Исследовательская работа методы решения систем уравнений

Исследование различных методов решения систем уравнений

Решение систем уравнений важно не только в плане содержания курса математики; они используются в физике, химии, при решении технических, инженерных задач, при работе с моделями экономических, социальных, биологических и прочих явлений и процессов. По статистике, представленной на сайте Федерального института педагогических измерений решили систему уравнений (задание № 21) на 2 балла 24%, на 1 балл – 35% обучающихся. Остальные не справились с этим заданием.

Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают трудности при решении систем уравнений. Я учусь в 9 классе и мне хотелось бы набрать хорошие баллы по математике на ОГЭ. Поэтому мы решили проанализировать методы решения задач систем уравнений, и нами была выдвинута гипотеза: если ученик будет владеть несколькими методами решения систем уравнений, то он сможет при решении системы выбрать наиболее рациональный метод.

Цель: исследовать различные методы решения систем уравнений.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал по данной теме.

2. Изучить метод Крамера для решения систем уравнений.

3. Сравнить различные методы решения систем уравнений.

4. Проверить экспериментальным путем, какой метод решения систем уравнений наиболее рациональный.

Методы исследование: опрос, анкетирование, анализ, сравнение и обобщение результатов.

Вывод: графический метод решения систем уравнений красив, но ненадёжен. Во -первых, потому, что графики уравнений мы сумеем построить далеко не всегда. Во-вторых, даже если графики уравнений удалось построить, точки пересечения могут быть не такими «хорошими». По нашему мнению, учащийся должен владеть несколькими методами решения систем уравнений, для того чтобы не только воспользоваться самым рациональным, но и для проверки точности вычисления.

Научно-исследовательские работы

Работы: Учебный год: Сортировка:

Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными

В работе представлены три способа решения систем линейных уравнений с тремя неизвестными: по методу Крамера (с помощью определителей); матричным методом; методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестного).

Решение систем линейных уравнений. Правило Крамера

В работе рассмотрены: определители; правило Крамера; исследование и решение систем линейных уравненений.

Решение систем уравнений

Работа, посвященная анализу способов и методов решения систем уравнений по учебникам А.Г. Мордковича «Алгебра 7 и 9 кл.» весьма актуальна и познавательна. Она содержит теоретический материал, раскрывающий главные аспекты этой достаточно непростой для учащихся темы. Приведенные автором примеры и четко составленные алгоритмы позволяют углубить знания учащихся по этой теме.

Решение систем уравнений

В работе на главной странице сайта дана гиперссылка на презентацию, в которой изложены методы решения систем уравнений. Также на сайте расположена проверочная работа в трех вариантах.

Решение систем уравнений графически

В данной работе подробно рассматриваются графические методы решения систем уравнений.

Решение систем уравнений графическим способом.

В работе показан графический способ решения систем нелинейных уравнений.

Решение систем уравнений методом Крамера, методом Гаусса, матричным способом

В работе изложена теория систем линейных уравнений, показано
решение систем линейных уравнений методом матриц, Крамера, Гаусса, а также применение их при решении задач прикладного характера.

Решение сложных геометрических задач

Проект содержит решение задач на треугольники, трапеции, многоугольники, окружность.

Решение сложных геометрических задач на построение методом спрямления

На уроках геометрии учащиеся решают задачи вычислительного характера, задачи на доказательство, на построение. Среди них лучше всего развивают логическое мышление школьников задачи на построение. В представленной работе рассматривается применение метода спрямления для решения таких задач. Основные цели работы: развитие пространственных представлений, развитие познавательного интереса.

Решение старинных задач

В данной работе рассматривается решение старинных задач разными способами: составлением линейных квадратных уравнений, систем уравнений, а также с помощью пропорций и формул сохраненного умножения.

Решение старинных задач различными способами

Не зная прошлого, невозможно понять подлинный смысл настоящего и цель будущего. Это относится и к математике. В данной работе рассматриваются старинные задачи различных народов и эпох и решение их всевозможными способами.

Решение старинных задач с помощью квадратных уравнений

В работе представлен раздел «Из истории решения квадратных уравнений», а также рассмотрены старинные задачи, решаемые с помощью составления квадратных уравнений.

Решение стереометрических задач на нахождение угла между прямыми

Решение стереометрических задач всегда вызывает затруднение. В КИМах ЕГЭ-2010 во второй части часто встречаются задачи на нахождение угла между прямыми или косинуса этого угла. Поскольку прямые не имеют общих точек, то достаточно сложно иногда определить, где находится угол между прямыми. Для определения нужного угла прямые необходимо «сблизить», т.е. либо одну из них, либо обе заменить параллельными им прямыми.

В работе на примерах показано, как можно решать такие задачи.

Решение текстовых задач

Тема «Методы решения текстовых задач» выбрана для того, чтобы научиться анализировать их решения. В работе рассматриваются общие методы анализа и поиска решения, а также методы решения некоторых видов нестандартных задач.

Решение текстовых задач (В-12 ЕГЭ)

В своей работе мы предлагаем возможные варианты решения некоторых текстовых задач В-12, взятых из тренировочных работ для подготовки к ЕГЭ по математике в 2011 году. Работа содержит 4 раздела: задачи на движение по воде, задачи на движение по суше, задачи на совместную работу и задачи на смеси. Поскольку решение текстовых задач всегда вызывает затруднение у учеников, мы надеемся, что наша работа окажет помощь и ученикам, и учителям при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике.

Решение текстовых задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в ВУЗы по математике

В работе представлены решения задач на проценты, предлагавшиеся на вступительных экзаменах по математике в ВУЗы.

Решение треугольников

В работе рассмотрены практические задачи, которые сводятся к решению треугольника.

Решение треугольников

Работа поможет учащимся закрепить знания, умения и навыки по теме «Решение треугольников». Учителя могут использовать презентацию на уроках геометрии.

Решение тригонометрических задач геометрическим методом

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный путь бывает далеко не самым удачным. В работе рассматриваются «наиболее простые», оригинальные пути решения тригонометрических уравнений, так как умение решать задачу различными способами является одним из принципов хорошей математической подготовки.

Решение тригонометрических задач со сложным аргументом

Объект исследования — тригонометрические уравнения и неравенства со сложной функциональной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. В работе рассмотрены задачи разного уровня сложности; методы решения задач такого типа; указаны основные направления, по которым следует идти при решении тригонометрических уравнений и неравенств со сложным аргументом.

Решение тригонометрических неравенств

В материале представлено осмысление приемов решения тригонометрических неравенств, их систем и совокупностей.

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов

В работе приводится подробная схема метода интервалов, на конкретных примерах раскрывается суть метода интервалов применительно к решению неравенств, содержащих тригонометрические функции.

Решение тригонометрических уравнений

В работе рассмотрены различные способы и методы решения тригонометрических уравнений. Данный материал может быть интересен не только выпускникам средних учебных заведений в плане подготовки к ЕГЭ по математике. Ценность его состоит еще и в том, что решение тригонометрических уравнений имеет колоссальное практическое применение во многих отраслях современной науки. Учитель математики может использовать отдельные части работы в качестве раздаточного материала на уроках математики.

Решение уравнений 3-й степени

В работе рассматриваются различные способы решения уравнений 3-ей степени. Школьный учебник знакомит нас только с графическим способом решения и способом группировки. В ходе работы рассмотрены решения уравнений, выходящие за рамки школьной программы. Работа также знакомит с историей решения уравнения 3-й степени. Представленный материал можно использовать в качестве справочного при подготовке к ЕГЭ.

Решение уравнений n-й степени, где n>2

Решение уравнений высоких степеней с помощью теоремы Безу. Использованные методы: подбор корня многочлена по его старшему и свободному члену, метод понижения степени, замена переменных. Приведены также примеры решение уравнений специального вида с использованием вышеперечисленных методов.

Решение уравнений в 5-м классе

В работе приведены исторические сведения о методах решения уравнений; виды и способы решения уравнений, применяемые при решении задач в 5-м классе. В работу включён сборник уравнений и задач. Уравнения подобраны от простейших одношаговых – к более сложным.

Решение уравнений в 6-м классе

Изучая тему «Решение уравнений», учащиеся 6-го класса испытывают трудности в переносе слагаемых из одной части уравнения в другую. Данная компьютерная презентация предлагает технологию решения уравнений, когда обе части уравнения содержат неизвестные слагаемые; может применяться как учителем вместо иллюстрированных плакатов при объяснении нового материала так и учениками при самостоятельной подготовке к урокам.

Решение уравнений в целых числах

В работе рассматриваются разнообразные уравнения с целочисленными неизвестными и способы их решения, а также задачи практического содержания, в которых неизвестные принимают только целые значения. Материал данной работы выходит за рамки школьной программы. Учителя математики могут использовать материал на элективных курсах.

Решение уравнений в целых числах

Окружающий мир, потребности народного хозяйства, а зачастую и повседневные хлопоты ставят перед человеком все новые и новые задачи, решение которых не всегда очевидно. Порою тот или иной вопрос имеет под собой множество вариантов ответа, из-за чего происходят затруднения в решении поставленных задач. Как выбрать правильный и оптимальный вариант? С этим же вопросом напрямую связано решение уравнений в целых числах.

Решение уравнений в целых числах

Автор знакомит с алгоритмом решения диофантовых уравнений и областью их применения. Систематизирует теоретические сведения о диофантовых уравнениях.

Исследовательская работа методы решения систем уравнений

Главная
• Список секций
• Математика
• РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных алгебраических уравнений. Значение систем определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г. Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить так называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория векторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. На уроках алгебры мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический.

Я решил узнать, какие еще существуют методы нахождения решений систем линейных алгебраических уравнений.

Целью работы является изучение различных способов решения систем линейных алгебраических уравнений для применения их на практике.

Актуальность заключается в том, что системы линейных алгебраических уравнений – это математический аппарат, который имеет широкое применение в решении многих задач практического приложения математики.

Задачи:

Изучить литературу по методам решения систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотреть способы решения систем линейных алгебраических уравнений различными методами.

Показать применение систем линейных алгебраических уравнений на практике.

Разработать компьютерную программу, которая на основе введённых числовых коэффициентов находит решение системы линейных уравнений.

Сделать вывод о проделанной работе.

II Основная часть2.1 Определение системы линейных алгебраических уравнений. Классификация систем

Под системой линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) подразумевают систему

x_1, х₂,…. хn- неизвестные переменные, а_ij, i = 1,2. p, j = 1,2,…,n — коэффициенты, b₁,b₂. bp – свободные члены. [2]

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных x₁ = a₁, x₂ = a₂,…, xn = an, обращающий все уравнения системы в тождества.

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю b₁ = b₂ = … = bn = 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель ее основной матрицы не равен нулю, то такие СЛАУ будем называть элементарными. Такие системы уравнений имеют единственное решение, причем в случае однородной системы все неизвестные переменные равны нулю.

Такие СЛАУ мы начинали изучать в средней школе. При их решении мы брали какое-нибудь одно уравнение, выражали одну неизвестную переменную через другие и подставляли ее в оставшиеся уравнения, затем брали следующее уравнение, выражали следующую неизвестную переменную и подставляли в другие уравнения и так далее. Или пользовались методом сложения, то есть, складывали два или более уравнений, чтобы исключить некоторые неизвестные переменные. Не будем подробно останавливаться на этих методах, так как они по сути являются модификациями метода Гаусса.

Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса.

2.2 Матрицы и действия над ними. Алгебра матриц

Матрица размерами m × n – совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А)

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент. В общем виде матрицы записываются в следующем виде:

Матрица A , имеющая i строк и j столбцов, называется матрицей размера i на j и обозначается A_ixj.

Элемент a_ij матрицы A = ij> стоит на пересечении i — ой строки и j — го столбца.

Если i = j, то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) – её порядком.

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = ij> и В = ij> одинакового типа называются равными, если a_ij = b_ij при всех i и j. [3]

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы а_ij = 0, – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ, а элементы квадратной матрицы порядка n,сумма индексов каждого из которых равна n+1, – побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:

Диагональная матрица является частным случаем треугольной.

Транспонированием матрицы A=ij> называется операция, результатом которой является матрица A T = ji>.

Таким образом, если

Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка m´n, и a_{ij= bij},

где i = 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:

Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Свойства умножения матрицы на число:

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ R;

Сумма (разность) матриц.

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка m´n.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С того же порядка, где c_ij = a_ij± b_ij(i = 1,2,3…m; j = 1,2,3…n).

Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:

1) коммутативность А+В=В+А;

2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);

3) дистрибутивность к умножению на число λR: λ(А+В) = λА+λВ;

4) 0+А=А, где 0 – нулевая матрица;

5) А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А;

Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.

Произведением двух согласованных матриц A_mxn, а B_nxm, где

называется матрица С порядка m´k: С_mnx= A_mnx ∙ B_mnx, элементы которой вычисляются по формуле:

то есть элемент c_ij i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.

Рассмотрим свойства произведения матриц:

1) не коммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).

2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.

4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.

5) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:

6) дистрибутивность относительно сложения:

(А+В)∙С = АС + ВС, А∙(В + С)=АВ + АС.

8) λ(АּВ) = (λА)ּ В = Аּ (λВ), λR.

2.3 Определители квадратной матрицы и их свойства

Пусть А – квадратная матрица порядка n:

Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое

Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определителем второго порядкаматрицы А_2х2 называется число, определяемое по правилу:

т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Из определения определителя второго порядка следуют его свойства:

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :

так как по свойству 5.

Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.

Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьего порядкаквадратной матрицы называется число

т. е. каждое слагаемое в формуле представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников и правило Саррюса.

Схематически правило треугольника можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся cо знаком «минус».

Правило Саррюса: справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»: [7]

Примеры расчета определителя с помощью правила Сюрраса и методом треугольников разобраны в Приложении 1.

Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.

Рассмотрим еще два очень важных свойства определителей.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент.[5] Обозначают минор элемента α_ij через M_ij.

Пример. Тогда, например

Алгебраическим дополнением элемента α_ijопределителя |A| называется его минор M_ij, взятый со знаком (-1) i+j . Алгебраическое дополнение будем обозначать A_ij, то есть

Таким образом, мы получаем восьмое свойство определителя:

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).

Заметим, что данное свойство определителя есть не что иное, как определение определителя любого порядка. На практике его используют для вычисления определителя любого порядка. Как правило, прежде чем вычислять определитель, используя свойства 1 – 7, добиваются того, если это возможно, чтобы в какой-либо строке (столбце) были равны нулю все элементы, кроме одного, а затем раскладывают по элементам строки (столбца).

Девятое свойство определителя носит название теорема аннулирования:

сумма всех произведений элементов одной строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть

Примеры вычислений определителя с помощью теоремы Лапласа и теоремы аннулирования представлены в Приложении 2 и Приложении 3 соответственно.

2.4 Обратная матрица

В теории чисел наряду с числом α определяют число, противоположное ему (-α) такое, что α +(- α ) = 0, и число, обратное ему , что .

Аналогично, в теории матриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение (– А).

Обратной матрицейдля квадратной матрицы А порядка n называется матрица , если выполняются равенства

Где Е – единичная матрица порядка n.

Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.

Квадратная матрица называется невырожденной(неособенной), если det A ≠ 0. Если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной(особенной).

Невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу А -1 .

Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е. , следовательно, произведение двух невырожденных матриц АВ есть невырожденная матрица.[4]

Определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:

1) для данной матрицы А ее обратная матрица А -1 является единственной;

2) если существует обратная матрица А -1 , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;

3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.

Основные свойства обратной матрицы:

1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;

2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

2.5 Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: , где

Будем предполагать, что основная матрица A невырожденная. Тогда существует обратная матрица A -1 . Помножив матричное уравнение на матрицу A -1 , получим формулу, на которой основан матричный метод решения систем линейных уравнений:

Пример.Решить систему линейных уравнений матричным методом.

Задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными , где

Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку её определитель отличен от нуля:

Обратную матрицу A -1 составим одним из методов, описанных выше:

По формуле матричного метода решения систем линейных уравнений получим

Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля.[9] Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

2.6 МетодКрамера

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

где x₁, x₂, …, xn – неизвестные переменные, a_{i j} , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b₁, b₂, …, bn — свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x₁, x₂, …, xn, при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как, где

— основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, — матрица – столбец свободных членов, а — матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x₁, x₂, …, xn, матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество A ⋅ X = B.

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x₁. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А₁₁ , обе части второго уравнения – на А₂₁ , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А_n1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, xn, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

Аналогично находим x₂. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А:

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, xn и применяем свойства определителя:

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера

Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть b₁=b₂=…=bn=0, то она имеет лишь тривиальное решение =x₂=…=xn=0 (при |A|≠0). Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы дадут x₁=x₂=…=xn=0 .

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Вычисляем определитель основной матрицы системы

и убеждаемся, что он отличен от нуля.

которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.

Выполняем проверку результатов, подставляя x₁, x₂, …, xn в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.

Пример решения системы уравнений методом Крамера представлен в Приложении 4.

2.7 Метод Гаусса

Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с nнеизвестными переменными вида

и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.

Будем считать, что α₁₁≠0, так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на — , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на — , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на -. Система уравнений после таких преобразований примет вид

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x₁ через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x₁ исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы

Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x₂ из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений примет вид

Таким образом, переменная x₂ исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как , с помощью полученного значения xn находим x_n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x₁ из первого уравнения.

При использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений следует избегать приближенных вычислений, так как это может привести к абсолютно неверным результатам.[8]

Решение системы уравнений методом Гаусса представлено в Приложении 5.

Системы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений.[1]

Метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения (или одно единственное решение).[7]

На определенном этапе исключения неизвестных переменных некоторые уравнения системы могут обратиться в тождества . Это говорит о том, что такие уравнения излишни, то есть, их можно смело убрать из системы уравнений и продолжить прямой ход метода Гаусса.

При проведении прямого хода метода Гаусса одно (или несколько) уравнений системы могут принять вид , где λ — некоторое число, отличное от нуля. Это говорит о том, что уравнение, которое обратилось в равенство , не может обратиться в тождество ни при каких значениях неизвестных переменных. Другими словами, система линейных алгебраических уравнений в этом случае несовместна (не имеет решения). Наиболее часто такие ситуации встречаются, когда число уравнений в системе больше числа неизвестных переменных.

Предположим, что мы выполняем прямой ход метода Гаусса, и мы подошли к моменту исключения неизвестной переменной x_k, а на каком-то предыдущем i-ом шаге (i z then