Исследование уравнений и функций с параметрами

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 . Так как возрастает на , то z(3) .

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Уравнения с параметрами.

Исследование и решение уравнений с параметрами считается не самым простым разделом школьной математики. Однако, параметр, как понятие, часто воспринимается школьниками гораздо более сложным, чем есть в действительности. Здесь в первом пункте представлены очень простые вводные примеры использования параметров в уравнениях. Те, для кого это понятие не составляет большой трудности, могут сразу перейти к решению задач, которые представлены ниже.

Что такое уравнение с параметром?

Допустим нам нужно решить уравнение 2х + 5 = 2 − x.
Решение: 2x + x = 2 − 5; 3x = −3; x = −3/3 = −1.

Теперь нужно решить уравнение 2x + 5 = 3 − x.
Решение: 2x + x = 3 − 5; 3x = −2; x = −2/3

Затем нужно решить уравнение 2x + 5 = 0,5 − x.
Решение: 2x + x = 0,5 − 5; 3x = −4,5; x = −4,5/3 = −1,5.

А потом может потребоваться решить уравнение 2x + 5 = 10,7 − x или уравнение 2x + 5 = −0,19 − x.
Понятно, что уравнения похожи, а потому их решение будет сопровождаться теми же действиями, что выше. Возникает естественный вопрос — сколько можно делать одно и то же?

Уменьшим себе трудозатраты. Заметим, что все эти уравнения отличаются только одним числом в правой части. Обозначим это число символом a .
Получим уравнение 2х + 5 = a − х,
где a — переменная величина, вместо которой можно подставить нужное числовое значение и получить нужное уравнение. Эта переменная и называется параметром.

Решим это уравнение так же, как и все предыдущие.
Решение: 2х + 5 = a − x; 2x + x = a − 5; 3x = a − 5; x = (a − 5)/3.

Теперь для того, чтобы найти ответы для двух последних примеров, мы можем не повторять полностью всё решение каждого уравнения, а просто подставить в полученную формулу для х числовое значение параметра а:
x = (10,7 − 5)/3 = 5,7/3 = 1,9;
x = (−0,19 − 5)/3 = −5,19/3 = −1,73.

Таким образом, под термином «уравнение с параметром», фактически, скрывается целое семейство «почти одинаковых уравнений» , которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр — это число, которое меняется от уравнения к уравнению.
Полученную формулу для корня уравнения мы можем запрограммировать на компьютере. Достаточно будет только ввести значение параметра a, чтобы получить решение любого такого уравнения.

Рассмотрим еще один пример.

Замечаем, что они похожи друг на друга и отличаются только первым коэффициентом. Обозначим его, например, символом k.
Решим уравнение kх + 5 = 2 − x с параметром k.

С помощью этой формулы вычислим все ответы для приведенных уравнений.
x = −3/(2 + 1) = −1
x = −3/(3 + 1) = −0,75
x = −3/(−4 + 1) = 1
x = −3/(17 + 1) = −1/6

Можем ли мы теперь запрограммировать эту формулу и сказать, что с её помощью можно решить любое аналогичное уравнение?
Запрограммировать можем. Компьютер справится как с очень большими значениями коэффициента, так и с очень маленькими.
Например, если введём k = 945739721, то для уравнения заданного вида будет получен корень примерно равный −0,0000000031721201195353831188, если k = 0,0000004, то получим корень ≈ −2,9999988000004799998080000768.
Но, если мы введем в программу, казалось бы, более простое значение k = −1, то компьютер зависнет.
Почему?

Посмотрим внимательнее на формулу x = −3/(−1 + 1) = −3/0. Деление на ноль.
Посмотрим на соответствующее уравнение −1·х + 5 = 2 − x.
Преобразуем его −х + x = 2 − 5.
Оказывается, оно равносильно уравнению 0 = −3 (. ) и не может иметь корней.
Таким образом, из общего подхода к решению «почти одинаковых уравнений» могут существовать исключения, о которых нужно позаботиться отдельно. Т.е. провести предварительное исследование всего семейства уравнений. Именно этому и учатся на уроках математики с помощью так называемых задач с параметрами.

Графические способы решения уравнений

Сначала вспомним, что представляет собой графический способ решения обычного уравнения (без параметра).
Пусть дано уравнение вида f(x) = g(x) . Построим графики функций y = f(x) и y = g(x) и найдём точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.

Для быстрого построения эскизов графиков повторите еще раз графики элементарных функций, которые изучаются в школьном курсе математики, и правила преобразования графиков функций.

Рассмотрим примеры.

1. Решить уравнение
2х + 5 = 2 − x

Ответ: x = −1.

2. Решить уравнение
2х 2 + 4х − 1 = 2х + 3

3. Решить уравнение
log₂х = −0,5х + 4

Ответ: x = 2.

Первые два из приведенных уравнений вы можете решить и аналитически, так как это обычные линейное и квадратное уравнения. Второе уравнение содержит функции разных классов — степенную (здесь линейную) и трансцендентную (здесь логарифмическую). Для таких случаев выбор способов решения у школьников очень ограничен. Фактически, единственным доступным способом является именно графическое решение.

Внимание: Для корней, найденных графическим способом, обязательна проверка! Вы уверены, что на третьем рисунке пересечение именно в точке х = 4 , а не в точке 3,9 или 4,1? А если на реальном экзамене у вас нет возможности построить график достаточно точно? На чертеже «от руки» разброс может быть еще больше. Поэтому алгоритм действий должен быть следующим:

1. Предварительный вывод: х ≈ 4.
2. Проверка: log₂4 = −0,5·4 + 4; 2 = −2 + 4; 2 ≡ 2.
3. Окончательный вывод х = 4.

Чтобы графически решать уравнения с параметрами надо строить не отдельные графики, а их семейства.

Решение уравнений с параметрами с помощью графиков.

Задача 1.

Найти все значения параметра q при которых уравнение |x + 1| − |x − 3| − x = q 2 − 8q + 13 имеет ровно 2 корня.

При каждом значении параметра q можно вычислить значение выражения q 2 − 8q + 13 . Результат обозначим переменной а.
Т.е. примем q 2 − 8q + 13 = a и решим уравнение с параметром |x + 1| − |x − 3| − x = a

Строим график функции y = |x + 1| − |x − 3| − x , расположенной в левой части уравнения.
Для этого разобьём числовую ось на отрезки точками, в которых каждый из встречающихся модулей принимает нулевое значение.

Для каждого из этих участков раскроем модули с учётом знаков.
Вспомним: по определению |x| = x, если х ≥ 0, и |x| = −x, если х Чтобы проверить знаки модулей на участке достаточно подставить любое промежуточное значение x из этого отрезка, например, −2, 0 и 4.

Таким образом на участке I, где −∞ имеем −(x + 1) + (x − 3) − x = − x − 4.
Следовательно, должны построить график функции y = − x − 4 .
Это линейная функция. Её график прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, x = 0, y = −4 и у = 0, x = −4. Cтроим всю прямую бледной линией, а затем выделяем часть графика, относящуюся только к рассматриваемому участку.

Аналогично, разбираемся с оставшимися двумя участками.

На участке II, где −1 имеем (x + 1) + (x − 3) − x = x − 2
и должны построить соответствующую часть графика функции y = x − 2 .

На участке III, где 3 , имеем (x + 1) − (x − 3) − x = − x + 4
и должны построить соответствующую часть графика функции y = − x + 4 .

Последовательное построение итогового графика показано ниже. (Чтобы увеличить рисунок, нужно щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.)

Замечание: если вы освоили тему Преобразование графиков функций, то с этой частью задачи сможете справиться быстрее, чем показано в примере.

Итак, построение графика функции, расположенной в левой части уравнения, мы завершили. Посмотрим, что находится в правой части.

График функции y = a представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс (Ox), и пересекающую ось ординат (Oy) в точке а. Так как а — параметр, который может принимать разные значения, то нужно построить целое семейство таких параллельных линий, пересекающих ось ординат на разной высоте. Очевидно, что все графики семейства построить мы не сможем, поскольку их бесконечное множество. Изобразим для примера несколько штук в районе уже построенного графика функции. Ниже прямые семейства y = a показаны красным цветом.

Из рисунка видно, что количество точек пересечения каждой из красных прямых с ранее построенным (зелёным) графиком зависит от высоты, на которой расположена эта прямая, т.е. от параметра а. Прямые, расположенные ниже y = −3 , пересекают график в одной точке, а значит эти уравнения имеют только одно решение. Прямые, проходящие на уровне −3 имеют по три точки пересечения, значит соответствующие уравнения будут иметь по три решения. Прямые, расположенные выше точки y = 1 , снова имеют только по одной точке пересечения.
Ровно две точки пересечения с зелёным графиком будут иметь только прямые y = 1 и y = −3 . Соответствующие уравнения будут иметь ровно два корня, что и требовалось определить в задании.

Однако мы нашли значения введённого нами параметра а, при котором заданное уравнение имеет 2 корня, а вопрос задачи состоял в том, чтобы найти все значения параметра q. Для этого придётся решить следующую совокупность уравнений:

Это обычные квадратные уравнения, которые решаются через дискриминант или по теореме Виета.

Таким образом, окончательный ответ: <2;4;6>.

Задача 2.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2 − x)x(x − 4) = a имеет ровно 3 корня.

Рассмотрим функцию y = (2 − x)x(x − 4) . Видно, что если раскрыть скобки, то старший член будет −х 3 . Т.е. графиком функции должна быть кубическая парабола, причем на при x, стремящемcя к +∞, y → −∞, а при x, стремящемся к −∞, y → +∞.
Поскольку уравнение (2 − x)x(x − 4) = 0 имеет три корня 2, 0 и 4, то график функции будет пересекать ось абсцисс трижды.
Понятно, что при упомянутых условиях график непрерывной функции должен иметь участок с «волной». Строим от руки эскиз графика.

Правая часть уравнения y = a такая же, как в предыдущей задаче. Поэтому дальнейшие построения не требуют комментариев. Смотрите рисунки. Чтобы увеличить, используйте щелчок мышью.

Из рисунков видно, что прямые, отделяющие линии с тремя точками пересечения от других случаев, проходят через экстремумы кубической функции. Поэтому определяем значения y_max и y_min через производную. (Исследовать функцию полностью не нужно, так как примерное положение точек экстремума мы видим на эскизе графика.) Обратите внимание на то, что при вычислении значений функции используются точные значения x и формулы сокращенного умножения. Приближенные значения в промежуточных вычислениях не используют.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения

Задача 3.

При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение имеет один корень?

Ответ: -1,625

Задача реального экзамена ЗНО-2013 (http://www.osvita.ua/).

Переход на главную страницу сайта «Математичка».

Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Исследовательская работа по математике «Уравнения с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

«Научное общество учащихся «Поиск»

БОУ «Тарская гимназия № 1 им. А.М. Луппова»

Тема: Решение уравнений,

Научное направление: математика

Ученица 8 «Б» класса

БОУ «Тарская гимназия № 1

Драгун Анна Петровна

БОУ «Тарская гимназия № 1

Селюкова Любовь Владимировна

Глава 1. Уравнения с параметром…………………………………………………. …. …5

Глава 2. Методы решения уравнений, содержащих параметр…………………………. 8

Глава 3. Решение уравнений с параметром……………………………………………. 10

Список используемой литературы………………………………………………………. 15

Для современного школьника основной задачей в школе является успешная сдача ОГЭ, а затем ЕГЭ. Но, к сожалению, времени на уроках недостаточно для глубокого и основательного изучения некоторых тем.

В 7 классе мы изучали линейные уравнения вида ax = b , в 8 познакомились с квадратными уравнениями ax 2 + bx + c = 0 , содержащими параметр .

Задания с параметром очень интересные, однако они требуют особого внимания к себе. Для успешного решения таких задач нужно овладеть основными приёмами и методами исследования условия задачи, научиться классифицировать задания по виду и по способам решения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметром представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

В школьных учебниках по математике в последнее время всё чаще стали появляться уравнения, неравенства и системы, содержащие параметр. Также подобные задачи включены в ОГЭ и ЕГЭ.

Анализ предыдущих результатов ГИА и ЕГЭ показывает, что школьники с большим трудом решают задания с параметром, а многие даже не приступают к ним, либо приводят громоздкие вычисления [11]. Причиной этого является отсутствие системы знаний по данной теме.

При решении заданий с параметром в 8 классе возникает много сложностей, поэтому чтобы лучше понять, усвоить материал, мы решили заняться подробным изучением и исследованием темы «Решение уравнений, содержащих параметр».

В данной работе мы рассмотрим различные методы решения уравнений с параметром, это поможет в будущем успешно сдать экзамены. Наша работа состоит из двух частей: теоретической и практической. В теоретической части мы попытаемся определить понятие «уравнения с параметром» и описать все способы решения подобных уравнений. В практической части мы предложим решение для некоторых уравнений, содержащих параметр.

Задачи с параметром помогают овладеть формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умением выстраивать цепочку рассуждений, повышают уровень логического мышления у учащихся, что необходимо для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нашу работу можно назвать актуальной.

Объектом исследовательской работы являются уравнения с параметром.

Предметом исследования мы избрали различные методы решения уравнений, содержащих параметр.

Целью работы является углубленное изучение методов решения уравнений с параметром.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи :

Изучить литературу по теме исследования

Раскрыть понятие «уравнение с параметром»

Рассмотреть различные методы и способы решения уравнений с параметром

Решить некоторые уравнения, содержащие параметр с помощью различных методов

Для построения графиков использовать программу FX Draw

Глава 1. Уравнения с параметром

Уравнение с параметром – это уравнение, в котором некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами (параметрами). Такие уравнения называют еще параметрическими. [7; с. 164]

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

В условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя;

Требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется. [ 10]

Сложное уравнение с параметром, как правило, сводится к более простому — линейному. Поэтому существует такой алгоритм действий:

Найдем множество всех доступных значений параметров;

Перенесем все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;

Приведем подобные слагаемые;

Решаем уравнение вида ax = b. [12]

Для того чтобы начать решать уравнения с параметром, необходимо вспомнить все ранее изученное.

Равенство с переменной x : f ( x ) = g ( x ) называется уравнением с одной переменной x . Всякое значение переменной x , при котором выражения f ( x ) и g ( x ) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение – это значит найти его корни или доказать, что их нет. [5; с. 131]

Например, уравнение 3 + x = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3 + x = 7 – верное равенство.

Линейным уравнением с одной неизвестной x называют уравнение вида ax = b , где a и b – действительные числа; a называют коэффициентом при переменной, b – свободным членом.

Для линейного уравнения ax = b могут представиться три случая:

a  0; в этом случае корень уравнения равен ;

a = 0, b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ x = 0, что верно при любом x , т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;

a = 0, b  0; в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ x = b , оно не имеет корней.[8; с. 21]

Задача: Решить уравнение x + = 0

Решение: x = —

x = — :

x = —

Ответ: —

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b , c – действительные числа, причем a  0, называют квадратным уравнением. Если a = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; если a  1 – то неприведенным. Числа a , b , c носят следующие названия: a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Корни уравнение ax 2 + bx + c = 0 находятся по формуле .

Выражение D = b 2 – 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня

Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих действительных корня. В этом случае говорят, что уравнение имеет один корень.[5; с. 133]

Используя обозначение D = b 2 – 4 ac , можно переписать формулу .

в виде .

Задача: Решить уравнение 2 x 2 – 5 x + 2 = 0

Решение: D = (-5) 2 – 4 ∙ 2 ∙ 2 = 9, D > 0

, .

Ответ: x ₁ = 2, x ₂ =

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Для неполного уравнения формула нахождения корней такая: .

Задача: Решить уравнение 2 x 2 – 5 x = 0

Для приведенных квадратных уравнений существует теорема Виета, она заключается в том, что если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна – p , а произведение равно q , т.е.

Теорема Виета . Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. [1; с. 81]

Биквадратным называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где a  0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x 2 = у , придем к квадратному уравнению ay 2 + by + c = 0.[5; с. 143]

Задача: Решить уравнение x 4 + 4 x 2 – 21 = 0

x ₁ =

x ₂ =

Ответ:

Глава 2. Методы решения уравнений

В этой главе мы рассмотрим два основных метода решения уравнений с параметром: аналитический и графический.

Во многих задачах параметр рассматривается как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в примере. К примеру, при таком взгляде на параметр формы f ( х ; а ) задают функции не с одной (как ранее), а с двумя переменными. Подобная интерпретация, естественно формирует аналитический метод решения уравнений с параметром. [3; с. 65]

Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами аналитическим методом, нужно разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра α =1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра α = 1 искомым для данной задачи.

Далее уже на конкретном примере попробуем разобраться в аналитическом методе решения уравнений с параметром.

Задача: При каких значениях параметра a уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0

а) имеет единственный корень; б) имеет два корня?

Решение: а) При a = 0 уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 имеет вид 4 x + 4 = 0, оно является уравнением первой степени и имеет единственный корень.

При любом a  0 уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 квадратное, его дискриминант равен D = ( a + 4) 2 – 16 a = ( a – 4) 2 . Уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 имеет единственный корень, если D = 0, т.е. если a = 4.

б) Пусть теперь a – любое действительное число, но a  4, тогда уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 квадратное и оно имеет дискриминант D = ( a – 4) 2 . Очевидно, что D > 0, т.к. a  4. В этом случае уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 имеет два корня.

Ответ: а) При a = 0 и при a = 4; б) при a > 4

Второй метод – графический. На практике он довольно часто оказывается полезным. При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в плоскости ( х,0,у ), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости ( х,0,а ), где х – независимая переменная, а « а » – параметр. Суть графического метода заключается в том, что для решения уравнения f ( x ) = 0 строят график функции y = f ( x ) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью x ; эти абсциссы и являются корнями уравнения. Так, для решения уравнения ax 2 + bx + c = 0 достаточно построить график квадратичной функции y = ax 2 + bx + c и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью x .

При решении уравнений f ( х, а ) = 0 надо помнить, что в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена f ( х, а ), понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А( а ) х 2 + В( а ) х + С( а ) = 0 при А( а ) = 0 превращается в линейное, если при этом В( а ) ≠ 0, а методы решения квадратных и линейных уравнений различны.

Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.

Алгоритм решения уравнений с параметром графическим методом :

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х .

В системе координат строим график функции a ( х ) для тех значений х , которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой a = с , с графиком функции

a ( х ). Если прямая a = с пересекает график a ( х ), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = a ( х ) относительно х.

Записываем ответ [ 4 ]

При решении уравнений с модулем, содержащих параметр, графическим способом, необходимо построить графики функций и при различных значениях параметра рассмотреть все возможные случаи.

Задача: Определить при каких значениях а уравнение |х 2 -2х-3| = а имеет ровно 3 различных действительных корня.

Решение: Построим график функции 1)
2) y = а

Сначала избавимся от знака модуля. У нас получится: .

Значит, у =

Это означает, что график функции у = может быть получен из графика функции y = x 2 путем переноса на одну единицу вправо и на четыре единицы вниз.

Г
рафиком функции у = а – будет прямая параллельная оси ОХ.
Из графика видно, что только при значении а = 4 уравнение имеет 3 корня.

Задача: Найти сумму целых значений числа a , при которых уравнение | x 2 – 2 x – 3| = a имеет четыре корня.

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной координатной плоскости графики функций

График первой функции y = | x 2 – 2 x – 3| будет получен из графика параболы y = x 2 – 2 x – 3 путем симметричного отображения относительно оси абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика, находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.

Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x 2 – 2 x – 3 является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем координаты вершины. Это можно сделать по формуле x ₀ = . Таким образом, x ₀ = = 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим полученное значение для x ₀ в уравнение рассматриваемой функции. Получим, что y ₀ = 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).

Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат. В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x 2 – 2 x – 3 = 0. Его корни и будут искомыми точками. По теореме Виета имеем x ₁ = -1, x ₂ = 3.

В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.

Чтобы получить график функции y = | x 2 – 2 x – 3|, отобразим симметрично относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс. Полученный график изображен на рисунке 2.

График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит интервалу (0; 4).

Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности. [ 12 ]

Глава 3. Решение уравнений с параметром

Пример 1. Решите уравнение ах = а

Решение. Если а = 0 , то 0 ∙ х = 0

х – любое действительное число

Если а  0 ,то х =

Пример 2. Решите уравнение х + 2 = ах

Если 1 – а = 0 , т.е. а = 1 , то х 0 = ˗ 2, то корней нет

Если 1 – а  0 , т.е. а  1 , то х =

Ответ: При 1 – a = 0 нет корней; при 1 – a 0 ∙ x = .

Пример 3. При каких значениях а уравнение не имеет решений?

Решение. х  -2 , дробь равна нулю, когда х = а , значит, уравнение не имеет решений если а = — 2

Ответ. При а = — 2 нет решений.

Пример 4. Решите уравнение

Решение. При х  2 уравнение равносильно уравнению а + 3 = х – 2, откуда

х = а + 5 . Найдем значение а , при котором х = 2, 2 = а + 5, а = — 3.

Ответ. При а  — 3 , х = а + 5; при а = — 3 нет корней.

Пример 5. При каждом значении параметра a решите уравнение ax – 6 = 2 a – 3 x = 0.

Решение. Переписав уравнение в виде ( a + 3) x = 2 ( a +3) рассмотрим два случая: a + 3 = 0 и a + 3  0.

Если a = — 3, то любое действительное число x ( x  R ) является корнем уравнения ax – 6 = 2 a – 3 x = 0, т.к. 0 ∙ x = 0

Если a  — 3, то уравнение ax – 6 = 2 a – 3 x = 0 имеет единственный корень

x = = 2.

Ответ. При а = — 3, x  R ; при а  — 3, x = 2.

Пример 6. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2 x 2 — + ( k – 3) ( k + 5) = 0?

Р
ешение. Графиком функции y = 2 x 2 — + ( k – 3) ( k + 5) является парабола, ветви которой направлены вверх ( a = 2 > 0). Число 2 находится между корнями x ₁ и x ₂ , если

2 ∙ 2 2 — ∙ 2 + k 2 +2 k – 15

Пример 7 . Найдите среднее арифметическое целых значений числа a , при которых уравнение | x 2 – 4| x | – 1| = a имеет шесть корней.

Решение. Начнем с построения графика функции y = | x 2 – 4| x | – 1|. Для этого воспользуемся равенством a 2 = | a | 2 и выделим полный квадрат в подмодульном выражении, написанном в правой части функции:

x 2 – 4| x | – 1 = | x | 2 – 4| x | — 1 = (| x | 2 – 4| x | + 4) – 1 – 4 = (| x |– 2) 2 – 5.

Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(| x | – 2) 2 – 5|.

Для построения графика этой функции строим последовательно графики функций:

1) y = ( x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5); (Рис. 1).

2) y = (| x | – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси OY; (Рис. 2).

3) y = |(| x | – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая находится ниже оси x , отображается симметрично относительно оси абсцисс наверх. (Рис. 3).

Рассмотрим получившиеся рисунки:

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.

С помощью рисунка делаем вывод, что графики функций имеют шесть общих точек (уравнение имеет шесть корней), если a принадлежит интервалу (1; 5).

Это можно видеть на следующем рисунке:

Найдем среднее арифметическое целых значений параметра a :

= 3.

Пример 8. При каждом значении параметра k решите уравнение

Решение. Уравнение x 2 – (3 k – 1) x – 3 k = 0 квадратное, вычислим его дискриминант: D = (3 k – 1) 2 + 12 k = (3 k + 1) 2 .

Значит, если k  — , то D > 0, и уравнение x 2 – (3 k – 1) x – 3 k = 0 имеет два различных корня x ₁ = = 3 k и x ₂ = = — 1.

Если же k = — , то D = 0, и уравнение x 2 – (3 k – 1) x – 3 k = 0 имеет единственный корень x ₁ = = = — 1.

Ответ. при любом k  — два корня: 3 k и — 1; при k = — единственный корень — 1.

Пример 9. Найдем все значения параметра b , при каждом из которых корни x ₁ и x ₂ уравнения x 2 + bx + b + 8 = 0 различны и удовлетворяют условию + – 12 x ₁ x ₂ + 97 = 0.

Решение. Уравнение x 2 + bx + b + 8 = 0 имеет два различных корня, если выполнено условие D = b 2 – 4 ( b + 8) = b 2 – 4 b – 32 = ( b + 4) ( b – 8) > 0.

Пусть это условие выполнено, тогда уравнение x 2 + bx + b + 8 = 0 имеет два различных корня x ₁ и x ₂ и для них, по теореме Виета, справедливы равенства x ₁ + x ₂ = — b и x ₁ x ₂ = b + 8.

Преобразуем равенство + – 12 x ₁ x ₂ + 97 = 0, заменив в нем x ₁ + x ₂ и x ₁ x ₂ на – b и b + 8 соответственно:

Решив уравнение b 2 – 14 b – 15 = 0, найдем его корни b ₁ = — 1 и b ₂ = 15.

Но равенство + – 12 x ₁ x ₂ + 97 = 0 справедливо лишь тогда, когда выполняется условие D = b 2 – 4 ( b + 8) = b 2 – 4 b – 32 = ( b + 4) ( b – 8) > 0, поэтому надо проверить, выполняется ли оно при найденных значениях b .

Если b = — 1, то ( b + 4) ( b – 8) b = 15, то ( b + 4) ( b – 8) > 0.

Отсюда следует, что условия задачи выполняются лишь при b = 15.

Пример 10*. Найти все значения параметра a , при которых уравнение x 4 + ( a + 1) x 3 + (2 a + 1) x 2 – ( a + 1) x + 1 = 0 на промежутке (-∞; — 1) имеет не менее двух корней.

Приведем уравнение к виду

y 2 + ( a + 1) y + 2 a + 3 = 0, где функция y = f ( x ) = x — возрастает на промежутке (-∞; — 1) от -∞ до f (- 1) = 0. Поэтому исходное уравнение имеет не менее двух корней на промежутке (-∞; — 1) тогда и только тогда, когда полученное уравнение имеет два корня y _1,2  (-∞; — 1), т.е. когда

a + 1 > 0 a > — 1

2 a + 3 > 0 ( a – a ₁ ) ( a – a ₂ ) > 0 a > 3 +

( a + 1) 2 -4(2 a + 3) > 0 a _1,2 = 3 ±

Ответ. a > 3 + 2

Задачи с параметрами относятся к одним из самых трудных разделов школьного курса математики, так как их решение связано с умением проводить сложные логические построения. Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры, но, как правило, решение таких уравнений вызывает трудности.

В работе мы углубили свои знания об уравнениях с параметром, вспомнили, какие виды уравнений бывают, ввели понятие «параметрического» уравнения. Также нами были рассмотрены два метода решения уравнений: аналитический и графический. И пришли к выводу, что сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности.

В последней главе мы представили задания, содержащие параметр и их решение различными способами. Помимо задач из учебника мы рассмотрели некоторые задания С5 из ЕГЭ.

Кроме того, мы пришли к выводу, что данная тема должна более глубоко изучаться в школьной программе, так как знания по этой теме помогут учащимся успешно сдать ОГЭ и ЕГЭ.

Таким образом, считаем, что задачи, поставленные нами, решены, цель работы достигнута.

Список используемой литературы

Алгебра. 8 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений / [С.М.Николький, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин]. – 9-е изд. – М. : Просвещение, 2013. – 287 с. : ил. – (МГУ – школе).

Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. -316 с.

Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/99 с.60-68

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. Материалы: Кн. Для учащихся. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.: ил.

Корянов А. Г., Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012. (типовые задания С5). Функция и параметр. 2012, — 79 с.

Математика. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА – 2012. Алгебра, геометрия, теория вероятности и статистика: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов н/Д: Легион-М, 2011. – 314 с. – (ГИА-9)

Потапов М.К. Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс / М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 111с. : ил. – (МГУ – школе). – ISBN 978-5-09-024151-9.

Ященко И. В., Шестаков С. А. Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания. М.: МЦНМО, 2012. – 218 с.

http :// www . sholaprikumskoe . ru / e /3241666- sravnitelnyiy — analiz — gia — i — ege — s — proshiyim — god