Иррациональные уравнения с модулем 10 класс

Решение иррациональных уравнений через переход к модулям

Давайте продолжим изучать методы решения иррациональных уравнений. В этой статье мы поговорим про метод решения иррациональных уравнений через переход к модулям. Сначала разберем, когда и на какой основе проводится переход к модулям. Дальше перейдем к решению характерных иррациональных уравнений.

Когда и на какой основе проводится переход к модулям?

Переход к модулям при решении иррациональных уравнений проводится, когда под знаком корня четной степени находится степень некоторого выражения с показателем, равным показателю корня. Такое преобразование имеет место в силу одного из свойств корней, которому отвечает формула , где 2·m – четное число, a – любое действительное число. Стоит заметить, что это преобразование является равносильным преобразованием уравнения. Действительно, при таком преобразовании происходит замена корня тождественно равным ему модулем, при этом ОДЗ не изменяется.

Примеры решения характерных иррациональных уравнений

Рассмотрим характерное иррациональное уравнение, решить которое позволяет переход к модулю.

Решите иррациональное уравнение

Всегда ли стоит переходить к модулям, когда есть такая возможность? В подавляющем большинстве случаев такой переход оправдан. Исключение составляют те случаи, когда очевидно, что альтернативные методы решения иррационального уравнения требуют сравнительно меньших трудозатрат. Давайте возьмем иррациональное уравнение, которое можно решить и через переход к модулям и какими-нибудь еще методами, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат или по определению корня, и посмотрим, какое из решений будет наиболее простым и компактным.

Решить уравнение

В решенном примере предпочтительнее всех выглядит решение по определению корня: оно короче и проще как решения через переход к модулю, так и решения по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат. Могли ли мы это знать до решения уравнения всеми тремя методами? Скажем прямо, это было не очевидно. Так что когда просматриваются несколько методов решения и сразу непонятно, какой из них предпочесть, стоит пробовать получить решение любым из них. Если это получится, то хорошо. Если же выбранный метод не приводит к результату или решение оказывается очень сложным, то стоит пробовать другой метод.

В заключение этого пункта остановимся на иррациональном уравнении . Попытка его решения через уединение радикала и возведение обеих частей уравнения в квадрат приводит к числовому равенству 0=0 и невозможности сделать вывод о корнях. А решение по определению корня оказывается связанным с необходимостью решения иррационального неравенства, что само по себе довольно сложно. Хорошим методом решения этого иррационального уравнения является переход к модулям. Приведем подробное решение.

Решить иррациональное уравнение

Остается сказать, что решение иррациональных уравнений через переход к модулям является частным случаем метода решения иррациональных уравнений через преобразования.

Модуль по теме «Иррациональные уравнения»
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Материал, который можно использовать на уроке по предмету «Алгебра и начала анализа» в 10 классе

Скачать:

Вложение	Размер
modul_po_teme_irratsionalnye_uravneniya.doc	87 КБ

Предварительный просмотр:

М. 1. «Иррациональные уравнения»

Содержание учебного материала, задания.

Комментарии для учащихся.

Определение иррациональных уравнений.
Способы решения иррациональных уравнений:

— переход к уравнению-следствию;

3. Понятие «посторонний корень».

Применять перечисленные способы к решению иррациональных уравнений.

— формулы сокращённого умножения:

(а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 ;

(а — в) 2 = а 2 — 2ав + в 2 ;

— примеры иррациональных выражений;

— что значит: решить уравнение?

— что такое корень уравнения?

— с какой целью после решения уравнения выполняется проверка?

определение иррациональных уравнений;
что значит: решить иррациональное уравнение?

Работаете в тетради по теории.

Работаем устно с учителем.

Работаете в тетради по теории вместе с учителем.

Запишите тему «Иррациональные уравнения».
Подумайте над вопросами:

— примеры иррациональных выражений;

— что значит: решить уравнение?

— что такое корень уравнения?

— с какой целью после решения уравнения выполняется проверка?

— определение иррациональных уравнений;

— приведите пример иррационального уравнения.

Цель: познакомиться с двумя способами решения иррациональных уравнений:

— переход к уравнению-следствию;

Работаете в тетради по теории вместе с учителем.

Работаем устно с учителем.

Работаете в тетради по теории вместе с учителем.

2.1. Запишите подзаголовок «Решение иррациональных уравнений».

2.2. Ваши предложения по решению уравнения:

= 2

2.3. Составим схему:

Способы решения иррациональных уравнений

Переход к уравнению-следствию

— разобрать 1-й способ решения иррациональных уравнений – переход к уравнению-следствию;

— составить план решения иррационального уравнения при переходе к уравнению-следствию.

Формировать умение применять данный способ при решении иррациональных уравнений.

Работаете в тетради по теории вместе с учителем.

Работаем с ноутбуком.

Работаете в тетради по теории вместе с учителем.

Работаете в тетради по теории.

На решение 5 минут.

Ответы проверяем вместе с учителем.

Работаем устно с учителем, используя записи в тетради и теоретический материал в программе.

Работаете в тетради по теории вместе с учителем.

Работаете в рабочей тетради, можно пользоваться консультацией учителя.

Каждое верно решённое уравнение – 1 балл.

3.1. Запишите подзаголовок «1-й способ: Переход к уравнению-следствию».

3.2. Откройте на ноутбуке:

— тему «Степень с рациональным показателем»;

— Иррациональные уравнения. Следствие.

3.3. Обратите внимание на обозначения:

3.4. Прочитайте весь теоретический материал в программе.

3.5. Запишите решение уравнения:

= 2

( ) 2 = 2 2

если х=-3, то = 2 (верно),

если х=3, то = 2 (верно).

3.6. Решите № 417 (а) – самостоятельно.

3.6. Выскажите свои предложения по плану решения иррационального уравнения при переходе к уравнению-следствию.

3.7. Запишите план решения иррационального уравнения:

1). Привести иррациональное уравнение к виду:

= g ;

2). Возвести обе части уравнения в квадрат:

( ) 2 = g 2 ;

3). Решить уравнение: h = g 2 ;

4). Выполнить проверку (подставить все найденные корни в исходное уравнение = g ;

5). Исключить посторонние корни;

6). Записать ответ.

3.8. Решить № 418 (а, б), № 419 (а, б).

3.9. Проверьте ответы:

— тема «Степень с рациональным показателем»;

— разобрать в рабочей тетради пример:

+ = 3.

Ответ: 2. (Необходимо подробно записать решение.)

— тема «Степень с рациональным показателем»;

— иррациональные уравнения разных типов;

— решить в рабочей тетради задачи:

+ = 3;

= .

3.12. Проверьте полученные ответы с помощью программы.

3.13. Результаты самопроверки за решение № 418 (а, б), № 419 (а, б), примера и задач из программы:

3.14. Дополнительно: остальные задачи из программы.

Посмотрите УЭ 0 и скажите всё ли вы знаете.
В чём испытывали трудность при решении уравнений?
Что будем изучать на следующем уроке?

Домашнее задание: выучить план решения иррациональных уравнений, подготовиться к самостоятельной работе, № 417 (б, г), 418 (в, г), 419 (в, г). Дополнительно: № 422,424..

Повторить способы решения систем уравнений.

Урок алгебры в 10-м классе по теме «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля»

Разделы: Математика

Цели урока: создать условия для:

обобщения и закрепления умений решать уравнения с переменной под знаком модуля;
промежуточного контроля и оценки качества усвоения учащимися способов решения уравнений;

формирования устной и письменной речи, познавательной активности, творческих способностей учащихся;
развития логического мышления;

воспитание навыков самоконтроля;
воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Тип урока: обобщения и закрепления знаний и умений.

I. Определение темы и цели урока

Совместно с учащимися формулируем тему урока;

Совместно с учащимися ставим цели и задачи урока;

Определяем основные этапы урока.

Для этого обратиться к учащимся с вопросами:

Решением каких уравнений мы занимались на предыдущих уроках?

Что нужно знать для этого?

Каким образом можно это закрепить , проверить?

II. Обобщение и систематизация знаний

1. Учитель: Сформулируйте определение модуля числа.

Ученики: Модулем действительного числа х называется само это число, если х ≥ 0, и противоположное ему число, если х 2 = х 2 ;

3. Учитель: Решение уравнения вида

Ученики: Уравнение

4. Учитель: Решение уравнения вида

Ученики: Т.к. то

5. Учитель: Решение уравнения вида

Ученики: Уравнения такого вида решаются методом разбиения на промежутки. Для этого надо: 1) найти нули выражений, стоящих под знаком модуля; 2) разбить ОДЗ переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак; 3) на каждом из полученных промежутков решить уравнение с учётом определения модуля. Объединение решений на указанных промежутках и составляет все решения данного уравнения.

6. Учитель: Решение уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль?

Ученики: Надо сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

III. Устная работа

Учащиеся выполняют задания устно, комментируя своё решение.

1. Раскрыть знак модуля:

а) б)

а)

б)

в)

2. Найти множество решений уравнения:

а) б) в) г)

б) т.к. при любом х, а -7, то уравнение решений не имеет.

Ответ:

в)

г)

Ответ:

IV. Закрепление умений учащихся решать уравнения

4 ученика решают на доске, остальные в тетрадях. Затем сверяют решения, при необходимости исправляют ошибки. Работающие у доски отвечают на возникающие вопросы.

1) .