Исследование уравнений и неравенств проект

Исследование различных методов решения неравенств

Задание № 15 профильного экзамена по математике — это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство. При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения. Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций. По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ. Цель: изучить различные способы решения неравенств.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал по данной теме.

2. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений.

3. Изучить функционально-графические методы решения неравенств.

4. Сравнить различные методы решения неравенств.

5. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

Методы исследование: опрос, анкетирование, анализ, сравнение и обобщение результатов.

В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Исследование различных методов решения неравенств

Иванова Анастасия Евгеньевна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя школа №30 с углубленным изучением отдельных предметов»

Научная статья (описание работы)

Задание № 15 профильного экзамена по математике — это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство (рациональное, иррациональное, показательное, логарифмическое). При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения.

Полное правильное решение этого задания оценивается 2 баллами. При решении задачи допустимы любые математические методы — алгебраический, функциональный, графический, геометрический и др.

Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Типичные ошибки связаны с невнимательным чтением математической записи неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств. Очень много ошибок допущено участниками экзамена при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель) [3].

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы на ЕГЭ по математике представлены в таблице 1 и на диаграмме (рис. 1).

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

2015-2016 уч. год

2016-2017 уч. год

Количество учащихся, выполнивших данное задание

Процент учащихся, выполнивших данное задание

Рис.1. Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене 11а,б классов в 2017-2018 уч. году представлены в таблице 2 и на диаграмме (рис.2).

Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене

в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Количество учащихся, приступивших к выполнению данного задания

Количество учащихся, выполнивших данное задание

Рис.2. Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Мы провели опрос учителей математики нашей школы и выявили основные проблемы, которые возникают у учащихся при решении неравенств: неверное нахождение области допустимых значений неравенств; рассмотрение не всех случаев перехода от логарифмического неравенства к рациональному; преобразование логарифмических выражений; ошибки в использовании метода интервалов и др.

С применением метода интервалов и введением вспомогательной переменной связан ряд типичных ошибок. Так например, ошибка при определении знаков на промежутках или неправильное расположение чисел на координатной прямой, согласно критериям, могут трактоваться как вычислительные ошибки. Другие, связанные с пропуском шагов алгоритма или неверным их выполнением оцениваются 0 баллом.

Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ по математике. В связи с этим нами была выдвинута гипотеза : если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный.

Объект исследования : неравенства.

Предмет исследования : различные способы решения неравенств.

Цель : изучить различные способы решения неравенств.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи :

1. Изучить теоретический материал по данной теме.
2. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений.
3. Изучить функционально-графические методы решения неравенств.
4. Сравнить различные методы решения неравенств.
5. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

2. Основная часть

2.1. Теоретическая часть

1. Линейные неравенства

Линейные неравенства — это неравенства вида: ax + b 0; ax+b≥0; ax+b≤0, где a и b – любые числа, причем a≠0, x — неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный.

2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный.

2. Квадратные неравенства

где x — переменная, a, b, c — числа, , называется квадратным. При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения . Для этого необходимо найти дискриминант данного квадратного уравнения. Можно получить 3 случая: 1) D=0 , квадратное уравнение имеет один корень; 2) D>0 квадратное уравнение имеет два корня; 3) D квадратное уравнение не имеет корней. В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a возможно одно из шести расположений графика функции (Приложение 1).

3. Рациональные неравенства

Рациональным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида f(x) выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной x и с помощью математических действий, т.е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов (Приложение 1).

4. Показательные неравенства

Показательное неравенство – это неравенство , в котором неизвестное находится в показателе степени. Простейшее показательное неравенство имеет вид:а х ‹ b или а х › b, где а> 0, а ≠ 1, х – неизвестное.

5. Логарифмические неравенства

Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма .

1. Неравенство в случае, если сводится к равносильному неравенству . Если же — то к неравенству .

Аналогично неравенство равносильно неравенствам для : ; для : .

Решения полученных неравенств надо пересечь с ОДЗ:

2. Решение логарифмического неравенства вида равносильно решению следующих систем:

Неравенство в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

6. Иррациональные неравенства

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

2.2. Практическая часть

Цель : изучить метод ограниченности функций.

1. Изучить метод ограниченности функций.

2. Решить неравенства данным методом.

Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество значений функции и знать оценки области значений стандартных функций (например, ) [2].

Пример № 1 . Решить неравенство:

Для всех х из полученного множества имеем:

Следовательно, решение неравенства

Пример №2. Решить неравенство:

Данное неравенство равносильно

Первое уравнение системы имеет один корень х = — 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению.

Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.

Цель : изучить метод рационализации решения неравенств.

1. Изучить метод рационализации.

2. Решить неравенства данным методом.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x) v 0 равносильно неравенству F(x) v 0 на области определения выражения F(x) (символ «v» заменяет один из знаков неравенств: ≤, ≥, >,

Выделим некоторые типовые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G (таблица 1), где f, g, h, p, q — выражения с переменной х (h>0, h≠1,f>0,g>0), a-фиксированное число (а>0, a≠1). (Приложение 2).

Пример № 1. Решить неравенство:

Учитывая область определения, получим

Пример № 2. Решить неравенство:

Учитывая область определения, получим

Вывод : неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Цель : в процессе решения неравенств сравнить различные методы.

1. Решить неравенство разными методами.

2. Сравнить результаты и сделать вывод.

Пример № 1. Решить неравенство

1 способ. Алгебраический метод

Решение первой системы:

Решаем второе неравенство второй системы:

2 способ . Использование области определения функции

Для этих значений х получаем:

Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при

3 способ. Графический метод

Вывод : решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.

Пример № 2. Решить неравенство: [2, 4].

Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.

Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Большинство учащихся решают неравенства с использованием стандартных, алгоритмических методов, что иногда приводит к громоздким вычислениям. В связи с этим процент выполнения задания № 15 на ЕГЭ невысок.

Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка. Использование свойств (ограниченность, монотонность и др.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения. По нашему мнению, умение использовать необходимые свойства функций при решении неравенств могут позволить учащимся выбирать более рациональный способ решения.

В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

1. Алимов Ш. А, Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 384 с.
2. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. – 104 с.
3. Сайт http://www.fipi.ru/.
4. Сайт https://ege.sdamgia.ru/.
5. Ященко И. В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. — М.: Издательство «Национальное образование», 2018. — 256 с.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Исследование различных методов решения неравенств Иванова Анастасия Евгеньевна МБОУ «СШ № 30 с углубленным изучением отдельных предметов»

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч . году обучающимися нашей школы

Гипотеза : если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный Объект исследования : неравенства Предмет исследования : различные способы решения неравенств

Цель : изучить различные способы решения неравенств. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи : Изучить теоретический материал по данной теме. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений. Изучить функционально-графические методы решения неравенств. Сравнить различные методы решения неравенств. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

Исследование № 1 Цель : изучить метод ограниченности функций. Ход работы: 1. Изучить метод ограниченности функций. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1 . Решить неравенство: Решение: Область определения: Для всех х из полученного множества имеем: Следовательно, решение неравенства Ответ:

Пример №2. Решить неравенство: Решение: Т.к. Данное неравенство равносильно Первое уравнение системы имеет один корень х = — 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению . Ответ: — 0,4 Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.

Исследование № 2 Цель : изучить метод рационализации решения неравенств. Ход работы: 1. Изучить метод рационализации. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ:

Пример № 2. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ: Вывод : неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Исследование № 3 Цель : в процессе решения неравенств сравнить различные методы. Ход работы: 1. Решить неравенство разными методами. 2. Сравнить результаты и сделать вывод. Пример № 1. Решить неравенство 1 способ. Алгебраический метод Решение первой системы: Решаем второе неравенство второй системы: 2 способ . Использование области определения функции Область определения: Для этих значений х получаем: Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при

3 способ. Графический метод Вывод : решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.

Пример № 2. Решить неравенство: Ответ: Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.

Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка. Использование свойств (ограниченность, монотонность и др.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения. По нашему мнению, умение использовать необходимые свойства функций при решении неравенств могут позволить учащимся выбирать более рациональный способ решения. В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок. Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

Исследовательская работа Методы решения уравнений и неравенств с параметром (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8

Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка

Методы решения уравнений и неравенств с параметром

ученик 11 А класса МОАУ

Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17

Методы решения систем уравнений и неравенств. 22

Список используемой литературы.. 32

Введение

Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

· обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

· возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.

Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс».

Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Объект исследования: задачи с параметрами.

Цель данной работы:

— выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;

— решить уравнения с параметрами;

— углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2. Показать способы решения уравнений с параметрами.

Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.

1. Подобрать и изучить литературу;

2. Решить подобранные задачи;

Параметр

Имеется несколько определений параметра:

— Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, , — «Толковый словарь математических терминов»).

— Переменныеa, b, c, …, k, которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры ( – «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).

Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром. Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром.

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.

Контрольные значения параметра

Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.

Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:

— старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;

— знаменатели в дроби;

— дискриминант квадратного двучлена.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:

1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3. Преобразовать уравнение-следствие к виду , где х — неизвестное, — действительные числа или функции от параметра.

4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:

а) ; б) .

5. Исключить те значения параметра, когда найденный корень (или ) обращает в нуль общий знаменатель; найти при этом значении параметра (или ).

6. Записать ответ.

При каких b корни уравнения х2-4bх+4b2– 1=0 лежат на промежутке от (1; 6)?

Выделим квадрат двучлена:

х=2b+1

Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1 0

х1==2b+1

Исследовательская работа по математике «Уравнения с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Научное общество учащихся «Поиск»

БОУ «Тарская гимназия № 1 им. А.М. Луппова»

Тема: Решение уравнений,

Научное направление: математика

Ученица 8 «Б» класса

БОУ «Тарская гимназия № 1

Драгун Анна Петровна

БОУ «Тарская гимназия № 1

Селюкова Любовь Владимировна

Глава 1. Уравнения с параметром…………………………………………………. …. …5

Глава 2. Методы решения уравнений, содержащих параметр…………………………. 8

Глава 3. Решение уравнений с параметром……………………………………………. 10

Список используемой литературы………………………………………………………. 15

Для современного школьника основной задачей в школе является успешная сдача ОГЭ, а затем ЕГЭ. Но, к сожалению, времени на уроках недостаточно для глубокого и основательного изучения некоторых тем.

В 7 классе мы изучали линейные уравнения вида ax = b , в 8 познакомились с квадратными уравнениями ax 2 + bx + c = 0 , содержащими параметр .

Задания с параметром очень интересные, однако они требуют особого внимания к себе. Для успешного решения таких задач нужно овладеть основными приёмами и методами исследования условия задачи, научиться классифицировать задания по виду и по способам решения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметром представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

В школьных учебниках по математике в последнее время всё чаще стали появляться уравнения, неравенства и системы, содержащие параметр. Также подобные задачи включены в ОГЭ и ЕГЭ.

Анализ предыдущих результатов ГИА и ЕГЭ показывает, что школьники с большим трудом решают задания с параметром, а многие даже не приступают к ним, либо приводят громоздкие вычисления [11]. Причиной этого является отсутствие системы знаний по данной теме.

При решении заданий с параметром в 8 классе возникает много сложностей, поэтому чтобы лучше понять, усвоить материал, мы решили заняться подробным изучением и исследованием темы «Решение уравнений, содержащих параметр».

В данной работе мы рассмотрим различные методы решения уравнений с параметром, это поможет в будущем успешно сдать экзамены. Наша работа состоит из двух частей: теоретической и практической. В теоретической части мы попытаемся определить понятие «уравнения с параметром» и описать все способы решения подобных уравнений. В практической части мы предложим решение для некоторых уравнений, содержащих параметр.

Задачи с параметром помогают овладеть формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умением выстраивать цепочку рассуждений, повышают уровень логического мышления у учащихся, что необходимо для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нашу работу можно назвать актуальной.

Объектом исследовательской работы являются уравнения с параметром.

Предметом исследования мы избрали различные методы решения уравнений, содержащих параметр.

Целью работы является углубленное изучение методов решения уравнений с параметром.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи :

Изучить литературу по теме исследования

Раскрыть понятие «уравнение с параметром»

Рассмотреть различные методы и способы решения уравнений с параметром

Решить некоторые уравнения, содержащие параметр с помощью различных методов

Для построения графиков использовать программу FX Draw

Глава 1. Уравнения с параметром

Уравнение с параметром – это уравнение, в котором некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами (параметрами). Такие уравнения называют еще параметрическими. [7; с. 164]

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

В условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя;

Требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется. [ 10]

Сложное уравнение с параметром, как правило, сводится к более простому — линейному. Поэтому существует такой алгоритм действий:

Найдем множество всех доступных значений параметров;

Перенесем все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;

Приведем подобные слагаемые;

Решаем уравнение вида ax = b. [12]

Для того чтобы начать решать уравнения с параметром, необходимо вспомнить все ранее изученное.

Равенство с переменной x : f ( x ) = g ( x ) называется уравнением с одной переменной x . Всякое значение переменной x , при котором выражения f ( x ) и g ( x ) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение – это значит найти его корни или доказать, что их нет. [5; с. 131]

Например, уравнение 3 + x = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной 3 + x = 7 – верное равенство.

Линейным уравнением с одной неизвестной x называют уравнение вида ax = b , где a и b – действительные числа; a называют коэффициентом при переменной, b – свободным членом.

Для линейного уравнения ax = b могут представиться три случая:

a  0; в этом случае корень уравнения равен ;

a = 0, b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ x = 0, что верно при любом x , т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;

a = 0, b  0; в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ x = b , оно не имеет корней.[8; с. 21]

Задача: Решить уравнение x + = 0

Решение: x = —

x = — :

x = —

Ответ: —

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b , c – действительные числа, причем a  0, называют квадратным уравнением. Если a = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; если a  1 – то неприведенным. Числа a , b , c носят следующие названия: a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

Корни уравнение ax 2 + bx + c = 0 находятся по формуле .

Выражение D = b 2 – 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня

Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих действительных корня. В этом случае говорят, что уравнение имеет один корень.[5; с. 133]

Используя обозначение D = b 2 – 4 ac , можно переписать формулу .

в виде .

Задача: Решить уравнение 2 x 2 – 5 x + 2 = 0

Решение: D = (-5) 2 – 4 ∙ 2 ∙ 2 = 9, D > 0

, .

Ответ: x ₁ = 2, x ₂ =

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Для неполного уравнения формула нахождения корней такая: .

Задача: Решить уравнение 2 x 2 – 5 x = 0

Для приведенных квадратных уравнений существует теорема Виета, она заключается в том, что если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна – p , а произведение равно q , т.е.

Теорема Виета . Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. [1; с. 81]

Биквадратным называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0, где a  0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x 2 = у , придем к квадратному уравнению ay 2 + by + c = 0.[5; с. 143]

Задача: Решить уравнение x 4 + 4 x 2 – 21 = 0

x ₁ =

x ₂ =

Ответ:

Глава 2. Методы решения уравнений

В этой главе мы рассмотрим два основных метода решения уравнений с параметром: аналитический и графический.

Во многих задачах параметр рассматривается как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в примере. К примеру, при таком взгляде на параметр формы f ( х ; а ) задают функции не с одной (как ранее), а с двумя переменными. Подобная интерпретация, естественно формирует аналитический метод решения уравнений с параметром. [3; с. 65]

Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами аналитическим методом, нужно разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра α =1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра α = 1 искомым для данной задачи.

Далее уже на конкретном примере попробуем разобраться в аналитическом методе решения уравнений с параметром.

Задача: При каких значениях параметра a уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0

а) имеет единственный корень; б) имеет два корня?

Решение: а) При a = 0 уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 имеет вид 4 x + 4 = 0, оно является уравнением первой степени и имеет единственный корень.

При любом a  0 уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 квадратное, его дискриминант равен D = ( a + 4) 2 – 16 a = ( a – 4) 2 . Уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 имеет единственный корень, если D = 0, т.е. если a = 4.

б) Пусть теперь a – любое действительное число, но a  4, тогда уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 квадратное и оно имеет дискриминант D = ( a – 4) 2 . Очевидно, что D > 0, т.к. a  4. В этом случае уравнение ax 2 + ( a + 4) x + 4 = 0 имеет два корня.

Ответ: а) При a = 0 и при a = 4; б) при a > 4

Второй метод – графический. На практике он довольно часто оказывается полезным. При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в плоскости ( х,0,у ), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости ( х,0,а ), где х – независимая переменная, а « а » – параметр. Суть графического метода заключается в том, что для решения уравнения f ( x ) = 0 строят график функции y = f ( x ) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью x ; эти абсциссы и являются корнями уравнения. Так, для решения уравнения ax 2 + bx + c = 0 достаточно построить график квадратичной функции y = ax 2 + bx + c и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью x .

При решении уравнений f ( х, а ) = 0 надо помнить, что в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена f ( х, а ), понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А( а ) х 2 + В( а ) х + С( а ) = 0 при А( а ) = 0 превращается в линейное, если при этом В( а ) ≠ 0, а методы решения квадратных и линейных уравнений различны.

Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.

Алгоритм решения уравнений с параметром графическим методом :

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х .

В системе координат строим график функции a ( х ) для тех значений х , которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой a = с , с графиком функции

a ( х ). Если прямая a = с пересекает график a ( х ), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = a ( х ) относительно х.

Записываем ответ [ 4 ]

При решении уравнений с модулем, содержащих параметр, графическим способом, необходимо построить графики функций и при различных значениях параметра рассмотреть все возможные случаи.

Задача: Определить при каких значениях а уравнение |х 2 -2х-3| = а имеет ровно 3 различных действительных корня.

Решение: Построим график функции 1)
2) y = а

Сначала избавимся от знака модуля. У нас получится: .

Значит, у =

Это означает, что график функции у = может быть получен из графика функции y = x 2 путем переноса на одну единицу вправо и на четыре единицы вниз.

Г
рафиком функции у = а – будет прямая параллельная оси ОХ.
Из графика видно, что только при значении а = 4 уравнение имеет 3 корня.

Задача: Найти сумму целых значений числа a , при которых уравнение | x 2 – 2 x – 3| = a имеет четыре корня.

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной координатной плоскости графики функций

График первой функции y = | x 2 – 2 x – 3| будет получен из графика параболы y = x 2 – 2 x – 3 путем симметричного отображения относительно оси абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика, находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.

Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x 2 – 2 x – 3 является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем координаты вершины. Это можно сделать по формуле x ₀ = . Таким образом, x ₀ = = 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим полученное значение для x ₀ в уравнение рассматриваемой функции. Получим, что y ₀ = 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).

Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат. В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x 2 – 2 x – 3 = 0. Его корни и будут искомыми точками. По теореме Виета имеем x ₁ = -1, x ₂ = 3.

В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.

Чтобы получить график функции y = | x 2 – 2 x – 3|, отобразим симметрично относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс. Полученный график изображен на рисунке 2.

График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит интервалу (0; 4).

Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности. [ 12 ]

Глава 3. Решение уравнений с параметром

Пример 1. Решите уравнение ах = а

Решение. Если а = 0 , то 0 ∙ х = 0

х – любое действительное число

Если а  0 ,то х =

Пример 2. Решите уравнение х + 2 = ах

Если 1 – а = 0 , т.е. а = 1 , то х 0 = ˗ 2, то корней нет

Если 1 – а  0 , т.е. а  1 , то х =

Ответ: При 1 – a = 0 нет корней; при 1 – a 0 ∙ x = .

Пример 3. При каких значениях а уравнение не имеет решений?

Решение. х  -2 , дробь равна нулю, когда х = а , значит, уравнение не имеет решений если а = — 2

Ответ. При а = — 2 нет решений.

Пример 4. Решите уравнение

Решение. При х  2 уравнение равносильно уравнению а + 3 = х – 2, откуда

х = а + 5 . Найдем значение а , при котором х = 2, 2 = а + 5, а = — 3.

Ответ. При а  — 3 , х = а + 5; при а = — 3 нет корней.

Пример 5. При каждом значении параметра a решите уравнение ax – 6 = 2 a – 3 x = 0.

Решение. Переписав уравнение в виде ( a + 3) x = 2 ( a +3) рассмотрим два случая: a + 3 = 0 и a + 3  0.

Если a = — 3, то любое действительное число x ( x  R ) является корнем уравнения ax – 6 = 2 a – 3 x = 0, т.к. 0 ∙ x = 0

Если a  — 3, то уравнение ax – 6 = 2 a – 3 x = 0 имеет единственный корень

x = = 2.

Ответ. При а = — 3, x  R ; при а  — 3, x = 2.

Пример 6. При каких значениях k число 2 находится между корнями уравнения 2 x 2 — + ( k – 3) ( k + 5) = 0?

Р
ешение. Графиком функции y = 2 x 2 — + ( k – 3) ( k + 5) является парабола, ветви которой направлены вверх ( a = 2 > 0). Число 2 находится между корнями x ₁ и x ₂ , если

2 ∙ 2 2 — ∙ 2 + k 2 +2 k – 15

Пример 7 . Найдите среднее арифметическое целых значений числа a , при которых уравнение | x 2 – 4| x | – 1| = a имеет шесть корней.

Решение. Начнем с построения графика функции y = | x 2 – 4| x | – 1|. Для этого воспользуемся равенством a 2 = | a | 2 и выделим полный квадрат в подмодульном выражении, написанном в правой части функции:

x 2 – 4| x | – 1 = | x | 2 – 4| x | — 1 = (| x | 2 – 4| x | + 4) – 1 – 4 = (| x |– 2) 2 – 5.

Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(| x | – 2) 2 – 5|.

Для построения графика этой функции строим последовательно графики функций:

1) y = ( x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5); (Рис. 1).

2) y = (| x | – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси OY; (Рис. 2).

3) y = |(| x | – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая находится ниже оси x , отображается симметрично относительно оси абсцисс наверх. (Рис. 3).

Рассмотрим получившиеся рисунки:

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.

С помощью рисунка делаем вывод, что графики функций имеют шесть общих точек (уравнение имеет шесть корней), если a принадлежит интервалу (1; 5).

Это можно видеть на следующем рисунке:

Найдем среднее арифметическое целых значений параметра a :

= 3.

Пример 8. При каждом значении параметра k решите уравнение

Решение. Уравнение x 2 – (3 k – 1) x – 3 k = 0 квадратное, вычислим его дискриминант: D = (3 k – 1) 2 + 12 k = (3 k + 1) 2 .

Значит, если k  — , то D > 0, и уравнение x 2 – (3 k – 1) x – 3 k = 0 имеет два различных корня x ₁ = = 3 k и x ₂ = = — 1.

Если же k = — , то D = 0, и уравнение x 2 – (3 k – 1) x – 3 k = 0 имеет единственный корень x ₁ = = = — 1.

Ответ. при любом k  — два корня: 3 k и — 1; при k = — единственный корень — 1.

Пример 9. Найдем все значения параметра b , при каждом из которых корни x ₁ и x ₂ уравнения x 2 + bx + b + 8 = 0 различны и удовлетворяют условию + – 12 x ₁ x ₂ + 97 = 0.

Решение. Уравнение x 2 + bx + b + 8 = 0 имеет два различных корня, если выполнено условие D = b 2 – 4 ( b + 8) = b 2 – 4 b – 32 = ( b + 4) ( b – 8) > 0.

Пусть это условие выполнено, тогда уравнение x 2 + bx + b + 8 = 0 имеет два различных корня x ₁ и x ₂ и для них, по теореме Виета, справедливы равенства x ₁ + x ₂ = — b и x ₁ x ₂ = b + 8.

Преобразуем равенство + – 12 x ₁ x ₂ + 97 = 0, заменив в нем x ₁ + x ₂ и x ₁ x ₂ на – b и b + 8 соответственно:

Решив уравнение b 2 – 14 b – 15 = 0, найдем его корни b ₁ = — 1 и b ₂ = 15.

Но равенство + – 12 x ₁ x ₂ + 97 = 0 справедливо лишь тогда, когда выполняется условие D = b 2 – 4 ( b + 8) = b 2 – 4 b – 32 = ( b + 4) ( b – 8) > 0, поэтому надо проверить, выполняется ли оно при найденных значениях b .

Если b = — 1, то ( b + 4) ( b – 8) b = 15, то ( b + 4) ( b – 8) > 0.

Отсюда следует, что условия задачи выполняются лишь при b = 15.

Пример 10*. Найти все значения параметра a , при которых уравнение x 4 + ( a + 1) x 3 + (2 a + 1) x 2 – ( a + 1) x + 1 = 0 на промежутке (-∞; — 1) имеет не менее двух корней.

Приведем уравнение к виду

y 2 + ( a + 1) y + 2 a + 3 = 0, где функция y = f ( x ) = x — возрастает на промежутке (-∞; — 1) от -∞ до f (- 1) = 0. Поэтому исходное уравнение имеет не менее двух корней на промежутке (-∞; — 1) тогда и только тогда, когда полученное уравнение имеет два корня y _1,2  (-∞; — 1), т.е. когда

a + 1 > 0 a > — 1

2 a + 3 > 0 ( a – a ₁ ) ( a – a ₂ ) > 0 a > 3 +

( a + 1) 2 -4(2 a + 3) > 0 a _1,2 = 3 ±

Ответ. a > 3 + 2

Задачи с параметрами относятся к одним из самых трудных разделов школьного курса математики, так как их решение связано с умением проводить сложные логические построения. Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры, но, как правило, решение таких уравнений вызывает трудности.

В работе мы углубили свои знания об уравнениях с параметром, вспомнили, какие виды уравнений бывают, ввели понятие «параметрического» уравнения. Также нами были рассмотрены два метода решения уравнений: аналитический и графический. И пришли к выводу, что сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности.

В последней главе мы представили задания, содержащие параметр и их решение различными способами. Помимо задач из учебника мы рассмотрели некоторые задания С5 из ЕГЭ.

Кроме того, мы пришли к выводу, что данная тема должна более глубоко изучаться в школьной программе, так как знания по этой теме помогут учащимся успешно сдать ОГЭ и ЕГЭ.

Таким образом, считаем, что задачи, поставленные нами, решены, цель работы достигнута.

Список используемой литературы

Алгебра. 8 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений / [С.М.Николький, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин]. – 9-е изд. – М. : Просвещение, 2013. – 287 с. : ил. – (МГУ – школе).

Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. -316 с.

Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. М., Математика в школе №6/99 с.60-68

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. Материалы: Кн. Для учащихся. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.: ил.

Корянов А. Г., Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2012. (типовые задания С5). Функция и параметр. 2012, — 79 с.

Математика. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА – 2012. Алгебра, геометрия, теория вероятности и статистика: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов н/Д: Легион-М, 2011. – 314 с. – (ГИА-9)

Потапов М.К. Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс / М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 111с. : ил. – (МГУ – школе). – ISBN 978-5-09-024151-9.

Ященко И. В., Шестаков С. А. Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания. М.: МЦНМО, 2012. – 218 с.

http :// www . sholaprikumskoe . ru / e /3241666- sravnitelnyiy — analiz — gia — i — ege — s — proshiyim — god