Исследование гиперболы по ее уравнению

Исследование формы гиперболы

Так как в каноническое уравнение гиперболы координаты х и у входят во второй степени. То оси Ох и Оу являются осями симметрии гиперболы, заданной уравнением: . (1)

а начало координат – центром симметрии.

Из уравнения (1) следует, что

,

т.е. или , или . Геометрически это означает, что между прямыми и нет ни одной точки гиперболы (1).

Ось симметрии Оу не пересекает гиперболу, заданную уравнением (1), и называется мнимой осью. Ось Ох – пересекает гиперболу (1) в двух точках:

.

Эта ось называется действительной осью гиперболы. Точки, в которых действительная ось пересекается гиперболу, называются вершинами гиперболы.

Числа а и b в каноническом уравнении называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Решая уравнение (1) относительно у, беря лишь положительное значение: (2)

и считая , мы получим точки гиперболы (1), лежащие в первой четверти. Из уравнения (2) следует, что у в полуинтервале есть возрастающая функция; при этом

.

Всякая прямая пересекает гиперболу не более чем в двух точках, так как прямая определяется уравнением первой степени, а гипербола – второй.

Рассмотрим уравнение прямой (3)

Найдем расстояние от точки М(х, у), лежащей на дуге гиперболы, определяемой уравнением (2), до прямой (3); переписывая уравнение (3) в виде , находим:

Отсюда следует, то на полуинтервале расстояние от точки М(х, у) рассматриваемой части гиперболы до прямой (3) есть убывающая функция от х и (рис. 167). Прямая, определяемая уравнением называется асимптотой гиперболы.

В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно начала координат, расстояние от точки М(х, у), лежащей на дуге гиперболы, заданной уравнением до прямой стремиться к нулю при . Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична и относительно оси Оу, то она имеет вторую асимптоту ,

которая обладает свойством, аналогичным свойству первой асимптоты по отношению к дугам гиперболы, расположенным во второй и четвертой четвертях.

Асимптоты гиперболы являются диагоналями прямоугольника , , , .

При одной и той же абсциссе х ординаты точки ветви гиперболы, лежащей в первой четверти, с ординатой точки асимптоты связаны неравенством: .

Отсюда и из того, что гипербола симметрична относительно осей координат, следует, что она имеет две ветви, заключенные в двух областях: одна из них ограничена отрезком и продолжениями отрезков и за точки и , другая симметрична этой области относительно мнимой оси гиперболы (рис 168).

Рис.168

Гипербола, у которой полуоси равны, называются равносторонней. Каноническое уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

Уравнение асимптот равносторонней гиперболы таковы:

.

это биссектрисы углов между ее осями симметрии. Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Обратно, если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то ее полуоси равны между собой и, значит гипербола равносторонняя.

ГЛАВА 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F1 И F2, расстояние между которыми равно 2C. Пусть, кроме того, задано положительное число A, меньшее C. Гиперболой называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F1 и F2, называемых Фокусами гиперболы, есть число постоянное, равное 2А.

Вывод канонического уравнения

Для вывода уравнения гиперболы, которое мы впоследствии назовём каноническим, выберем на плоскости ортонормированную систему координат следующим образом: ось проведем через фокусы гиперболы, а ось — перпендикулярно ей через середину отрезка F1F2 (рис. 1). Согласно определению, гиперболе удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых

. (1)

Чтобы получить уравнение гиперболы остаётся только записать равенство (1) в координатах. В выбранной системе координат фокусы гиперболы имеют следующие координаты: F1 (–C; 0); F2 (C; 0). Координаты произвольной (или текущей) точки множества всегда обозначаются X и Y. Таким образом, M(X; Y). Так как

, ,

То уравнение (1) равносильно следующему:

, (2)

Которое, в свою очередь, равносильно уравнению:

. (3)

Оба эти уравнения являются уравнениями гиперболы, но они имеют громоздкий вид, неудобны для использования и для запоминания, поэтому мы попытаемся их преобразовать к более простому виду. Для этого проведем следующую цепочку преобразований:

(3)

.

Учитывая, что , разделив последнее уравнение на , получаем:

. (4′)

Так как , то , поэтому найдется такое положительное число , что . Теперь уравнение (4′) примет вид:

. (4)

Мы доказали, что если точка принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) или (4).

Докажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) или (3), то она принадлежит гиперболе.

<M (X; Y) удовлетворяет (4)>

. (5)

. (6)

Находим разность расстояний:

[(4) ]=

=.

Таким образом, (4) – уравнение гиперболы, которое и называется её Каноническим уравнением.

Исследование формы гиперболы по её каноническому уравнению

1. Симметрия. Так как координаты X И Y В уравнение (4) входят только в чётных степенях, то

<M1(X0; Y0) Г> <M2(–X0; Y0) Г, M3(–X0; –Y0) Г; M4(X0; –Y0)Г>.

Это означает, что гипербола (4) симметрична относительно координатных осей и начала координат. Оси симметрии гиперболы называются Осями гиперболы, центр симметрии – её Центром.

2. Пересечение с осями. Если Y = 0, то (4) <X = ±A>. Значит, гипербола пересекает ось в точках A1 (–A; 0) и A2 = (A; 0), которые называются Вершинами гиперболы. Если же X = 0, то (4) решений не имеет, т. е. ось гипербола не пересекает. Та ось гиперболы, которую она пересекает, называется её Действительной осью, а та, которую не пересекает – Мнимой. Числа A и B называются Полуосями гиперболы, действительной и мнимой соответственно.

3. В силу симметрии гиперболы её достаточно нарисовать в первой координатной четверти, а затем продолжить рисунок по симметрии. Если , , то из (4) можно выразить Y:

. (7)

Если X = A, то Y = 0, если же , то и . Вычислим производную:

.

Если , то , поэтому гипербола в вершине имеет вертикальную касательную.

4. Асимптотами гиперболы (4) называются прямые . Рассмотрим ту из них, которая проходит в первой четверти:

. (8)

Сравнивая (7) и (8), видим, что , значит, гипербола расположена ниже своей асимптоты. Кроме того, ели М – точка гиперболы, Р – точка её асимптоты с такой же первой координатой, — расстояние от М до гиперболы (рис.2), то

.

Следовательно, при неограниченном удалении от начала координат гипербола бесконечно близко приближается к своей асимптоте, не пересекая её.

Теперь можно приступить к рисованию. По обе стороны от начала координат откладываем на действительной оси действительные полуоси, а на мнимой – мнимые. Рисуем прямоугольник, стороны которого проходят через полученные точки параллельно осям координат. Точки пересечения прямоугольника с действительной осью – это вершины гиперболы. Затем проводим диагонали прямоугольника и продляем их – это асимптоты гиперболы. Рисуем гиперболу сначала в первой четверти, начиная от вершины и неограниченно приближая её к асимптоте, а затем продолжаем по симметрии в остальные координатные четверти (рис. 3).

В заключение параграфа отметим, что уравнение задаёт гиперболу, действительной осью которой является ось , а школьное уравнение при — это уравнение гиперболы с перпендикулярными асимптотами, составленное относительно её асимптот.

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F1 И F2, расстояние между которыми равно 2C. Пусть, кроме того, задано число A, большее C. Эллипсом называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F1 и F2, называемых Фокусами эллипса, есть число постоянное, равное 2А.

Упражнение. По аналогии с выводом канонического уравнения гиперболы получите каноническое уравнение эллипса

, (1)

Где (не забывайте про обратную часть!).

Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению

1. Из (1) вытекает, что если точка M(X; Y) принадлежит эллипсу, то , т. е. эллипс полностью лежит внутри этого прямоугольника.

2. Так же как и гипербола, эллипс симметричен относительно обеих координатных осей и относительно начала координат. Оси симметрии эллипса называются Осями эллипса, центр симметрии – его Центром.

3. Если Y = 0, то из (1) следует, что X = ±A, если же X = 0, то Y = ±B. Таким образом, эллипс пересекает обе координатные оси: ось в точках A1(–A; 0), A2(A; 0) (они называются вершинами эллипса), а ось — в точках B1(0; –B), B2(0; B). Числа А и B называются полуосями эллипса, большей и меньшей соответственно.

4. В силу симметрии эллипса его также можно вначале нарисовать только в первой четверти, а затем продолжить по симметрии. Если , то из (1) получаем: . Найдем производную:

.

при , поэтому

Функция убывает на отрезке

Рис. 1. . Так как и , то в точке пересечения эллипса с осью он имеет горизонтальную касательную, а в вершине – вертикальную. Так же, как и у гиперболы, фокусы эллипса находятся в точках F1 (–C; 0) F2 (C; 0). Теперь уже можно эллипс изобразить (см. рис. 1).

Замечание. Уравнение (1) задаёт эллипс, фокусы которого лежат на оси абсцисс при , и лежат на оси ординат при . Если же , то (1) – уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. В этом случае C = 0. Таким образом, окружность — это частный случай эллипса с совпадающими фокусами.

Параметрические уравнения эллипса

Пусть задан эллипс своим каноническим уравнением

(1), где . Построим две окружности радиусами и Соответственно с центрами в начале координат. Из начала координат проведем луч под углом к положительному направлению оси , и обозначим А и В точки его пересечения соответственно с большей и меньшей окружностями. Через точку А

Рис. 2. проведём вертикальную прямую, через В – горизонтальную, их пересечение обозначим М. Кроме того, обозначим K и N Основания перпендикуляров, опущенных на ось соответственно из точек А и В (рис.2).

Если точка M имеет координаты (X; Y), то по рис. 2 видно, что

,.

Координаты точки M удовлетворяет (1), значит, она принадлежит эллипсу. Очевидно, если изменяется в пределах от 0 до 2, то мы получим все точки эллипса. Отсюда вытекает один из способов построения точек эллипса. Кроме того, мы вывели его параметрические уравнения:

.

Определение. Пусть на плоскости заданы прямая D и точка F на расстоянии P от неё. Параболой называется множество всех точек той же плоскости, для каждой из которых расстояние до точки F, называемой Фокусом параболы, равно расстоянию до прямой D, называемой её Директрисой.

Вывод канонического уравнения

Выберем на плоскости ортонормированную систему координат следующим образом: ось направим через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от неё, ось проведем посредине между фокусом и директрисой параллельно последней. Если — произвольная точка параболы, то определение параболы формально запишется в виде равенства ,

. (1)

С учётом того, что в выбранной системе координат , , , получаем:

(1)

Отсюда и вытекает уравнение параболы

, (2)

Называемое каноническим, а число P в этом уравнении (расстояние от фокуса до директрисы) носит название фокального параметра. Парабола с уравнением (2) отличается от школьной только тем, что в ней переменные и поменялись ролями. Поэтому мы не будем подробно останавливаться на исследовании её формы, а как она выглядит, посмотрите на рис. 2.

§ 4. Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы

Определения. Эксцентриситетом гиперболы Называется число e, равное отношению половины расстояния между фокусами гиперболы к её действительной полуоси.

Эксцентриситетом эллипса называется число e, равное отношению половины расстояния между фокусами эллипса к его большей полуоси.

Директрисами гиперболы (эллипса) Называются прямые, перпендикулярные её действительной (большей) оси и отстоящие от центра на расстоянии, равном отношению действительной (большей) полуоси к эксцентриситету.

, (1)

, (1I)

, A > B (2)

, A 1 (e );

3. Если содержит первую степень, то только одной переменной, и тогда свободный член равен нулю ( => );

4. Если свободный член не равен нулю, то он равен 1 или -1.

Кривой второго порядка называется множество точек плоскости, удовлетворяющих какому-либо уравнению 2-й степени.

Теорема. Для любой кривой второго 2-го порядка на плоскости существует ортонормированная система координат, в которой эта кривая задаётся каноническим уравнением.

Эту теорему мы докажем позже, в разделе «Линейная алгебра», а сейчас на основании её мы перечислим всевозможные типы кривых второго порядка. Итак, получаем классификацию кривых второго порядка:

Исследование гиперболы по ее уравнению

Глава III. Кривые второго порядка

§ 41. Исследование гиперболы по ее каноническому уравнению

Рассмотрим гиперболу, заданную в некоторой прямоугольной декартовой системе координат своим каноническим уравнением

(1)

Отметим следующие свойства гиперболы:

1) Гипербола (1) не имеет общих точек с осью Оу, a ось Ох пересекает в двух точках.

Для определения координат точек пересечения гиперболы (1) с осью Оу нужно решить совместно их уравнения

, x = 0

Подставляя x = 0 в уравнение гиперболы, получим y 2 = — b 2 , а это означает, что система не имеет решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат.

Для определения координат точек пересечения гиперболы (1) с осью Ох нужно решить совместно их уравнения

, y = 0

Точка пересечения гиперболы с осью Ох должна иметь ординату у = 0 и в то же время принадлежать гиперболе. Подставив у = 0 в уравнение гиперболы, получим

Итак, точками пересечения гиперболы (1) с осью Ох будут точки А(а; 0) и В(—а; 0); они называются вершинами гиперболы.

Отрезок АВ называется действительной осью гиперболы. Длина отрезка АВ, очевидно, равна 2а. Число а называют действительной полуосью гиперболы, число b — мнимой полуосью.

2) Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

В уравнение (1) переменные х и у входят только во второй степени. Следовательно, если координаты точки N(х; у) удовлетворяют уравнению (1), то этому же уравнению будут удовлетворять и координаты точек N₁(—х; у) и N₂(x; —у).

Легко видеть, что точка N₁ симметрична точке N относительно оси ординат, точка N₂ симметрична точке N относительно оси абсцисс.

Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии, oни взаимно перпендикулярны.

3) Гипербола имеет центр симметрии.

Если координаты точки N(x; у) удовлетворяют уравнению (1), то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки К(—х; —у). Точка К, очевидно,симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, гипербола имеет центр симметрии. Центр симметрии гиперболы называется центром гиперболы.

4) Гипербола (1) пересекается с прямой у = kx при | k | b /_a в двух точках.
Если | k |> b /_a , то общих точек у гиперболы и прямой нет.

Для определения координат точек пересечения гиперболы (1) и прямой у = kx нужно решить систему уравнений

(2)

Исключая у, получаем

При b 2 — k 2 a 2 b /_a , полученное уравнение, а поэтому и система (2) решений не имеют. Следовательно, прямые, проходящие через начало координат с угловым коэффициентом, модуль которого больше или равен b /_a не пересекают гиперболу (1). Прямые с уравнениями у = b /_a х и у = — b /_a х называются асимптотами гиперболы (1).

При b 2 — k 2 a 2 > 0, т. е. при | k | b /_a система (2) имеет два решения:

Следовательно, каждая прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом, модуль которого меньше b /_a пересекает гиперболу (1) в двух точках
(рис. 114).

При k = 0 из формул (3) получаем х = ±а, у = 0, т. е. прямая у = 0 пересекает гиперболу в ее вершинах.

Так как гипербола симметрична относительно осей координат, то достаточно изучить ее форму в первом квадранте координатной плоскости. Из формул

k > 0

видно, что при возрастании й от нуля до b /_a (при этом прямая у = kx поворачивается против движения часовой стрелки) и абсциссы и ординаты точек пересечения прямой с гиперболой возрастают. Прямая у = kx пересекaет гиперболу во все более далеких от начала координaт точках. Таким образом, гипербола (1) имеет вид, изображенный на рис. 114. Она состоит из двух не связанных между собой частей, называемых ее ветвями.

Замечание 1. Гиперболу можно построить и теми методами, которые изучаются в алгебре и началах анализа. Для этого следует разрешить уравнение гиперболы относительно переменной у и построить графики функций

Достаточно построить график одной из этих функций и затем воспользоваться симметрией гиперболы относительно оси Ох.

Замечание 2*. Можно уточнить расположение точек гиперболы (1) относительно ее асимптот у = ± b /_a х.

Найдем расстояние от точки гиперболы, расположенной в первом квадранте координатной плоскости, до прямой у = b /_a х. Запишем ее уравнение в виде bx — ау = 0.

Задача определения расстояния от точки до прямой рассматривалась в § 36.

Пусть М (х₀; у₀) — точка гиперболы (х₀ > 0, у₀ > 0). Нормирующий множитель прямой bx — ау = 0, очевидно, равен

а нормированное уравнение имеет вид

Следовательно, для искомого расстояния MP (рис. 115), получаем выражение

Из полученной формулы следует, что если точка М (х₀; у₀) движется по гиперболе так, что ее абсцисса х₀ неограниченно возрастает, то расстояние ее до прямой у = b /_a х неограниченно убывает. В силу симметрии аналогичный вывод можно сделать и для других квадрантов плоскости.

Как мы уже видели (рис. 114), правая ветвь гиперболы расположена выше асимптоты у = — b /_a х и ниже асимптоты у = b /_a х. Поэтому отношение b /_a полуосей гиперболы определяет ее форму. Чем меньше это отношение, тем сильнее сжата к оси Ох гипербола. Как и в случае эллипса, для характеристики формы гиперболы удобнее пользоваться не отношением b /_a , а отношением c /_a .

Отношение полуфокусного расстояния с к действительной полуоси а называется эксцентриситетом гиперболы. Эксцентриситет обозначается буквой ε. Таким образом,

Так как для гиперболы с > а, то эксцентриситет гиперболы удовлетворяет неравенству ε > 1.

Выразим эксцентриситет гиперболы через отношение b /_a ее полуосей:

(4)

Формула (4) показывает, что меньшим значениям отношения b /_a соответствуют меньшие значения эксцентриситета. Следовательно, чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем сильнее сжата она к оси абсцисс.

Замечание. Гипербола называется равносторонней (или равнобочной), если длины ее полуосей равны между собой. Поскольку для равносторонней гиперболы a = b, уравнение ее имеет вид

Асимптотами равносторонней гиперболы являются прямые у = х и у = —х. Таким образом, асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Вычислим эксцентриситет равносторонней гиперболы. По формуле (4) находим

Равносторонняя гипербола изучалась в школе. Ее уравнение не имело вида (5), так как гипербола рассматривались в другой системе координат. Об этом будет рассказано в § 43.

Задача 1. Найти асимптоты гипербол

Построить гиперболы. Для каждой гиперболы найти эксцентриситет.

Перед тем как нарисовать гиперболу, следует построить ее асимптоты и отметить вершины гиперболы. На рис. 116 изображены обе гиперболы.

Эксцентриситеты гипербол находим по формуле (4):

У второй гиперболы эксцентриситет меньше, следовательно, вторая гипербола расположена ближе (сильнее сжата) к оси Ох, чем первая.

Задача 2. Даны фокусы гиперболы F₁(—10; 0) и F₂(10; 0) и ее асимптота 4х + 3у = 0. Написать уравнение гиперболы.

Записав уравнение асимптоты в виде у = — 4 /₃х, находим отношение полуосей гиперболы b /_a = 4 /₃ . Из условия задачи следует, что с =10. Поэтому а 2 + b 2 = 100 .

Задача свелась к решению системы уравнений

Подставляя b = 4 /₃а во втоpое уравнение системы, получаем

откуда а 2 = 36 . Теперь находим b 2 = ( 4 /₃а ) 2 = 16 /₉ • 36 = 64

Следовательно, гипербола имеет уравнение

Задача 3. Написать уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах эллипса

а фокусы — в вершинах того же эллипса. Сделать чертеж.

Обозначим через а_г, b_г полуоси гиперболы, через с_г — ее полуфокусное расстояние.
Пусть а_э, b_э— полуоси эллипса, с_э —его полуфокусное расстояние.