Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели урока:
- формирование понятия дробных рационального уравнения;
- рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
- рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
- обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
- проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
- развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
- развитие критического мышления;
- развитие навыков исследовательской работы.
- воспитание познавательного интереса к предмету;
- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Тип урока: урок – объяснение нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент.
Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?
Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».
2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.
А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
- Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
- Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
- Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
- Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
- Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
- Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)
3. Объяснение нового материала.
Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).
х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6
х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8
Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.
Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).
Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.
ГДЗ по алгебре 8 класс Мерзляк глава 1 § 7 — Вопросы
Авторы: А.Г. Мерзляк , В.Б. Полонский , М.С. Якир .
Издательство: Вентана-граф 2016-2020
Тип: Учебник, Алгоритм успеха
Подробный решебник (ГДЗ) по Алгебре за 8 (восьмой) класс — готовый ответ глава 1 § 7 — Вопросы. Авторы учебника: Мерзляк, Полонский, Якир. Издательство: Вентана-граф 2016-2020.
Похожие ГДЗ
ГДЗ Дидактические материалы алгебра 8 класс Мерзляк А.Г.
ГДЗ учебник алгебра 8 класс Мерзляк А.Г. углубленный уровень
ГДЗ Самостоятельные и контрольные работы алгебра 8 класс Мерзляк А.Г. углубленный уровень
ГДЗ Математические диктанты, Контрольные работы (Методическое пособие) алгебра 8 класс Буцко Е.В.
ГДЗ Контрольные работы (Методическое пособие) алгебра 8 класс Буцко Е.В. углубленный уровень
ГДЗ Рабочая тетрадь алгебра 8 класс Мерзляк А.Г.
ГДЗ Контрольные работы алгебра 8 класс Мерзляк А.Г.
1. Какие два уравнения называют равносильными? 2. С помощью каких преобразований данного уравнения можно получить уравнение, ему равносильное? 3. Какое уравнение называют рациональным? 4. Сформулируйте условие равенства дроби нулю. 5. Опишите алгоритм решения уравнения вида A/B = 0, где А и В —многочлены.
Решение уравнений «дробь равна нулю», описание метода, примеры
Отдельного внимания заслуживают уравнения «дробь равна нулю», то есть, уравнения f(x)/g(x)=0 , где f(x) и g(x) – произвольные выражения с переменной x . В этой статье мы, во-первых, разберем, в чем состоит метод решения таких уравнений, на чем он базируется и как обосновывается. А во-вторых, запишем алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю» и решим несколько характерных примеров.
В чем состоит метод решения и на чем он базируется?
Метод решения уравнений «дробь равна нулю», то есть уравнений, имеющих вид f(x)/g(x)=0 , состоит в нахождении решения через решение уравнения «числитель равен нулю», то есть, через решение уравнения f(x)=0 . Пример для наглядности: решение уравнения можно найти через решения уравнения (x−1)·(x 2 −4)=0 .
Базируется метод на следующем утверждении:
Множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 . В частности, решением уравнения 0/g(x)=0 является любое число из ОДЗ для этого уравнения, а уравнение C/g(x)=0 , где С – отличное от нуля число, не имеет решений.
Докажем это утверждение в следующем пункте.
Обоснование метода
В основе доказательства утверждения из предыдущего пункта лежит хорошо известный факт: дробь a/b , b≠0 равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль. Этот факт вытекает из определения дроби (дробь a/b , b≠0 есть такое число c , что b·c=a ) и из того, что произведение двух чисел тогда и только тогда равно нулю, когда одно из чисел есть нуль.
Начнем с доказательства частных случаев.
Докажем, что решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для него. В силу того, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, равенство 0/g(x0)=0 является верным для любого числа x0 , при котором оно имеет смысл. Очевидно, что равенство 0/g(x0)=0 имеет смысл тогда и только тогда, когда x0 принадлежит ОДЗ для уравнения 0/g(x)=0 . Значит, решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для этого уравнения.
Докажем, что уравнение C/g(x)=0 , где С – отличное от нуля число, не имеет решений. Так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, то равенство C/g(x0)=0 , C≠0 не может быть верным ни для какого числа x0 . Следовательно, уравнение C/g(x)=0 , C≠0 не имеет решений.
Теперь будем считать, что числитель дроби f(x)/g(x) есть выражение с переменной, а не число, и докажем, что множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 . Для этого достаточно доказать два момента: первый — что любой корень уравнения f(x)/g(x)=0 является корнем уравнения f(x)=0 , второй — что любой корень уравнения f(x)=0 , принадлежащий ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 , является корнем уравнения f(x)/g(x)=0 .
Приступаем к доказательству первой части. Пусть x0 – корень уравнения f(x)/g(x)=0 . Тогда f(x0)/g(x0)=0 – верное числовое равенство. Из этого неравенства и из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что f(x0)=0 . А это равенство означает, что x0 – корень уравнения f(x)=0 .
Первая часть доказана. Приступаем к доказательству второй части.
Пусть x0 принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 и при этом x0 — корень уравнения f(x)=0 . Так как x0 принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 , то дробь f(x0)/g(x0) имеет смысл. Так как x0 – корень уравнения f(x)=0 , то f(x0)=0 – верное числовое равенство. Из этих результатов, а также из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что дробь f(x0)/g(x0) равна нулю, то есть, f(x0)/g(x0)=0 . А это равенство означает, что x0 – корень уравнения f(x)/g(x)=0 .
Так доказана вторая часть и все утверждение в целом.
Алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»
Доказанное утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»:
- Если уравнение имеет вид 0/g(x)=0 , то надо найти область допустимых значений для этого уравнения – она и есть искомое решение уравнения.
- Если уравнение имеет вид C/g(x)=0 , C – отличное от нуля число, то сразу записываем ответ – нет решений.
- Если уравнение имеет вид f(x)/g(x)=0 , где f(x) – выражение с переменной, а не число, то
- приравниваем числитель к нулю и решаем полученное уравнение f(x)=0 ,
- отсеиваем посторонние корни (отбрасываем все корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, как посторонние).
Заметим, что записанный алгоритм находится в полном согласии с принципами решения дробно-рациональных уравнений, имеющих вид «дробь равна нулю». Принципы решения таких уравнений раскрываются на уроках алгебры в 8 классе. Оттуда нам известно, что для решения дробно-рационального уравнения, имеющего вид f(x)/g(x)=0 нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отбросить те корни, при которых обращается в нуль знаменатель [1, с.26-30]. По сути, отбрасывание значений, при которых обращается в нуль знаменатель решаемого дробно-рационального уравнения f(x)/g(x)=0 , есть отсеивание посторонних корней по ОДЗ, так как в этом случае ОДЗ определяется условием g(x)≠0 .
Решение примеров
Рассмотрим решения трех характерных уравнений «дробь равна нулю»: с нулем в числителе, с отличным от нуля числом в числителе, и с выражением с переменной в числителе. Ими мы закроем все три типичные ситуации.
Сначала решим уравнение с нулем в числителе: .
Решите уравнение
Теперь решим уравнение , в числителе которого отличное от нуля число.
Решите уравнение
Осталось рассмотреть решение уравнения «дробь равна нулю» в случае, когда в числителе находится выражение с переменной, а не число. В этом случае, согласно алгоритму, нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни.
Решите уравнение
http://megaresheba.ru/publ/gdz/algebra/8_klass/merzlyak/7-7-paragraph
http://www.cleverstudents.ru/equations/equations_fraction_equals_zero.html