Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
МАОУ ЛИЦЕЙ №44 г. Липецка
Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.
Уроки математики в 11 классе
Задачи с параметрами
по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.
Углубить знания учащихся по теме иррациональные уравнения и неравенства.
Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства с параметрами” реализуются в содержании ЕГЭ.
Развивать практические навыки в решении иррациональных неравенств с параметрами.
Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.
Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение. Повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.
Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами. Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.
Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.
Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.
Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.
Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.
В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.
Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.
Иррациональные уравнения и неравенства.
При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q – некоторые функции, , тогда:
1). , f ≥ 0; q ≥ 0.
2). , f ≥ 0; q > 0.
3). , q ≥ 0.
4). , , q ≠ 0.
5). , fq ≥0.
Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.
Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.
Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.
Уравнение вида , равносильно системе:
Решить уравнение .
Заданное уравнение равносильно системе:
=> =>
Находим значения а, при которых
Ответ:
Решить уравнение .
Заданное уравнение равносильно системе:
=>
,
х 1 , х 2 являются действительными числами при а ≤ 9/16. При значениях а > 9/16 решений нет.
Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.
а) ≥ ½
≥ а
Если а ≤ 9/16, то 8а-5 справедливо при всех допустимых а.
б).
а ≥ ½ (а ≤ 9/16)
Следовательно, х 2 является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16
Ответ: , если а , если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.
Решить уравнение
ОДЗ: х – а ≥ 0, х ≥ а
Если а = 1, то х 1 = х 1 = 1.
Если а 1 = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.
Если а > 1, то х 1 = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.
Ответ: 1) если а 1 = 1; х 2 = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.
При каких а уравнение имеет один корень?
Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а
Ответ: а = 4 или а
Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение имеет различные положительные корни.
ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0
D =
, . А = 17 – минимальное целое число.
Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения принадлежат отрезку [2;17].
Пусть
, t ≥ 0, х — 1 = t 2
,
,
1) => => =>
2) => =>
3) => => =>
Ответ: .
Решить уравнение .
х ≥ 2
(х + 1)(х — 2) = а; х 2 – х – 2 = а, х 2 – х – 2 – а = 0.
, .
Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х 2 .
Ответ: при а ≥ 0 .
Решить уравнение .
. Так как , то m > 0. Пусть у = , тогда х = у 2 + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:
т.е. ,
, , .
Ответ: при m m >3 решений нет, при .
Решить уравнение .
Пусть , тогда ,
, , а т.к. t > 0, то ,
, , . ( а > ¼)
х = .
Ответ: х = при а > ¼.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение.
Если изобразить графики функций и , то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при .
При каких значениях а решением неравенства является промежуток [2;18)?
х 2 , т.к. , то
а = 7 – не подходит в ОДЗ.
Решить неравенство , где а – параметр.
При любом значении а, если правая часть х + а – 1
При х ≥ 1 – а равносильная система имеет вид :
=> (*)
Рассмотрим возможные случаи:
Если а > 1, то 1 – а ≤ х . Объединяя с множеством х .
Если а = 1, то х ≥ 1 – решение системы (*). Объединяя с множеством х
Ответ: , если а > 1; , если а ≤ 1.
Решить уравнение
Из данного уравнения следует:
1 – х 2 = х 2 + 2ах + а 2 ,
2х 2 + 2ах + а 2 — 1 = 0.
D /4 = 2 – а 2 . D > 0 при |a| .
Затем если изобразить графики функций и , то видно как меняется количество решений в зависимости от значений а.
Ответ: при нет решений; при и одно решение; при два решения.
1). Решить уравнение .
Ответ: .
2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение имеет различные положительные корни.
, х > 0, а ≥ 0.
D = 49 – 4 a 2 > 0
а = -3, 5 не входит в ОДЗ.
3). Решить уравнение .
Данное уравнение равносильно системе:
=>
При а = 2 второе уравнение имеет вид , т.е. .
При а ≠ 2 .
Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.
.
Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 ; при 1/3
4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения принадлежит отрезку [-4;44].
Ответ: .
5). При всех а решить неравенство .
ОДЗ:
а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех .
б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.
=> .
Ответ: при ; при .
Решение иррациональных уравнений и систем уравнений с параметром
Иррациональными уравнениями называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала (корня) или под знаком возведения в дробную степень. При этом, степень корня может быть произвольной.
Итоговый контроль знаний по физике в 8 классе
Тест позволяет проверить следующие виды деятельности: понимание смысла физических понятий; физических явлений; физических величин; физических законов. Умение решать задачи различного уровня сложности, выражать единицы физических величин в единицах Международной системы, практически применять знания.
Популярные направления у абитуриентов
IT, здравоохранение и педагогика — самые востребованные направления у студентов в России, следует из материалов мониторинга качества приёма в 2021 году, проводимого ВШЭ, пишет РИА Новости.
Тест «Эукариотическая клетка. Прокариотическая клетка. Ядро»
Проверочная работа по трём темам: строение эукариотической клетки, строение прокариотической клетки, клеточное ядро.
Математика. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами.
Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.
Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.
1.
Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.
2.
http://4ege.ru/matematika/61755-reshenie-irracionalnyh-uravnenij-i-sistem-uravnenij-s-parametrom.html
http://multiurok.ru/files/matematika-irratsionalnye-uravneniia-i-neravenstva.html