Исследование формы параболы по ее уравнению

70. 5. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Исследование параболы по каноническому уравнению

Определение 1. Параболой Называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой D, которая не проходит через точку F.

Точка F называются Фокусами, расстояние от фокуса параболы до директрисы называется Фокальным параметром параболы и обозначается через P.

Выведем уравнение параболы в прямоугольной системе координат OXy, связанной с гиперболjq. Для этого начало O системы координат поместим в середину перпендикуляра, опущенного из точки F На директрису. Ось OX направим по прямой KF. Ось OY — прямую проходящую через О параллельно директрисе. Такая система координат называется Канонической. В выбранной системе координат фокус имеет координаты F(P/2, 0), директриса уравнение x = — P/2.

Пусть M(X,Y) произвольная точка плоскости OXy, M1 проекция точки M на директрису. Точка M1 имеет координаты: M1(- P/2, y). По

Определению 1 точка M принадлежит параболе тогда и только тогда, когда

|MF| =, |MM1| =.

Отсюда получим уравнение параболы

=.

Для того, чтобы упростить это уравнение, и возведем обе его части в квадрат

. (2)

Мы доказали, что если точка лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2). Докажем обратное, что если координаты точки M(X,Y) удовлетворяют уравнению (2), то она принадлежит параболе. Для этого вычисляем расстояния |MF|.

|MF| = =.

Таким образом, доказали, что уравнение (2) является уравнением параболы.

Уравнение (2) называется Каноническим уравнением параболы. Отрезок |MF| называются Фокальными радиусами точки M.

Исследуем параболу по каноническому уравнению.

1. Парабола проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) удовлетворяют уравнению (2) и парабола пересекает оси только в начале координат и эта точка называется вершиной гиперболы.

2. Так как переменная Y входит в уравнение (2) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y) параболе принадлежат две точки (X, ±Y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, парабола симметрична относительно координатной оси OX.

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Исследовательская работа на тему: «Исследование графика квадратичной функции»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство образования РФ

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №7»

МО «город Бугуруслан»

Исследовательская работа на тему:

«Исследование графика квадратичной функции»

Городская научно-исследовательская конференция

«Маленький шаг — большая наука».

Учащаяся 9 а класса

Мошнина Зульфия Равильевна

Автор данной работы исследует график, свойства квадратичной функции в зависимости от коэффициентов, влияние коэффициентов квадратного трёхчлена на расположение параболы, выявляет общие черты семейства парабол. Тема работы достаточно актуальна, так как расширяет кругозор и обогащает содержание учебного материала за счёт привлечения различных источников информации. В ходе выполнения работы учащаяся продемонстрировала самостоятельность, интерес, любознательность, умение пользоваться источниками и отбирать нужную информацию. В конце исследовательской работы автор приводит примеры применения квадратичной функции в различных областях науки и техники.

Общие сведения об учащемся: Кузьмараткина Мария .

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №7»

муниципального образования «город Бугуруслан»

Дата рождения: 24 апреля, 2000 г.

Адрес: город Бугуруслан, ул. Гвардейская, д. 77

Общие сведения о руководителе: Мошнина Зульфия Равильевна,

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №7»

муниципального образования «город Бугуруслан»

Стаж работы в данном учреждении: 4 года.

Должность: учитель математики.

Адрес: г. Бугуруслан, 1 микрорайон, дом 19, квартира 29.

Каким образом коэффициенты а,b,с влияют на свойства функции у=ах 2 +bх+с?

Каким изменениям подвластна квадратичная функция и ее график?

Как помогает квадратичная функция другим наукам?

Гипотеза: Если я изучу свойства функций, то мне нетрудно будет выбрать рациональный способ построения различных графиков.

Объект исследования: Парабола как график квадратичной функции.

Предмет исследования: Зависимость расположения параболы от её коэффициентов.

Цель: Исследовать зависимость свойств параболы от её коэффициентов и применить данную информацию для подготовки к ОГЭ.

1. Выяснить закономерность расположения вершин параболы.

2. Рассмотреть некоторые параболы, заданные квадратичной функцией.

3. Выявить общие черты семейства парабол.

Этапы проведения исследовательской работы:

Постановка основополагающего вопроса. Формулировка проблемных вопросов.

Определение понятия квадратичной функции в общем виде.

Выдвижение гипотез решения проблем.

Выбор творческого названия проекта, обсуждение плана работы.

Поиск источников информации.

Самостоятельная работа по выполнению задания.

1. Из истории возникновения функций………………………………..……7

2. Определение, график и свойства квадратичной функции………….….10

2.1 Определение квадратичной функции………………………………. 10

2.2 Три случая : D , D =0, D >0 ……………………………………………. 11

2.3 Свойства функции у = x 2 ……………………………………………….12

2.4 Свойства квадратичной функции общего вида……………………… .13

3. Исследование квадратного трехчлена…………………………………..15

4. Влияние коэффициентов квадратного трёхчлена на расположение параболы………………………………………………………………….….18

5. Расположение графиков квадратичных функций в зависимости от параметров a , b , c …………………………………………………………. 26

7. Применение квадратичной функции в физике…………………………36

7.1 Исследование оптических свойств параболы………………………. 36

7.2 Параболическая антенна. ………………………………………………..38

Литература и интернет ресурсы……………………………………………41

В мире всё взаимосвязано. В математике все явления и зависимости описываются с помощью функций. Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. «Математическими портретами» закономерностей природы и служит функция.

Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы, и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. И поэтому тему своего исследования я обозначила так: «Исследование графика квадратичной функции». Мы любим находить различные закономерности в окружающем меня мире, любим изучать числа, строить графики. Поэтому я решила подробнее узнать, как можно связать различные моменты жизни с функциями и графиками.

Цель моей работы: Исследовать зависимость свойств параболы от её коэффициентов и применить данную информацию для подготовки к ОГЭ.

Для этого я поставила перед собой следующие задачи:

1. Рассмотреть историю возникновения понятия функции.

2. Выяснить закономерность расположения вершин параболы.

3. Рассмотреть некоторые параболы, заданные квадратичной функцией.

4. Выявить общие черты семейства парабол.

5. Увидеть применение функций и графиков в жизни и технике.

Я считаю, что эта исследовательская работа может помочь заинтересовать учащихся, дать возможность «заглянуть внутрь» такого сложного математического понятия как «квадратичная функция».

1. Из истории возникновения функций.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере 1 .

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли. 2

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: « Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

2. Определение, график и свойства квадратичной функции.

2.1 Определение квадратичной функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax 2 +bx+c, где х — независимая переменная, a,b,c некоторые числа, причём a#0.

В уравнении квадратичной функции:

a — старший коэффициент

b — второй коэффициент

с — свободный член.

Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой , вершина которой находится в точке .

Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел.

Парабола обладает следующими свойствами:

ветви параболы при a>0 направлены вверх, а при a – вниз;

парабола симметрична относительно прямой, проходящей через ее вершину, параллельно оси ординат;

абсциссы точек пересечения параболы с осью Oх есть нули функции, т.е. такие значения переменной, при которых функция обращается в нуль;

форма и расположение параболы на координатной плоскости зависит от значений a,b,c .

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент а=1 , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции у=х 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D = b 2 -4 ac , который определяет число корней квадратного уравнения.

2.2 Три случая : D , D =0, D >0 .

1 . Если D ,то уравнение ax 2 +bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax 2 +bx+c не имеет точек пересечения с осью Ох . Если a >0 ,то график функции выглядит так:

2 . Если D =0 ,то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax 2 +bx+c имеет одну точку пересечения с осью Ох . Если a>0 ,то график функции выглядит так:

3 . Если D >0 ,то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax 2 +bx+c имеет две точки пересечения с осью Ох:

,

Если a >0 ,то график функции выглядит так:

2.3 Свойства функции у = x 2 .

1. Область определения функции — вся числовая прямая: D ( f ) = R = (−∞; ∞).

2. Область значений функции — положительная полупрямая: E ( f ) = [0; ∞).

3. Функция у = x 2 — четная: f (− x ) = (− x ) 2 = x 2 = f ( x ). Ось ординат является осью симметрии параболы.

4. На промежутке (−∞; 0) функция монотонно убывает. На промежутке (0;+ ∞) функция монотонно возрастает.

5. В точке x = 0 достигает минимального значения. Точка с координатами (0;0) является вершиной параболы.

6. Функция непрерывна на всей области определения.

7. Нули функции: y = 0 при x = 0.

2.4 Свойства квадратичной функции общего вида.

1. Область определения функции — вся числовая прямая: D ( f ) = R = (−∞; ∞).

2. Область значений функции зависит от знака коэффициента a .
При a > 0 ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее, но не имеет наибольшего значения, при a ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее, но не имеет наименьшего значения

3. В общем случае функция у = ax 2 + bx + c не является ни четной, ни нечетной. Осью симметрии параболы является прямая . Функция будет четной только в случае, когда эта прямая совпадает с осью Oy , т.е. при b = 0.

4. При a > 0 функция монотонно убывает на промежутке (−∞; ) и монотонно возрастает на промежутке (; ∞). При a функция монотонно возрастает на промежутке (−∞; ) и монотонно убывает на промежутке (; ∞).

5. В точке x = при a достигается максимум, а при a > 0 — минимум функции. Оба значения определяются по формуле Точка с координатами является вершиной параболы.

6. Функция непрерывна на всей области определения.

7. Парабола пересекает ось ординат в точке (0; c ). Если квадратный трёхчлен имеет действительные корни x ₁ ≠ x ₂ , то парабола пересекает ось абсцисс в точках ( x ₁ ;0) и ( x ₂ ;0). При x ₁ = x ₂ парабола касается оси абсцисс в точке ( x ₁ ;0).

3. Исследование квадратного трехчлена.

Рассмотрим квадратный трехчлен y=ax 2 +bx+с , где . Как известно, графиком функции y=ax 2 +bx+c является парабола. Напомним основные положения, которые будут использоваться в дальнейшем. Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат: 3

На основе этого преобразования выводятся основные формулы и теоремы. Приведем их.

1. Уравнение ax 2 +bx+c=0 , где , имеет решение тогда и только тогда, когда . При этом корни уравнения вычисляются по формуле и квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:

2. (Теорема Виета) Если — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 , то

Из этой теоремы следует, в частности, что квадратный трехчлен можно записать в виде .

3. Парабола y=ax 2 +bx+c имеет вершину в точке .

4. Ветви параболы направлены вверх, если a >0 и направлены вниз, если a .

5. Парабола имеет две точки пересечения с осью Ox , если D >0 ; одну точку пересечения с осью Ox , если D =0 и не имеет точек пересечения с осью Ox , если D . Возможные случаи расположения параболы изображены на рисунке 2.

6. Парабола имеет единственную точку (0, с) пересечения с осью Oy .

7. Парабола симметрична относительно прямой .

8. Если a >0 , то функция y=ax 2 +bx+c имеет единственную точку минимума , наименьшее значение функции достигается в этой точке и равно . Из этого следует, что множество значений функции y=ax 2 +bx+c , заданной на всей числовой прямой, есть луч .

Если a , то функция y=ax 2 +bx+c имеет единственную точку максимума , наибольшее значение функции достигается в этой точке и равно . Из этого следует, что множество значений функции , заданной на всей числовой прямой, есть луч .

4. Влияние коэффициентов квадратного трёхчлена на расположение параболы.

Выясним, как расположена парабола в зависимости от знака коэффициентов а, b , с.

Пользуясь полученной формулой:

выясним расположение параболы при a >0

Ветви параболы направлены вверх.

При b >0, c >0 вершина находится во II или III четверти.

При с вершина параболы находится во ΙΙ четверти, a >0, b >0, c >0.

При с вершина параболы находится в ΙΙΙ четверти, a >0, b >0, c >0.

При b >0, c III четверти, a >0, b >0, c

При b c >0 вершина находится в I или IV четверти.

При с вершина параболы находится в Ι четверти, a >0, b c >0.

При с вершина параболы находится в Ι V четверти, a >0, b c >0.

При b c IV четверти, a >0, b c

При b 2 =4 ac вершина находится на оси абсцисс

b b >0, вершина слева от оси ординат

При b =0, вершина находится на оси ординат

b =0, c >0, вершина параболы находится выше оси абсцисс, b =0, c

Пользуясь полученной формулой:

выясним расположение параболы при a

Ветви параболы направлены вниз.

При b >0, c >0 вершина параболы находится в I четверти, a b >0, c >0.

При b >0, c o I или IV четверти.

При с вершина параболы находится в Ι четверти, a b >0, c

При с вершина параболы находится в Ι V четверти, a b >0, c

При b c >0 вершина параболы находится в o II четверти, a b c >0.

При b c o II или III четверти.

При с вершина параболы находится в Ι I четверти, a b c

При с вершина параболы находится в Ι II четверти, a b c

При b 2 =4 ac вершина находится на оси абсцисс

При b =0, вершина находится на оси ординат

a b =0, c a b =0, c >0

5. Расположение графиков квадратичных функций в зависимости от параметров a , b , c .

1 случай: с – параметр (меняется, при a и b постоянных), а и b – константы. 2 случай: а – параметр, с и b – константы.

3 случай: b – параметр, а и с – константы.

1 случай: Если с – параметр, а и b – константы, то все вершины будут располагаться на одной прямой, параллельной оси Oy , задаваемой прямой

Например, построим графики функций y=-2x 2 +8x-4 , y=-2x 2 +8x-3,

y=-2x 2 +8x-1, y=-2x 2 +8x+2 . Вершины парабол находятся на прямой х=2.

2 случай: Если а – параметр, с и b – константы, то все вершины семейства парабол будут расположены на прямой .

Например, построим графики функций y=x 2 +2x+1 , y=2x 2 +2x+1, y=4x 2 +2x+1, y=0,5x 2 +2x+1, y=3x 2 +2x+1. Вершины парабол находятся на прямой у=х+1.

3 случай: Если b – параметр, а и с – константы, то все семейство парабол имеет «параболу вершин» у=-ах 2 +с

Выводы: При изменении коэффициента с все вершины семейства парабол будут располагаться на одной прямой, параллельной оси Оу . При изменении коэффициента, а все вершины семейства парабол будут располагаться на одной прямой. При изменения коэффициента b все вершины семейства парабол имеют общую «параболу вершин» и пересекаются в одной точке, в вершине «параболы вершин.

6. Подготовка к ОГЭ

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на «чтение» графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ОГЭ предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов. 4

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты ( b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: » если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а а > 0.

В данном случае а = 0,5

y = — 0,5×2 — 3x + 1

В данном случае а = – 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу: y = a ∙0 2 + b∙ 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с – это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле . Таким образом, b = -2ах _в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля ( х _в > 0) или левее ( х _в

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = — 2ах _в определить знак b .

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с х _в > 0. Значит b = — 2ах _в = (-)∙( +)∙( +) = (-). b а > 0, b с

Рассмотрим еще один график:

Ветви направлены вниз, значит а с > 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х _в > 0. Значит b = — 2ах _в = (-)∙(-)∙(+) = (+). b > 0. Окончательно имеем: а b > 0, с > 0.

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с х _в b = — 2ах _в = (-)∙(+)∙(-) =(+). b > 0. Окончательно имеем: а > 0, b > 0, с

Если b = 0, то вершина параболы лежит на оси у. Она может лежать выше нуля ( с > 0)

Или ниже нуля ( с у :

7. Применение квадратичной функции в физике.

7.1 Исследование оптических свойств параболы

На оси симметрии параболы находится точка, которую называют фокусом параболы. Парабола – одно из конических сечений. Параболой же будет и график любого квадратного трехчлена. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. В данном случае мы говорим об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью. Если рассматривать такую огибающую в пространстве, то возникнет поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг ее оси. Такая поверхность носит название параболоида вращения. 5
Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством: все лучи исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно его оси. Это свойство используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоида вращения.

Лучи от далеких звезд приходят к нам в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, и отражаясь собираются в его фокусе. Если поместить туда фотопластинку, то получаем возможность усилить световой поток, идущий от звезды. На этом основана идея телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения.

По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду, поскольку такие зеркала должны были бы иметь слишком большие размеры, а это невозможно при тогдашнем уровне техники.
Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все-таки сжечь римский флот при помощи параболических зеркал возможно.
Результаты, полученные Архимедом, были основаны на следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.
Для того чтобы построить зеркало, собирающее солнечные лучи в одной точке, нужно отшлифовать его по параболоиду вращения – поверхности, получаемой при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит и само название «фокус», означающее по-латыни «очаг».

7.2 Параболическая антенна.

Идя в ногу со временем, мы дома поменяли телевизионную антенну. После того, как установили новую параболическую, то убедились в том, что идет расширение диапазона, улучшение качества изображения, дальность приема передач. Эти изменения связаны с формой антенны, которая позволила наслаждаться 68 каналами.

Телевизионное вещание – одно из массовых средств информации и пропаганды, воспитания просвещения, организации досуга населения.

В СССР опыты по передаче изображения на расстояние начались в первые годы Советской власти. Качественно новый этап в развитии телевидения наступил в конце 30-х годов с переходом от малострочного механического телевидения к электронному. В 1962 году передачей репортажа с борта космических кораблей «Восток — 3» и «Восток — 4» положено начало космическому телевидению.

Для приема сигналов вещательных телевизионных программ используют телевизионные антенны. Антенны бывают индивидуальные (наружные или комнатные) и коллективные (всегда в наружном исполнении). Примером коллективной антенны является параболическая. Параболическую антенну называют зеркальной, т.к. она состоит из основного параболического зеркала и облучателя. Электромагнитная энергия подводится к облучателю, устанавливаемому у вершины параболоида, и излучается на малое зеркало, после отражения от которого направляется на основное зеркало. Применение вспомогательного зеркала облегчает получение оптимального распределения электромагнитного поля в раскрыв основного зеркала, что обеспечивает максимальный коэффициент направленного действия и позволяет уменьшить длину линии, подводящей энергию к облучателю. Таким образом, улучшается качество изображения и происходит расширение диапазона.

В ходе работы над исследовательской работой я проанализировала и изучила литературу по истории развития квадратичной функции, применении её в науке и технике. Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция ещё далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия квадратичной функции и других математических понятий.

В работе я исследовала квадратный трёхчлен, влияние коэффициентов квадратного трёхчлена на расположение параболы, выявила общие черты семейства парабол. В каждом случае я строила график, делала выводы, обобщала. Таким образом, функции служат «математическими портретами» законов природы и жизненных ситуаций.

В результате работы над исследовательской работой я достигла понимания важности изучения математики и получила возможность показать одноклассникам красоту и значимость математики. Выполняя исследовательскую работу, я приобрела не только необходимые знания, умения и навыки, которые пригодятся нам при подготовки к экзамену, но и определённый личностный опыт.

Для меня работа по исследованию квадратичной функции была новой, интересной и полезной, поскольку проведена систематизация теоретического материала, изучено практическое применение квадратичной функции в окружающей нас жизни, подобраны и порешены типовые и необычные задания с применением квадратичной функции, которые позволили наиболее тщательно и целесообразно использовать данный материал.

Литература и интернет ресурсы

1.Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике, издательство «Просвещение», Москва, 1989 г.

2.Гельфанд И. М, Глаголева Е.Г. Функции и графики, издательство «Наука», Москва, 1988 г.

3.Глейзер Г. И. История математики в школе, издательство «Просвещение», Москва, 1982 г.

4.Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: книга для учащихся, издательство «Просвещение», Москва, 1988 г.

5.Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9 кл.:

История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, том II издательство «Наука», Москва, 1970 г.

6.Калнин Р.А.. Алгебра и элементарные функции, издательство «Наука», Москва, 1990 г.

7. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках, издательство «Просвещение», Москва, 1981 г.

8.Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия, издательство «Просвещение». Москва.1991г.

9.Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г.. Дополнительные главы к школьному учебнику, издательство «Просвещение», Москва, 2010 г.

10.Мордкович А.Г.. Алгебра и начала анализа, издательство «Высшая школа», Москва, 1997 г.

11. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка, издательство «Просвещение», Москва, 1964 г.

12.Перельман Я.И.. «Занимательная физика» издательство «АСТ», Москва, 2005г .

13.Потапов М.К., Олехник С.Н.. Конкурсные задачи по математики, издательство «Наука» Москва, 1991 г.

14.Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул, издательство «Столетие», Москва, 1995 г.

15.Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика», издательство «Педагогика», Москва ,1989г.

16.Сборник тестовых заданий по алгебре к государственной (итоговой) аттестации в новой форме. Под редакцией Семенко Е.А.. Краснодар.2014г

17. Степанов В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе: Кн. Для учителя: Из опыта работы, издательство «Просвещение», Москва, 1991 г.

18.Теляковского С.А., Алгебра, издательство «Просвещение», Москва, 1997г.

19.Туманов С.И.. Элементарная алгебра, издательство «Просвещение», Москва, 1994 г.

20.Ульяновская Н. Н. О, функция, как ты Важна, издательство «Просвещение», Москва, 1991 г.