Решение систем уравнений
Содержание:
Графический метод решения систем уравнений
Вспоминаем то, что знаем
Что такое график уравнения с двумя неизвестными?
Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?
Решите графическим методом систему линейных уравнений:
Открываем новые знания
Решите графическим методом систему уравнений:
Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту
В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.
Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Начнём с графического метода
Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.
Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.
Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Примеры с решением
Пример 1:
Решим систему уравнений:
Построим графики уравнений 
Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).
Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).
Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.
Ответ: (2; 5) и (-1; 2).
Пример 2:
Выясним количество решений системы уравнений:
Построим графики уравнений 
Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.
Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.
Ответ: Два решения.
Решение систем уравнений методом подстановки
Вспоминаем то, что знаем
Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.
Решите систему линейных уравнений методом подстановки:
Открываем новые знания
Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?
Решите систему уравнений методом подстановки:
Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?
Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?
Ранее вы решали системы уравнений первой степени.
Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.
Пример 3:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим х из уравнения 
Подставим найденное выражение в первое уравнение:
Решим полученное уравнение:
Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.
Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.
Пример 4:
Решим систему уравнений:
Пусть (х; у) — решение системы.
Выразим у из линейного уравнения:
Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:
После преобразований получим:
Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).
Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».
Пример 5:
Подставим во второе уравнение 
тогда его можно переписать в виде:
Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:
Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:
Корни этого уравнения: 
.
Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.
Пример 6:
Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:
.
Корни этого уравнения: 
Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:
1) 
2) 
, получим уравнение 
корней нет.
Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.
Пример 7:
Решим систему уравнений:
Обозначим 
Второе уравнение системы примет вид:
Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:
Осталось решить методом подстановки линейные системы:
Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями
Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:
1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;
2) решают полученную систему;
3) отвечают на вопрос задачи.
Пример 8:
Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — 
см.
Воспользуемся теоремой Пифагора: 
Решим систему. Выразим из первого уравнения у:
Подставим во второе уравнение:
Корни уравнения: 
Найдём 
С учётом условия 
получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.
Пример 9:
Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.
Пусть х — первое число, у — второе число.
Тогда: 
— произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.
Вычтем из второго уравнения первое. Получим:
Дальше будем решать методом подстановки:
Подставим в первое уравнение выражение для у:
Корни уравнения: 
(не подходит по смыслу задачи).
Найдём у из уравнения:
Получим ответ: 16 и 7.
Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными
Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение 
симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид 
, то есть не меняется. А вот уравнение 
не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид 
, то есть меняется.
Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.
Например, если в системе уравнений
переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:
Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.
Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:
Сначала научитесь выражать через неизвестные 
выражения:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Системы уравнений с двумя переменными
п.1. Понятие системы уравнений с двумя переменными и её решения
п.2. Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными
Поскольку каждое из уравнений с двумя переменными можно изобразить в виде графика на плоскости, графический метод решения систем таких уравнений достаточно удобен.
п.3. Примеры
Пример 1. Решите графическим способом систему уравнений:
а) \( \left\< \begin
\( \mathrm
\( \mathrm <4x+3y=0>\) – прямая \( \mathrm
Система имеет два решения (–3; 4) и (3; –4)
Ответ: <(–3; 4) ; (3; –4)>.
б) \( \left\< \begin
\( \mathrm
y – x = 4 – прямая y = x + 4
Система имеет два решения (–5; –1) и (1; 5)
Ответ: <(–5; –1) ; (1; 5)>.
в) \( \left\< \begin
x 2 + y = 1 – парабола y = –x 2 + 1
x 2 – y = 7 – парабола y = x 2 – 7
Система имеет два решения (–2; –3) и (2; –3)
Ответ: <(–2; –3) ; (2; –3)>.
г) \( \left\< \begin
xy = 1 – гипербола \( \mathrm
x 2 + y 2 = 2 – окружность с центром в начале координат, радиусом \( \mathrm<\sqrt<2>> \)
Система имеет два решения (–1; –1) и (1; 1)
Ответ: <(–1; –1) ; (1; 1)>.
Пример 2*. Решите графическим способом систему уравнений
a) \( \left\< \begin
x 3 – y = 1 – кубическая парабола y = x 3 – 1, смещённая на 1 вниз.
\( \mathrm <\frac1x-y=1>\) – гипербола \( \mathrm
Система имеет два решения (–1; –2) и (1; 0)
Ответ: <(–1; –2) ; (1; 0)>.
б) \( \left\< \begin
|x| + |y| = 2 – квадрат с диагоналями 4, лежащими на осях
x 2 + y 2 = 4 – окружность с центром в начале координат, радиусом 2
Система имеет четыре решения (2; 0), (0; 2) , (–2; 0) и (0; –2)
Ответ: <(2; 0) ; (0; 2) ; (–2; 0) ; (0; –2)>.
в) \( \left\< \begin
y – x 2 = 4x + 6 – парабола y = (x 2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2) 2 + 2, ветками вверх, смещённая на 2 влево и на 2 вверх
y + |x| = 6 – ломаная, y = –|x| + 6. Для x > 0, y = –x + 6, для x 0, y = x, для x
Решение линейных уравнений с параметром аналитическим и графическим способами (7-й класс)
Разделы: Математика
Класс: 7
Цель урока: научиться решать уравнения с параметром линейного вида.
- ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.
Выполненные на отдельных листах упражнения из домашнего задания, вывешиваются перед уроком на специальной доске для самопроверки.
На конференции 85% делегатов знают английский язык и 75 % испанский. Какая часть делегатов знают оба языка?
(85% + 75%=160%, что на 60% превышает общее число делегатов конференции. За счет чего образовался излишек? За счет тех людей, которые оба языка знают, — их мы посчитали дважды. Таким образом, оба языка знают не менее 60 % делегатов конференции.)
Найдите корни уравнения
а) 1 + х = 2 – х, (0,5)
б) 9х — 4 = 9х + 5, ( ø )
в) 3х + 1 = 3х + 1. (х принадлежит R)
При каких значениях b число 3 является корнем уравнения?
Что значит решить уравнение с параметром? (Под решением уравнения f(x;a)=0
с параметром а будем понимать систему значений х и а из области определения уравнения, обращающую его в верное числовое равенство)
Решите уравнение с параметром:
а) 
, (если m = 0 то x принадлежит R; если m <> 0, то решений нет)
б) 
, (х = а/4)
в) 
(если а = 0, то решений нет; если а не равен 0, то х = а/4).
.- РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Сегодня мы посвятим урок решению задач с параметром аналитическим и графическим способами.
№1. Решите уравнение:
Если а не равно 0, преобразуем уравнение: а+х = а 2 + ах,
(а — 1) х = — а (а — 1).
а = 1, тогда
х принадлежит R.
3) Если а не равно 1, а <> 0, х = — а.
Для удобства записи ответа сделаем рисунок решений
Ответ: если а = 0, то решений нет, если а = 1, то х– любое число, если а? 0, а? 1, то х=- а.
Дадим геометрическую интерпретацию уравнения
Работа с графиком:
Назовите пары решения уравнения
Например: а = 1, х = 2,
№ 2 Отцу 40 лет. Через сколько лет отец будет в два раза старше сына?
Пусть сыну а лет. Пусть через х лет отец будет в два раза старше сына.
х + 40 (лет) будет отцу, а + х (лет) будет сыну. Т.к. по условию задачи отец будет в два раза старше сына, то 40 + х = 2 (а + х),
По смыслу задачи а >= 0, но 40 — 2 а >= 0, а значит а 0, x + 2 = a или х + 2 = — а,
х = а — 2, х = — а — 2.
Ответ: если a 0, то х1 = а — 2.
2 способ. Графический
Построим в одной системе координат графики функций у = | х + 2| и у = а.
Если a > 0, то у = — х — 2, или у = х + 2,
— х — 2 = а, х + 2 = а,
х = — а — 2; х = а — 2.
Ответ: еслиa 0, то х1 = а — 2.
№ 4 Самостоятельно с последующей проверкой на доске.
При каком значении а уравнение имеет один корень?
а) | х| + | х — а | = — 3,
в) 2| х| + | х — 1| = а.
а) | х| + | х — а | = — 3,
Ответ: при любом а корней нет, т.к. сумма двух неотрицательных чисел есть число неотрицательное.
б) | х| + | х — а | = 0,
Ответ: при а = 0, единственный корень х = 0.
в) 2 | х| + | х — 1 | = а.
Это уравнение решить аналитически трудно. Попробуем решить его графически.
Построим в одной системе координат графики функций: у = 2 | х| + | х — 1 | и у = а.
Если х = 1,y = 2x+x- 1,
Ответ: при а = 1 уравнение имеет единственный корень х = 0.
№ 749 (4) Повторение действий с многочленами. № 737 Текстовая задача.
При каком значении а уравнение 3 | х — 1| + | х — 2| = а не имеет корней?
Необязательное задание: найти натуральное число А, если известно, что из трех данных утверждений два верно, а одно – нет. 1) А + 7 – точный квадрат,
2) последняя цифра А равна 1, 3) А — 8 – точный квадрат.
источники:http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/sistemy-uravnenij-s-dvumya-peremennymi/
http://urok.1sept.ru/articles/102275
