Иррациональные уравнения примеры для тренировки 9 класс

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Как решать иррациональные уравнения. Примеры.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня — нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 — 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2 — истинно:
При x₂ = -2— истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x — 90;

x9;

б) 1 — x0;

-x-1 ;

x1.

ОДЗ данного уранения: x.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение=+ 2.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x — 1 — 8= x 3 — 1 + 4+ 4x;
=0;
x₁=1; x₂=0.
Произведя проверку устанавливаем, что x₂=0 лишний корень.
Ответ: x₁=1.

Пример 4. Решить уравнение x =.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:

x₁ =

x₂ =

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Ответ:

Пример 5 . Решить уравнение+= 7.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 — х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 — 15x + 44 =0.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x₁ = 4, х₂ = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения•= 12, пишут уравнение = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение—= 3.

Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x 2 + 5x + 2 = x 2 — 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

4x — 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 — 40x + 25 = 9(x 2 — Зх + 3), или

7x 2 — 13x — 2 = 0.

Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x₁ = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x₂ =— не удовлетворяет.

Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 7. Решить уравнение 2x 2 — 6x ++ 2 = 0.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y =, где y0, тогда получим уравнение 2y 2 + y — 10 = 0;
y₁ = 2; y₂ = —. Второй корень не удовлетворяет условию y0.
Возвращаемся к x:
= 2;
x 2 — 3x + 6 = 4;
x 2 -3x + 2 = 0;
x₁ = 1; x₂ = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями иисходного уравнения.
Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2.

Пример 8. Решить уравнение+=

Положим= t, Тогда уравнение примет вид t +=откуда получаем следствие: 2t 2 — 5t + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня: t₁ = 2 t₂ =. Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:
= 2,(*)=(**)

Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 — 2x = 8x — 8; x₁ = 2.

Аналогично, решив (**), находим x₂ =.

Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)][f n (x) = g n (x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

Ответ: х₁ = 2, x₂ =.

МАТЕМАТИКА. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 4 для 9-х классов. ( учебный год)

Вера Евлашева 3 лет назад Просмотров:

1 Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Иррациональные уравнения. Системы уравнений Задание 4 для 9-х классов ( учебный год) г. Долгопрудный, 018

2 Составитель: С.Е. Городецкий, доцент кафедры высшей математики МФТИ. Математика: задание 4 для 9-х классов ( учебный год), 018, 4 с. Дата отправления заданий по физике и математике 5 января 019 г. Учащийся должен стараться выполнять все задачи и контрольные вопросы в заданиях. Некоторая часть теоретического материала, а также часть задач и контрольных вопросов, являются сложными и потребуют от учащегося больше усилий при изучении и решении. В целях повышения эффективности работы с материалом они обозначены символом «*» (звёздочка). Мы рекомендуем приступать к этим задачам и контрольным вопросам в последнюю очередь, разобравшись вначале с более простыми. Составитель: Городецкий Сергей Евгеньевич Подписано Формат 60х90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,. Тираж 00. Заказ 60-з. Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета) ООО «Печатный салон ШАНС» Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., ЗФТШ, тел./факс (495) заочное отделение, тел./факс (498) очно-заочное отделение, тел. (499) очное отделение. Наш сайт: МФТИ, ЗФТШ, 018 Все права защищены. Воспроизведение учебно-методических материалов и материалов сайта ЗФТШ в любом виде, полностью или частично, допускается только с письменного разрешения правообладателей.

3 1. Иррациональные уравнения Уравнение называют иррациональным, если оно содержит переменное выражение под знаком корня. Напомним, что квадратный корень из f x, т. е. f( x ), определён лишь для тех значений x, для которых f x 0. Все значения f( x ) неотрицательны. Для любого значения x из области определения f x поскольку f x 0. При этом ( f ( x)) f x, если f x 0, ( f ( x)) f x, если f x 0, ( f ( x)) f x. ( ( )), f x определён или, короче, Область определения и область значений квадратного корня необходимо учитывать при решении задач. Пример 1. Решите уравнение x x Решение. Уравнение определено лишь для тех значений x, для которых x 4 0, т. е. x 4. Первый множитель равен нулю при x 4, и это число решение уравнения. Второй множитель равен нулю при x 5 и x 5, Из них области определения принадлежит лишь 5, это решение уравнения. Второе число x 5не является решением уравнения. Ответ: 4; 5. По области определения и по области значений выражений, входящих в иррациональное уравнение, иногда легко обнаружить, что оно не имеет решений. Например, это видно для уравнений x 1 и x 1 x. В первом уравнении левая часть неотрицательна x 0, поэтому равенство неверно при любом x 0. Во втором уравнении левая часть также неотрицательна. Уравнение определено лишь при x, Для этих x имеем: 1 x, т. е. правая часть отрицательна. Значит, равенство неверно при любом x, решений нет. При возведении частей уравнения в квадрат получаемое новое уравнение-следствие иногда оказывается равносильным исходному, а иногда нет. Например, возведя в квадрат обе части уравнения x 1, получим равносильное уравнение x 1, А возведя в квадрат обе части уравнения x 1, не имеющего решений, получим неравносильное ему уравнение x 1, имеющее решение 1.

4 Хотелось бы подчеркнуть, что возведение обеих частей уравнения в квадрат, вообще говоря, не является равносильным преобразованием, и это ни как не связано с наличием знака корня в исходном уравнении. f x g x возвели в квадрат и получили Пусть обе части уравнения f x g x. Последнее уравнение можно преобразовать к виду, f x g x f x g x f x g x 0 f x g x. Таким образом, мы возможно приобрели лишние корни решения f x g x. Чтобы их отбросить, можно добавить следу- уравнения, f x g x ющее ограничение: f xg x знаки f x и g x совпадают. (При этом под совпадением знаков мы понимаем, что либо оба выраже- f x и g x неотрицательны, либо оба неположительны). Действи- ния тельно, уравнение f x g x при указанных условиях может иметь только такие решения, при которых обе его части равны нулю. Но эти зна- f x g x, чения переменной являются также решениями уравнения f x g x, поэтому множество решений совокупности f x gx множеством решений уравнения f x g x. совпадает с Пример. Решить уравнения 1) x x ; ) x x; ) x x ; 4) x x. Решение. Возведя в квадрат обе части каждого из этих уравнений, после простых преобразований получим уравнение x 5x 4 0, (1) которое является следствием каждого из уравнений 1) 4). Оно имеет корни x 1 и x 4. 1) Проверяем их подстановкой в исходное уравнение 1): x 1 1 верное равенство 1 корень 1); x 4 4 верное равенство 4 корень 1). Уравнения 1) и (1) оказались равносильными. Ответ: 1, 4. ) Подстановка корней (1) в уравнение ) даёт: x верное равенство 1 корень ); x 4 4 неверное равенство 4 не корень ). Ответ: 1. 4

5 ) Для этого уравнения x 1 11 неверное равенство 1 не корень ); x 4 4 верное равенство 4 корень ). Ответ: 4. 4) Для уравнения 4) в обоих случаях получаем неверные равенства, а именно, 1 и 6. Ответ:. Отметим, что уравнение-следствие (1) оказалось неравносильно каждому из уравнений ), ), 4). Потеря равносильности произошла при возведении обеих частей в квадрат. Приобретение посторонних корней может произойти не только при возведении его частей в квадрат, но и при сокращении дробей, приведении подобных членов. Добавим к этому ещё замену произведения корней f() x g( x) на корень из произведения f ( x) g( x) или замену f( x) отношения корней gx ( ) корнем из дроби f( x). Во всех этих случаях требуется проделать отбор корней. gx ( ) Вместо проверки корней уравнения-следствия ( f ( x)) ( g( x)) подстановкой их в уравнение f ( x) g( x) можно добавить к уравнениюследствию такие ограничения в виде неравенств для неизвестного, что система из уравнения и этих неравенств будет иметь те же решения, что и исходное уравнение, т. е. будет равносильна ему. Во-первых, значения неизвестного должны быть ограничены областью определения исходного уравнения. Во-вторых, должно быть обеспечено совпадение знаков частей исходного уравнения (т. е. того, что у нас было перед возведением в квадрат). В примере уравнение (1) определено для всех x, а каждое из уравнений 1) 4) лишь для x 0. Значит, это условие необходимо добавить к (1). Получаемая система x 5x 4 0, () x 0, оказывается равносильной уравнению 1), так как при условии x 0 обе части исходного уравнения не отрицательны, но не равносильна уравнениям ), ), 4). Нужно ещё добавить условие совпадения знаков обеих частей исходного уравнения. В уравнении ) левая часть x неотрицательна, поэтому к () нужно добавить условие неотрицательности правой части x. В результате получим систему x x 5 4 0, x 0, равносильную уравнению ). x 0, 5

6 Действительно, из двух решений x 1 и x 4 лишь x 1 удовлетворяет обоим добавленным неравенствам, и, как было проверено, является решением ). Аналогично, уравнению ) примера равносильна система x x 5 4 0, x 0, x 0. Она, как и ), имеет одно решение x 4. x x 5 4 0, Уравнению 4) равносильна система x 0, не имеющая, x 0, как и 4), решений. В следующих примерах показаны некоторые приёмы, используемые при решении иррациональных уравнений. Пример. Решите уравнение 4 x x. 4x x, Решение. 1) Это уравнение равносильно системе x 0. Здесь неравенство x 0 обеспечивает совпадение знаков частей исходного уравнения. Неотрицательность подкоренного выражения следует из уравнения системы 1. Уравнение этой системы имеет корни 6 и 6. Неравенству x 0 удовлетворяет только 6. Отметим, что проверка этих значений подстановкой в исходное уравнение технически сложнее, чем проверка условия x 0. Ответ: 6. Пример 4. Решить уравнения 1) t t 6 1 t; ) t 4 t 9 5. Решение. 1) Уравнение равносильно системе 4( t + t+6)=(1 t), 1 t 0. () 4x x записано подкоренное вы- 1 Действительно, в левой части уравнения ражение, а в правой полный квадрат 6

7 Условие неотрицательности подкоренного выражения можно опустить, так как из первого уравнения системы () видно, что оно равно квадрату, и, следовательно, неотрицательно. Условие неотрицательности правой части, обеспечивающее совпадение знаков частей уравнения (или, что то же самое, обеспечивающее область значений корня) напротив нельзя опустить, т. к. оно не следует из первого уравнения системы (). Уравнение в () сводится к квадратному: t 160t 0 t1 0, t 160. Из его корней неравенству в системе удовлетворяет лишь t 1 0. Ответ: 0. ) Обе части уравнения на его области определения неотрицательны, поэтому данное уравнение равносильно следующему: t t Применив формулу для квадрата суммы, преобразуем это уравнение к следствию. t t 6 1 t. (4) Область определения исходного уравнения задаётся неравенствами t 4 0, (5) t 9 0. Эти неравенства вместе с уравнением (4) составляют систему, равносильную исходному уравнению. Уравнение (4) решено в п.1), его решение t 1 0. Это значение удовлетворяет системе неравенств (5), т. е. принадлежит области определения уравнения ), значит, является его решением. Ответ: 0. Показанный здесь способ решения уравнения ) требует дважды возводить в квадрат при переходе к (4) и при решении (4) (которое приведено в первом пункте). И каждый раз нужно добавлять условия, обеспечивающие равносильность преобразований. Напомним, что «из уравнения 1 следует уравнение» означает, что множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго. Действительно, пусть M1 множество решений уравнения 1, M множество решений уравнения. 1 означает, что если некоторое x является решением 1 (т. е. x M1), то оно является решением (т. е. x M ). Значит, любой элемент множества M 1 принадлежит также множеству M (т. е. M1 M). 7

8 Отметим, что найденное в 1) при решении уравнения значение t 160, удовлетворяет системе неравенств (5), т. е. принадлежит области определения уравнения ). И не будучи исключённым при решении пункта 1), оно попало бы в решения ), что привело бы к ошибке. Для преобразования уравнения, содержащего несколько радикалов, один из них «уединяют», затем возводят обе части в подходящую степень. И каждый раз нужно добавлять условия, обеспечивающие равносильность преобразования. Пример 5. Решить уравнение 5x 1 x 1 x 1 0. Решение. В этом уравнении два из трёх радикалов имеют одинаковые знаки, их и отнесём к одной части уравнения, тем самым «уединив» третий радикал. Получим 5x 1 x 1 x 1. Область определения этого уравнения задаётся системой неравенств 5 x +1 0, 1 x1 0, x. (6) x1 0 Обе части уравнения неотрицательны, поэтому оно равносильно уравнению 5x 1= x 1 x 1, которое при условиях (6) равносильно следующему x 1= x x 1. В силу (6) обе части этого уравнения неотрицательны, поэтому оно равносильно уравнению x x x Итак, исходное уравнение равносильно системе из этого последнего уравнения и неравенств (6). Полученное уравнение сводим к квадратному 11x 6x 5 0, его корни числа x и x 1. Неравенству (6) удовлетворяет только x Ответ: Нередко иррациональное уравнение удаётся упростить, введя новую переменную. Пример 6. Решите уравнение: x x 8x 1 8x 19. Решение. Перенесём всё в левую часть: x 8x 19 x 8x 1 0. Тогда Введём обозначение: x 8x 1 t. (7) x 8x t 1. (8) 8

9 Подставим в исходное уравнение: t t 0 0, откуда находим корни t и t 5. Подставляем найденные значения t в (7) и получаем: 1 4 x 8×1 5. x 8×1 4 Первое из этих уравнений не имеет решений, а второе эквивалентно каждому из следующих: 4 61 x 8x 116; x 8x 15 0, x Ответ: x. Замечание. Если для нахождения x вместо равенства (7) использовать равенство (8), полученное из (7) возведением в квадрат, то это приведёт к возникновению посторонних корней ( t 5 при подстановке в (8) даёт уравнение x 8x 4 ). Таким образом, каждое возведение в квадрат может привести к нарушению равносильности, а именно, к появлению лишних корней. В этой задаче возведение в квадрат было произведено при переходе от (7) к (8); как раз здесь и произошло приобретение посторонних корней. Рассмотрим ещё несколько примеров. Пример 7. Решите уравнение x 1 6x 7x 0. Решение. Произведение двух множителей равно нулю один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности x 1, 6x 7x 0, x 1, x 1 0, 6x 7x 0, x, x, 6x 7x x x. 1 Ответ: x 1, x, x. Пример 8. Решите уравнения: а) б) в) x x x x x ; x x x x x ; x 1 x x x x x x. 9

10 Решение. а) Умножим обе части уравнения на «сопряжённое» к ле- вой части, т. е. на x 5x x x 1 (поскольку оно положительно при всех x, то полученное уравнение равносильно исходному). Получаем x 5x x x 1 1 6x x 5x x x 1 ОДЗ 1 6x 1 6x x 5x x x 1 ОДЗ 1 6x 0, 1 x 5x x x 1. 1 Первое уравнение совокупности имеет корень x, который принадлежит ОДЗ (проверяем подставкой в неравенство x 5x 0 ). Вто- 6 рое уравнение равносильно следующему: 1 x x 1 0, x 5x 1 x x 1 x 5x x x x x 1 0 x x 1 1, x x 0, x x1 1, x 0, x 0, x x 1 x x x 1 9x 8x x x 0, x 0, x 0,. 8x x 1 0 8x x1 0 1 Итак, уравнение имеет единственный корень x. 6 1 Ответ: x. 6 б) Сделаем замену x x 7 t. Тогда при возведении обеих частей этого равенства в квадрат получаем Уравнение принимает вид x x x x x x 7 x 7 x t , t 6, t t 7 5 t t 4 0 t 7. 10

11 Если t 6, то x x 7 6. Это уравнение на ОДЗ равносильно следующему: x x x x x x x 14,5, 9 x 0, x. 4x 8x x 4x x Полученный корень принадлежит ОДЗ x 0, поэтому он является решением уравнения. Если t 7, то x x 7 7. Здесь решений нет, т. к. левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Ответ: в) Перепишем уравнение в виде x 1 x x x x x x. Домножаем левую и правую части на «сопряжённое» x 1 x x x 1 x x x 1 x x x x x x x x x x x x x x x 1 x x x x x x x 1 x x x x x x x x ОДЗ x 1 x x x x x x x 0, ОДЗ. x 1 x x x x x x Первое уравнение совокупности имеет корень x, принадлежащий ОДЗ (убеждаемся в этом подстановкой). Второе уравнение не имеет решений, так как левая часть отрицательна, а правая положительна. Ответ: x. Пример 9. Решите уравнение 7 x 80 x 8. Способ 1. Возведём обе части уравнения в куб (в отличие от возведения в квадрат это преобразование равносильно). 11

12 Получаем x x x x 7 x 7 x 80 x 7 x 80 x 80 x С учётом исходного уравнения выражение в скобках равно 8, откуда следует, что x x x x x 5, 7 x80 x 75 x 8x 85 0 x 45. Подстановкой в исходное уравнение проверяем, что оба эти числа являются решениями. Способ. Обозначим 7 x u, 80 x v. Тогда u 7 x, v 80 x, следовательно, u v 15. Кроме того, исходное уравнение можно записать в виде uv 8. Получаем систему уравнений u v 8, uv8, u 8 v, u v 15 u vu uv v 15 u uv v 19 u 8 v, u 8 v, 8 v v8 v v 19 v 8v15 0. Если v 5, то u ; тогда x 45. Если v, то u 5; тогда x 5. Ответ: x 5, x 45. Отметим, что этот переход может не является равносильным. Фактически мы уравне- 7 x 80 x 7 x 80 x 60 почленно разделили на равносильное ние ему уравнение 7 x 80 x 8. При таком действии могут появиться лишние корни (потерять корни мы при этом не можем, если только не делим на ноль). Почему? Пусть x0 корень уравнений f1 x fx и g1 x g x, при этом f x f x g x g x g1 x или g x не обращаются в ноль. Тогда и f откуда 1 x0 f x0 f, т. е. x является корнем уравнения 1 x fx 0 g x g x g x g x ,. Но при этом нет никаких гарантий, что у полученного в результате деления уравнения не появится лишние корни. Например, оба уравнения x x 1 и x имеют един- ственный корень x 1. x x 1 В то же время уравнение имеет корни x 1 и x x. Приобретение лишних корней может также происходить при почленном умножении, сложении, вычитании равносильных уравнений. 1

13 . Системы уравнений 1. Системы линейных уравнений Их вы подробно изучали в 7 классе и они не вызывают существенных сложностей, так как всегда могут быть решены, например, подстановкой. Остановимся немного подробнее на геометрической интерпретации. Пусть дана система a1x b1 y c1, ax b y c. Будем считать, что в каждом уравнении хотя бы один из коэффициентов при переменных x, y отличен от нуля. Иначе, например, при a1 b1 0, первое уравнение принимает вид 0 c1, т. е. оно либо выполняется при всех x, y (если c1 0), либо не выполняется ни при каких x, y(если c1 0). Тогда каждое уравнение системы (9) задаёт прямую на плоскости. Возможны три ситуации. 1) Прямые пересекаются (если коэффициенты при переменных не a1 b1 пропорциональны, т. е. ). Тогда система имеет одно решение a b точку пересечения прямых. a1 b1 c1 ) Прямые параллельны (если ). Тогда решений нет. a b c a1 b1 c1 ) Прямые совпадают (если ). Тогда каждая точка, лежащая на прямой, является решением системы. a b c В качестве упражнения можете записать условия для коэффициентов в том случае, когда какие либо из них обращаются в ноль. Пример 10. Найдите все значения параметра, при каждом из которых система имеет единственное решение. a 1 x y a, a x ay 9 a 1 1 Решение. Система имеет единственное решение при, a a откуда a a 0, т. е. a 1 и a. Ответ: a 1, a. (9) 1

14 Пример 11. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений ax y, a y x 1 имеет единственное решение. Решение. Складывая уравнения системы, получаем ax x a 1. Заметим, что количество решений системы равно количеству решений этого уравнения. Действительно, из второго уравнения системы y x 1, т. е. для каждого значения x существует единственное значение y. 1) Если x 0, то уравнение принимает вид ax x a 1, откуда a 1 xa 1 a 1. При a 1 решений нет, а при a 1 получаем x a 1. Этот корень удовлетворяет условию x 0, если a ; 1 1;. ) Если 0, ax x a 1 x a 1 a 1. x то a 1 Если a 1, то, а если a 1, то x a 1. Условие x 0 выполнено при a 1 0 1; 1 a. a 1 Корни, полученные в первом и втором случаях, не могут совпадать, так как в первом случае они неотрицательны, а во втором отрицательны. Нас интересуют те значения a, при которых ровно один корень, т. е. те значения a, которые принадлежат ровно одному из множеств 1 1 ; 1; и 1;. Это 1 ; 1 1;. 1 Ответ: a; 1 1;.. Нелинейные системы уравнений В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставляется во второе уравнение. 14

15 Если в системе оба уравнения нелинейные, то можно попробовать разложить одно из уравнений на множители. Применяют также комбинирование уравнений с целью получения нового уравнения, которое можно разложить на множители. Пример 1. Решите системы уравнений: x y x y 1 0, x y xy 0, а) б) 4x y 0; x y xy 10; x y1 16, x xy y 7, в) x г) 4 4 4; x x y y 91. y 1 x y x y 0, Решение. а) Из второго уравнения системы: поэтому x y x y 1 0, x y x y 1 0, 0, x y 4x y 0 x y0 y x, y x, x y x y 1 0, x x1 0, y x, y x, x y x y 1 0 x x1 0. Решение каждой из этих систем сводится к решению квадратного уравнения, после чего находим соответствующие значения y Ответ: 1;, ; 1, ;, ;. 4 4 б) Сложив оба уравнения, получаем xy 150, а вычитая из второго уравнения первое: xy 90. x y xy 0, xy75, Таким образом, x y xy 10 xy 45. Умножим первое уравнение на второе: x y 7545 xy 15. Тогда xy75, x xy 75, x15 75, x 5, xy 45 xy y y 45 y. Подстановкой в исходные уравнения убеждаемся, что (5;) решение системы. Ответ: 5;. 15

16 в) Почленно перемножив уравнения системы, получаем x 64, отсюда x 8. Если 8, 8 y1 16 y 1. x то из первого уравнения x то из первого уравнения y Если 8, Ответ: 8;1, 8; y. Замечание. При почленном сложении, умножении уравнений системы (и подобных действиях) надо следить за равносильностью преобразований. Если оказывается, что при каком-либо переходе мы получили следствие вместо равносильности, то в конце решения надо будет делать проверку подставлять найденные решения в исходную систему. Например, переход f1 f, f1 g1 f g, g1 g f1 g1 f g Является равносильным преобразованием. Действительно, складывая уравнения системы справа, получаем, что f g f g f g f g f f Но тогда g. 1 g Таким образом, из уравнений новой системы следуют уравнения исходной системы, поэтому данный переход является равносильным. Если же почленно перемножить и разделить уравнения системы, то преобразование оказывается не равносильным. Рассмотрим такой переход: f1g1 fg, f1 f, f1 f g. 1 g g1 g Пусть для определённости g1 0, g 0. Тогда из первого уравнения fg системы справа получаем f1. Подстановка во второе уравнение g fg f даёт, g g g 1 g, 1 g g1 откуда f g g 1 т. е. либо f 0, либо 0, 1. Значит, у новой системы могут появиться лишние решения. В этом легко убедиться на примере пункта в). Указанные преобразования приводят нас к следующему: 16

17 x y1 16, x 164, x 8, x 4 16 y 1 y 1, y 1 4 т. е. y новой системы 4 решения: 8;, 8;, 8;1, 8;1, но только два из них являются решениями исходной. г) Заметим, что x xy y x xy y, x x y y x x y y x y x y xy поэтому система равносильна следующей: x xy y 7, x xy y 7, x xy y x xy y 91 7x xy y 91 x xy y 7, // почленно складываем и вычитаем уравнения системы // x xy y 1 x y 0, x y 10, // почленно складываем и вычитаем // xy 6 xy 6 x xy y 16, x y x y x y 16, 4, x xy y 4 x y 4. Рассматриваем 4 возможных случая. В каждом из них почленно складываем и вычитаем уравнения системы: x y 4, x, x 1, x y 4, x 6, x, x y y 6 y ; x y y y 1; x y 4, x 6, x, x y 4, x, x 1, x y y y 1; x y y 6 y. 1;, ;1, ; 1, 1;. Ответ:. Системы, сводящиеся к решению однородного уравнения Уравнения вида Px, y 0, где, P x y многочлен с двумя переменными x и y, называются однородными относительно x и y, степени k, если в каждом из членов сумма степеней x и y, одинакова и равна k. Например, уравнение второй степени, а x xy 7y 0 является однородным x xy y 0 однородным третьей степени. 17

18 x y Уравнение xy 0, вообще говоря, однородным не является, y x т. к. левая часть не многочлен. Тем не менее, в каждом из членов сумма x степеней x и y равна двум (например, xy 1, 1 ). В этом y случае уравнение станет однородным, если избавиться от знаменателей, т. е. домножить обе части на xy (получится x x y y 0, т. е. однородное уравнение четвёртой степени). 4 4 Если обе части однородного уравнения степени k разделить на k x k или y, то получится уравнение относительно дроби y x или x y (при этом перед делением надо отдельно разобрать случай x 0, если делим k на x, и y 0, если делим на y k ). Пример 1. Решите системы уравнений: x 9y x y x y 6, 4, а) б) x y x y x xy y ; x y 48; Решение. а) Складываем первое уравнение, умноженное на ( 1) со вторым уравнением, умноженным на, и получаем 4x 4xy y 0 (т. е. однородное уравнение). Покажем два способа его решения. а) Решаем как квадратное уравнение относительно x. Тогда 4y8 y 1 D (4 y) 44y 64 y ; x ; x y или x y. 8 б) Если y 0, то уравнение принимает вид 4x 0, т. е. x 0. Но пара чисел x y 0 не удовлетворяет уравнениям исходной системы, т. е. при y 0 решений нет. Если y 0, то делим обе части уравнения x x на y и получаем Это квадратное уравнение относительно дроби. Из него получаем, что y y x x y y или x 1, т. е. y y y x или x. 18

19 Второй способ потребовал от нас несколько больше времени, но он более универсален, так как подходит не только для однородных уравнений второй степени, но и для более высоких степеней 4. Вернёмся к нашей системе: 1 y x x 4x 6, x Находим соответствующие значения y. y x x x 6, x. Ответ: 1;, 1;, ;, ; б) Если обе части первого уравнения умножить на ( x y)( x y), а затем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится однородное уравнение второй степени. Но можно поступить и подругому. Если y 0, то первое уравнение системы принимает вид 4, то есть здесь нет решений. Если y 0, то разделив числитель x и знаменатель каждой дроби на y и обозначив t, y получаем: t9 t1 t 1, 4 t1 t1 (t 9)( t 1) (t 1)( t 1) 4( t 1) t 1, t, t 9t 14 0 t 7. Если t, то x y и второе уравнение исходной системы принимает вид 4y y 48, откуда y 4. Получаем два решения (8; 4) и ( 8; 4). Если t 7, то x 7 y, 49y y 48 y 1. Если y 1, то x 7; если y 1, то x 7. Ответ: ( 7; 1), (7; 1), (8; 4), ( 8; 4). 4 Например, если обе части уравнения x x получим 0. y y x xy y 0 разделить на y, то 19

20 4. Симметрические системы Многочлен с двумя переменными F x, y называется симметрическим, если F x, y F y, x. Иными словами, многочлен является симметрическим, если он не изменяется, когда переменные x и y меняются местами. Например, многочлены x y ; xy 590; x y y xy x являются симметрическими, а многочлены 5 x y 6x и x y симметрическими не являются. Многочлены u x y и v xy называются элементарными симметрическими многочленами. Оказывается, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов. Последнее утверждение часто оказывается полезным при решении систем, в которых оба уравнения симметрические. А именно, такие системы обычно упрощаются при замене x y u, xy v. Заметим, что x y ( x xy y ) xy ( x y) xy u v; (10) x y ( x y)( x xy y ) u(( x y ) xy) u( u v v) u uv; (11) x y ( x x y y ) x y ( x y ) ( xy) 4 ( u v) v u 4u v v. 5 5, Если мы хотим получить выражение для x y то можно, например, перемножить почленно два равенства (10) и (11), тогда получим: ( x y )( x y ) ( u v)( u uv) откуда x y x y x y u 5u v 6uv x y u 5u v 6 uv x y ( x y), x y u 5u v 6uv v u u 5u v 5uv. Пример 14. Решите системы уравнений: x y 7, x y xy 6, а) б) xy x y ; xy x y 5. Решение. а) После замены система принимает вид u uv 7, u 1, u 1, uv, uv, v. 0

21 x y1, Значит, xy. Решая эту систему 5, получаем две пары чисел: ; 1 и 1;. Ответ: ; 1, 1;. б) Введём замену x z. Тогда система принимает вид: z y zy 6, zy z y 5, т. е. она становится симметрической! Пусть y z u, yz v. Система преобразуется к виду: uv 6, u, v ; u v 5 u, v. y z, y z, Если u, v, то yz z z Получаем две пары y, z и y, 17 z. y z, Если u, v, то yz, откуда y, z 1 или y 1, z. Учитывая, что x z, получаем такие решения: ;, ;, ( 1; ), (; 1) Ответ: ;, ;, ( 1; ), (; 1). 5 x y a, Система уравнений где ab, известные числа, может иметь не xy b, более двух решений (т. к. при подстановке y a x во второе уравнение получаем квадратное уравнение). Поэтому если нам удалось подобрать решение этой системы x0; y 0, то вторым решением является y0; x 0 в силу симметричности, а других решений нет. (Если оказалось, что y, 0 x 0 то можете в качестве упражнения показать, что такая система имеет ровно одно решение). 1

22 Контрольные вопросы 1(8). Равносильны ли следующие уравнения? Ответ обоснуйте. а) б) в) 18x 46x 7 7 7x и 18x 46x x; 4x 79x 45 4x 5 и 19x x 9 x 4x 79x 45 4x 5 ; и г) x x 19x x 9 x ; и x x (10). Равносильны ли следующие системы уравнений? Ответ объясните (уравнения систем слева пронумерованы; справа показан способ, как система получена из исходной). x y 6, 1 x y z 1, 1 а) x z 7, и x y z 1, 1 y z 5 x y z 1; x y 6, 1 y z 1, 1 б) x z 7, и x z 11, 1 y z 5 x y ; x xy 14, 4 xy 49, 45 y в) x 7 и 5 y x xy : 4; 4 : 5 y x xy 14, 4 xy 49, 45 y г) x 7 и 5 x 7 y. 5 y Указание. Есть два способа решения этого задания: 1) Можно решить каждую из систем и посмотреть совпадают ли множества их решений; ) В каждом из пунктов видно, что из первой системы следует вторая. Надо проверить, что из уравнений второй системы следуют уравнения первой. Если мы смогли доказать это, то получаем, что системы равносильны. Если же мы смогли подобрать решение второй системы, не являющееся решением первой, то системы равносильными не являются. (5). Верно ли следующее решение уравнения x x x x 1 4x? Ответ объясните.

23 Умножая обе части уравнения на положительное выражение x x x x 1, получаем: ( x x ) ( x x 1) (4x ) x x x x 1 4x (4x ) x x x x 1, откуда x или x x x x Складывая это уравнение с исходным уравнением, получаем: x x (x 1), x x 4x x x, x 7x 0, x. x x 7 1 Значит, уравнение имеет корни x, x (11). Решите уравнения: а) x 8x 1 1 x; б) x 10x 176x 64 x ; в) x1 4x 1; г) Задачи x 5x 4 x x 6 x 4x. x x x 8 x 7. д) (11). Решите уравнения: x 1x x 4 16x 17 x 1x x 4 8x ; а) 4 б)* 7x 0x 14 5 x 0x 4; в) 1 5x 1 x x; г) x x x 5 x 1. (7). Решите уравнения (используется умножение на сопряжённое): а) x 7x x x 5x 1 x x 4; 7×4 6x б) 9x 6×16. x 4x 4x 4x 1

24 4(7). Решите системы уравнений: 7 1,9, x y x y x y, а) б) 5 1,15; x y 5; x y x y x y, в) y x 5. 5(9). Решите системы уравнений: x y x y, x y1 0, а) б) x y x y 8; y x1 0; x x y xy x y, x xy xy 6, в) г) 4 y xy x y x y 6; x x y x y 1. 6(11). Решите системы уравнений: 4 4 x x y y 7, x x y y x y 8, а) б) x1 y1 0; x y x y 1 0; 10 5x xy y 4,, в) г) x y x y x xy y ; x y xy x y 1. 7 (7). Решите иррациональные уравнения (можно использовать двойную замену см. пример 9, второй способ): 1 1 а) 11 1 x 1 x 8; 1x 1x б) 15x 1 x x 15x *(9 ). Решите системы иррациональных уравнений: 11x y y x 1, x x y y 5, а) б) 7 y x 6y 6x ; 4x x y 9y ; x 11xy 10y 10x 0y 0, в) 5 yx 5y 10 y 10y 0 5. Указание. а), б) Выполните замену переменных. в) Решите первое уравнение системы как квадратное относительно одной из переменных. 4