Использование свойств и графиков при решении уравнений

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ — Тема: Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств

— применить умения по владению стандартными приемами решения уравнений и систем.

1. Рабочая тетрадь в клетку

2. Раздаточные материалы: карточки-задания, инструкционные карты – 20 штук.

3. Калькулятор простой.

1. Решите неравенство графически

2. Решите графически систему уравнений.

3. Решить графически уравнение.

1. Внимательно прочитать тему и цель практической работы .

2. Изучить учебный материал по теме.

3. Ответить на вопросы.

4. Выполнить задания.

5. Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Если графики функций пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень, если в двух, то два решения.

Если графики не пересекаются, то уравнение не имеет корней.

Первый способ графического решения квадратного уравнения заключается в построении параболы y = ax 2 + bx + c и нахождении корней уравнения ax 2 + bx + c =0 как абсцисс точек пересечения параболы с осью О x .

Если парабола пересекает ось О x в двух точках, то соответствующее уравнение имеет два действительных корня;

если парабола касается оси О x , то уравнение имеет два равных действительных корня;

наконец, если парабола не пересекает Ось О x , то уравнение не имеет действительных корней.

Второй способ графического решения квадратного уравнения заключается в том, что уравнение в виде

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение / Найти приближённое значение этих корней.

Решение: Построим на одном рисунке , используя свойства этих функций.

Графики пересекаются в одной точке (≈0,5; ≈0,75)

Решите неравенство

Решение. Неравенство удобно решить графически.

Построим на одном чертеже графики функций , используя свойства функций.

Ответ: -3 ≤ x

Решение. Неравенство показательное, т.к. , то данное неравенство равносильно неравенству , область определения которого − промежуток x ≤ 2. При x ≤ 0 оно не имеет решений, т.к. , итак, решения неравенства содержится в промежутке 0 x ≤ 2. Возводя неравенство с обеими положительными частями в квадрат, получаем 2 − x x 2 , x 2 + x − 2 > 0 => x x > 1.

Решите графически

Парабола и окружность пересекаются в точках: (-3;4); (0; -5) и (3; 4).

Решить неравенство − x 2 − 2 x −2 y =− x 2 − 2 x −2

Ветви параболы направлены вниз, т.к. a =−1 D = b 2 −4 ac =

= (−2) 2 − 4(−1)∙(−2) = − 4 функция не имеет корней. Находим координаты вершины параболы: ,

. Уравнение оси симметрии есть x =−1.

С осью Oy парабола пересекается в точке (0; −2).

Для всех значениях аргумента функции принимает отрицательные значения => . Если бы мы решали неравенство , то оно не имело бы решений, т.к. не может принимать положительные значения.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа: Учебник 10—11 классы. — М.И., 2016.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2016.

3. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

4. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

5. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

6. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

Башмаков М.И. Математика: Учебник. — М., 2016

Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (352 кБ)

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.
И.Г. Цейтен

Цели урока:

  • дидактические: продолжить формирование умений применять различные способы решения неравенств; совершенствовать навыки решения неравенств различными методами;
  • развивающие: развивать познавательный интерес у учащихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь;
  • воспитательные: воспитывать у учащихся такие качества личности как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, потребность в приобретении и углублении знаний, вырабатывать умение слушать и вести диалог, формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради.

Тип урока: урок систематизации и обобщения изученного материала

Структура урока:

  1. Организационный этап.
  2. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.
  3. Этап обобщения и систематизации изученного.
  4. Этап подведения итогов.
  5. Этап информации учащихся о домашнем задании.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация “Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств”, доска, мел, раздаточный материал для работы на уроке и домашним заданием.

Деятельность учителяДеятельность учащихся
Организационный этап.
Здравствуйте, рада вас всех видеть!Ответы учащихся: Здравствуйте!
Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.
Эпиграфом к уроку я выбрала слова датского математика и историка математики, жившего с 1839 по 1920 года, Иеромонима Георга Цейтена: “Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах”.

При решении практически любой математической задачи приходится производить преобразование числовых, алгебраических или функциональных выражений. Но бывают случаи, когда стандартные преобразования не позволяют получить ответ. Тогда используют нестандартные методы, суть которых – реализовать “иной взгляд” на задачу, что существенно упрощает решение некоторых задач. Таким образом, тема сегодняшнего урока…

Но для начала — вопросы, ответы на которые вы должны были повторить дома.

“Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств”.Слайд 3

Что называется функцией?Пусть каждому числу x из множества чисел X в силу некоторого закона f поставлено в соответствие единственное число y. Тогда говорят, что задана функция , определенная на множестве X; при этом x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной.Какие свойства функций вам известны?Область определения функции.

Область значений (область изменения).Ограниченность функции.

Возрастание, убывание функции.

Четность, нечетность функции.

Периодичность функции.Что называется областью определения функции?Из определения функции следует, что функция задается вместе с областью определения X. Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом, если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции, заданной формулой, считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.Что называется областью значения функции?Область значений (область изменения) – множество всех значений функции .

Функцию называют ограниченной снизу (сверху), если существует такое число M, что для любого x из области определения верно неравенство , (). Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.Что понимается под монотонностью функции?

Все определения можно ещё раз увидеть в Приложении 1, которое лежит у вас на партах.Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Общее название этих двух понятий – монотонность.3. Этап обобщения и систематизации изученного.Судя по тем вопросам, которые я задала вам в начале урока, как вы думаете, какие свойства легли в основу методов, которые мы с вами сегодня будем разбирать? Слайд 3Область определения, ограниченность функции, её монотонность.Для более удобного рассмотрения нестандартных методов я составила для вас таблицу. Она у каждого из вас. С её помощью на сегодняшнем уроке мы разберём три метода. Учитель разбирает методы по таблице: пояснения теоретической части, разбор 1-2 примеров (какого — по желанию учащихся). Приложение 2.

Слайды 4 – 7.Ученики слушают объяснения учителя, делая пометки в таблице.А сейчас вы будете работать в группах. Каждая группа выберет себе задание. Затем представитель от группы представит решение.

1 группа. Решить уравнение .

2 группа. Решить неравенство .

3 группа. Решить неравенство .Учащиеся работают в группах.Защита решений. Слайд 8От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение на доске кратко записать, пояснения по ходу решения).

1группа. .

Решение: при решении используем ограниченность функций и квадратичной функций:

1. для любого х из R.

2. .

Таким образом мы видим, что области значений левой и правой части этого уравнения не имеют “точек соприкосновения”. Значит уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2 группа. .

Решение: при решении используем анализ ОДЗ неравенства.

ОДЗ: .

х=1 не является решением. Тогда при получим, что , а . Значит решением данного неравенства являются все числа из промежутка.

Ответ:

3 группа. .

Решение: при решении используем монотонность функций, входящих в неравенство.

Рассмотрим функции . Все они непрерывны и строго возрастают на R. значит и сумма этих функций тоже будет возрастающей функцией. Легко увидеть, что . А в силу её непрерывности и строгой монотонности получим, что при имеем, а при имеем. Значит решениями являются все .

Ответ: 4.Этап подведения итогов.Ребята, подведём итоги сегодняшнего занятия. Слайд 9.

  1. Какие неравенства мы сегодня рассматривали?
  2. Какими алгоритмами мы пользовались?
  3. Какие затруднения у вас вызвали эти методы? В чём они выражались?
  4. А чем понравились эти методы? Как вы думаете в чём их плюсы, а в чём — минусы?
Учащиеся отвечают, используя записи; рассказывают о своих затруднениях, если они были; высказывают личное мнение о методе.5. Этап информации учащихся о домашнем задании.На следующем занятии мы продолжим решать уравнения и неравенства, с использованием уже других свойств функций. А по теме сегодняшнего урока вам необходимо к следующему уроку выполнить следующее задание (карточки): Слайд 10

2. Творческое задание.

Подумайте, какие “внешние” признаки могут содержать уравнения или неравенства, которые бы указывали на применение рассмотренных сегодня методов.

Всем спасибо! Слайд 11

Литература.

  1. П. В. Чулков Материалы курса “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики” – М.:”Педагогический университет “Первое сентября”, 2010.
  2. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учимся решать задачи. 10-11 классы: Учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа. 2002 г.
  3. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / сост. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка – Волгоград: Учитель, 2005.
  4. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: учебно-методическое пособие/ Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов – на – Дону: Легион, 2013.
  5. В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; под ред. М. И. Сканави. Сборник задач по математике (с решениями) – М.: ООО”Издательский дом “ОНИКС 21 век”: ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005.

Замечание. По данной теме проводится ещё два урока: 2 урок – использование четности, периодичности, решение задач, 3 урок – самостоятельная работа.

Технологическая карта 11 класс «Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Технологическая карта урока математики

Учитель математики Дмитриева Г.Ш.

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов №55 имени Александра Невского» г. Курска

Алгебра и начала математического анализа

11 класс. Учебник для 11 класса, Никольский С.М.

Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Урок обобщения и систематизации полученных знаний

Формирование навыков решения уравнений и неравенств с помощью свойств функций.

Повторение метода промежутков для уравнений.

Развитие вычислительных навыков учащихся, формирование умения проводить анализ, обобщать, делать выводы.

Воспитание умения вести диалог, самостоятельности мышления, интереса к предмету.

Авторская мультимедийная презентация, экран, кейсы для работы в парах, доска

Формы организации деятельности обучающихся

Индивидуальная работа; работа в парах; фронтальная работа

Формирование навыков решения уравнений и неравенств с помощью использования свойств функций. Умение применять математические знания при выполнении практических заданий.

Умение выдвигать гипотезу, отстаивать или опровергать ее. Умение находить в источниках необходимую информацию для решения математических проблем.

Умение записывать ход решения по образцу. Умение грамотно излагать свои мысли, дополнять и исправлять ответы других учащихся, находить другие способы решения.

Устное сообщение учителя

Учитель приветствует класс, создает позитивный настрой на урок

Приветствуют учителя, настраивают-ся на работу, концентриру-ют внимание, получают позитивный заряд

Регулятивные: способность регулировать свои действия, прогнозиро-вать деятель-ность на уроке

Метод промежут-ков для уравнений и нера-венств

Решение уравнений и неравенств

1. Метод промежутков при решении уравнений с модулем

Устно повторить алгоритм решения уравнения с модулем методом промежутков

На промежутке (-∞;2)

x = -4 — принадлежит промежутку (-∞; 2)

На промежутке [2;3)

x =4 — не принадлежит промежутку [2;3)

На промежутке [3;+∞)

x =6 – принадлежит промежутку [3;+∞)

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня:

2. Метод интервалов для непрерывных функций

D ( f ) – область существования функции f ( x ) – множество решений системы неравенств

Проверка показывает, что числа -2 и 2 являются решениями исходного неравенства.

Нули функции f ( x ) числа 6 и 9 и они не являются решениями исходного неравенства.

Определим знак функции f ( x ) на каждом из четырех интервалов:

Выберем множество всех решений неравенства. Это объединение интервалов (-∞; -2), (2;6), (9;10) и точки -2 и 2.

Ответ: (-∞; -2] U [2;6) U (9;10).

Устно повторяют алгоритм решения уравнения с модулем методом промежутков, применяют его на практике

Регулятивные: способность провести самооценку

Актуализа-ция знаний, умение проводить анализ, обобщать, делать выводы

Использо-вание областей существо-вания функций

Решение уравнений и неравенств

1. Устно вспомнить свойства функций (область определения, неотрицательности, ограничен-ности, монотонности и т.д.), свойства синуса и косинуса.

2. Использование свойств функ-ций при решении уравнений и неравенств

3. Применение теории на практи-ке.

Решим уравнение (учебник п.13.1 пример 1, с.314-315):

Обе части уравнения определены лишь для таких x , которые удовлетворяют системе неравенств:

Этой системе удовлетворяют лишь два числа x =4 и x = -4. Проверка показывает, что число 4 удовлетворяет исходному неравенству, а число -4 – не удовлетворяет неравенству. Следовательно, неравенство имеет единственное решение x=4 .

Устно повторяют свойства функций и свойства синуса и косинуса, применяют знания на практике.

Личностные: осознание своих возмож-ностей; анализируя и вспоминания теорию, нахо-дят необходи-мую информа-цию для реше-ния уравнений и неравенств.

Регулятивные: целеполагание, прогнозирова-ние

Использование неот-рицатель-ности фун-кций, ис-

пользова-ние огра-ниченнос-ти функ-ций

Самостоятельно, работа в парах на местах, два человека за доской

№ 13.2 (а) – решить уравнение

№ 13.4 (а) – решить неравенство

Использование неотрицательности функций

Каждая функция неотрицательна для любого x из области существования и их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из них равна нулю.

x =7 – единственное решение.

Использование ограниченности функций

f ( x ) – квадратичная функция, гра-фик парабола, ветви направлены вверх, вершина (2;1).

– тригонометрическая функция, график синусоида,

Решим любое из них

Проверка показала, что x =2 единственное решение.

Устное сообщение учителя, учащихся

Выводы, проставление отметок

Отвечают на вопросы, получают оценки по результатам выполненной работы

Личностные: умение провес-ти самооценку и организовать взаимооценку.

Регулятивные: построение ло-гической це-почки рассуж-дений и дока-зательство.

Информа-ция о до-машнем задании

Учитель информирует о домашнем задании:

§13, №13.2(б), 13.4(б), 13.8(б), 13.14(б).

Записывают домашнее задание.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 046 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

  • 01.04.2018
  • 607
  • 18

  • 01.04.2018
  • 20872
  • 5

  • 01.04.2018
  • 1540
  • 3

  • 01.04.2018
  • 3028
  • 25

  • 01.04.2018
  • 1062
  • 2

  • 01.04.2018
  • 287
  • 2

  • 01.04.2018
  • 418
  • 6
  • 01.04.2018
  • 283
  • 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 01.04.2018 2161
  • DOCX 64 кбайт
  • 100 скачиваний
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Дмитриева Галия Шамильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

  • На сайте: 3 года и 10 месяцев
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 3554
  • Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.


источники:

http://urok.1sept.ru/articles/661107

http://infourok.ru/tehnologicheskaya-karta-klass-ispolzovanie-svoystv-funkciy-pri-reshenii-uravneniy-i-neravenstv-2808317.html

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут