Иррациональные уравнения огэ 9 класс

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Учебное пособие для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ «Построение иррациональных уравнений» (9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ-ИНТЕРНАТ»

Алиева Химисай Магомедганифаевна

«Построение иррациональных отрезков»

Владикавказ 2021 год

Постановка задачи о построении отрезка, заданного формулой……………………….

Построение отрезков, заданных простейшими формулами……………………………..

Построение корней квадратных уравнений

Признак возможности построения отрезка, являющегося заданной функцией данных отрезков, с помощью циркуля и линейки

Решение задач на построение методом алгебраического анализа

Построение тригонометрических выражений.

При изучении классической евклидовой геометрии необходимо решать множество прикладных геометрических задач, которые можно объединить в четыре типа:

В данной работе мы рассматриваем конструкционные задачи, с которыми нам приходится сталкиваться на протяжении всего курса геометрии, хотя они рассматриваются поверхностно, в результате чего у студентов вырабатываются недостаточные навыки решения задач, при этом часто нет представления об их разновидности и классификации. . .

Актуальность возможности решения этих задач обусловлена не только тем, что они широко используются в геометрии, но и востребованы в строительстве, архитектуре, дизайне и других сферах деятельности, связанных с математическими расчетами размеров различных геометрических фигур. формы.

Идея метода состоит в том, что с помощью различных алгебраических формул можно построить требуемый отрезок или фигуру из длин этих отрезков.

В данной работе мы рассматриваем вопросы, выходящие за рамки школьной программы: рассматриваем восемь основных задач построения сегментов; с их помощью решаются более сложные задачи, а также даются задачи по построению нужных фигур для этих элементов; показано решение уравнений первой и второй степени.

Преимущество алгебраического метода, прежде всего, состоит в том, что методами высшей алгебры окончательно определяется класс задач, решаемых с помощью циркуля и линейки. С помощью этих средств можно построить все отрезки, которые являются корнями алгебраического уравнения, которое имеет рациональные функции (с рациональными числовыми коэффициентами) этих отрезков и разрешимо в квадратных радикалах.

Применение алгебраического метода к решению задач геометрического построения приводит к изменению схемы решения задачи, что подтверждается приведенными ниже примерами. Частично исследование проводится в процессе анализа, позволяющего, например, выбрать решения уравнения, установить область существования функции x = f ( a , b , c ,…, k ) и т.д.

1. Постановка задачи о построении отрезка, заданного формулой

В целом ряде случаев, чаще всего, приходится решать следующую задачу.

Даны отрезки … a , b , c , …, l , l – их длины при некоторой избранной единице измерения. Требуется построить с помощью данных инструментов отрезок y , длина которого y при той же единице измерения выражается через длины a , b , c , . , l данных отрезков заданной формулой:

В данных случаях изъясняемся кратко, что строим выражение f ( a , b , c , … , l ) . В качестве инструментов принимаем линейку и циркуль. В дальнейшем по всюду мы предполагаем, что функция f ( a , b , c , … , l ) , задающая длину искомого отрезка через длины данных отрезков, рассматривается для таких значений положительных аргументов, при которых она имеет смысл и положительна.

Чтобы различать отрезок и его длину, мы отрезки обозначаем строчными буквами с чертой сверху ( … …), а их длины теми же буквами без черты ( a , b , c , . l , x , y , z ).

Для наглядности и полноты представленного выше учебного материала, мы рассмотрим некоторые примеры.

1. Дан отрезок, принимаемый за единичный. Требуется построить отрезок, длина которого была бы равна числу .

Может показаться, что для построения желаемого отрезка необходимо представить y в виде десятичной дроби (а это может быть только приблизительно представлено как конечная десятичная дробь), а затем отложить единичный отрезок, его десятые, сотые доли и т.д. по прямой соответствующее количество раз доли. Однако есть альтернативный способ, позволяющий построить точно нужный отрезок с помощью циркуля и линейки без каких-либо вычислений. Этот способ строительства будет установлен ниже.

2. Пусть требуется построить несколько точек графика функции y = . Например, вам нужно построить на плоскости точку x = 5 , y = . Может показаться, что для этого необходимо приблизительно вычислить y , а затем отложить по перпендикуляру к оси абсцисс в точке x = 5 из этой точки последовательно целые, десятые, сотые и т.д. доли найденного приблизительного значения корня. Очевидно, таким способом действительно можно получить точку, ордината которой примерно равна . Но можно построить отрезок длины без подобных вычислений, более того, теоретически он абсолютно точен. Как это делается, будет рассказано ниже.

3. Имеется два отрезка и , причем длины их равны соответственно 6,8 и 3,7. Требуется построить отрезок , длина которого определяется формулой y = . Мы увидим ниже, что для построения такого отрезка циркулем и линейкой вовсе не нужно ни возводить числа a = 6,8 и b = 3,7 в четвертую степень, ни извлекать корень из разности этих степеней: все это сделают циркуль и линейка.

Построение не усложнится, если a и b являются и более сложными для вычисления числами или даже не известны длины данных (начерченных) отрезков и .

2. Построение отрезков, заданных простейшими формулами

В школьном курсе геометрии в разделе «Приложение алгебры к геометрии» [4] на основании метрических соотношений в треугольнике и круге рассматриваются способы для построения циркулем и линейкой отрезков, заданных простейшими формулами. В данном случае необходимо напомнить правила построения отрезков по основным формулам.

1. x = a + b . x = a – b ( a > b ). x = n a , где n – натуральное число. Сводится к построению. На рисунке 1 построен отрезок такой, что x = 6 a .

2.

Строим луч, выходящий из некоторого конца О данного отрезка под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок , так образом ОВ = nb (рис. 2). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка . Через точку В_1, определяемую условием ОВ₁= b , проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку А₁, в которой она пересечет отрезок .

3. ( n и m – данные натуральные числа).

Первый способ . Разделим отрезок на m равных частей и увеличим полученный отрезок в n раз.

Второй способ . Пусть ОА = a . На произвольном луче, исходящем из точки О (рис. 3), Откладываем отрезок OB ₁ = mb и отрезок OB = nb . Через точку В₁ проводим отрезок B ₁ А_1, параллельный ВА. Тогда .

4. (построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам) .

Запишем условие в виде пропорции с : a = b : x .

Пусть (рис. 4) ОА = а, ОС= с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки, откладываем известный член другого отношения OB = b . Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку Х ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, т.е. ОХ = x .

5.

Первый способ . Воспользоваться построением, полагая b = a .

Второй способ (применимый, если а c ). Строим (рис. 5) полуокружность с диаметром АВ = с, хорду АС = а, перпендикуляр CD к АВ. Тогда AD = х .

6. ( построение среднего пропорционального двух данных отрезков).

Первый способ . Строим отрезки АС = а, СВ= b , так что АВ = a + b . На АВ, как на диаметре, строим полуокружность (рис. 6). В точке С восставляем перпендикуляр к АВ и отмечаем точку В его пересечения с окружностью. Тогда х = CD .

Второй способ (для a > b ). Строим окружность диаметром MN = a , на откладываем отрезок MK = b (рис. 7).

В точке K восставляем перпендикуляр к и отмечаем точку Х его пересечения с окружностью. Хорда МХ = х.

Третий способ (для a > b ). Строим окружность диаметра a – b ( рис. 8), через центр проводим секущую и откладываем на ней внешнюю часть, равную b . Из полученной точки А проводим касательную АТ, х = АТ.

7. . Отрезок строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b (рис. 9).

8. ( a > b ). Отрезок строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом b (рис. 10).

К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами. Приведем некоторые примеры.

Пример 1 . , где n – натуральное число. Если n = pq , где p и q – натуральные числа, то и задача сводится к построению 5.

Если , то и задача сводится к построению 7.

Аналогично, если n = p 2 – q 2 , то задача сводится к построению 8.

Пример 2 . , p и q – натуральные числа. Можно записать: , и поэтому задача сводится к построениям 3 и 6.

Пример 3 . .

Строим сначала по формуле , затем по формуле (см. построение 4).

Пример 4 . .

Строим выражение (см. построение 5), а затем .

Пример 5 . .

Строим последовательно отрезки по формулам:

, .

Пример 6 . .

Перепишем заданное выражение так: х =

Строим теперь отрезки по формулам (см. пример 4), , (см. пример 3).

Пример 7. .

Ясно, что Строим отрезки по формулам: (построение 8), (построение 6), (построение 7).

3. Построение корней квадратных уравнений

Пусть имеются два отрезка и . Длины их p и q . Можно дать правила, позволяющие построить без вычислений отрезки, длины которых в точности равны действительным корням квадратных уравнений x 2 ± px ± q 2 = 0 , точнее – абсолютным величинам этих корней. Свободный член записываем здесь в виде q 2 , так как в таком случае равенств o можно приобретает геометрический смысл, рассматривая это равенство как соотношение между площадями двух квадратов ( x 2 и q 2 ) и прямоугольника ( px ).

Для решения поставленной задачи можно двумя способами:

1. воспользоваться формулами корней квадратного уравнения;

2. воспользоваться формулами Виета.

Рассмотрим оба способа

Для уравнения .

, .

Строим прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетом АС = q (рис.11).

Для уравнения . = 0.

, .

Строим последовательно: прямоугольный треугольник ОСА с катетами , СА = q (рис. 11), окружность Ѡ (О, ), прямую АО. Отмечаем точки D ₁ и D ₂ ее пересечения с окружностью Ѡ. Легко проверить, что = AD ₁ , = AD _{2 .}

Решение уравнения вида сводится к решению уравнения одного из рассмотренных видов с помощью подстановки x = — y .

Второй способ — посредством формул Виета.

Уравнение вида .

Корни этого уравнения х₁ и х₂ связаны формулами: х₁ + х₂ = p , х₁ х₂ = q 2 . Задача сводится к построению двух отрезков по их сумме и среднему геометрическому между ними. Строим последовательно (рис. 12): окружность Ѡ с диаметром АВ = p , прямую DE , параллельную диаметру АВ и отстоящую от него на расстоянии b , точку F пересечения или касания этой прямой с окружностью Ѡ (если такая точка существует), перпендикуляр FC к диаметру АВ. Полагая, что х₁ = АС, х₂ = ВС, убедимся, что эти числа удовлетворяют обоим соотношениям Виета, а следовательно, и данному уравнению.

Заметим, что прямая DE пересечет окружность Ѡ лишь тогда, когда q . В этом случае задача имеет два различных решения. Если прямая DE коснется окружности Ѡ, то АС = ВС, т.е. х₁ = х₂, уравнение имеет два равных действительных корня; при этом q = .

Наконец, если прямая DE не имеет общих точек с окружностью Ѡ, то q > и данное уравнение не имеет действительных корней.

Корни уравнения вида связаны условиями: х₁ + х₂ = p , х₁ х₂ = — p 2 .

Отсюда видно, что один корень положительный (пусть это будет х₁), а второй (т.е. х₂) отрицательный. Таким образом, , . Поэтому , .

Задача сводится к построению двух отрезков по их разности и среднему геометрическому.

Строим последовательно (рис. 13): окружность Ѡ(О, ТА = ); касательную к ней в произвольной точке Т; точку А на касательной, такую, что q ; прямую ОА. Пусть D ₁ и D ₂ – точки пересечения прямой ОА с окружностью Ѡ и AD ₁ > AD ₂ . Нетрудно проверить, что х₁ = AD ₁ , = AD ₂ .

4. Признак возможности построения отрезка, являющегося заданной функцией данных отрезков, с помощью циркуля и линейки

Используя циркуль и линейку, мы построили ряд выражений, как однородных, так и неоднородных. Однако не все алгебраические выражения можно построить с помощью этих инструментов. Из того факта, что длина определенного (необходимого) отрезка является известной функцией этих отрезков, еще не следует, что его можно построить с помощью циркуля и линейки. Так, например, эти инструменты не могут построить сегменты, определяемые формулами , , и многие другие.

Установим критерий, который позволил бы в каждом отдельном случае выяснить, можно ли построить отрезок, заданный формулой, с помощью циркуля и линейки. Для краткости операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня (арифметика из неотрицательного числа) будем называть базовыми операциями.

Далее будем предполагать, что мы выбрали единичный отрезок. В случае, когда строится однородное выражение 1-го измерения, мы можем выполнить построение без использования этого отрезка. Во всех остальных случаях для строительства требуется один сегмент.

Теорема . Чтобы циркуль и линейка построили отрезок, длина которого является заданной положительной функцией длин этих отрезков, необходимо и достаточно, чтобы длину искомого отрезка можно было выразить через длины отрезков. эти отрезки используют конечное количество основных действий.

Последствие . Если дан только отрезок, взятый за единицу, а l — данное число, то отрезок длины l можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число l может быть получено из 1 только с помощью конечное количество основных действий.

5. Решение задач на построение методом алгебраического анализа

Суть метода алгебраического анализа заключается в следующем. Решение задачи построения сводится к построению определенного отрезка (или нескольких отрезков). Значение требуемого сегмента выражается через значения известных сегментов по формуле. Затем по полученной формуле строится требуемый отрезок.

Давайте посмотрим на несколько примеров.

Пример 1 . (Задача удвоения квадрата.)

Постройте квадрат, площадь которого в два раза больше площади этого квадрата.

Обозначим сторону этого квадрата через a, а сторону искомого квадрата через x. Затем х 2 = 2а 2 , х = a .

Строим теперь отрезок по полученной формуле: х – гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом а. Построив отрезок , легко затем построить искомый квадрат (рис. 12).

Пример 2 . Из вершин данного треугольника, как из центров, описать три окружности, касающиеся попарно внешним образом.

Пусть А B С (рис. 13) — данный треугольник, а, b , с – его стороны, х, у и z – радиусы искомых окружностей. Выразим длины отрезков , , через длины известных отрезков , , . Тогда х + у = с, x + z = b , y + z = a .

2 x + 2 y + 2 z = a + b + c , х + y + z = ( a + b + с) , откуда

, , .

Строим теперь один из найденных отрезков, например , по формуле проводим окружность (А, x ). Две другие окружности проводим из центров В и С радиусами соответственно c – x и b – x .

Для доказательства достаточно заметить теперь, что две последние окружности касаются между собой, так как сумма их радиусов ( c – x ) + ( b – x ) = с + b – 2 x = с + b – (с + b – a ) = a = BC , т.е. равна расстоянию между их центрами.

Задача всегда однозначно разрешима, так как 1) в треугольнике А B С b + с > a и поэтому отрезок x может быть построен; 2) с > х, потому что ,

так как a + c > b ; 3) b > x , потому что .

Пример 3 . Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе x и биссектрисе l прямого угла.

Анализ. Задача легко решится после того, как удастся определить высоту искомого треугольника, проведённую из вершины прямого угла. Из рисунка 14 видно, что S_ABC = S_ADC + S_BDC , т.е.

или (1)

Остаётся исключить из этого соотношения два неизвестных катета а и b . Для этого нужно составить ещё два независимых уравнения, которым удовлетворяют эти катеты:

a 2 + b 2 = c 2 ; (2)

. (3)

Отсюда : a 2 + b 2 + 2ab = c 2 + 2ch или (a +b) 2 = c 2 + 2ch . (4)

Из формулы ( 1) имеем:

2c 2 h 2 = (a + b) 2 l 2 или 2c 2 h 2 = (c 2 + 2ch)l 2 .

Таким образом, искомая высота определяется из уравнения 2с h 2 — 2 l 2 h — с l 2 = 0 , из которого находим единственное положительное решение:

(5)

Построение. Строим отрезок h по формуле (5). На произвольной прямой откладываем отрезок АВ = с. На АВ, как на диаметре, строим окружность. Проводим пару прямых, параллельных АВ, на расстоянии h от этой прямой (рис. 15). Отмечаем точку С пересечения этих прямых с окружностью. Треугольник ABC искомый.

Доказательство вытекает из обратимости всех приведённых в анализе рассуждений.

Исследование. Перебирая последовательно шаги построения, замечаем, что последний шаг выполним тогда и только тогда, когда т.е. когда

(6)

После упрощения это условие принимает вид: .

Если , то пара прямых и окружность пересекаются в четырёх точках, получая, таким образом, четыре треугольника, удовлетворяющих условию задачи. Но так как все четыре треугольника равны, то задача имеет единственное решение.

Если же , то пара прямых касается окружности, и мы получаем два равнобедренных прямоугольных треугольника, удовлетворяющих условию задачи. Эти треугольники также равны между собой, задача имеет единственное решение.

Итак, приведённый способ всегда позволяет найти единственное решение задачи, при выполнении условия — .

Таким образом, мы можем доказать, что два прямоугольных треугольника с равными гипотенузами и равными биссектрисами прямых углов равны друг другу, и по этой причине можно с уверенностью сказать, что у этой задачи нет других решений.

6. Построение тригонометрических выражений

С помощью циркуля и линейки можно построить ряд выражений, зависящих от тригонометрических функций известных углов.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Дан отрезок и острый угол a . Построить отрезки и по формулам

Строим прямоугольный треугольник по гипотенузе и углу a (рис. 16). Прилежащий к углу катет равен , а противолежащий — .

Пример 2. Построить отрезки и по формулам

где — данный отрезок, a — данный угол.

Построение видно из рисунка 17.

Аналогично можно построить и отрезки по формулам х = a cos n t , у = a sin n t .

Замечание. Формулы x = a cos 3 t , y = a sin 3 t определяют (при 0≤ t p ) кривую линию, называемую астроидой. Используя конструкцию, указанную в примере 2, можно без каких-либо вычислений, выполняя только построения с помощью циркуля и линейки, найти любое количество точек, лежащих на этой прямой.

Обобщая результаты данной работы, можно сказать, что многочисленные геометрические задачи, возникающие в практических условиях, были объединены в группы и решены единообразно, что дало начало первым теоретическим подходам к их решению с использованием разработанной общей методики.

На протяжении всего курса геометрии учащиеся сталкиваются с конструктивными задачами, хотя рассматриваются они достаточно поверхностно, в результате чего учащийся не может развить навыки решения задач, представление об их разнообразии и классификации.

Строительные задачи широко используются не только в геометрии, но и в строительстве, архитектуре, дизайне и других сферах человеческой деятельности.

1. Будут ли однородными, а если будут, то, какого измерения, следующие функции:

;

;

.

2. Дан единичный отрезок. Построить отрезок, длина которого была бы равна ; .

3. Построить отрезки по формулам:

;

;

.

4. Как построить следующие выражения:

;

;

;

;

?

5. Как построить отрезок прямой длиной , без фактического выполнения указанных действий с этими номерами?

6. Постройте несколько точек, принадлежащих графикам следующих функций, без выполнения каких-либо расчетов:

(где a , b , x — длины данных отрезков).

7. Не производя вычислений, построить несколько точек, лежащих на эллипсе х = a cos t , у = b sin t .

8. Построить угол a , зная, что:

;

;

9. Постройте квадрат, площадь которого будет равна сумме площадей двух заданных прямоугольников.

10. В данном круге начертите прямоугольник, равный данному квадрату.

11. Включите прямоугольник этого периметра в этот круг.

12. Через заданную внешнюю точку проведите секущую к заданной окружности так, чтобы ее внешняя часть была в три раза больше внутренней.

13. Через заданную точку за пределами круга проведите прямую линию так, чтобы круг отрезал на ней отрезок заданной длины.

14. Отрежьте от этого квадрата одинаковые прямоугольные треугольники, чтобы получился правильный восьмиугольник.

15. Постройте круг, ограничивающий круг с площадью, равной площади кольца между двумя заданными концентрическими кругами.

16. Постройте окружность, проходящую через две заданные точки и касающуюся заданной прямой.

17. Этот сегмент делится на средний и экстремальный.

18. Начертите в этом круге правильный десятиугольник.

19. Впишите в эту окружность треугольник, если даны точки пересечения его бисектрис с окружностью.

20. Нарисуйте прямую линию, которая одновременно уменьшит вдвое площадь и периметр этого треугольника.

21. Постройте треугольник трех высот.

22. Разделите трапецию на две равные части, проведя прямую линию, параллельную основанию.

23. Построить прямоугольный треугольник по сумме S ₁ гипотенузы с одним катетом и сумме S ₂ гипотенузы с другим катетом.

24. Построить прямоугольник, равновеликий данному квадрату ABCD с площадью q 2 ( q – данный отрезок), если периметр прямоугольника 2р.

25. Через две данные точки А и В построить окружность, касательную к данной прямой PQ .

Итоговое повторение. Решение рациональных и иррациональных уравнений
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Повторение материала с занимательными заданиями, решение уравнения из ОБЗ ОГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Урок математики в 9 классе 26.08.20 «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». А.Эйнштейн

Тема урока: Итоговое повторение. Решение рациональных и иррациональных уравнений 26.08.20

Линейное Квадратное Дробно — рациональное Биквадратное − 5х 4 − 4х 2 − 6 = 0 6у − 8 = 10 6х 2 − 2х = 33 Какое уравнение осталось?

Мозговой штурм Какое уравнение называется иррациональным? Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Устно: какие из следующих уравнений являются иррациональными? а) х + √ х = 2 д) х + √ х = 0 б) х √7 = 11+х е) у ² — 3 √ 2 = 4 в)у + √ у ² +9 = 2 г) √ х – 1 = 3 Какое уравнение не имеет корней?

Найди ошибку 16 – 36 = 25 – 45 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25 4 ² — 2 ∙ 4 ∙ 4,5 + 4,5 ² = 5 ² -2 ∙ 5 ∙ 4,5 +4,5 ² (4 — 4,5) ² = (5 — 4,5) ² 4 — 4,5 = 5 — 4,5 4 = 5

Основные методы решения иррациональных уравнений: Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой ; Г рафический метод; Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с использованием ОДЗ .

1. Графический способ решения уравнения 1 1 х у 2 -2 Какие недостатки у этого способа? х ≈ 2

2. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой − верно − корень уравнения − неверно − посторонний корень Ответ: 1

3 . Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с использованием ОДЗ Ответ: 1 1 . х ≥ 0 не удовл. условию

Древнегреческий ученый- исследователь, который впервые доказал существование иррациональных чисел

1. Какой этап является обязательным при решении иррациональных уравнений? 2. Способ, с помощью которого выполняется проверка решения иррационального уравнения. 3. Как называется знак корня? 4. Сколько решений имеет уравнение х 2 =а, если а Мне нравится