09. Инварианты кривой второго порядка
Инвариантом уравнения (1) относительно преобразования системы координат ОХУ называется такая функция
F(а11, а12, a22, a13, а23, а33),
Которая не меняется при переходе к новой системе координат 0’Х’У’. Таким образом, если f — инвариант, то f(a11. а33) = f(a’11. а’33).
(6)
Являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка
Относительно преобразований декартовой системы координат.
Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота.
Инвариантность I1 и I2 следует из формул (2). Заметим, что из этих формул также следует, что
(7)
Тогда в новой системе координат O’X’Y’
Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x0, и затем вторую,
Умноженную на у0. Тогда
Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x0 и второй, умноженный на y0. Получим, что I’3=I3.
Рассмотрим теперь преобразование поворота
Разложим I’3 по элементам 3-го столбца. Получим:
=
(8)
Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).
(9)
(10)
(11)
Следовательно, из (8) следует, что
(12)
Величины А, В, С, углы α, β и I2 не зависят от угла φ. Значит, при любом повороте системы координат, выражение в правой части (12) не изменяется. С другой стороны, при φ=О, I’3=I3. Это и доказывает инвариантность I3. Теорема доказана.
Определим теперь тип линии в зависимости от знаков инвариантов I1, I2 и I3.
Будем говорить, что
при I2>О, уравнение (1) задает Линию эллиптического типа;
Кривые второго порядка. Канонический вид уравнений второго порядка.
Кривая второго порядка — геометрическое место точек на плоскости, прямоугольные координаты
которых удовлетворяют уравнению вида:
в котором, по крайней мере один из коэффициентов a11, a12, a22 не равен нулю.
Инварианты кривых второго порядка.
Вид кривой зависим от 4 инвариантов, приведенных ниже:
— инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
— инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):
Для изучения кривых второго порядка рассматриваем произведение А*С.
Общее уравнение кривой второго порядка выглядит так:
Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0
— Если А*С > 0, то уравнение принимает вид уравнения эллиптического типа. Любое эллиптическое
уравнение – это уравнение или обычного эллипса, или же вырожденного эллипса (точки), или мнимого
эллипса (в таком случае уравнение не определяет на плоскости ни одного геометрического образа);
уравнение выражает или простую гиперболу, или вырожденную гиперболу (две пересекающиеся прямые);
— Если А*С = 0, то линия второго порядка не будет центральной. Уравнения такого типа называют
уравнениями параболического типа и выражают на плоскости или простую параболу, или 2 параллельных
(либо совпадающих) прямых, или не выражают на плоскости ни одного геометрического образа;
— Если А*С ≠ 0, кривая второго порядка будет центральной;
Таким образом, виды кривых второго порядка:
Канонический вид уравнений второго порядка.
Вводя новую систему координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному
каноническому виду. Характеристики канонических уравнений очень легко выражаются через инварианты
Δ, D, I и корни характеристического уравнения .
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Характеристическое уравнение:
; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x1 2 -2y1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: x 1=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x 2=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i 1, j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или
Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2
Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение
Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение
Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение
Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение
http://www.calc.ru/1478.html
http://math.semestr.ru/line/curve-canonica.php