Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Исследование формы гиперболы

Так как в каноническое уравнение гиперболы координаты х и у входят во второй степени. То оси Ох и Оу являются осями симметрии гиперболы, заданной уравнением: . (1)

а начало координат – центром симметрии.

Из уравнения (1) следует, что

,

т.е. или , или . Геометрически это означает, что между прямыми и нет ни одной точки гиперболы (1).

Ось симметрии Оу не пересекает гиперболу, заданную уравнением (1), и называется мнимой осью. Ось Ох – пересекает гиперболу (1) в двух точках:

.

Эта ось называется действительной осью гиперболы. Точки, в которых действительная ось пересекается гиперболу, называются вершинами гиперболы.

Числа а и b в каноническом уравнении называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Решая уравнение (1) относительно у, беря лишь положительное значение: (2)

и считая , мы получим точки гиперболы (1), лежащие в первой четверти. Из уравнения (2) следует, что у в полуинтервале есть возрастающая функция; при этом

.

Всякая прямая пересекает гиперболу не более чем в двух точках, так как прямая определяется уравнением первой степени, а гипербола – второй.

Рассмотрим уравнение прямой (3)

Найдем расстояние от точки М(х, у), лежащей на дуге гиперболы, определяемой уравнением (2), до прямой (3); переписывая уравнение (3) в виде , находим:

Отсюда следует, то на полуинтервале расстояние от точки М(х, у) рассматриваемой части гиперболы до прямой (3) есть убывающая функция от х и (рис. 167). Прямая, определяемая уравнением называется асимптотой гиперболы.

В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно начала координат, расстояние от точки М(х, у), лежащей на дуге гиперболы, заданной уравнением до прямой стремиться к нулю при . Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична и относительно оси Оу, то она имеет вторую асимптоту ,

которая обладает свойством, аналогичным свойству первой асимптоты по отношению к дугам гиперболы, расположенным во второй и четвертой четвертях.

Асимптоты гиперболы являются диагоналями прямоугольника , , , .

При одной и той же абсциссе х ординаты точки ветви гиперболы, лежащей в первой четверти, с ординатой точки асимптоты связаны неравенством: .

Отсюда и из того, что гипербола симметрична относительно осей координат, следует, что она имеет две ветви, заключенные в двух областях: одна из них ограничена отрезком и продолжениями отрезков и за точки и , другая симметрична этой области относительно мнимой оси гиперболы (рис 168).

Рис.168

Гипербола, у которой полуоси равны, называются равносторонней. Каноническое уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

Уравнение асимптот равносторонней гиперболы таковы:

.

это биссектрисы углов между ее осями симметрии. Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Обратно, если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то ее полуоси равны между собой и, значит гипербола равносторонняя.

Гипербола и её свойства

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac>>-\frac>>=1.\label
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы \(|x| \geq a\), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины \(2a\) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами \((a, 0)\) и \((-a, 0)\), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 8.6. Гипербола.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде \(y=kx\), поскольку мы уже знаем, что прямая \(x=0\) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
\frac>>-\fracx^<2>>>=1.
$$
Поэтому, если \(b^<2>-a^<2>k^ <2>> 0\), то
$$
x=\pm \frac<\sqrt-a^<2>k^<2>>>.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения \((ab/v, abk/v)\) и \((-ab/v, -abk/v)\), где обозначено \(v=(b^<2>-a^<2>k^<2>)^<1/2>\). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении \(k\) (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

Числитель дроби \(ab/v\) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при \(k=0\). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина \((a, 0)\). С ростом \(k\) знаменатель убывает, и \(x\) растет, стремясь к бесконечности, когда \(k\) приближается к числу \(b/a\). Прямая \(y=bx/a\) с угловым коэффициентом \(b/a\) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то \(k\) будет убывать, \(k^<2>\) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом \(-b/a\).

К прямой \(y=-bx/a\) относится все, что было сказано о \(y=bx/a\): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Прямые с уравнениями \(y=bx/a\) и \(y=-bx/a\) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.

68. Исследование гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению. Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол

В § 3 доказано, что в канонической системе координат OXy Уравнение гиперболы имеет вид:

. (1)

1. Гипербола не проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) не удовлетворяют уравнению (1).

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью ОХ полагаем в уравнении (1) У = 0 и находим X = ±A. Таким образом гипербола пересекает ось ОХ В точках A1(-A, 0), A2(A, 0). Так как уравнение (3) не имеет решений при У = 0, то гипербола не пересекает ось ОY.

Точки A1, A2 называются Действительными вершинами гиперболы, Отрезок A1A2, B1B2 Действительной осью гиперболы; |A1A2| =2A; A называются действительной полуосью гиперболы. Точки B1(0,-B), B2(0, B) называются Мнимыми вершинами гиперболы, Отрезок B1B2 Мнимой осью гиперболы; |B1B2| =2B; B называются мнимой полуосью гиперболы.

3. Так как все переменные входят в уравнение (1) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y) гиперболе принадлежат четыре точки (±X, ±Y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, гипербола симметрична относительно, всех координатных осей OX, OY и начала координат. Точка О называется Центром Гиперболы.