Иррациональные уравнения введение новой переменной

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Методы решений иррациональных уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1 способ. Введение новой переменной

Метод замены переменной или метод подстановки очень часто используется при решении иррациональных уравнений и неравенств. Он позволяет значительно упростить решение, разбить его на самостоятельные этапы. Решить уравнение. .

Выполняем обратную подстановку

Ответ: -5; 2.

2 способ. Исследование ОДЗ.

Решить уравнение.

Решение. Замечаем, что ОДЗ уравнения состоит из одной точки х= 1 . Проверкой убеждаемся, что х= 1 – решение уравнения .

3 способ. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.

Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на .

Получим, .

Имеем,

Отсюда,

Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

4 способ. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.

Решить уравнение

Решение. Положим Тогда u + v = 3. Так как u 3 = x -2, v 2 = x +1, то v 2 – u 3 =3. Итак, в новых переменных имеем

5 способ. Выделение полного квадрата

Решить уравнение

Решение. Заметим, что

= 2 ,

.

Следовательно, имеем уравнение

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

или

Решением первой системы будет х =0, решением второй системы – все числа, удовлетворяющие неравенству

6 способ. Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение

Решить уравнение

Так как для то левая часть уравнения не меньше двух для , а правая часть для Поэтому уравнение может иметь корнями только те значения х , при которых

Решая второе уравнение системы, найдем х=0 . Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы. Итак, х= 0 – корень уравнения.

7 способ: Использование свойств монотонности функций.

Решить уравнение .

ешение. Если функция u ( x ) монотонная, то уравнение и(х) = А либо не имеет ре­шений, либо имеет единственное ре­шение. Отсюда следует, что урав­нение и(х) = v ( x ), где и(х) — возрас­тающая, a v ( x ) – убывающая функ­ции, либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

Урок-практикум «Иррациональные уравнения. Метод введения новых переменных». 10-й класс

Класс: 10

Сформулировать тему и цель урока.

Установить внутрикурсовые связи.

Формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций и компетенций личностного самосовершенствования.Приветствие участников образовательного процесса.

Запись в тетради: даты урока, вида деятельности (классная работа)

Учитель организовывает самостоятельную деятельность учащихся:

Форма взаимодействия — индивидуальная работа учащихся. , 2 страница конспекта. Приложение 1, Приложение 2.

Решить уравнения, заполнить таблицу ответов (у каждого учащегося на парте лежит таблица), время работы 5 минут:

Решить уравнение двумя способами (решение оформить в тетради), время для работы 10 мин., , работу можно выполнять самостоятельно, а можно объединиться в группы (пары), если есть желание обсудить проблему:

Во время выполнения учащимися Задания 2 учитель проверяет заполненные таблицы «Простейшие иррациональные уравнения», следит за работой групп и учащихся класса, знакомится с записями учащихся в тетради. Через 15 мин. учитель организовывает обсуждение.

Форма взаимодействия — беседа , 2-3 мин. (учащиеся вступают в беседу: называют способы решения уравнений, формулируют мысли, идеи которые пытались реализовать, для этого можно использовать возможности ИД, для демонстрации результата, например, графического способа решения). , , , , 3-6 страница конспекта

Ожидаемый результат: 1 способ. Использование схемы

2 способ. Использование метода введения новой переменной

3 способ. Графический метод (для №1)

Подведение итога работы на этапе. Форма взаимодействия — беседа, 2-3 мин.

Какой способ решения Вы считаете более рациональным для решения задания №1?

Когда можно применять метод введения новой переменной?

Тема урока связана с метод введения новой переменной при решении иррациональных уравнений, (учитель вытаскивает за звёздочки на ИД тему урока)

Учитель: Можно ли назвать данный урок — уроком изучения нового материала?

(учащиеся вступают в беседу: определяется вид урока, формулируют цели урока для себя — в результате обсуждения появляется цель урока — учитель вытаскивает за звёздочки на ИД цель, , , 7 страница конспекта)

Учитель: В процессе практикума существенно пополнится запас знаний о методах и приёмах решения иррациональных уравнений (которые можно применять и при решении других видов уравнений и неравенств).

Подводится итог этапа урока, направленный на реализацию поставленной цели. Учитель выдаёт проверенные работы учащихся.

В Лист самоконтроля каждый учащийся заносит результаты:

за каждый «+» в таблице — 1 балл;

за верно решённые уравнения задания 2- 2 балла (за каждый способ), за идею, которая могла привести к верному решению,-0,5 балла, за верно решаемое уравнение, но недовведенное до верного ответа или за решение с вычислительной ошибкой 1 балл.2 этап — актуализация знаний.Актуализировать знания учащихся;

Формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций и компетенций личностного самосовершенствования.Форма взаимодействия — групповая работа по желанию учащихся или парная работа (если групповая работа, то группы формируются по желанию учащихся, но не более чем 4 человека в группе, в рабочем режиме)

2 задание. Решить задание № 2(из таблицы). 1 и 2 вариант соответственно, время 10-12 мин.

Задание группам (парам):

• обсудить способ решения в группе (паре),
• оформить решение — индивидуальная деятельность, запись решения выполнить в тетради,
• обсудить решение задания в паре (группе), коррекцию внести в тетрадь другим цветом,
• подготовиться к самопроверке.

Подведение итога работы, время 3-5 мин.- /. Презентация, 4-5 слайд учителя, , — один из учащихся знакомит со способом решения, формулирует ответ, учитель демонстрирует оформление решения, остальные учащиеся проверяют решение в тетради, вносят необходимые изменения, корректируют решение, рядом с ответом ставят знаки «+», или «-«, или «+» по итогам самопроверки. // Вавилов В.В. и др. задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие.- М.: Наука. 1988.- 240 с. /.

Подводится итог этапа урока, направленный на реализацию поставленной цели.

Приём решения уравнений и неравенств метод введения новой переменной хорошо известен, поэтому 1 из продуктов деятельности на этапе — итогом работы на этапе — может служить алгоритм решения предложенных уравнений.

Ввести переменную, например, ,

Найти ,

Найти ,

Записать систему равносильную исходному уравнению

Решить систему и выполнить обратную замену;

Решить полученную совокупность простейших иррациональных уравнений или простейшее иррациональное уравнение

2 продуктом деятельности — является верное решение иррационального уравнения метод введения новой переменной

В Лист самоконтроля: за каждый «+» — 2 балла, за «+» — 1 балл, если исправлены недочёты другим цветом, после самопроверки, за верное исправление ошибки в работе партнёра — 0,5 балла3 этап — основной этап.Проверить уровень усвоения теоретического материала и умения применять приобретённые знания на практике.

Формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций и компетенций личностного самосовершенствования.Учитель: Приём решения уравнений и неравенств метод введения новой переменной хорошо известен, поэтому мы данный приём повторили и закрепили на предыдущих этапах. На данном этапе мы рассмотрим метод замены неизвестных для различных частных случаев уравнений, не записанных в виде

Форма взаимодействия — групповая работа (группы сформированы моногенные- одинакового уровня обученности по данной теме),

3 задание. Решить уравнение двумя способами в группе, время 3-5 мин.

«Мозговой штурм»- найти 2 способа (желательно в соответствии с темой урока), 1-3 минуты;

При острой необходимости (если группа не уложилась в отведённое время: 1-3 мин.) пользуются правом «консультация с учителем» (при этом оценка за решение данного уравнения будет снижена на 0,5- 1 балла в зависимости от уровня консультации);

Разделить полномочия: 2 человека оформляют решение-1 способом; 2 чел. — 2 способом;

Проверяют оформленное решение в группе, вносят изменения;

Отчитываются перед учителем, получают оценку за решение, которую заносят в лист самоконтроля 1-3 балла;

Получают право выполнять следующее задание.

4 задание. Решить уравнение двумя способами в группе, время 5-7 мин.

«Мозговой штурм»- найти 2 способа (желательно в соответствии с темой урока), 1-3 минуты;

При острой необходимости (если группа не уложилась в отведённое время: 1-3 мин.) пользуются правом «консультация с учителем» (при этом оценка за решение данного уравнения будет снижена на 0,5- 1 балла в зависимости от уровня консультации);

Разделить полномочия: 2 человека оформляют решение-1 способом; 2 чел. — 2 способом;

Проверяют оформленное решение в группе, вносят изменения;

Отчитываются перед учителем, получают оценку за решение, которую заносят в лист самоконтроля 1-5 балла;

Получают право выполнять следующее задание.

5 задание. Решить уравнение, время 7-10 мин.

«Мозговой штурм»- найти способ (желательно в соответствии с темой урока), 1-3 минуты;

При острой необходимости (если группа не уложилась в отведённое время: 1-3 мин.) воспользоваться правом «консультация с учителем» (при этом оценка за решение данного уравнения будет снижена на 0,5- 1 балла в зависимости от уровня консультации);

Оформить решение, найденное в ходе обсуждения в тетради;

Проверяют оформленное решение в группе, вносят изменения;

Отчитываются перед учителем, получают оценку за решение, которую заносят в лист самоконтроля 1-5 балла;

Получают право выполнять следующее задание.

6 задание. Решить уравнение двумя способами в группе, время 10мин.

«Мозговой штурм»- найти 2 способа (не обязательно в соответствии с темой урока), 1-3 минуты;

При острой необходимости (если группа не уложилась в отведённое время: 1-3 мин.) пользуются правом «консультация с учителем» (при этом оценка за решение данного уравнения будет снижена на 0,5- 1 балла в зависимости от уровня консультации);

Разделить полномочия: 2 человека оформляют решение в тетради -1 способом; 2 чел. — 2 способом;

Проверяют оформленные решения в группе, вносят изменения;

Отчитываются перед учителем, получают оценку за решение, которую заносят в лист самоконтроля 1-5 балла;

Получают право выполнять следующее задание.

7 задание (дополнительное). Решить уравнение, время 7-9 мин. // Олехник С.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся.- М.: Экзамен. 1998.- 192 с. /.

«Мозговой штурм»- найти способ решения (не обязательно в соответствии с темой урока), 1-3 минуты;

При острой необходимости (если группа не уложилась в отведённое время: 1-3 мин.) пользуются правом «консультация с учителем» (при этом оценка за решение данного уравнения будет снижена на 0,5- 1 балла в зависимости от уровня консультации);

Оформить решение, найденное в ходе обсуждения в тетради;

Проверяют оформление решения в группе, вносят изменения;

Отчитываются перед учителем, получают оценку за решение, которую заносят в лист самоконтроля 1-7 баллов.

Подводится итог этапа урока, направленный на реализацию поставленной цели.

1 из продуктов деятельности на этапе — итогом работы на этапе — может служить алгоритм решения предложенных уравнений;

2 продуктом деятельности — является верное решение иррациональных уравнений;

3 продуктом деятельности — является у одних знакомство, у других — освоение, у третьих — применение рассматриваемых методов в новой ситуации.

В Лист самоконтроля: внести заработанные баллы на данном этапе уроке. Приложение 2.4 этап-подведение итога урока.Обобщить результаты совместной деятельности всех участников образовательного процесса.

Оценить достигнутый результат и свою деятельность.

Формирование компетенций личностного самосовершенствования, коммуникативных, социально-трудовых компетенцийФорма взаимодействия- беседа, время 5 мин.

Записать домашнее задание в дневники (страница конспекта 8), .

Рефлексия всех участников образовательного процесса (страница конспекта 10). , в виде графиков в тетради ( образец в листе самоконтроля), поставить заработанные баллы на третьем этапе урока в лист самоконтроля. Обобщить результаты деятельности. Приложение 1, Приложение 2