Использование четности функций при решении уравнений

Задачи с параметрами. Использование четности функций.

Материал для повторения:

Четные и нечетные функции
Что такое параметр. Простые задачи с параметром.
Графический метод в решении задач с параметрами.

Встречались ли вам в задаче 17 Профильного ЕГЭ по математике страшные-престрашные уравнения с параметрами? Такие, на которые смотришь – и вообще не понимаешь, что делать?

Есть множество «инструментов» для решения задач с параметрами — методов, приемов, больших и маленьких секретов. Конечно, эти приемы лучше не изобретать на экзамене, а изучить заранее.

Например, использование четности функций, входящих в уравнение.

1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень

Откроем секрет. Есть два универсальных способа для решения задач с параметрами. Вот они:

1) Если задачу с параметром можно решить графически — решаем графически.

2) Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — делаем замену переменной.

Второй из этих полезных советов — как раз для нашей задачи. Сделаем замену . Получим:

Конечно, можно решать уравнение графически, построив графики левой и правой его частей. Однако у этого способа есть недостаток: как мы узнаем, пересекаются ли графики в одной точке, или у них еще есть точки касания? Все равно без аналитического исследования не обойтись.

Поэтому выберем другой способ. Обозначим функции в левой и правой частях уравнения как f(x) и g(x):

Заметим, что f(x) и g(x) — четные относительно х, так как их области определения симметричны относительно нуля и , .

Значит, если — корень уравнения, то и
— тоже его корень. Поэтому единственное решение может быть только если . В этом и состоит идея решения таких задач.

Обратите внимание, как аккуратно мы сформулировали: «единственное решение может быть только если ». Ведь может быть еще и такой случай, что — один из корней уравнения, и при этом есть еще решения. Тогда общее количество решений уравнения нечетно.

Давайте подставим в уравнение и посмотрим, что получится.

. Решив это уравнение, получим:

Каждое из найденных значений параметра надо проверить. Подставим их по очереди в исходное уравнение и найдем, сколько решений оно будет иметь при каждом таком b.

У этого уравнения три решения:

, или , или . Такое значение параметра нам не подходит.

Уравнение решается методом интервалов для модулей (ССЫЛКА). На числовой прямой отмечаем точки -2 и 2 и решаем уравнение на каждом промежутке.

Получим единственное решение . Нам это подходит. При этом .

При уравнение получится таким же. Эта ветвь решения дает в результате:

Это была простая задача. А вот следующая… Только не пугаться! Мы справимся!

2. При каких значениях параметра a система имеет единственное решение

Найти это значение a. Найти решение.

Перед нами система из двух уравнений, в которой есть две переменныех и у, а также параметр а.

Решать такую систему, выражая, например, у через х и подставляя во второе уравнение? — Страшно даже думать об этом!

Для начала запишем ОДЗ — область допустимых значений системы.

Заметим, что все функции, входящие в уравнения системы, четны относительно х. А вот это уже что-то. Это значит, что если — решения, то
– тоже решение. Единственное решение возможно, если .

Подставим в уравнения системы.

– единственное решение, так как 0′ alt=’y> 0′ />.

Подставив в уравнения, из первого уравнения получили, что .

– 3 решения. Это нам не подходит.

Ответ: . При этом система имеет единственное решение .

Использование свойств четности функции при решении задач с параметром

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Кудрявцева Татьяна Юрьевна, преподаватель

ФГБОУ ВО «ХГУ им. Н.Ф. Катанова

Институт непрерывного педагогического образования,

Колледж педагогического образования, информатики и права

Использование свойств четности функции при решении задач с параметром

В данной статье рассмотрен один из способов решения уравнений с параметрами, основанный на использовании свойств четных функций. Параметрические уравнения являются одним из наиболее сложных заданий ЕГЭ профильного уровня. Описанный способ решения является наименее затратным по времени и оптимальным при решении уравнений, левая часть которых является четной функцией.

Функция y = f ( x ) называется четной, если она удовлетворяет условиям:

1) ее область определения симметрична относительно начала координат,

График четной функции симметричен относительно оси ОУ, значит, точки пересечения с осью ОХ симметричны относительно нуля. Если х= а является корнем уравнения f ( x )=0, то и х= — а корень уравнения. Следовательно, уравнение f ( x ) имеет четное число корней, если х=0 не является корнем уравнения и нечетное число корней, только если одним из них является х=0. Это свойство можно использовать при решении задач с параметрами, которые встречаются в ЕГЭ профильного уровня.

Пример 1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является промежуток (-∞; +∞). Найдем f (- x )

значит, функция f ( x ) четная, следовательно, нечетное число корней уравнение f ( x )=0 может иметь только если х=0 является корнем уравнения. При подстановке значения х=0 в уравнение, получим уравнение, которое имеет корни a = ±2.

Найдем корни уравнения при a = ±2.

Уравнение не имеет действительных корней, так как . Значит, решением уравнения является корень уравнения .

Ответ: При a = ±2 уравнение имеет единственное решение.

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три решения.

Эта функция определена для всех значений переменной х. Найдем f (- x ).

Значит, функция является четной и уравнение f ( x )=0 имеет нечетное число корней, только если х=0 является его корнем.

При х=0 уравнение запишется в виде . Найдем его решение.

Найдем решение уравнения при а = -3

Значит, при а = -3 уравнение имеет три решения.

Найдем решение уравнения при а = -1

Рассмотрим три случая

, значит, уравнение не имеет действительных корней.

, значит, уравнение не имеет действительных корней.

Значит, при а= -1 уравнение имеет единственное решение х=0.

Найдем решение уравнения при а=-5

Это уравнение было рассмотрено выше, и оно имеет единственное решение.

Ответ: При а = -3 уравнение имеет три решения.

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три различных решения.

Рассмотрим функцию . Эта функция определена на множестве действительных чисел. , то есть функция является четной. Следовательно, уравнение имеет нечетное число корней, только если х=0 является его корнем. Найдем значения параметра а, при котором х=0 является корнем уравнения.

Найдем решение уравнения при а =1.

Значит, при а =1 уравнение имеет единственное решение.

Найдем решение уравнения при а =-1.

Значит, при а = -1 уравнение имеет единственное решение.

Найдем решение уравнения, при а =2.

Значит, при а = 2, уравнение имеет три корня.

Найдем решение уравнения, при а = -4.

Значит, при а = -4, уравнение имеет три корня.

Ответ: при а =2 и а =-4 уравнение имеет три корня.

Краткое описание документа:

В данной статье рассмотрен один из способов решения уравнений с параметрами, основанный на использовании свойств четных функций. Параметрические уравнения являются одним из наиболее сложных заданий ЕГЭ профильного уровня. Описанный способ решения является наименее затратным по времени и оптимальным при решении уравнений, левая часть которых является четной функцией.

Определения и свойства четных и нечетных функций

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрим их свойства и решим некоторые задачи. Важным свойством четной функции является симметричность графика функции относительно оси у, важным свойством нечетной функции является симметричность графика относительно точки начала координат. Также на уроке мы выработаем методику исследования функции на четность и нечетность и решим ряд задач.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Функции»