Иррациональные уравнения и неравенства 11 класс

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Решение иррациональных уравнений и неравенств 11 класс
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Решение иррациональных уравнений и неравенств. данная работа содержит рекомендации выпускникам школ и абитуриентам технических вузов

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматривают, а для успешной учебы в ВУЗе умение решать эти задания необходимо.

В данной работе показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому мои рекомендации можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также ими можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятия

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение иррациональных уравнений и неравенств

школ и абитуриентам технических вузов

Учитель математики СОШ № 8

1. Иррациональные уравнения:

• Решение иррациональных уравнений стандартного вида.
• Решение иррациональных уравнений смешанного вида.
• Решение сложных иррациональных уравнений.

1. Иррациональные неравенства:

• Решение иррациональных неравенств стандартного вида.
• Решение нестандартных иррациональных неравенств.
• Решение иррациональных неравенств смешанного вида.

Я, Погорелая О.И., составила рекомендации для выпускников по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является то, что в школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в школьном курсе не рассматривают, а на вступительных экзаменах эти задания часто встречаются.

В данной работе показаны решения как иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной сложности. Поэтому мои рекомендации можно использовать как учебное пособие для подготовки в ВУЗ, также ими можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.

II. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:

Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение = x – 2,

2x – 1 = x 2 – 4x + 4, Проверка:

x 2 – 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2,

x 2 = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,

Ответ: 5 пост. к. 1 -1.

б) Решить уравнение = х + 4,

в) Решить уравнение х – 1 =

х 3 – 3х 2 + 3х – 1 = х 2 – х – 1,

х 3 – 4х 2 + 4х = 0,

х = 0 или х 2 – 4х + 4 = 0,

г) Решить уравнение х – + 4 = 0,

х + 4 = , Проверка:

х 2 + 8х + 16 = 25х – 50, х = 11, 11 – + 4 = 0,

х 2 – 17х + 66 = 0, 0 = 0

х 1 = 11, х = 6, 6 – + 4 = 0,

Решение иррациональных уравнений смешанного вида:

• Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:

а) Решить уравнение =

x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

или

б) Решить уравнение

, – +

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум системам:

• Иррациональные показательные уравнения:

а) Решить уравнение

Сделаем обратную замену:

– ( ур-ние не имеет решений) x = 3.

б) Решить уравнение

Приведем все степени к одному основанию 2:

данное уравнение равносильно уравнению:

• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

возведем обе части уравнения в квадрат

• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить уравнение

возведем обе части уравнения в куб

возведем обе части уравнения в куб

• Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:

а) Решить уравнение

Пусть = t, тогда = , где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части в квадрат

б) Решить уравнение

Пусть = t, значит = , где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x + 8 = 16, Проверка:

в) Решить уравнение

Пусть = t, где t > 0

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в квадрат

Решение сложных иррациональных уравнений:

• Иррациональное уравнение, содержащее двойную иррациональность:

возведем обе части уравнения в куб

возведем обе части уравнения в квадрат

t 2 – 11t + 10 = 0,

Сделаем обратную замену: Проверка:

x = -пост. корень 0

• Иррациональные логарифмические уравнения:

а) Решить уравнение lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg

lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg ,

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

б) Решить уравнение

IV. Иррациональные неравенства

Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).

Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств:

Иррациональное неравенство вида равносильно совокуп-ности двух систем неравенств:

Решение иррациональных неравенств стандартного вида:

а) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

+ – +

Ответ: [1; 2) . 1 3 x

б) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:

в) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: нет решений

Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

б) Решить неравенство

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

• Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:

а) Решить неравенство

Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

б) Решить неравенство (2x – 5)

Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе неравенств:

• Решение иррациональных неравенств способом группировки:

сгруппируем по два слагаемых

вынесем общий множитель за скобку

учитывая, что > 0 и правило знаков при умножении данное неравенство равносильно системе неравенств:

• Иррациональное неравенство, содержащее два знака иррациональности:

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

• Решение иррациональных неравенств заменой:

Пусть = t, тогда = , t > 0

Сделаем обратную замену:

возведем в квадрат обе части неравенства

Решение иррациональных неравенств смешанного вида:

• Иррациональные показательные неравенства:

а) Решить неравенство

Нули функции: x 1 = 4; x 2 = – 1. –1 4 x

б) Решить неравенство 4 – 2 – 32

4 – 2 – 32, ОДЗ: x > 0

2 – 2 2 2 4 – 2 5 , выполним группировку слагаемых

2 (2 – 2) – 2 4 (2 –2)

(2 – 2) (2 – 2 4 ) , учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м системам:

т.к. y = 2 t , то т.к. y = 2 t , то

• Решение иррациональных логарифмических неравенств:

уч. ОДЗ данное нер-во равносильно системе нер-ств

Данные рекомендации помогут выпускникам средней школы научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические, повышенного уровня.

Примеры взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по математике под редакцией М.И. Сканави.

Этот материал может быть интересен и полезен выпускникам школ и абитуриентам технических вузов.

VI. Список литературы

1. Алгебра и начала анализа. Под редакцией А.Н. Колмогорова
2. 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин
3. Справочные материалы по математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович
4. Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави
5. Справочный материал

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Мастер-класс по математике «Методика решений иррациональных уравнений и неравенств»

Содержание:1.Пояснительная записка.2. Актуальность и перспективность мастер-класса.3.Теоретическая база.4. Новизна.5. Методы работы.6. Итоги и анализ проведения мастер-класса.7. Предполагаемые р.

Материал к теме: «Решение иррациональных уравнений и неравенств».

В помощь учителю — материал к теме «Решение иррациональных уравнений и неравенств» (10 класс).

решение иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной

способ решения иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной.

решение иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной

способ решения иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной.

Методы решения иррациональных уравнений и неравенств

Иррациональные уравнения и неравенства часто встречаются на ЕГЭ. Разберем несколько примеров.

Открытый урок по алгебре и началам анализа в профильном 10А классе (физико-математическая группа) по теме: Решение иррациональных уравнений и неравенств.

На уроке рассматриваются сложные иррациональные уравнения и их решения.Решение неравенств рассматриваются двумя способами: методом интервалов и классическим.Урок подготовки к ЕГЭ-«С» часть.

План-конспект урока по алгебре в 10 классе на тему «Решение иррациональных уравнений и неравенств».

План-конспект урока по алгебре в 10 классе на тему «Решение иррациональных уравнений и неравенств».

Урок (2 часа) по теме «Иррациональные уравнения и неравенства». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы.

создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.

способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи, внимания, памяти.

содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться в группах.

Тип занятия: урок обобщения и систематизации знаний.

Формы организации учебной деятельности учащихся:

Оборудование: компьютер, медиапроектор, тесты, лекция 4 (П. В. Чулков).

1. Организационный момент

Вступительное слово учителя, который сообщает о том, что сегодня заключительное занятие по теме “Иррациональные уравнения и неравенства”. Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные методы и приёмы решения иррациональных уравнений и неравенств.

Затем учитель сообщает порядок проведения занятий, рекомендует, на что необходимо обратить особое внимание, что следует записать в тетрадь.

2. Актуализация опорных знаний (устно)

Подберите графическую интерпретацию решения неравенства:

Неравенства

Ответы1) (х – 2)(х+3)(х–4) > 01) (–; –3) u (2; 4)2) ( x –2)( x +3)(4– x ) ? 02) (–; –3 ]u [ 2; 4]3) (x–2)(x+3)(x–4) 03) (–3; 2) u (4; +)4) (x–2)(x+3)(4–x) ? 04) [–3; 2] u [ 4; +)

Укажите, для каких значений переменных равенство верно:

; ,= -х., ,

3. Мотивация учебной деятельности

В условиях экзамена наиболее высокие результаты показывают учащиеся, которые за отведённое время решают большее число задач. Многие задачи могут быть решены несколькими способами. Поэтому очень важно уметь для каждой задачи выбирать наиболее рациональный способ решения. Научиться этому можно только путём решения таких задач и последующего анализа проведённого решения.

4. Систематизация знаний, умений и навыков

а) Сообщение с презентацией по теме: “Иррациональные уравнения” (1группа учащихся, Приложение №1 )

Закрепление знаний, умений и навыков с последующей проверкой (практикум, парная работа):

Выполнить три решения одного уравнения ( Приложение №2 ):

1 решение: возведение обеих частей в квадрат;

2 решение: введением переменных;

3 решение: воспользоваться свойством монотонности функций.

б) Сообщение с презентацией по теме: “Иррациональные неравенства” (2 группа учащихся, Приложение №3 )

Закрепление знаний, умений и навыков с последующей проверкой (практикум, парная работа):

3х-4.

1 решение: с переходом к равносильной системе.

2 решение: методом интервалов.

5. Проверочные тесты

1)

2)

3) При каких значениях “а” решением неравенства является промежуток [2; 18):

а) (-1; 7); б) -1;7; в) -1; г) (-; 7).

1)>

а) ; б) (-2;-2); в) (-; 2); г) (- -2).

2) > х.

а) (-2;0); б) (2;+); в) (-1;2); г) [-2; 2).

1)

2)

а) 12; -3; б) 5; -4; в) 5; г)12.

3) При каких значениях “а” решением неравенства является промежуток [-1;15):

а) (-2; 6); б) а = -2; в) а = -2; 6; г)(-;6)

1)

а) [1;3]; б) [-3; 0) [1; 3]; в) [-3;1] [3; 5); г) (0; 1)

После выполнения решения и ответы сдаются учителю. Сообщаются верные ответы. Проводится коррекция знаний.

6. Подведение итогов

Сообщения с презентациями, подготовленные учащимися, были достаточны, грамотны, повторены типы, методы и особенности решения иррациональных уравнений и неравенств, проведены теоретические обоснования к ним.

Решения уравнений и неравенств различными способами, по мнению учеников ,помогает восполнить пробелы, найти свой, понятный путь решения задачи, найти свою нишу для самовыражения.

С тестами учащихся справились успешно: “5”-8уч.; “4”-12уч.; “3”-2уч.

Ученики пользовались различными способами, что особенно приятно учителю.

Учитель предлагает ученикам высказать свое мнение, продолжив фразы: — Сегодня на уроке .

— Я повторил . — Теперь я знаю . — В результате исследовательской групповой работы я .

1 группа — аналитическим способом по схеме: .

2 группа — аналитическим способом по схеме:

3 группа — графически на плоскости хОу с применением параллельного переноса.

4 группа — графически координатно-параметрическим способом на плоскости хОа.

[1] П.В. Чулков. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”.- М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006г.

[2] Ю.М. Колягин и др. “Алгебра и начала анализа”.- М.: Мнемозина, 2004г.

[3] П.И. Алтынов. “Алгебра и начала анализа”.- М.: Дрофа, 2001г .