Исследование квадратных уравнений теорема виета

Теорема Виета

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь . Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с . Тогда полýчится дробь . Докáжем, что дроби и равны. То есть докажем, что равенство является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и равны. Теорема доказана.

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0 , а его корнями являются числа x₁ и x₂ , то справедливы следующие два равенства:

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 .

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x 2 + 4x + 3 = 0 . Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4 , взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4 . Тогда:

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x 2 + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3 . Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4 , и равно ли произведение 3 . Для этого найдём корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 . А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Корнями уравнения являются числа −1 и −3 . По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 , взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x 2 + 4x + 3 = 0 является 4 . Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x₁ + x₂ к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 , то есть числу 3 . Видим, что это условие тоже выполняется:

Значит выражение является справедливым.

Рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 8x + 15 = 0 . По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8 . Если взять его с противоположным знаком, то получим 8 . Тогда:

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x 2 − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15 . Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8 , и равно ли произведение 15 . Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Видим, что корнями уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3 . Их сумма равна 8 . То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 , взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15 . То есть равно свободному члену уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 .

Значит выражение является справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 2x + 4 = 0 . Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Но уравнение x 2 − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4 . Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

А значит записывать выражение не имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x₁ × x₂ = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x₁ и x₂ положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x₁ + x₂ = 5 , поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x₁ и x₂ должны удовлетворять как равенству x₁ + x₂ = 5 , так и равенству x₁ × x₂ = 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x₁ + x₂ = 5 так и равенству x₁ × x₂ = 6 . Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0 . Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

Найдём сумму корней x₁ и x₂ . Для этого подставим в выражение x₁ + x₂ вместо x₁ и x₂ соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим дробь на 2 , тогда получим −b

Теперь аналогично докажем, что произведение x₁ × x₂ равно свободному члену c .

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . Тогда в числителе полýчится А знаменатель будет равен 4

Теперь в числителе выражение (−b) 2 станет равно b 2 , а выражение станет равно просто D

Но D равно b 2 − 4ac . Подстáвим это выражение вместо D , не забывая что a = 1 . То есть вместо b 2 − 4ac надо подставить b 2 − 4c

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим получившуюся дробь на 4

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком ( x₁ + x₂ = −b ), а произведение корней равно свободному члену ( x₁ × x₂ = c ). Теорема доказана.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x₁ и x₂ равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x₁ и x₂ равна −b , а произведение x₁ и x₂ равно c . В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x 2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

А затем подобрали корни 3 и 2 . По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 , взятому с противоположным знаком (числу 5 ), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6 ). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 .

Пример 2. Решить квадратное уравнение x 2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1 . Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6 , поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6 . А произведение корней будет равно 8

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x₁ + x₂ = 6 , так и равенству x₁ × x₂ = 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x₁ × x₂ = 8 нужно найти такие x₁ и x₂ , произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x₁ × x₂ = 8 , но и равенству x₁ + x₂ = 6 .

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x₁ × x₂ = 8 , но не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6 .

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x₁ × x₂ = 8 , так и равенству x₁ + x₂ = 6 , поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

Значит корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2 .

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x₁ и x₂ обозначим как m и n . Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b , а произведение mn равно c

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 , нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x , затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b . Выразим его из равенства m + n = −b . Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x 2 + bx + c = 0 вместо x , а выражение −m − n подставим вместо b

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x 2 + bx + c = 0 . Подставим вместо x букву n , а вместо c подставим mn , поскольку c = mn .

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x 2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x₁ и x₂ и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x₁ и x₂ и приравняем его к свободному члену :

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2 . Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

Значение x₁ совпадает с x₂ . Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x₁ и x₂ совпадают.

Пример 2. Решить уравнение x 2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Теперь подберём значения x₁ и x₂ . Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2 . Число 2 можно получить перемножив 1 и 2 . Но сумма корней x₁ + x₂ равна отрицательному числу −3 . Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x₁ × x₂ = 2 .

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x₁ × x₂ = 2 , но не будет выполняться равенство x₁ + x₂ = −3 .

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2 .

Итак, корнями являются числа −1 и −2

Пример 3. Решить уравнение x 2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5) . В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16 , а их произведение равно 15 . Значит корнями уравнения x 2 + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15

Пример 4. Решить уравнение x 2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3 . Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13 , поскольку при перемножении этих чисел получается −39 , а при сложении 10

Значит корнями уравнения x 2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13

Пример 5. Первый корень уравнения x 2 + bx + 45 = 0 равен 15 . Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b .

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15 .

Тогда второй корень будет равен 3 , потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x₂ = 45 переменную x₂

Теперь определим значение коэффициента b . Для этого напишем сумму корней уравнения:

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15 , а свободный член уравнения x 2 + bx + 45 = 0 равен 45

Из этой системы следует найти x₂ и b . Выразим эти параметры:

Из этой системы мы видим, что x₂ равно 3. Подставим его в первое равенство:

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

Но нас интересует b , а не −b . Следует помнить, что −b это −1b . Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1 . Тогда b станет равно −18

Этот же результат можно получить если в выражении умножить первое равенство на −1

Теперь возвращаемся к исходному уравнению x 2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

Выполним умножение −18 на x . Получим −18x

Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8 .

В этом задании корни уже известны. То есть x₁ = 2 , x₂ = 8 . По ним надо составить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0 .

Запишем сумму и произведение корней:

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10 , то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10 .

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16 .

Значит b = −10 , c = 16 . Отсюда:

Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа и .

Запишем сумму и произведение корней:

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

Если к примеру в квадратном уравнении a x 2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x 2 , то есть на a

Получилось уравнение , которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен , а свободный член равен . Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

Например, решим квадратное уравнение 4x 2 + 5x + 1 = 0 . Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x 2 , то есть на 4

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен , а свободный член . Тогда по теореме Виета имеем:

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x 2 − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x 2

Получили уравнение . Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x 2 − 3x − 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2 . Сделать это можно в уме. Если 2x 2 разделить на 2 , то полýчится x 2

Далее если −3x разделить на 2 , то полýчится . Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде

Далее если −2 разделить на 2 , то полýчится −1

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

Отсюда методом подбора находим корни 2 и

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

не имеют корней;
имеют один корень;
имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

x₁ + x₂ = −b,
x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен

, свободный член —

. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.

Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен, а свободный член.

Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

Метод подбора помогает найти корни: −1 и

Исследовательская работа по алгебре «Теорема Виета»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ «Бестужевская СОШ»

Математическое лото «Теорема Виета»

Выполнила ученица 8 класса муниципального

бюджетного образовательного учреждения «Бестужевская средняя общеобразовательная школа» Устьянского района

Нецветаева Елена Сергеевна

Научный руководитель – учитель математики муниципального бюджетного образовательного учреждения «Бестужевская средняя общеобразовательная школа» Устьянского района

Илатовская Ирина Анатольевна

1. 1. Теорема Виета в решении квадратного уравнения……………………………

2.1. Опрос учащихся 8-11 классов ………………………………………………….

2.2. Эксперимент по решению уравнений с помощью теоремы Виета…………..

2.3. Беседа с учителем математики……………………………………….…………

3.1. Математическое лото «Теорема Виета» ……….………………………………

3.2 Результаты проведения игры — математическое лото…………………….

Приложение 2. Доказательство теоремы Виета………………………………………….

Приложение 3. Доказательство теоремы, обратной теореме Виета…………………….. 13

Приложение 4. Решение уравнений с применением теоремы Виета…………………. 13

Приложение 5. Задания из ОГЭ математика……………………………………………… 14

Приложение 6. Математическое лото «Теорема Виета» ………………………………… 15

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.

В этом году на уроках алгебры мы изучали квадратные уравнения и учились их решать через дискриминант и формулы корней, многим моим одноклассникам этот процесс показался долгим. Но затем нами была изучена теорема Виета для решения приведенных квадратных уравнений. Я была удивлена, как быстро можно решать квадратные уравнения, зная эту теорему. Мне стало интересно, пользуются ли теоремой Виета в решении квадратных уравнений мои одноклассники и ученики старших классов нашей школы? Насколько важна эта теорема в дальнейшем изучении алгебры? Также у меня появилась идея создать математическое лото «Теорема Виета», которое поможет моим одноклассникам в усвоении теоремы и ее применения к решению уравнений. Так появилась исследовательская работа «Математическое лото «Теорема Виета»». Актуальность темы в том, что знание теоремы Виета и умение ее применять экономит время при решении квадратных уравнений, что важно во время урока или экзамена.

Цель работы. Улучшение умений восьмиклассников применять теорему Виета к решению квадратных уравнений через игру математическое лото «Теорема Виета».

1. Обобщить знания о теореме Виета и ее применении.

2. Провести опрос среди учащихся 8-11 классов нашей школы по теме работы.

3. Провести беседу с учителем математики о важности теоремы в изучении алгебры.

4. Сделать и провести игру — математическое лото «Теорема Виета».

5. Отследить результаты умений моих одноклассников применять теорему Виета.

Объект исследования: теорема Виета.

Предмет исследования: применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений.

Гипотеза : Я предполагаю, что моя игра математическое лото «Теорема Виета» будет способствовать улучшению умений моих одноклассников решать квадратные уравнения с помощью теоремы Виета.

Методы: изучение литературы и материалов сети Интернет, анализ, обобщение, анкетирование, беседа, эксперимент по решению заданий, составление и решение уравнений, создание игры математическое лото.

Глава 1. Теорема Виета

Теорема Виета — самое знаменитое утверждение школьной алгебры, эта теорема связывает коэффициенты и корни квадратного уравнения, автор теоремы – великий французский математик Франсуа Виет (Приложение 1, с. 12).

1.1. Теорема Виета в решении квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида , — переменная, — некоторые числа, причем [1, стр. 118]. Разделив в этом уравнении все коэффициенты на , получим уравнение , в котором заменим . Итак, получается уравнение , которое называется приведенным квадратным уравнением [1, стр. 123]. Для решения такого уравнения применяется теорема Виета.

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену [1, стр. 134].

— приведенное квадратное уравнение, — корни этого уравнения, тогда по теореме Виета . Доказательство в Приложении 2, с. 12.

1.2. Обратная теорема Виета

Существующая обратная теорема Виета, которая позволяет по имеющейся паре чисел, являющимися корнями квадратного уравнения, восстановить коэффициенты и запись его в стандартном виде.

Теорема. Если числа и таковы, что их сумма равна , а произведение равно , то эти числа являются корнями уравнения [1, стр. 135]. Доказательство в Приложении 3, с. 12.

1.3. Применение теоремы Виета

Теорема Виета применяется:

1) Для нахождения корней приведенного квадратного уравнения. В этом случае поступаем так: записываем формулы для корней; подбор корней начинаем с формулы произведения — подбираем пары чисел, которые дают нам в произведении число ; затем отбираем из этих пар ту, которая в сумме даст число ; проверяем эту пару еще раз по этим формулам; записываем ответ (Приложение 4, с. 12).

2) Для решения квадратных уравнений, в которых нужно найти неизвестный коэффициент. В нашем учебнике «Алгебра 8» авторского коллектива Макарычев Ю. Н. и др. встречаются квадратные уравнения, в которых известен один корень, а нужно найти неизвестный коэффициент. Для его нахождения удобнее использовать теорему Виета. Решение таких уравнений я рассмотрела в Приложении 4, с. 12.

3) Обратная теорема Виета применяется для составления квадратного уравнения по известным корням уравнения. В этом случае находим сумму этих корней, в результате суммы меняем знак на противоположный и получаем коэффициент , затем находим произведение этих чисел и получаем коэффициент . Составляем уравнение , вместо коэффициентов , подставляем полученные числа (Приложении 4, с. 12).

Глава 2. Мои исследования

2.1. Опрос учащихся 8-11 классов

Изучая теорему Виета, мне стало интересно, пользуются ли теоремой Виета в решении квадратных уравнений мои одноклассники и ученики старших классов нашей школы? Я провела опрос среди учащихся 8-11 классов, в опросе приняли участие 20 учеников.

Цель опроса. Изучение знаний учащихся 8-11 классов о Франсуа Виете и его теореме.

Вопросы : 1. Кто такой Франсуа Виет? 2. Знаете ли вы теорему Виета? 3. Сформулируйте теорему Виета (формулами или словами). 4. Применяете ли вы эту теорему при решении квадратных уравнений? 5. Нравится ли вам решать квадратные уравнения, используя теорему Виета?

Ответы на вопросы. Первый вопрос: математик (8 человек); французский математик (5 учеников); отец алгебры (2 ученика); ученый, который вывел теорему (3 ученика); человек (1 ученик). Второй вопрос: да (19 человек); знаю, умею, практикую (1 ученик). Третий вопрос: теорема сформулирована с помощью формул (13 учеников); сформулирована словами (2 ученика); не знает (5 учеников). Четвертый вопрос: да (16 учеников); да, очень помогает (1 ученик); не ответили (5 учеников). Пятый вопрос: да (12 учеников); нет (4ученика); да, очень удобно (4 ученика).

Выводы. Таким образом, большинство опрошенных знают и применяют теорему Виета в решении квадратных уравнений, многим нравится ее использовать.

2.2. Эксперимент по решению квадратных уравнений

Решая квадратные уравнения на уроках алгебры, я заметила, что некоторые мои одноклассники применяют теорему Виета, а некоторые продолжают решать их через дискриминант. Я решила провести эксперимент среди одноклассников на применение теоремы к решению квадратных уравнений.

Цель эксперимента. Изучение умений учащихся 8 класса применять теорему Виета, к решению квадратных уравнений.

Все задания для эксперимента я взяла на сайте «Решу ОГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам Дмитрия Гущина» [3], (Приложение 5, с. 13). В нашем классе 14 человек, для каждого я распечатала задания и выдала их в начале урока алгебры. На решение заданий отводилось 7 минут, после этого я собрала задания и проверила. Результаты эксперимента в таблице:

Количество учеников, правильно решивших задание

Количество учеников, не решивших задание или решивших неправильно

Выводы. Исходя из полученных результатов, можно сказать, что теорема Виета моими одноклассниками усвоена не очень хорошо. Больше половины учеников могут находить корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета, затруднения возникают с нахождением коэффициентов и .

2.3. Беседа с учителем математики

При изучении теоремы Виета у меня возник вопрос, насколько важна эта теорема в дальнейшем изучении алгебры? Я решила побеседовать об этом с учителем математики. Вопросы: 1. Часто ли Вы сами применяете теорему Виета к решению квадратных уравнений? 2. Применяется ли теорема Виета в дальнейшем изучении алгебры? 3. На сколько необходимо, на ваш взгляд, знать ученикам теорему Виета? 4. Нравится ли Вам, когда ваши ученики решают уравнения с помощью теоремы Виета?

На свои вопросы я получила ответы:

1. Да, я часто применяю теорему Виета при решении квадратных уравнений.

2. С помощью теоремы Виета решаются многие уравнения, приводимые к квадратным. Ее можно использовать в решении биквадратных, логарифмических и показательных уравнений, а также иррациональных и тригонометрических. Все такие уравнения изучаются в курсе алгебры старших классов.

3. Я считаю, что знать теорему и уметь ее применять необходимо для успешного усвоения алгебры и решения уравнений.

4. Да, мне очень нравится, когда ученики подбирают корни уравнения при помощи теоремы Виета, так как это ускоряет решение уравнения, а устное решение развивает мышление ученика.

Вывод по беседе . Знание теоремы Виета помогает при решении многих уравнений, приводимых к квадратным, а также ускоряет процесс решения квадратных уравнений.

3. Математическое лото

3.1. Математическое лото «Теорема Виета»

Проведя свои исследования по теме работы, я узнала, что теорема Виета очень важный инструмент для решения квадратных уравнений и многие ученики 8-11 классов нашей школы ее используют. Среди моих одноклассников не все применяют теорему Виета и есть такие, которые ошибаются в решении уравнений с ее помощью. Поэтому я решила сделать игру — математическое лото «Теорема Виета». Игра в такое лото будет способствовать усвоению теоремы, его можно использовать на уроках алгебры при изучении квадратных уравнений или на уроках повторения в конце учебного года. Я думаю, что игра в такое лото будет полезна и интересна моим одноклассникам, а также ученикам, которые будут изучать теорему Виета и решать квадратные уравнения.

Для математического лото я сделала четырнадцать карточек (по количеству учащихся нашего класса), каждой карточке я присвоила номер от 1 до 14, разделила их на 5 частей и пронумеровала. В каждой части я записала пару чисел, которые являются корнями квадратного уравнения. Затем по теореме, обратной теореме Виета к каждой такой паре составила квадратные уравнения и написала их на отдельных карточках меньшего размера. Таким образом, я придумала 70 уравнений (Приложение 6, с. 14). Для карточек с корнями уравнений я сделала коробочку, а для карточек с уравнениями сшила мешочек. Таким образом, у меня получилась игра – математическое лото.

Правила игры в математическое лото «Теорема Виета».

1. Все ученики получают по карточке с корнями квадратного уравнения.

2. Ведущий (учитель или один из учащихся) достает из мешочка карточку с уравнением и показывает ее учащимся. Ученики решают устно данное уравнение, используя теорему Виета, проверяют есть ли ответы для него на своей карточке и поднимают руку, ведущий закрывает поле карточкой с уравнением у этого учащегося.

3. Тот, кто правильно и быстро заполнит свою карточку, выигрывает. Такому ученику можно поставить в журнал оценку «5».

3.2 Результаты проведения игры – математическое лото

Созданное математическое лото я показала своему учителю математики, она проверила все уравнения и их решения. Затем эту игру я показала своим одноклассникам, им стало интересно в нее поиграть. Игру — лото мы провели в классе три раза, в течение трех недель, в начале урока алгебры каждый ученик получал карточку с корнями квадратного уравнения, учитель нам показывал уравнения, мы заполняли наши карточки. Первый раз у нас эта игра шла долго, в третий раз все прошла быстрее, многие мои одноклассники очень быстро решали квадратные уравнения по теореме Виета и получили «5». Затем я решила повторить эксперимент по решению заданий на применение теоремы Виета.

Цель эксперимента. Повторное изучение умений моих одноклассников применять теорему Виета, к решению квадратных уравнений.

Для эксперимента я взяла те же задания, что и в первом эксперименте (Приложение 5, с. 13). Мои одноклассники показали следующие результаты:

Количество учеников, решивших задание

Количество учеников, не решивших задание

Выводы. Исходя из полученных результатов, можно сказать, что теорема Виета моими одноклассниками усвоена хорошо. Все ученики научились находить корни и коэффициенты квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. У некоторых остались затруднения с последним заданием, так как в этом задании нужно сначала сделать уравнение приведенным, а только затем применять теорему Виета.

Решение многих задач в школьном курсе математики сводится к решению квадратных уравнений, самым быстрым и интересным способом решения приведенного квадратного уравнения является теорема Виета. Умение использовать эту теорему, во многом облегчает и ускоряет решение математических задач, особенно этот навык незаменим при подготовке к экзаменам и на самом экзамене.

Целью моей работы было — улучшение умений восьмиклассников применять теорему Виета к решению квадратных уравнений через игру – математическое лото «Теорема Виета». Я считаю, что цель работы достигнута и поставленные задачи выполнены, а также найдены ответы на вопросы, возникшие в начале работы. Из беседы с учителем математики узнала, что теорема Виета очень важный инструмент решения уравнений, приводимых к квадратным, которые изучаются на протяжении всего курса алгебры. Я выяснила, что многие ученики старших классов нашей школы знают теорему Виета и применяют ее в решении уравнений. Мои одноклассники улучшили свои результаты в решении заданий на применение теоремы Виета. Таким образом, подтвердилась и моя гипотеза, что игра – математическое лото «Теорема Виета» будет способствовать улучшению умений моих одноклассников решать квадратные уравнения с помощью теоремы Виета.

Мой руководитель меня очень похвалила за лото, попросила ей его подарить и сказала, что будет его использовать на уроках при изучении квадратных уравнений.

Франсуа Виет – величайший ученый своего времени, который внес большой вклад в развитие алгебры и поэтому его называют «отцом алгебры», а его теорема замечательный инструмент для решения квадратных уравнений.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни — и дробь уж готова:

В числителе — c, в знаменателе — a,

А сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь эта, что за беда,

В числителе — b, в знаменателе — a.

Алгебра 8 класс. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2015. – 288 с.
Чистяков В. Д. Рассказы о математиках / В. Д. Чистяков. – Минск: Вышэйшая школа, 1966. 410 с. с илл.
Гущин Д. Сдам ГИА: решу ОГЭ и ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. // Интернет-сайт: — 2011-2018. — URL: https://oge.sdamgia.ru/ (дата обращения: 10.02.2018).
Виет, Франсуа. Википедия. Свободная энциклопедия. [Электронный ресурс]. // Интернет-сайт: — 2017. — URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D0%B5%D1%82,_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%B0 (дата обращения: 12.02.2018).

Франсуа Виет – крупнейший французский математик XVI века, родился 13 декабря 1540 году на юге Франции в семье прокурора. Франсуа получил юридическое образование. В 1560 году он начал свою карьеру, а через три года перешел на службу в знатную семью де Партене, где стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к науке. В 1571 году Виет переехал в Париж, где стал советником Генриха III, а затем – Генриха IV. При королевском дворе Франсуа Виет проявил себя талантливым специалистом по расшифровке сложных шифров. Но главной его страстью была математика [2, стр. 68]. Виет изучил сочинения математиков Архимеда и Диофанта, Кардано Бруно, Бомбелли и других. В этих сочинениях все математические действия и знаки записывались словами, что было очень неудобно. Франсуа Виет стал вводить символы для обозначения математических действий, скобки и использовать буквенную запись. Все это позволило Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Неслучайно за это Виета называют «отцом алгебры». Особенно Франсуа Виет гордился своей теоремой о выражении коэффициентов квадратного уравнения через его корни. Эта теорема — самое знаменитое утверждение школьной алгебры [4].

Доказательство теоремы Виета

Найдем дискриминант уравнения и его корни по формуле: , дискриминант — . Если , то уравнение имеет два корня . Найдем сумму и произведение этих корней:

. Теорема доказана. Это будет верно и при . При корней нет [1, стр. 134].

Доказательство теоремы, обратной теореме Виета

По условию , а . Значит, уравнение можно записать в виде . Так как число является корнем уравнения, подставим его вместо , получим . Таким образом число является корнем уравнения. Аналогично проверяем число , , значит, число является корнем уравнения. Теорема доказана [1, стр. 135].

Решение уравнений с применением теоремы Виета

1) №584(а) Найдите подбором корни уравнения [1, стр. 137]. Для решения уравнения используем теорему Виета: . В произведении число 63 нам дают пары чисел – 9 и 7, а также -9 и -7. В сумме -16 дает пара чисел -9 и -7, таким образом решением будет: . Ответ: .

2) №584(б) Найдите подбором корни уравнения [1, стр. 137]. Для решения уравнения используем теорему Виета: . В произведении число -48 нам дают пары чисел – 8 и -6; -8 и -6; -16. В сумме -16 дает пара чисел -9 и -7, таким образом решением будет: . Ответ: .

3) № 585. В уравнении один из корней равен 7. Найдите второй корень и коэффициент р [1, стр. 137]. Решение: пусть , тогда по теореме Виета . Из второго равенства получаем, что , затем находим коэффициент , , значит, . Ответ: , .

4) № 586. Один из корней уравнения равен 12,5. Найдите другой корень и коэффициент [1, стр. 137]. Решение: пусть , тогда по теореме Виета . Из первого равенства получаем, что , затем находим коэффициент , , значит, . Ответ: , .