Используя метод введения новой переменной приведи уравнение

Решение уравнения методом введения новой переменной

Математика. Уравнения. 283гр. Дистанционное обучение.

Просмотр содержимого документа
«Решение уравнения методом введения новой переменной»

21.04.20. Задание: Записать конспект и решить уравнения

Тема: Основные приемы решения уравнений:

Решение уравнения методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной:

1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a, y, t. )

(прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

2. решается новое уравнение;

3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.

Пример: Решить уравнение (2x−21) 2 −5(2x−21)+4=0.

Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.

Используем то, что обе скобки равны.

Обозначаем 2x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4•1•4=25-16=9

Возвращаемся к обозначенному:

Методом введения новой переменной решаются биквадратные уравнения:

ax 4 +bx 2 +c=0, где a,b,c ∈R; x 2 =y; ay 2 +by+c=0. В биквадратных уравнениях всегда используется новая переменная. Получается квадратное уравнение

Пример: Решить уравнение:

x 4 −13x 2 +12=0; x 2 =y, тогда

1)x 2 =12; или 2) x 2 =1,

Задание: Решить уравнения 1. (3x−4) 2 +3 (3x−4)-4=0.

Решение показательных уравнений методом введения новой переменной

Продолжаем разбирать решение показательных уравнений различными методами. В этой статье мы рассмотрим, как проводится решение показательных уравнений методом введения новой переменной. Сначала кратко напомним теорию. После этого решим несколько характерных показательных уравнений методом введения новой переменной.

Теория

На текущем сайте www.cleverstudents.ru есть отдельная статья, посвященная методу введения новой переменной. Там детально изложена теория метода со всеми необходимыми обоснованиями и доказательствами. Там же дан алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной. Здесь мы не будем дублировать эту информацию, а напомним лишь самые основные положения.

Метод введения переменной – общий, в том смысле, что с его помощью можно решать уравнения любых видов, в частности, показательные.

Метод введения переменной используется для решения уравнений, в которых переменная содержится только в составе нескольких одинаковых выражений, или уравнений, которые могут быть приведены к такому виду. То есть, с помощью метода введения новой переменной проводится решение уравнений f(g(x))=0 и f1(g(x))=f2(g(x)) . Для наглядности приведем примеры показательных уравнений, для решения которых подходит метод введения новой переменной: , и др.

Решение показательных уравнений методом введения новой переменной проводится в следующей последовательности. Вводится новая переменная. Решается уравнение с новой переменной. Если оно не имеет решений, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения. Если же уравнение с новой переменной имеет решения, то осуществляется возврат к старой переменной, и находится решение исходного уравнения.

Характерные примеры

На практике встречается довольно много разнообразных показательных уравнений, которые решаются методом введения новой переменной. Сейчас мы разобьем их на несколько групп, возьмем из каждой группы по одному типичному представителю, и покажем их решение. Такой подход позволит справиться с решением почти любого заданного показательного уравнения методом введения переменной. Для его решения нужно будет определить, к какой группе относится заданное уравнение, и провести его решение по аналогии с решением типичного примера.

В первую группу определим показательные уравнения, в которых явно видны одинаковые выражения с переменной. Такими, например, являются уравнения и . Покажем решение первого из них.

Решите уравнение .

Во вторую группу поместим показательные уравнения, в которых фигурируют степени с одинаковыми основаниями и противоположными показателями. В качестве примера приведем уравнения и . Сюда же давайте отнесем и уравнения, в которых присутствуют степени с одинаковыми показателями и взаимно обратными основаниями. Таким, например, являются показательные уравнения и . При решении подобных показательных уравнений методом введения новой переменной в качестве новой переменной t берется одна из степеней, другая степень выражается через переменную t как 1/t . Давайте покажем решение одного из записанных уравнений.

Решите уравнение .

Здесь же хочется отдельно выделить уравнения, в которых взаимно обратные числа в основаниях степеней завуалированы сопряженными выражениями. Например, в показательном уравнении основания степеней и являются взаимно обратными числами, ведь . Это позволяет провести решение показательного уравнения методом введения новой переменной.

Решите показательное уравнение .

Методом введения новой переменной проводится решение показательных уравнений, в записи которых находятся степени с одинаковыми основаниями и кратными показателями. Приведем несколько примеров таких уравнений: 5 2·x +9·5 x −10=0 , 2 x −8−2 −x +8·2 −2·x =0 , . Введением новой переменной решение подобных показательных уравнений можно свести к решению рациональных уравнений.

Решите уравнение .

К предыдущей группе стоит отнести еще показательные уравнения, степени в которых имеют одинаковые показатели, но разные основания, представляющие собой разные целые степени одного из оснований. Характерными представителями таких уравнений являются, например, 25 x +9·5 x −10=0 и . Покажем, как выглядит решение первого из этих показательных уравнений методом введения новой переменной.

Решите уравнение 25 x +9·5 x −10=0 .

Нередко встречаются показательные уравнения, которые являются однородными уравнениями относительно некоторых степеней. Вот характерные примеры однородных показательных уравнений: (10 x ) 2 +9·10 x ·2 x −10·(2 x ) 2 =0 , и т.п. Такие уравнения, как правило, решаются методом введения новой переменной после предварительного деления обеих частей уравнения на одну и ту же «старшую» степень.

Решите уравнение (10 x ) 2 +9·10 x ·2 x −10·(2 x ) 2 =0 .

Вообще, введению новой переменной часто предшествует ряд преобразований уравнения. Это, в частности, видно на предыдущем примере. Преобразования, характерные для показательных уравнений, детально разобраны в материале решение показательных уравнений через преобразования.

Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение уравнений методом замены переменной»

Разделы: Математика

Класс: 8.

Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.

Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.

Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Оргмомент.

2. Сообщение темы урока и целей урока.

— Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.

3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)

4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).

У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.

— А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)

Слайд 4 Решить уравнение:

х 2 = 16

2х 2 = 50

х 2 + 9 = 0

х 3 — 4х = 0

Слайд 5 Разложить на множители:

  1. а 2 — 36 =
  2. 3в 2 — 12 =
  3. х 2 — 10х + 25 =
  4. х 3 — 49х =

Раскрыть скобки:

  1. (х 2 + 3х ) 2 =
  2. (7 — х 2 ) 2 =
  3. — (3х — 5у ) 2 =

5. Изучение нового материала.

— Сейчас попробуйте решить это уравнение:

Слайд 6 (х 2 — 3 ) 2 + 5 (х 2 — 3 ) + 6 = 0 (Проблема)

— Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?

Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.

— Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 — 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

— Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?

— Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется » замена переменной». Это и есть тема нашего урока. Запишите. Слайд 8

— Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

— Посмотрите решение еще одного примера.

— А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.

Пример 1 (3х — 4 ) 2 — 5(3х — 4 ) + 6 = 0

Сделаем замену переменной. Пусть 3х — 4 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

Вернемся к замене.

1) 3х — 4 = 3

2) 3х — 4 = 2

Ответ: ; 2.

Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 — 7 (х 2 + 3) 2 = — 3

Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 49 — 24 = 25

Вернемся к замене:

1) х 2 + 3 = 3

х = 0

2) х 2 + 3 =

х 2 =

нет корней

6. Закрепление изученного материала.

— Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25.

7. Подведение итогов и задание на дом.

— Что нового вы узнали на уроке?

— Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной?

— Ваше домашнее задание на экране.

— На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха!

8. Самостоятельная работа. (Приложение 2)

Вариант 1 Вариант 2
Решить уравнения:

1) (х — 5 ) 2 — 2 (х — 5 ) = 8

2) (х 2 — 8 ) 2 + 3 (х 2 — 8 ) 2 — 4 = 0

Решить уравнения:

1) (2х + 3 ) 2 — 4 (2х + 3 ) = 5

2) (х 2 + х ) 2 — 11 (х 2 + х ) = 12

Вариант 3 Вариант 4
Решить уравнения:

1) (х 2 — 2х ) 2 + (х 2 — 2х ) = 12

2) (х 2 + 2 ) 2 — 5 (х 2 + 2 ) — 6 = 0

Решить уравнения:

1) (х 2 — х ) 2 — 8 (х 2 — х ) + 12 = 0

2) (х 2 — 1 ) 2 + 2 (х 2 — 1 ) = 15

Дополнительно.

  1. (х 2 + 4х )( х 2 + 4х — 17 ) + 60 = 0
  2. (х 2 — 5х )( х 2 — 5х + 10 ) = — 24


источники:

http://www.cleverstudents.ru/equations/solving_exponential_equations_by_introducing_new_variable.html

http://urok.1sept.ru/articles/601133

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут