Исследовать методом сечений поверхность заданную уравнением

Исследование поверхностей второго порядка

(методом сечений)

Эллипсоид

— поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 1 (*) (где a > 0, b > 0, c > 0).

Уравнение (*) называется каноническим уравнением эллипсоида, и именно по этому уравнению мы будем исследовать форму эллипсоида.

1) По уравнению (*) видно, что эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Действительно, если точка M(x,y,z) принадлежит эллипсоиду, то есть ее координаты удовлетворяют уравнению (*), то и точки M₁(-x,y,z), M₂(x,-y,z), M₃(x,y,-z), M₄(-x,-y,z), M₅(-x,y,-z), M₆(x,-y,-z) и M₇(-x,-y,-z) принадлежат эллипсоиду, так как их координаты удовлетворяют уравнению (*).

2) По уравнению (*) видно, что для координат точек эллипсоида справедливы неравенства: | x | £ a, | y | £ b, | z | £ c, то есть эллипсоид рассоложен внутри прямоугольного параллелепипеда, заданного системой неравенств .

3) Сечения плоскостями z = z₀.

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай 0 £ z₀ £ c.

z = 0 (плоскость (xOy)):

— эллипс с полуосями a и b;

z = c (плоскость параллельная плоскости (xOy)):

— точка с координатами (0,0,c);

z = z₀ , 0 0, l 2 = ) —

— эллипс с полуосями la и lb.

При этом, чем ближе значение z₀ к c, тем ближе l к нулю, то есть тем меньше полуоси la и lb эллипса, который мы получаем в сечении.

4) Сечения плоскостями x = x₀.

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай 0 £ x₀ £ a.

x = 0 (плоскость (yOz)):

— эллипс с полуосями b и с;

x = a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

— точка с координатами (a,0,0);

x = x₀ , 0 0, l 2 = ) —

— эллипс с полуосями lb и lc.

При этом, чем ближе значение x₀ к a, тем ближе l к нулю, то есть тем меньше полуоси lb и lc эллипса, который мы получаем в сечении.

5) Сечения плоскостями y = y₀.

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай 0 £ y₀ £ b.

y = 0 (плоскость (xOz)):

— эллипс с полуосями a и с;

y = b (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

— точка с координатами (0,b,0);

y = y₀ , 0 0, l 2 = ) —

— эллипс с полуосями la и lc.

При этом, чем ближе значение y₀ к b, тем ближе l к нулю, то есть тем меньше полуоси la и lc эллипса, который мы получаем в сечении.

Замечания.

1) При a = b = c эллипсоид — это сфера с центром в начале координат и радиусом a.

2) При a = с эллипсоид является эллипсоидом вращения, получается вращением эллипса , лежащего в плоскости (xOy), вокруг оси (Oy).

Случаи a = b, b = c аналогичны.

Эллиптический цилиндр

— поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида (**) (где a > 0, b > 0).

1) По уравнению (**) видно, что эллиптический цилиндр симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) По уравнению (**) видно, что для координат точек эллиптического цилиндра справедливы неравенства: | x | £ a, | y | £ b.

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀ — константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

(плоскость (xOy) или плоскость параллельная плоскости (xOy)):

— эллипс с полуосями a и b.

То есть во всех плоскостях параллельных плоскости (xOy) и в самой плоскости (xOy) сечением эллиптического цилиндра являются равные эллипсы с полуосями a и b, центры которых лежат на оси (Oz).

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀ — константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай 0 £ x₀ £ a.

x = 0 (плоскость (yOz)):

Û — две параллельные прямые;

x = a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û — прямая;

x = x₀ , 0 0, l 2 = ) — две параллельные прямые.

Заметим, что в сечении мы получаем прямые параллельные оси (Oz), то есть все эти прямые попарно параллельны (принадлежат одному параллельному пучку).

5) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен предыдущему).

РИС. 51 эллиптический цилиндр

Замечания.

1) При a = b эллиптический цилиндр является эллиптическим цилиндром вращения, получается вращением прямой, лежащей в плоскости (yOz) и параллельной оси (Oz), вокруг оси (Oz).

2) Сечения плоскостями x = const и y = const — прямые из одного параллельного пучка, эти прямые называют прямолинейные образующими эллиптического цилиндра.

Гиперболический цилиндр

— поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида (***) (где a > 0, b > 0).

1) По уравнению (***) видно, что гиперболический цилиндр симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) По уравнению (***) видно, что для координат точек гиперболического цилиндра справедливы неравенства: | x | ³ a.

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀ — константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

(плоскость (xOy) или плоскость параллельная плоскости (xOy)):

— гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b.

То есть во всех плоскостях параллельных плоскости (xOy) и в самой плоскости (xOy) сечением гиперболического цилиндра являются равные гиперболы.

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀ — константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ a.

x = a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û — прямая;

x = x₀ , x₀ > a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l 2 = ) — две параллельные прямые.

5) Сечения плоскостями y = y₀ (y₀ — константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай y₀ ³ 0.

y = 0 (плоскость (xOz)):

Û — две параллельные прямые;

y = y₀ , (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

Û (где l > 0, l 2 = ) — две параллельные прямые.

РИС. 52 гиперболический цилиндр

Замечание.

Сечения плоскостями x = const и y = const — прямые из одного параллельного пучка, эти прямые называют прямолинейные образующими гиперболического цилиндра.

Параболический цилиндр

— поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида (***) (где a > 0).

1) По уравнению (***) видно, что параболический цилиндр симметричен относительно координатной плоскости (yOz) и координатной оси (Oy).

2) По уравнению (***) видно, что для координат точек параболического цилиндра справедливо неравенство: y ³ 0, то есть параболический цилиндр расположен не левее плоскости (xOz).

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀ — константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

(плоскость (xOy) или плоскость параллельная плоскости (xOy)):

— парабола.

То есть во всех плоскостях параллельных плоскости (xOy) и в самой плоскости (xOy) сечением параболического цилиндра являются равные параболы, вершины которых лежат на оси (Oz).

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀ — константа).

Согласно пунктам 1,2 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

— прямая — ось (Oz);

x = x₀ (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

— прямая параллельная оси (Oz)/

5) Сечения плоскостями y = y₀ (y₀ — константа).

Согласно пункту 2 достаточно рассмотреть случай y₀ ³ 0.

y = 0 (плоскость (xOz)):

Û — прямая — ось (Oz);

y = y₀ , y₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

Û — две прямые, параллельные оси (Oz).

РИС. 53 параболический цилиндр

Замечание.

Сечения плоскостями x = const и y = const — прямые из одного параллельного пучка, эти прямые называют прямолинейные образующими параболического цилиндра.

Конус

— поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 0 (ð) (где a > 0, b > 0, c > 0).

Уравнение (ð) называется каноническим уравнением конуса.

1) По уравнению (ð) видно, что конус симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀— константа).

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

z = 0 (плоскость (xOy)):

— точка (0,0,0) — начало координат;

z = z₀ , z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l 2 = ) — эллипс с полуосями la и lb.

При этом чем больше значение z₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb эллипса, который мы получаем в сечении.

3) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀— константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

— две пересекающиеся в начале координат прямые y = в плоскости (yOz);

x = x₀ , x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l 2 = ) — гипербола с действительной полуосью lb и мнимой полуосью lc (асимптоты гиперболы — это прямые z = y в плоскости x = x₀).

При этом, чем больше значение x₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси lb и lc гиперболы, тем дальше вершины гиперболы друг от друга.

4) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 3, рассмотреть самостоятельно)

Замечания.

1) При a = b конус является конусом вращения (сечения, рассмотренные в п 2, будут окружностями), и получается вращением прямой y = z, лежащей в плоскости (yOz), вокруг оси (Oz).

2) Через каждую точку конуса проходит ровно одна прямая, которая лежит на конусе (докажите самостоятельно) Прямую, лежащую на конусе, называют прямолинейной образующей конуса.

Однополостный гиперболоид

— поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 1 (ðð) (где a > 0, b > 0, c > 0).

1) По уравнению (ðð) видно, что однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀— константа).

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

z = 0 (плоскость (xOy)):

— эллипс с полуосями a и b;

z = z₀ , z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l 2 = 1 + ) — эллипс с полуосями la и lb.

Итак, в сечении однополостного гиперболоида плоскостями параллельными плоскости (xOy) или самой плоскостью (xOy) мы получаем эллипсы, при этом в сечении плоскостью (xOy) получаем эллипс с наименьшими полуосями, этот эллипс будем называть горловым эллипсом однополостного гиперболоида.

3) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀— константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

— гипербола с действительной полуосью b и мнимой полуосью c (асимптоты гиперболы — это прямые z = y в плоскости (yOz));

x = x₀ , 0 0, l 2 = 1 — ) — гипербола с действительной полуосью lb и мнимой полуосью lc (асимптоты гиперболы — это прямые z = y в плоскости x = x₀).

При этом, чем ближе значение x₀ к a, тем меньше значение l, то есть тем меньше полуоси lb и lc гиперболы, тем ближе вершины гиперболы друг к другу.

x₀ = a(плоскость параллельная плоскости (yOz)):

— две пересекающиеся в точке (a,0,0) прямые z = y в плоскости x = a.

x = x₀ , x₀ > a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l 2 = — 1) — гипербола с действительной полуосью lc и мнимой полуосью lb (асимптоты гиперболы — это прямые z = y в плоскости x = x₀).

При этом, чем больше значение x₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси lc и lb гиперболы, тем дальше вершины гиперболы друг от друга.

4) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 3, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 57 однополостный гиперболоид

Замечание.

При a = b однополостный гиперболоид является гиперболоидом вращения, получается вращением гиперболы , лежащей в плоскости (yOz), вокруг оси (Oz).

Двуполостный гиперболоид

— поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = -1 (ððð) (где a > 0, b > 0, c > 0).

1) По уравнению (ððð) видно, что двуполостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) По уравнению (ððð) видно, что для координат точек двуполостного гиперболоида справедливо неравенство | z | ³ c.

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀— константа).

Согласно пунктам 1 и 2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ c.

z = c (плоскость параллельная плоскости (xOy)):

— точка на оси (Oz) с координатами (0,0,c);

z = z₀ , z₀ > c (плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l 2 = — 1) — эллипс с полуосями la и lb.

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀ — константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

— гипербола с действительной полуосью c и мнимой полуосью b (асимптоты гиперболы — это прямые z = y в плоскости (yOz));

x = x₀ , x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l 2 = 1+ ) — гипербола с действительной полуосью lc и мнимой полуосью lb (асимптоты гиперболы — это прямые z = y в плоскости x = x₀).

5) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 4, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 58 двуполостный гиперболоид

Замечание.

При a = b двуполостный гиперболоид является гиперболоидом вращения, получается вращением гиперболы , лежащей в плоскости (yOz), вокруг оси (Oz).

Введем следующее обозначение: F(x,y,z) = . Тогда уравнения F(x,y,z) = 0, F(x,y,z) = 1, F(x,y,z) = — 1 задают (соответственно) конус, однополостный и двуполостный гиперболоиды. При этом при достаточно больших по модулю значениях переменных x и y, значения переменных z для точек, лежащих на конусе и гиперболоидах, отличаются мало (Пусть M(x,y,z) — точка на конусе, M’(x,y,z’) — точка на однополостном гиперболоиде, M’’(x,y,z’’) — точка на двуполостном гиперболоиде, тогда при x ® ¥, y ® ¥ |z — z’| ® 0 и | z — z’’| ® 0). Конус, который задается уравнением F(x,y,z) = 0, будем называть асимптотическим для гиперболоидов, которые задаются уравнениями F(x,y,z) = ± 1.

рис.59 гиперболоиды и асимптотический конус

Эллиптический параболоид

— поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 0 (°) (где a > 0, b > 0).

Уравнение (°) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

1) По уравнению (°) видно, что эллиптический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей (xOz) и (yOz) и координатной оси (Oz).

2) По уравнению (°) видно, что для координат точек эллиптического параболоида справедливо неравенство z ³ 0, то есть эллиптический параболоид весь расположен по одну сторону от плоскости (xOy).

3) Сечения плоскостями z = z₀, z₀ ³ 0.

z = 0 (плоскость (xOy)):

— точка (0,0,0) — начало координат;

z = z₀ , z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l 2 = z₀) — эллипс с полуосями la и lb.

4) Сечения плоскостями x = x₀ (x₀— константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

— парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси (Oz));

x = x₀ , x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

— парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси (Oz)).

Заметим, что от значения x₀, не зависит форма параболы, в сечении плоскостями параллельными плоскости (yOz) мы получаем равные параболы, вершины которых с ростом значения x₀ смещаются вверх вдоль оси (Oz).

5) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 4, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 60 эллиптический параболоид

Замечание.

При a = b конус является конусом вращения (сечения, рассмотренные в п. 3, будут окружностями), и получается вращением параболы вокруг свое оси (вокруг оси (Oz)).

Исследовать методом сечений поверхность заданную уравнением

8.4. Построение поверхностей

Мы приступаем к изучению формы поверхностей второго порядка, определённых в предыдущем разделе своими каноническими уравнениями. Напомним, что это вторая из двух основных задач аналитической геометрии: зная уравнение поверхности, изучить её геометрические свойства.

Метод, который мы будем применять, называется методом сечений: пересекая поверхность плоскостями, параллельными координатным плоскостям, будем рассматривать линии пересечения и по их виду делать выводы о форме поверхности.

Каноническое уравнение эллипсоида:

Отметим симметрию поверхности: если точка (x, у, z) лежит на эллипсоиде, то и все точки (±x, ±у, ±z) тоже лежат на эллипсоиде. Значит, поверхность симметрична относительно любой из координатных плоскостей. Пересечём эллипсоид плоскостью z = h. Получим линию

Это эллипс, полуоси которого убывают с увеличением |h|. При h = c эллипс превращается в точку, при h > c плоскость z = h не пересекает эллипсоид. Эллипсы получаются и при сечении эллипсоида плоскостями x = h, у = h. Используя эти данные, изображаем поверхность. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если две полуоси равны, то получается эллипсоид вращения. Например, эллипсоид, образованный при вращении эллипса (лежит в плоскости XOZ) вокруг оси OZ. Если a = b = c, то эллипсоид превращается в сферу.

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

(15.22)

где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.

Существует девять типов невырожденных поверхностей, уравнения которых с помощью преобразования координат могут быть приведены к одному из следующих видов. Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими уравнениями.

1. Эллипсоид: (рис. 15.1).

2. Конус второго порядка: (рис. 15.2).

3. Гиперболоиды

1) однополостный:

(рис. 15.3);

2) двуполостный:

(рис. 15.4).

Рис. 15.3 Рис. 15.4

4. Параболоиды

1) эллиптический:

(рис. 15.5);

2) гиперболический:

(рис.15.6).

Рис. 15.5 Рис. 15.6

5. Цилиндры

1) эллиптический:

(рис. 15.7);

2) гиперболический:

(рис. 15.8);

Рис. 15.7 Рис. 15.8

3) параболический: (рис. 15.9).

Основным методом исследования формы поверхности является метод параллельных сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о типе поверхности. Таким образом можно изучать основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.

При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов.

В определенных случаях уравнение (15.22) поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим, так называемые, вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев:

– пустое множество точек (мнимый эллипсоид);

– точка (0, 0, 0);

– пустое множество точек (мнимый эллиптический цилиндр);

– прямая (ось Oz);

– пара пересекающихся плоскостей;

– пара параллельных плоскостей;

– пустое множество точек;

– плоскость (пара совпадающих плоскостей).

Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:

Решение. 1) Воспользуемся методом выделения полных квадратов.

Преобразуем левую часть уравнения:

Значит, заданное уравнение равносильно уравнению

или

Имеем уравнение однополостного гиперболоида, центр которого находится в точке (–1, 1, 2). Его ось симметрии – прямая, параллельная оси Oz и проходящая через точку (–1, 1, 2).

2) Поскольку

то заданное уравнение равносильно уравнению

или что приводит окончательно к уравнению гиперболического параболоида смещенного в точку (–1, 0, 1).

3) Выделяем полные квадраты в выражении, стоящем в левой части уравнения:

Поэтому заданное уравнение принимает вид:

или (после деления на 36)

Это уравнение эллипсоида с центром в точке (3, – 1, 2).

4. Методом выделения полных квадратов уравнение приводится к уравнению

т. е.

Почленное деление на 36 дает:

Это уравнение эллиптического цилиндра, смещенного в точку
(–2, 5, 0).

Пример 2. Исследовать поверхность методом сечений и построить ее:

Решение. Для исследования геометрических свойств и формы поверхности используем метод сечений.

Определим сечение поверхности плоскостями где параллельными координатной плоскости Oxy:

Очевидно, что это кривые, проекции которых на ось Oxy задаются уравнением

(15.23)

Уравнение (15.23) при не имеет решений относительно Это означает, что соответствующее сечение есть пустое множество точек, а значит, рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости При уравнение (15.23) определяет эллипс

с полуосями и вырождающийся в точку (0, 0, 1) при Заметим, что все эллипсы, которые получаются в сечениях поверхности плоскостями подобны между собой, причем с уменьшением h их полуоси неограниченно монотонно возрастают.

Дальнейшее уточнение формы можно получить, рассматривая сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz:

В первом случае имеем кривую т. е. параболу с параметром вершиной в точке и ветвями, направленными в отрицательную сторону оси Oz. Во втором – параболу с параметром вершиной в точке и аналогичным направлением ветвей.

Выполненное исследование позволяет построить заданную поверхность (рис. 15.10). Это эллиптический параболоид с вершиной в точке (0, 0, 1), направленный в сторону убывания значений z с осью симметрии Oz.

Пример 3. Построить тело, ограниченное поверхностями

Решение. Уравнение задает плоскость. Перейдя к уравнению плоскости «в отрезках», получим:

т. е. плоскость пересекает координатные оси в точках (3, 0, 0), (0, 3, 0) и (0, 0, 3) соответственно.

Уравнение задает круговой цилиндр, осью которого служит Oz. Уравнение определяет координатную плоскость Oxy.

Сделаем рисунок тела (рис. 15.11, 15.12), ограниченного заданными поверхностями.

источники:

http://www.chem-astu.ru/chair/study/algebra-geometry/?p=228

http://helpiks.org/5-43182.html