Используя рисунок запиши уравнение параболы

Напишите уравнение параболы , заданой формулой y = a(x + l) ^ 2 + m и изображенной на рисунке ?

Алгебра | 5 — 9 классы

Напишите уравнение параболы , заданой формулой y = a(x + l) ^ 2 + m и изображенной на рисунке .

При каких значениях x выполняется условие : y = 0 , y &gt ; 0 , y &lt ; 0 ?

Данная парабола получена в результате сдвига по оси Ох на 1 единицу влево и сдвига по оси Оу на 4 единицы вниз, поэтому сразу можно определить значения l и m.

Получаем, y = a(x + 1)² — 4

Теперь находим значение а.

Для этого подставляем в уравнение параболы точку (3 ; 0)

Получаем уравнение параболы : $y=\frac<1><2>(x+1)^2-4$

y = 0 при х = 3 и х = — 5

у&gt ; 0 при х∈( — ∞ ; — 5)U(3 ; + ∞)

Задайте формулой параболу, изображённую на рисунке а — г, если известно , что она получена сдвигом вдоль оси х параболы у = 2х ^ 2?

Задайте формулой параболу, изображённую на рисунке а — г, если известно , что она получена сдвигом вдоль оси х параболы у = 2х ^ 2.

Напишите уравнение окружности, изображенной на рисунке 7?

Напишите уравнение окружности, изображенной на рисунке 7.

Помогите пожалуйста с заданием по алгебре, очень нужно : Найдите значение параметра p и напишите уравнение оси симметрии параболы , заданной формулой y = x ^ <2>+ px — 24, если известно , что точка с?

Помогите пожалуйста с заданием по алгебре, очень нужно : Найдите значение параметра p и напишите уравнение оси симметрии параболы , заданной формулой y = x ^ <2>+ px — 24, если известно , что точка с координатами (4 ; 0) принадлежит этой параболе.

1)найдите область значения функции у = (х + 4) ^ 2 — 22)напишите уравнение параболы, график которой изображен на рисункеспасибо заранее?

1)найдите область значения функции у = (х + 4) ^ 2 — 2

2)напишите уравнение параболы, график которой изображен на рисунке

Укажите уравнение, которое задает прямую, изображенную на рисунке?

Укажите уравнение, которое задает прямую, изображенную на рисунке.

При каких значениях параметра а уравнение 2х ^ 2 — (8а — 1)х + а ^ 2 — 4а = 0 имеет корни разных знаков?

При каких значениях параметра а уравнение 2х ^ 2 — (8а — 1)х + а ^ 2 — 4а = 0 имеет корни разных знаков.

Какие здесь должны выполняться условия?

Напишите уравнение параболы y = ax в квадрате + m, изображенной на рисунках?

Напишите уравнение параболы y = ax в квадрате + m, изображенной на рисунках.

На рисунке изображена парабола и три прямые?

На рисунке изображена парабола и три прямые.

Установите соответствие между системами уравнений и количеством их решений.

Напишите уравнения гиперболы и параболы?

Напишите уравнения гиперболы и параболы.

Напишите, где и при каких условиях используется формула дискриминанта : Его корни : x₁, ₂?

Напишите, где и при каких условиях используется формула дискриминанта : Его корни : x₁, ₂.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Напишите уравнение параболы , заданой формулой y = a(x + l) ^ 2 + m и изображенной на рисунке ?. Вопрос соответствует категории Алгебра и уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

I — x II — 2x III — 2x — 70 Всего : 1085 1) x + 2x + 2x — 70 = 1085 5x — 70 = 1085 5x = 1155 x = 231 (изготовила первая бригада). 2) 2 * 231 = 462 (изготовила вторая бригада). 3) 462 — 70 = 392 (изготовила третья бригада).

Воспользуемся известным неравенством Коши : Аналогично, . Перемножим три последних неравенства (они с одинаковыми знаками) : .

9 / 12 = 3 / 4 ; ответ : 9 / 16 6, 7 * 6, 7 * 6, 7 = 300, 763.

Урок_3_Решение текстовых задач_Методические рекомендации

Методические рекомендации к уроку №3

темы/подраздела « Квадратичная функция и ее график »

раздела « Квадратичная функция»

Тема урока: Решение текстовых задач

8. 4 .2.3 использовать квадратичную функцию для решения прикладных задач;

8.4.3.1 составлять математическую модель по условию задачи.

На данном уроке учащиеся продолжат работу по развитию навыка решения задач с использованием квадратичной функции.

Методические рекомендации по организации урока. Рекомендации по формативному оцениванию

В начале урока учащимся предлагается тестовые задания для организации повторения пройденного материала. Учитель заранее готовит сигнальные карточки трех цветов для каждого ученика. Их использование позволит учителю быстро оценить понимание учащимися определенного материала. Допущенные ошибки сразу анализируются.

Затем проводится письменная работа, она с совместного разбора задания на составление уравнения функции и поиска ответа на вопрос задачи. Учитель вовлекает всех учащихся в диалог. Для первоначального закрепления учащиеся решают задачу в группах. Здесь нужно нацелить их на то, что каждый ученик после обсуждения должен уметь объяснить решение задачи свой группы. Процесс объяснения другим учащимся позволит глубже разобраться в решении. Также здесь нужно поощрять учащихся, задающих вопросы. Учитель обходит класс, слушает объяснения, помогает в корректном применении математического языка.

Два задания подготовлены для самостоятельного решения учащимися. Учитель обходит класс, дает советы учащимся. Он может также привлекать других учащихся для консультирования тех, кто испытывает затруднения.

Ответы и решения

Мост Голден Гейт через пролив Золотые ворота находится в Сан-Франциско (США). Мост построен по проекту инженера Йозефа Штрауса. Строительство началось в 1933 году и было закончено через 4 года. Мост установил два рекорда: как самый длинный и как самый высокий мост.

Длина основного пролета моста (расстояние между опорами) 1280 м, высота опор над уровнем проезжей части моста – 160 м. Кабель, поддерживающий мост, имеет форму параболы и касается проезжей части в середине пролета. На какой высоте находится кабель на расстоянии 200 м от опоры моста?

Построим координатную плоскость, так чтобы ось х проходила вдоль проезжей части моста, а ось у – вдоль оси симметрии. Тогда вершина параболы имеет координаты (0, 0), значит функция задается формулой .

Точка (640, 160) – расположена на одной из опор, отсюда и , .

Тогда уравнение параболы имеет вид: .

Кабель находится на расстоянии 200 м от опоры моста, следовательно, в 440 м от вершины параболы.

Задание для группы 1

Дорога проходит под параболической аркой, как показано на рисунке. Самая высокая часть арки – 5 м. Ширина дороги – 10м, а высота – 4 м. Составьте квадратичную функцию, задающую форму арки.

Решение.

Запишем уравнение параболы в виде . Координаты вершины параболы (0; 5), тогда

Ширина дороги – 10м, а высота – 4 м, значит парабола проходит через точку .

Ответ : .

Задание для группы 2

Небольшие мосты имеют форму параболы. На рисунке представлен один из таких мостов. Составьте уравнение параболы, определяющей форму этого моста.

Решение.

Запишем уравнение параболы в виде . Вершина имеет координаты (50; 4).

Парабола проходит через точки и .

Ответ : .

Задание для группы 3

Длина моста 400 м, а высота опор 75 м. Напишите уравнение параболы, являющейся моделью для подвесного кабеля, удерживающего этот мост.

Решение.

Построим координатную плоскость, так чтобы ось х проходила вдоль проезжей части моста, а ось у – вдоль оси симметрии. Тогда вершина параболы имеет координаты (0, 0), значит функция задается формулой .

Парабола проходит через точку (200; 75), тогда и , .

Тогда уравнение параболы имеет вид:

1. Тело брошено вертикально вверх. Высота ( h ), на которой находится тело через t секунд полета, вычисляется по формуле где g ≈ 10 (м/с 2 ), – начальная скорость, – начальная высота.

Составьте формулу, задающую эту зависимость, если h₀ = 20, v₀ = 15 и постройте график.

Используя график, ответьте на вопросы:

а) Сколько времени тело двигалось вверх?

б) Сколько времени тело двигалось вниз?

в) На какую максимальную высоту поднялось тело?

г) В течении какого времени тело находилось на высоте более 20 м?

Функция имеет вид .

а) c

б )

Через 4 с тело упало на землю.

Тело двигалось вниз 2,5 с.

в)

г )

Ответ: Тело находилось на высоте более 20 м в течение 3 с.

2. Двух полосная дорога со встречным движением проходит под аркой шириной 10 м. Самая высокая точка арки расположена на высоте 6 м. Сможет ли грузовик, высота которого 4,5 м, а ширина 3 м, проехать под этой аркой? Ответ объясните.

Решение.

Если расположить координатную плоскость, так чтобы ось х проходила вдоль проезжей части дороги, а ось у – вдоль оси симметрии, тогда вершина параболы имеет координаты (0, 6) . Парабола проходит через точки и . Тогда ее можно задать формулой:

Подставив координаты точки найдем значение а:

Ширина грузовика 3 м, тогда при имеем:

.

Ответ: Грузовик может проехать под этой аркой .

Найдите наибольшее или наименьшее значение функции.

a) .

b) .

c)

Определите коэффициенты функции , если:

а) при , а наименьшее значение функции, равное -12, достигается при ;

б) , наибольшее значение функции, равное 25, достигается при ;

в) наименьшее значение функции, равное 7, достигается при , а при значение функции равно 15.

Список полезных ссылок и литературы

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2010

2. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. Алгебра. 9 класс. учеб. Для учащихся с углубленным изучением математики. / 7-е изд. — М.: Просвещение, 2006.

Квадратичная функция. Построение параболы

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1. Если D 0,то график выглядит так:

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,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»>

1. Координаты вершины параболы:

1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
   2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить y = x 2 ,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

1. Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.