Иррациональные уравнения с одз примеры

Решение иррациональных уравнений через ОДЗ

Очень часто частью процесса решения уравнений является нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Причины, заставляющие искать ОДЗ, могут быть разными: требуется провести преобразования уравнения, а они, как известно, проводятся на ОДЗ, выбранный метод решения подразумевает нахождение ОДЗ, осуществление проверки по ОДЗ и т.д. А в определенных случаях ОДЗ выступает не только как вспомогательный или контрольный инструмент, но и позволяет получить решение уравнения. В связи с этим, существует метод решения уравнений через ОДЗ. В этой статье мы на примерах подробно разберем, в каких случаях и каким образом этот метод применяется при решении иррациональных уравнений.

В каких случаях применяется метод решения через ОДЗ?

К методу решения уравнений через ОДЗ обращаются в двух случаях:

• когда ОДЗ есть пустое множество и
• когда ОДЗ есть конечный набор чисел.

Значит, чтобы понять, решается ли заданное иррациональное уравнение через ОДЗ, надо сначала найти область допустимых значений и посмотреть, каким множеством она является. По записи уравнения практически невозможно сказать, решается это уравнение через ОДЗ или нет.

Как проводится решение?

Понятно, что если ОДЗ для иррационального уравнения есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.

Если ОДЗ представляет собой конечный набор чисел, то несложно выяснить, какие из этих чисел являются корнями, а какие не являются, через проверку подстановкой. Те числа, которые удовлетворяют решаемому уравнения, являются корнями. Остальные — не являются корнями уравнения. Других корней быть не может, так как все остальные числа находятся за пределами ОДЗ.

Решение примеров

Рассмотрим решения двух примеров, которыми мы закроем обе ситуации: ОДЗ есть пустое множество, и ОДЗ есть конечный набор чисел.

Начнем с решения иррационального уравнения, ОДЗ для которого, есть пустое множество. Это уравнение не имеет решений.

Решить уравнение

Осталось рассмотреть случай, когда ОДЗ для иррационального уравнения представляет собой конечный набор чисел. Для примера возьмем иррациональное уравнение, ОДЗ для которого состоит из двух чисел, а подстановка показывает, что только одно из них является корнем уравнения, откуда и делается вывод, что этот корень есть единственное решение уравнения.

Решите иррациональное уравнение

Можно считать, что мы разобрались с решением иррациональных уравнений через ОДЗ. Давайте продолжим изучение методов решения иррациональных уравнений материалом «Решение иррациональных уравнений «дробь равна нулю»».

Методы решения иррациональных уравнений

Разделы: Математика

Основные понятия

Опеределение 1. Уравнение f(x) = g(x) называется иррациональным, если функции f(x) и g(x) – алгебраические и по крайней мере одна из них иррациональна относительно x (т.е. содержит переменную x в подкоренном выражении).

Основным техническим приемом, который используется при решении иррациональных уравнений, является возведение обеих частей уравнения в одну и туже степень. Если рассматривать уравнения над полем действительных чисел, то это преобразование регулируется следующими теоремами.

Теорема 1. Уравнение.

Теорема 2. Уравнение.

Эквивалентно смешанной системе:

Пример 1. Решить уравнение

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

Корень x=2 удовлетворяет этому неравенству.

Иррациональные уравнения, если неизвестное находится в подкоренном выражении корня четной степени, имеют, как правило, ограниченную область допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ иррационального уравнения определяется условием: Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным.

Метод уединения радикала

Суть этого метода состоит в следующем. Радикал (корень) оставляют в одной части уравнения, а остальные члены уравнения переносят в другую часть. После этого обе части уравнения возводят в степень, показатель которой равен показателю уединенного радикала. Если уравнение содержит несколько радикалов, то процедура уединения производится над одним из них, после чего повторяется вплоть до полного избавления уравнения от корней.

Пример 2. Решить уравнение

, ,

,

Очевидно, что оба корня входят в ОДЗ, но x=13 не удовлетворяет неравенству x 4.07.2013

Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?

Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.

Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.

По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство,

Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень . Он определен
при .

В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.

Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:

1.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, — повторите эту тему.

В ответ запишем меньший из корней: — 9.

Теперь уравнение, в котором есть ловушка.

2.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Что получилось у вас? Правильный ответ: . Если у вас получилось – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
не может быть корнем этого уравнения.

Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.

Причем новая переменная будет не одна, а целых две.

Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.

Есть короткий путь!

Выразим через и :

и . Это выражения можно приравнять друг к другу.

Решим одно из уравнений. Все равно, какое, — ведь нам надо найти .

Ответ: . Заметим, что является также и корнем уравнения