Итак сейчас ты умеешь решать тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения — Часть 1

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.

Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.

Уравнения cosx = a и sinx = a

Напомним, что cos x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin x — её ордината

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cosx = a и sinx = a имеют решения только при условии . Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или cosx = −7 решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, −2π, 4π, −4π, 6π, −6π, . . . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой −1:

Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:

И записываем ответ:

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

Это — дело исключительно вашего вкуса.

Заодно сделаем первое полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Эти точки соответствуют углам 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов π (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа углов π (полуоборотов):

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить πn.

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ±1). Начинаем с косинуса.

7.

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе серии решений можно описать одной формулой:

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

8.

9.

10.

11.

12.

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

13.

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :

Углы, отвечающие правой точке:

Углы, отвечающие левой точке:

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то

Мы получили первую серию решений x₁. А если k нечётно, k = 2n + 1, то

Это вторая серия x₂.

Обратим внимание, что в качестве множителя при (−1) k обычно ставится правая точка, в данном случае .

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

14.

15.

16.

17.

18.

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:

Но поэтому

Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.

Уравнение tg x = a

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.

19.

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

20.

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

21.

22.

23.

24.

25.

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение ctg x = a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:

• уравнение ctg x = 0 равносильно уравнению cos x = 0;

• при уравнение равносильно уравнению

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.

Итак сейчас ты умеешь решать тригонометрические уравнения

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Урок «Простейшие тригонометрические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока « Простейшие тригонометрические уравнения»

Преподаватель: Жукова Наталья Владимировна

Время проведения занятия : 90 минут ( 2 урока по 45 минут)

Цель урока: формирование представления о простейших тригонометрических уравнениях

Формировать умения распознавать типы тригонометрических уравнений.

Совершенствовать умение при выполнении действия с использованием свойств обратных тригонометрических функций

Способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенного мышления.

Воспитывать культуру поведения при фронтальной и индивидуальной работе, формирование положительной мотивации.

способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

умение определять и формулировать цель на уроке с помощью преподавателя;

проговаривать последовательность действий на уроке;

работать по коллективно составленному плану;

оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок;

высказывать своё предположение.

умение оформлять свои мысли в устной форме;

слушать и понимать речь других;

совместно договариваться о правилах поведения и общения на уроке

умение ориентироваться в своей системе знаний;

отличать новое от уже известного с помощью преподавателя;

добывать новые знания; находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Тип урока: открытия новых знаний

Форма обучения: проблемное обучение

Обеспечение урока: учебник М.И.Башмаков «Математика: алгебра, начало математического анализа; геометрия», 2016г. ; проектор; раздаточный материал (карты исследования; карточки с заданиями; индивидуальные листы; сигнальные кружки); презентация.

1. Мотивация к учебной деятельности

3. Целеполагание и мотивация

4. Построение проекта

5. Реализация проекта

6. Первичное закрепление

7. Самостоятельная работа

8. Подведение итогов. Задание на дом

Деятельность и действия преподавателя

Деятельность и действия студента (ов)

методы, приемы, формы

1. Мотивация к учебной деятельности

Организует актуализацию требований к студенту со стороны учебной деятельности. Создает положительный настрой на продуктивную работу.

Определяет тематические рамки урока

Визуальный контроль готовности кабинета и рабочего места к уроку.

Включаются во взаимодействие

Личностные: самоопределение. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с преподавателем и сверстниками.

Готовность студентов к обучению.

Подготавливает мышление студентов и организует понимание ими собственной потребности к формированию новой модели действий.

Проводит фронтальный опрос с помощью игры «Светофор»

Активизирует мыслительные операции и познавательные процессы тестированием с взаимопроверкой

Быстро реагируют и

отвечают на поставленные вопросы

Выполняют тестирование по основным понятиям тригонометрии.

Проверяют работу соседа по парте. Сверяют ответы с ответами на доске.

Регулятивные уметь оценивать правильность своих действий

Познавательные: Уметь преобразовывать информацию из одной формы в другую.

Уметь оформлять свои мысли в устной форме.

Уметь анализировать данные.

Готовность учащихся к обучению

3.Целеполагание и мотивация

Вводит в тему. Создает проблемную ситуацию

Делают выводы о недостатке знаний по теме. Формулируют тему урока и свою цель.

Уметь проговаривать последовательность действий на уроке, принимать решение в проблемной ситуации.

Уметь сформулировать тему и цель

4. Построение проекта

Разбивает на 4 группы. Каждой определяет вид уравнения и поясняет порядок действий.

Формируют рабочие группы. Работают на опорными конспектами. Ищут информацию. Консультируются у преподавателя.

Уметь проговаривать последовательность действий на уроке, принимать решение в проблемной ситуации.

Уметь самостоятельно сформулировать новые понятия.

5. Реализация проекта

Организует выступления студентов с докладами о проделанной работе перед группой.

Предлагает обобщить знания в таблицу.

Внимательно слушают и фиксируют опорный конспект в своей тетради. Критично оценивают работу. Задают вопросы. Оценивают работу группы.

работа с текстом

Уметь проговаривать последовательность действий на уроке; высказывать своё предположение, оценивать правильность выполнения действия.

Уметь оформлять мысли в устной и письменной форме, учитывать разные мнения, спорить и отстаивать свою позицию

Регулятивные : Адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действия.

Уметь самостоятельно сформулировать новые понятия.

Уметь находить ошибки

Уметь пользоваться формулами корней тригонометрических уравнений.

Уметь определять частные случаи

Организует и контролирует выполнения студентами заданий на разные типы простейших уравнений.

Решают каждый тип заданий по кругу. Контроль производит представитель из группы, отвечающей за данный тип уравнений.

Уметь прогнозировать последовательность действий на уроке.

Уметь выполнять работу по предложенному плану. Уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок

Умение к сотрудничеству.

Уметь составлять алгоритм своих действий при решении уравнений

7. Самостоятельная работа

Организует самостоятельную деятельность студентов с цель выявления уровня усвоения новой темы

Выполняют самостоятельно работу с взаимопроверкой.

Уметь выполнять работу по предложенному плану.

Уметь составлять алгоритм своих действий при решении уравнений

Уметь правильно выбирать методы решения простейших тригонометрических уравнений

8. Подведение итогов.

Подводит итог занятия.

Оценивает работу студентов.

Задает домашнее задание.

Записывают домашнее задание.

Уметь выполнять работу по предложенному плану. Уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок.

Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Уметь самостоятельно р ешать простейшие тригонометрические уравнения

Уметь проводить самоконтроль.

Отвечают на вопросы.

Высказывают своё мнение.

Оценивают свою работу на уроке.

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

Анализ конкретных результатов обучения:

-какие получены достижения;

-что было удачным на уроке, а что менее удачным;

-объяснение причины своих неудач.

1.Мотивация к учебной деятельности:

-Ребята! Я рада видеть вас сегодня на уроке! Посмотрите друг на друга, улыбнитесь и с хорошим настроением приступим к занятию.

Мы продолжаем изучать «Тригонометрию» и тема занятия будет также связана с этим разделом. Тему занятия вы сформулируете позже. А для дальнейшего изучения мы вспомним основные понятия, которые нам пригодятся при изучении сегодняшней темы.

2.Актуализация: Проводится фронтальный опрос с применением презентации. На доске появляются вопросы, которые так же озвучивает преподаватель.

Преподаватель: У вас на столе кружки трех цветов (красный-«нет»: зеленый – «да»; желтый –«не знаю»). Отвечая на вопрос, вы поднимаете тот или другой кружок. Фиксируем правильность ответов ( за верный- 1 балл)

7. Период функций y = sinx , y = cosx равен (да)

8. Период функций y = tgx , y = ctgx равен (да)

Преподаватель: Вы молодцы! Посчитайте количество баллов за верные ответы. Запишите на полях.

Теперь мы проверим вашу подготовку к уроку, выполнив тест .

Тест по вариантам со взаимопроверкой. Проверяющий выставляет оценку за работу. Ответы и критерии оценивания на доске.

3.Целеполагание и мотивация:

Преподаватель: Ребята! У вас на столах лежат листы с таблицей. В таблице указана информация. Отметьте в таблице, что вам уже знакомо и с чем бы вы справились.

Преподаватель: Есть ли студенты, у которых нет затруднений по всем вопросам? Кто столкнулся с неизвестным? Кто имеет представление, но не знает как решать? Не уверен, что хватит знаний?

Студенты на вопросы преподавателя поднимают руки, высказываются, делают предположения о возможных решениях.

Если есть желающие, то выходят к доске и демонстрируют решение. Делают вывод с помощью преподавателя, что таких решений много и надо записать все.

Преподаватель: Ребята! Исходя из того , что мы сейчас рассмотрели, какая будет тема нашего урока? Какую вы себе поставили цель? ( заслушать высказывания)

Записываем тему урока .

Преподаватель: Как вы думаете, сколько видов тригонометрических уравнений? Поэтому мы создадим 4 исследовательские группы, которые будут отвечать за определенный тип уравнений.

Каждая группа получает дорожную карту, по которой будет находить решение простейшего уравнения. Вы можете пользоваться учебником, интернетом, консультироваться с преподавателем. В итоге составляете отчет , о том каким методом решать данный тип уравнений и докладываете его остальным. В конце карты имеются задания, которые необходимо решить в группе.

Итак, поднимите руку, кто получил по опросу от 8 до 10 баллов и за тест 5.

Выбираем 4 человека из сильнейших. Это капитаны групп. Капитаны выбирают себе команду. В группе по 5-6 человек. Сдвигают по 2 парты. Рассаживаются. Капитаны по жребию определяются , с каким типом уравнения будут работать группы.

Приступают к работе. Приложение №1.

Преподаватель: Итак, все группы закончили работу. Теперь предоставят свои исследования по каждому типу уравнений. Остальные внимательно слушают, задают вопросы.

После всех выступлений заполняем таблицу ( фронтально)

Таблица решения простейших тригонометрических уравнений

6.Первичное закрепление: Преподаватель: Каждой группе необходимо решить простейшие уравнения не своего типа. По завершению работы, представитель группы соответствующего типа уравнения проверяет правильность выполнения. Дает оценку действиям.

Итак по кругу пока не вернется ваше исходное задание в группу. Таким образом, все группы выполнят решение всех типов уравнений.

Студенты выполняют работу. Преподаватель наблюдает и контролирует процесс.

Преподаватель: Настало время проверить, как и на сколько вы отнеслись серьезно к работе, как вы усвоили материал.

Выполняем самостоятельную работу на 8 минут. Затем обменяемся тетрадями и выполним взаимопроверку (ответы на доске через проектор). Поставим оценки.

8. Подведение итогов. Задание на дом

Преподаватель: Итак, подведем итоги нашего занятия. Просуммируйте свои баллы за каждый этап работы и оцените себя, использовав критерии, которые вы видите на доске.

Студенты подсчитывают свои баллы. Ставят оценки. В журнал оценки выставить по желанию.

Запишите задание на дом: 1.Выучить формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

2.Выполнить упражнения из учебника М.И.Башмаков «Математика» стр.120 №10(1,2,3)

Творческое задание: Придумайте несколько способов решения уравнения

Преподаватель: Вернемся к нашим листам, где вы отмечали знакомое и не очень. Посмотрите ещё раз. Внесите дополнения. Мне очень важно знать эту информацию. Сдайте пожалуйста эти листы.А теперь я хочу услышать ваше мнение о занятии:

— Было ли занятие для вас интересное?

– Какую цель вы поставили в начале урока?

– Вы достигли цели урока?

— Вы довольны своей работой?

— Что мешало вам достичь большего?

Не расстраивайтесь, если что-то не получилось. Обратите внимание на это и поработайте дома. Я всех благодарю за работу!

И наше занятие завершим словами: Пусть станет невозможное – возможным.

Пусть станет ближе всё, что далеко.

И пусть всё то, что кажется так сложно, Решается красиво и легко!

Данное уравнение имеет смысл, если число a принимает значения……

1.Отметьте на рисунке значения синуса числового аргумента

2.Запишите какие значения может принимать синус числового

3.Тригонометрическое уравнение sinx = a имеет решение при a …

4.Отметьте на числовой окружности точки, синус которых равен a .

Определите значения этих точек:

5.Укажите период повторения этих точек:

6.Найдите формулу корней уравнения sinx = a :

7.Отметьте на числовой окружности значения синуса числового аргумента, равные -1; 0;1.

Определите значения радиан, соответствующие этим значениям.

Как называются такие случаи……

1. sinx= ; 2. ; 3. Sinx= ; 4. Sin2x=1 ; 5. sin ; 6. ; 7.

Данное уравнение имеет смысл, если число a принимает значения……

1.Отметьте на рисунке значения косинуса числового аргумента

2.Запишите какие значения может принимать косинус числового

3.Тригонометрическое уравнение cosx = a имеет решение при a …

4.Отметьте на числовой окружности точки, косинус которых равен a .

Определите значения этих точек:

5.Укажите период повторения этих точек:

6.Найдите формулу корней уравнения cosx = a :

7.Отметьте на числовой окружности значения косинуса числового аргумента, равные -1; 0;1.

Определите значения радиан, соответствующие этим значениям.

Как называются такие случаи……

1. cosx= ; 2. ; 3. cosx= ; 4. cos2x=1 ; 5.cos ; 6. ; 7.

Данное уравнение имеет смысл, если число a принимает значения……

1.Отметьте на рисунке ось значений тангесов числового аргумента

2.Запишите какие значения может принимать тангес числового

3.Тригонометрическое уравнение tgx = a имеет решение при a …

4.Отметьте на числовой окружности точки, тангенс которых равен a .

Определите значения этих точек:

5.Укажите период повторения этих точек:

6.Найдите формулу корней уравнения tgx = a :

1. tgx= 1 ; 2. ; 3. tgx= ; 4. tg2x=-1 ; 5. tg ; 6. ; 7.