Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению

70. 5. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Исследование параболы по каноническому уравнению

Определение 1. Параболой Называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой D, которая не проходит через точку F.

Точка F называются Фокусами, расстояние от фокуса параболы до директрисы называется Фокальным параметром параболы и обозначается через P.

Выведем уравнение параболы в прямоугольной системе координат OXy, связанной с гиперболjq. Для этого начало O системы координат поместим в середину перпендикуляра, опущенного из точки F На директрису. Ось OX направим по прямой KF. Ось OY — прямую проходящую через О параллельно директрисе. Такая система координат называется Канонической. В выбранной системе координат фокус имеет координаты F(P/2, 0), директриса уравнение x = — P/2.

Пусть M(X,Y) произвольная точка плоскости OXy, M1 проекция точки M на директрису. Точка M1 имеет координаты: M1(- P/2, y). По

Определению 1 точка M принадлежит параболе тогда и только тогда, когда

|MF| =, |MM1| =.

Отсюда получим уравнение параболы

=.

Для того, чтобы упростить это уравнение, и возведем обе его части в квадрат

. (2)

Мы доказали, что если точка лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2). Докажем обратное, что если координаты точки M(X,Y) удовлетворяют уравнению (2), то она принадлежит параболе. Для этого вычисляем расстояния |MF|.

|MF| = =.

Таким образом, доказали, что уравнение (2) является уравнением параболы.

Уравнение (2) называется Каноническим уравнением параболы. Отрезок |MF| называются Фокальными радиусами точки M.

Исследуем параболу по каноническому уравнению.

1. Парабола проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) удовлетворяют уравнению (2) и парабола пересекает оси только в начале координат и эта точка называется вершиной гиперболы.

2. Так как переменная Y входит в уравнение (2) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y) параболе принадлежат две точки (X, ±Y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, парабола симметрична относительно координатной оси OX.

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Парабола

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^<2>=2px\label
$$
при условии \(p > 0\).

Из уравнения \eqref вытекает, что для всех точек параболы \(x \geq 0\). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции \(y=ax^<2>\). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством \(2p=a^<-1>\).

Фокусом параболы называется точка \(F\) с координатами \((p/2, 0)\) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением \(x=-p/2\) в канонической системе координат (\(PQ\) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы.

Расстояние от точки \(M(x, y)\), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+\frac

<2>.\label
$$

Вычислим квадрат расстояния от точки \(M(x, y)\) до фокуса по координатам этих точек: \(r^<2>=(x-p/2)^<2>+y^<2>\) и подставим сюда \(y^<2>\) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^<2>=\left(x-\frac

<2>\right)^<2>+2px=\left(x+\frac

<2>\right)^<2>.\nonumber
$$
Отсюда в силу \(x \geq 0\) следует равенство \eqref.

Заметим, что расстояние от точки \(M\) до директрисы также равно
$$
d=x+\frac

<2>.\nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Для того чтобы точка \(M\) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка \(M(x, y)\) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
\sqrt<\left(x-\frac

<2>\right)^<2>+y^<2>>=x+\frac

<2>.\nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы \eqref. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет \(\varepsilon=1\). В силу этого соглашения формула
$$
\frac=\varepsilon\nonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\), лежащей на ней. Пусть \(y_ <0>\neq 0\). Через точку \(M_<0>\) проходит график функции \(y=f(x)\), целиком лежащий на параболе. (Это \(y=\sqrt<2px>\) или же \(y=-\sqrt<2px>\), смотря по знаку \(y_<0>\).) Для функции \(f(x)\) выполнено тождество \((f(x))^<2>=2px\), дифференцируя которое имеем \(2f(x)f'(x)=2p\). Подставляя \(x=x_<0>\) и \(f(x_<0>)=y_<0>\), находим \(f'(x_<0>)=p/y_<0>\) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_<0>=\frac

>(x-x_<0>).\nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что \(y_<0>^<2>=2px_<0>\). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_<0>=p(x+x_<0>).\label
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив \(y_ <0>\neq 0\), уравнение \eqref превращается в уравнение \(x=0\), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение \eqref справедливо для любой точки на параболе.

Касательная к параболе в точке \(M_<0>\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет \(M_<0>\) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Рассмотрим касательную в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\). Из уравнения \eqref получаем ее направляющий вектор \(\boldsymbol(y_<0>, p)\). Значит, \((\boldsymbol, \boldsymbol_<1>)=y_<0>\) и \(\cos \varphi_<1>=y_<0>/\boldsymbol\). Вектор \(\overrightarrow>\) имеет компоненты \(x_<0>=p/2\) и \(y_<0>\), а потому
$$
(\overrightarrow>, \boldsymbol)=x_<0>y_<0>-\frac

<2>y_<0>+py_<0>=y_<0>(x_<0>+\frac

<2>).\nonumber
$$
Но \(|\overrightarrow>|=x_<0>+p/2\). Следовательно, \(\cos \varphi_<2>=y_<0>/|\boldsymbol|\). Утверждение доказано.

Заметим, что \(|FN|=|FM_<0>|\) (см. рис. 8.12).