Исследование уравнений и неравенств с параметром конспект

• Что такое задача с параметром?
• Что является областью допустимых значений параметра?
• Что значит решить задачу с параметром?
• Сколько видов задач с параметрами существует?
• Что необходимо учитывать при их решении?

Появляется слайд и конспект
— Задача с параметром – это множество задач, каждая из которых получается из условия подстановкой конкретного значения параметра.
— Область допустимых значений параметра – это множество значений параметра, при подстановке которых получается задача, имеющая смысл.
— Решить задачу с параметром означает для любого допустимого значения параметра найти множество всех решений данной задачи.
— Рассматривать мы с вами будем задачи с параметром двух основных типов.
В задачах I типа требуется для каждого значения параметра решить задачу.
Для этого необходимо:

• разбить ОДЗ параметра на части, на каждой из которых задачу можно решить одним и тем же способом;
• на каждой из полученных частей решить задачу.

В задачах II типа требуется найти все значения параметра, при которых выполнены те или иные заданные условия.
— Ответ в задаче с параметром – это описание множества ответов к задачам, полученных при конкретных значениях параметра.

1) Решить уравнение а (а – 1) = а – 1.

Решение. Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление?

Делить на ноль нельзя. Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен о. Получим:

1. а = 1, тогда уравнение примет вид 0·х = 0, где х – любое число;
2. а = 0, тогда 0∙х = — 1 – уравнение корней не имеет;
3. а 0, а 1, тогда а (а – 1)·х = а – 1 х = .

Ответ: 1) если а 0, а 1, то х = ;

2) если а = 1, то х – любое число;

3) если а = 0, то корней нет.

2) Решить уравнение (а – 1)х 2 + 2 (2а – 1)х + 4 а + 3 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

1. а = 1 – получим линейное уравнение 2х + 7 = 0, откуда х = — 3,5;
2. а 1 – получим квадратное уравнение.

Рассмотрим дискриминант: D = (2а – 1) 2 – (а – 1)(4а + 3) = — 3а + 4.

Далее, если а > , то D , то корней нет;

2) если а = 1, то х = — 3,5;

3) если а и а1, то х_1,2 = .

II этап – решение второй проблемы.

Рассмотрим способ классификации частных уравнений с помощью модели общих решений.
Появляется слайд.

Например. В рациональном уравнении функция f₁(а) = является общим решением для тех значений параметра, для которых . Поскольку

общее решение уравнения на А_f1 = >.

Функция f₂(а) = есть общее решение уравнения на множестве А_f2 = .
Построим модель общих решений в следующем виде

На модели выделяем все типы частных уравнений: ; ; .

Итак, на примерах рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых значений; область определения; общие решения; контрольные значения параметров; типы частных уравнений.

На базе введенных параметров определим общую схему решения всякого уравнения F(а;х) = 0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):

• устанавливается область допустимых значений параметра и область определения;
• определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
• для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
• находятся общие решения х = f₁(а), …, f_k(а) уравнения F(а;х) =0 на соответствующих множествах А_f1, ……, А_fk значений параметра;
• составляется модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде (на слайде);

• на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми решениями (области однотипности);
• для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных решений.

III этап – примеры заданий на исследование уравнений.

Рассмотрим примеры решения задач с параметрами 2 типа.

Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.

1) При каких значениях параметра а уравнение (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Пусть f(х) = (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5. Так как а 2 + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (х) 2 + 4а – 7 2 – 2mх + m + 3 = 0 положительны?

Решение. Пусть f(х) = (m-1)х 2 — 2 mх + m + 3 тогда:

1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;

2) если m 1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:

Рассмотрим 2 случая:

1) если 1,5 m > 0, тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 m > 1;

2) если m 0 получим, что m-1 2 x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у 2 – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у₁ = а, у₂ = 4,5. Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если > 1.

Ответ: (- ; -1) (1; ).

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней.

Решение. Данное уравнение равносильно системе: .

Уравнение не имеет решения в двух случаях: а = и

Ответ: .

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. Решение уравнения может быть единственным только, если х = 0. Если х = 0,то а 2 -1 = 0, и а = 1.

Рассмотрим 2 случая:

1) если а = 1, то х 2 — = 0 – корней три;

2). Если а = -1, то то х 2 + = 0, х = 0 — единственный корень.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня?

Решение. Данное уравнение равносильно системе: . Выясним, когда квадратное уравнение х 2 – х – а = 0 имеет 2 неотрицательных корня.

Полученное уравнение имеет два корня, если 1+ 4а > 0; они неотрицательны, если

0 > а > — .

Ответ: (- ; 0] .

Во многих случаях при установлении числа корней уравнении имеет значение симметрия.

V этап — нахождение общего корня двух уравнений.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х 2 + 3х + 7а -21 =0 и х 2 +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?

Решение. Исключим параметр а из полученной системы. Для этого первое уравнение умножим на -5, второе — на7, а результаты сложим. Получим: 2х 2 + 27х +63 =0, корни которого х₁ = -3, х₂ = -10,5. Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – ах + 2 = 0 и 3х 2 + (а — 9)х+ 3=0 равносильны?

Решение. Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.

1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:

Система неравенств решений не имеет.

2) Уравнения имеют общие корни. Тогда

Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = .

VI этап – геометрические интерпретации.

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример 1. Решите уравнение в зависимости от параметра а: .

Решение. Понятно что при а 0:

.

Все ли корни подходят. Чтобы это выяснить, построим график функции а =.
Количество корней можно увидеть на рисунке:

Найдем эти корни.

При а = 0 получим х 2 – 2х – 3 = 0 и х₁ = -1, х₂ = 3; при а > 4 это корни уравнения х 2 – 2х – 3 – а = 0.

Если 0 4, то х_1,2 = 1 .

Пример 2. При каких значениях а уравнение имеет более двух корней?

Решение. Если подставить х = 0 в исходное уравнение, то получим 6 = 6, это означает, что х = 0 является решением уравнения при любом а.

Пусть теперь х 0, тогда можно записать . Выясним знаки выражений 2х + 3 и 2х – 3.

Раскроем модули: а = (1)

В плоскости х0а построим множество точек (х;а), координаты которых удовлетворяют соотношению (1).

Если а = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений на промежутке , при других значениях а число решений уравнения не превышает двух.

Тестовый контроль

1 вариант

2 вариант

1) Решите уравнение: 0 · х = а

Ответы: а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R

б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет

в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =

1) Решить уравнение: а х = а.

Ответы: а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R

б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет

в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =

2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в.

а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ;

б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х =

в) при в = -1 нет корней, при а ≠ — 1

2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в.

а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ;

б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х =

в) при в = -1 нет корней, при а ≠ — 1

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

с·(с + 1)·х = с 2 – 1.

Ответ: а) при с = -1, х R,

б) при с = 2, х R,

в) при с = — 1, х R,

3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений?

(с 2 – 4)·х = (с – 2)·(с+ 1).

Ответ: а) при с = -1, х R,

б) при с = 2, х R,

в) при с = — 1, х R,

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

.

Ответы: а) при m = 6 нет корней;

б) при m = 7 нет корней;

в) при m = 8 нет корней.

4) При каких значениях параметра m уравнения не имеет решений?

.

Ответы: а) при m = 6 нет корней;

б) при m = 7 нет корней;

в) при m = 8 нет корней.

5) Решить уравнение .

а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = — 2а.

5) Решить уравнение .

а) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

б) при а = 0 нет корней, при а ≠ 0 х = ;

в) при а = 0 нет корней, а ≠ 0 х = — 2а.

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

nх 2 + 4х + (5 – n) = 0.

а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ;

б) при n = 0 х = —, при n = 1 х = 2, при n = — 4 х = ;

в) при n= 0 х = — , при n = 1 х = — 2, при n =4 х = — .

6) При каких значениях параметра n уравнение имеет один корень?

nх 2 + 4х + (3 + n) = 0.

а) при n = 0 х =1, при n = 2 х = 2, при n =2 х = ;

б) при n = 0 х = —, при n = 1 х = 2, при n = — 4 х = ;

в) при n= 0 х = — , при n = 1 х = — 2, при n =4 х = — .

Задание:

1. На листке записать фамилию, номер варианта и код ответов.

2. Проверить правильность своего кода с ключом учителя.

Домашнее задание: решить самостоятельно:

1. При каких значениях а уравнение а = имеет более трех корней?

Ответ: а [3; 5).

2. При каждом значении параметра а решите уравнение = х – а.

Ответ: если а (- , решений нет

если а [- ] (- 3; 3], то х = ;

если а (- 3], то х = .

3. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение nх = а?

Ответ: если а (, то уравнение имеет два решения;

если а , то уравнение имеет одно решение;

если а ( —; ), то уравнение не имеет решений.

Рефлексия. Выбери для себя цвет и определи

Анализ результатов.

1) Предложенный тестовый контроль помог выявить результаты:

2) Рефлексия позволила выявить, что у

• 54 % учащихся урок вызвал повышенный интерес к теме;
• 46 % — интерес;
• 36 % — учащихся помог систематизировать.

Литература.

1. П.В.Чулков «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» (лекции 5-8) Москва, Педагогический университет «Первое сентября», 2006 г.
2. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике. М. Наука, 1970
3. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. Задачи с параметрами по алгебре и анализу, 1998 г.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №46. Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) уравнения с двумя переменными с параметрами;

2) уравнения с двумя переменными с параметрами;

3) системы с двумя переменными с параметрами.

Глоссарий по теме урока

Уравнения вида f (x; y) =0 называется уравнением с двумя переменными.

Уравнение (неравенство) с параметрами – математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Параметр (от греч рarametron – отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенной элемент из множества элементов того же рода.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы уже встречались с уравнениями и неравенствами с параметрами. Наша задача обобщить изученный материал.

Уравнения вида f (x; y) =0 называется уравнением с двумя переменными. Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел(х;у), при подстановке которой в уравнение f(x;y)=0 оно обращается в верное равенство.

Уравнение х 2 +у 2 =1 имеет бесконечно много решений. Решением является любая пара чисел, лежащая на окружности, R=1.

Изменяем уравнение: х 2 +у 2 =а. Это уравнение с двумя переменными и с параметром а.

1. При а=0 одно решение х=0, у=0.
2. При а 0 бесконечно много решений.

Если поставить знак 2 +у 2 2 +В 2 ≠0) есть уравнение прямой