационального неравенства;

3) виды и методы решения простейших иррациональных уравнений;

4) методы решения иррациональных неравенств.

Глоссарий по теме

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иррациональное уравнение – это уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня.

Свойство: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение – следствие данного.

Рассмотрим виды иррациональных уравнений

В этом случае мы можем воспользоваться определением квадратного корня.

Из него следует, что а≥0, тогда

Для нашего случая получим

или

Мы знаем, что сумма положительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Т.е.

По определению квадратного корня f(x) > 0. Таким образом, чтобы найти такие значения неизвестной, при которых выполняются следующие условия:

следовательно, решений нет

Ответ: решений нет

Определение. Неравенство, содержащие переменную под знаком корня, называется иррациональным.

Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Решим уравнение:

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

, которое не будет равносильно исходному уравнению, потому что у этого уравнения два корня , а у первоначального уравнения только один корень х=4.

Подчеркните корни данного уравнения

Решим данное уравнение.

Получаем три корня из последнего уравнения: -1;0;1

Решите уравнение:

Рассмотрим область определения функций:

х=-2, но -2 не входит в область определения функций, следовательно, решений нет.

Иррациональные уравнения 10 класс Подготовила учитель математики СОШ 14 г. Северодонецка Афанасьевская Н.И. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВсеволод Мишутин

Похожие презентации

Презентация на тему: » Иррациональные уравнения 10 класс Подготовила учитель математики СОШ 14 г. Северодонецка Афанасьевская Н.И.» — Транскрипт:

1 Иррациональные уравнения 10 класс Подготовила учитель математики СОШ 14 г. Северодонецка Афанасьевская Н.И.

2 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 — познакомиться с понятием иррационального уравнения; — рассмотреть методы и способы решений иррациональных уравнений; — совершенствовать свои умения и навыки самоконтроля и самооценки при решении уравнений; — формировать волевые качества своего характера, настойчивость, целеустремленность. Предлагаю: Желаю успеха!

3 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Иррациональные уравнения Определение: Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала). Например:

4 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Какие из уравнений являются иррациональными? а) х + х = 2 ; б) х + х = 0 ; в) х 7 = 11+х ; г) у² = 4; д) у + у² + 9 = 2 ; е) х – 1 = 3.

5 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Иррациональные уравнения рассматриваются только в области действительных чисел. При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать свойства корня n-ой степени: если имеем, то а 0, если имеем,то. для всех а 0;,если а 0;, если а 0.

6 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Докажите, что уравнения не имеют решений 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.

7 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Решение 1. В левой части имеем арифметический квадратный корень, который есть неотрицательное число, правая часть – отрицательное число. Следовательно, уравнение решений не имеет. 2. Найдем ОДЗ: При х -2 выражение положительное, а выражение неотрицательное, а их сумма может быть только положительным числом, т.к. правая часть уравнения строго больше нуля, а правая равна нулю. Получили неверное равенство. Следовательно, уравнение решений не имеет. 3. Найдем ОДЗ: Уравнение не определено на множестве действительных чисел, поэтому решений нет.

8 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Решение 4. Найдем ОДЗ: Если х -1, то х , поэтому отрицательное число. Исходное уравнение не верное, поэтому решений не имеет. 5. Найдем ОДЗ: 6. Найдем ОДЗ: Для любого х из ОДЗ имеем верное неравенство 0 х-3 х+9. Учитывая монотонность функции, имеем, что Левая часть исходного уравнения отрицательная, а правая — положительная. Поэтому исходное уравнение решения не имеет.

0 – нечетное число, n=2k+1, то уравнения А n (х) = В n (х) и А(х) = В(х) равносильные (эквивалентные). 2. Если n > 0 – четное число, n=2k, то корни уравнения А n (х) = В n» title=»Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Теоремы 1. Если n > 0 – нечетное число, n=2k+1, то уравнения А n (х) = В n (х) и А(х) = В(х) равносильные (эквивалентные). 2. Если n > 0 – четное число, n=2k, то корни уравнения А n (х) = В n» > 9 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Теоремы 1. Если n > 0 – нечетное число, n=2k+1, то уравнения А n (х) = В n (х) и А(х) = В(х) равносильные (эквивалентные). 2. Если n > 0 – четное число, n=2k, то корни уравнения А n (х) = В n (х) удовлетворяют хотя бы одно из уравнений: А(х) = В(х) или А(х) = -В(х). 0 – нечетное число, n=2k+1, то уравнения А n (х) = В n (х) и А(х) = В(х) равносильные (эквивалентные). 2. Если n > 0 – четное число, n=2k, то корни уравнения А n (х) = В n»> 0 – нечетное число, n=2k+1, то уравнения А n (х) = В n (х) и А(х) = В(х) равносильные (эквивалентные). 2. Если n > 0 – четное число, n=2k, то корни уравнения А n (х) = В n (х) удовлетворяют хотя бы одно из уравнений: А(х) = В(х) или А(х) = -В(х).»> 0 – нечетное число, n=2k+1, то уравнения А n (х) = В n (х) и А(х) = В(х) равносильные (эквивалентные). 2. Если n > 0 – четное число, n=2k, то корни уравнения А n (х) = В n» title=»Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Теоремы 1. Если n > 0 – нечетное число, n=2k+1, то уравнения А n (х) = В n (х) и А(х) = В(х) равносильные (эквивалентные). 2. Если n > 0 – четное число, n=2k, то корни уравнения А n (х) = В n»>

10 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Посторонние корни Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, расширение области определения и др. По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка, либо использование области определения заданного уравнения.

11 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Простейшие способы решения иррациональных уравнений Преобразовать обе части уравнения к виду Возвести обе части в n-ую степень Учитывая, что получаем: Решить полученное уравнение и выполнить проверку (или ОДЗ) 1.Возведение в одну степень обеих частей уравнения

12 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Решение уравнения с радикалом четной степени Решим уравнение: Уединим радикал: Возведем обе части уравнения в квадрат : Решим квадратное уравнение : D = 49, х = -3, х = 4. Тогда : Проверка : Ответ : х=4.

13 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Решение уравнения с радикалом нечетной степени Решим уравнение: Уединим радикал: Возведем обе части уравнения в 7 степень : Решим полученное уравнение : Ответ : х=-133.

14 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Если квадратных корней в иррациональном уравнении много, то приходится возводить в квадрат несколько раз:

15 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Проверка

16 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Решите уравнения Ответы : 1) 4/3; 2) 6; 3) -1:1; 4) 0; 5) 3;7.

17 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 2.Метод замены переменной Ввести новую переменную. Решить уравнение, отбросить посторонние корни..Вернуться к первоначальному неизвестному. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

18 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Пример Пусть тогда исходное уравнение примет вид: у 1 = -7, посторонний у 2 = 6 Решим уравнение получим : х = 3, х = — 4,5 Ответ: х = 3; х = — 4,5.

19 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Решить уравнение Решение Пусть Тогда

20 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Возвращаемся к замене Ответ: х = 1 или х = — 6.

21 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 3. Метод равносильных преобразований при решении иррациональных уравнений равносильны системе Уравнения вида равносильны системе

22 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Решим методом равносильных преобразований 1. Решение. Перейдем к системе равносильной данному уравнению Ответ: х=2 2. Решение. Запишем систему, равносильную исходному уравнению: Ответ: х=3.

23 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 3. Перепишем данное уравнение в таком виде: Казалось бы, х=3-корень уравнения, но 3 не входит в область определения. Данное уравнение равносильно системе: Исходное уравнение равносильно такому: Ответ: х=0, х=5.

24 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 При решении уравнений вида или выполняем возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулу или

25 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Пример 1. Решите уравнение : Решение: Возведем обе части уравнения в куб. Имеем: По условию. Полученное уравнение имеет вид: Возведем обе части уравнения в куб. Получим: Выполним проверку. х=0 – посторонний корень. Ответ: х=1.

26 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Пример 2. Решите уравнение Решение Возведем обе части уравнения в куб. Имеем: учитывая, что имеем: Выполним проверку: х=-6-посторонний корень Ответ: х=1.

27 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 4. Метод пристального взгляда Этот метод основан на следующем теоретическом положении: Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение. Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется: Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении. Записать область определения данной функции. Доказать ее монотонность в области определения. Угадать корень уравнения. Обосновать, что других корней нет. Записать ответ.

28 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Пример 1 Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной х Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного х. Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного х.

29 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Пример 2 Рассмотрим функцию Найдем область определения данной функции: Данная функция является монотонно возрастающей.

30 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Для эта функция будет принимать наименьшее значение при,а далее только возрастать. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения.

31 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Тематический тест «Решите уравнение» 1. Решить уравнение: А. -3;4. Б. -3. В. -3;4;6. Г Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения А. 5. Б. 4. В. 1. Г. 0. Д Решите уравнение Если уравнение имеет один корень, запишите его в ответ. Если уравнение имеет несколько корней, то запишите в ответ их произведение.

32 Иррациональные уравнения. 10 класс Афанасьевская Н.И СОШ14 Использованные ресурсы 1.Довгаль Г. Ірраціональні рівняння і нерівності // Математика. – (445). – С Котовнюк М.М. Алгебра та початки аналізу. 11 клас / М.М. Котовнюк, В.А. Ясінський, С.М. Бак. – Х.: Основа, – 288 с. 3. Мерзляк А. Г. Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів: профільний рівень / А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровский, В.Б. Полонський, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, – 416 с. 4. Мерзляк А.Г. Алгебраический тренажер: пособие для школьников и абитуриентов / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – К.: А.С.К., – 320 с. 5. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навчальн. закладів: профільн. рівень / Є. П. Нелін. – Х.: Гімназія, – 416 с. 6. Шпаківський В. Деякі ірраціональні рівняння // Математика. – (316). – С Штиволока О. Ірраціональні вирази та рівняння // Математика. – (507). – С Досье школьного учителя математики Иррациональные уравнения Иррациональные уравнения.