Метод итераций
Правила ввода функции
- Примеры
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).
Достаточные условия сходимости метода итерации
Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:
- Получить шаблон с омощью этого сервиса.
- Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
- Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).
Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .
Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
В данной статье мы расскажем общие сведения об итерационных методах решения СЛАУ, познакомим с методом Зейделя и Якоби, а также приведем примеры решения систем линейных уравнений при помощи данных методов.
Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации
Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.
Суть: нахождение по приближённому значению величины следующего приближения, которое является более точным. Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x 0 .
Рассмотрим систему A x = b .
Чтобы применить итерационный метод, необходимо привести систему к эквивалентному виду x = B x + d . Затем выбираем начальное приближение к решению СЛАУ x ( 0 ) = ( x 1 0 , x 2 0 , . . . x m 0 ) и находим последовательность приближений к корню.
Для сходимости итерационного процесса является достаточным заданное условие В 1 . Окончание итерации зависит от того, какой итерационный метод применили.
Метод Якоби
Метод Якоби — один из наиболее простых методов приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации: из 1-го уравнения матрицы выражаем неизвестное x 1 , из 2-го выражаем неизвестное x 2 и т.д.
Результатом служит матрица В , в которой на главной диагонали находятся нулевые элементы, а все остальные вычисляются по формуле:
b i j = — a i j / a i i , i , j = 1 , 2 . . . , n
Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:
d i = b i / a i i , i = 1 , 2 , . . . , n
Расчетная формула метода простой итерации:
x ( n + 1 ) = B x ( x ) + d
Матричная запись (координатная):
x i ( n + 1 ) = b i 1 x n 1 + b i 2 x ( n ) 2 + . . . + b
Критерий окончания в методе Якоби:
x ( n + 1 ) — x ( n ) ε 1 , где ε 1 = 1 — B B ε
В случае если B 1 / 2 , то можно применить более простой критерий окончания итераций:
x ( n + 1 ) — x ( n ) ε
Решить СЛАУ методом Якоби:
10 x 1 + x 2 — x 3 = 11 x 1 + 10 x 2 — x 3 = 10 — x 1 + x 2 + 10 x 3 = 10
Необходимо решить систему с показателем точности ε = 10 — 3 .
Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:
x 1 = — 0 , 1 x 2 + 0 , 1 x 3 + 1 , 1 x 2 = — 0 , 1 x 1 + 0 , 1 x 3 + 1 x 3 = 0 , 1 x 1 — 0 , 1 x 2 + 1
Выбираем начальное приближение, например: x ( 0 ) = 1 , 1 1 1 — вектор правой части.
В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:
x 1 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 + 0 , 1 × 1 + 1 , 1 = 1 , 1 x 2 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 , 1 + 0 , 1 + 1 = 0 , 99 x 3 ( 1 ) = 0 , 1 × 1 , 1 — 0 , 1 × 1 + 1 = 1 , 01
Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:
x ( 2 ) = 1 , 102 0 , 991 1 , 011 , x ( 3 ) = 1 , 102 0 , 9909 1 , 0111 , x ( 4 ) = 1 , 10202 0 , 99091 1 , 01111
Находим норму матрицы В , для этого используем норму B ∞ .
Поскольку сумма модулей элементов в каждой строке равна 0,2, то B ∞ = 0 , 2 1 / 2 , поэтому можно вычислить критерий окончания итерации:
x ( n + 1 ) — x ( n ) ε
Далее вычисляем нормы разности векторов:
x ( 3 ) — x ( 2 ) ∞ = 0 , 002 , x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ = 0 , 00002 .
Поскольку x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ ε , то можно считать, что мы достигли заданной точности на 4-ой итерации.
x 1 = 1 , 102 ; x 2 = 0 , 991 ; x 3 = 1 ,01 1 .
Метод Зейделя
Метод Зейделя — метод является модификацией метода Якоби.
Суть: при вычислении очередного ( n + 1 ) — г о приближения к неизвестному x i при i > 1 используют уже найденные ( n + 1 ) — е приближения к неизвестным x 1 , x 2 , . . . , x i — 1 , а не n — о е приближение, как в методе Якоби.
x i ( n + 1 ) = b i 1 x 1 ( n + 1 ) + b i 2 x 2 ( n + 1 ) + . . . + b i , i — 1 x i — 2 ( n + 1 ) + b i , i + 1 x i + 1 ( n ) +
+ . . . + b i m x m ( n ) + d i
За условия сходимости и критерий окончания итераций можно принять такие же значения, как и в методе Якоби.
Решить СЛАУ методом Зейделя. Пусть матрица системы уравнений А — симметричная и положительно определенная. Следовательно, если выбрать начальное приближение, метод Зейделя сойдется. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы не накладывается.
Решим 3 системы уравнений:
2 x 1 + x 2 = 3 x 1 — 2 x 2 = 1 , x 1 + 2 x 2 = 3 2 x 1 — x 2 = 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1
Приведем системы к удобному для итерации виду:
x 1 ( n + 1 ) = — 0 , 5 x 2 ( n ) + 1 , 5 x 2 ( n + 1 ) = 0 , 5 x 1 ( n + 1 ) + 0 , 5 , x 1 ( n + 1 ) = — 2 x 2 ( n ) + 3 x 2 ( n + 1 ) = 2 x 1 ( n + 1 ) — 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1 .
Отличительная особенность, условие сходимости выполнено только для первой системы:
Вычисляем 3 первых приближения к каждому решению:
1-ая система: x ( 0 ) = 1 , 5 — 0 , 5 , x ( 1 ) = 1 , 75 0 , 375 , x ( 2 ) = 1 , 3125 0 , 1563 , x ( 3 ) = 1 , 4219 0 , 2109
Решение: x 1 = 1 , 4 , x 2 = 0 , 2 . Итерационный процесс сходится.
2-ая система: x ( 0 ) = 3 — 1 , x ( 1 ) = 5 9 , x ( 2 ) = — 15 — 31 , x ( 3 ) = 65 129
Итерационный процесс разошелся.
Решение: x 1 = 1 , x 2 = 2
3-я система: x ( 0 ) = 1 , 5 2 , x ( 1 ) = 2 — 6 , x ( 2 ) = 0 2 , x ( 3 ) = 0 2
Итерационный процесс зациклился.
Решение: x 1 = 1 , x 1 = 2
Метод простой итерации
Если А — симметричная и положительно определенная, то СЛАУ приводят к эквивалентному виду:
x = x — τ ( A x — b ) , τ — итерационный параметр.
Расчетная формула имеет следующий внешний вид:
x ( n + 1 ) = x ( n ) — τ ( A x n — b ) .
Здесь B = E — τ A и параметр τ > 0 выбирают таким образом, чтобы по возможности сделать максимальной величину B 2 .
Пусть λ m i n и λ m a x — максимальные и минимальные собственные значения матрицы А .
τ = 2 / ( λ m i n + λ m a x ) — оптимальный выбор параметра. В этом случае B 2 принимает минимальное значение, которое равняется ( λ m i n + λ m a x ) / ( λ m i n — λ m a x ) .
Итерационные методы решения систем уравнений установившегося режима
Общая характеристика методов
Методы решения систем уравнений — прямые (точные) и итерационные (приближенные). Прямые применяются для решения систем линейных урав-нений, итерационные — для решения систем линейных и нелинейных уравне-ний.
Нелинейные уравнения установившегося режима формируются, если в узлах сети задана постоянная мощность(нагрузка или генерация).
Суть итерационных методов: задается некоторое начальное прибли-жение неизвестных U (0) , которое постепенно уточняется в ходе выполнения ряда однотипных шагов вычислений (итераций). Если итерационный про-цесс сходится, то получаем искомое решение U (*) с заданной точностью.
Итерациями называются многократно повторяющиеся однотипные ша-ги вычислений.
Основные характеристики итерационных методов:
1. Условия сходимости к решению, при которых происходит приближе-ние к искомому решению U (*) , либо удаление от него;
2. Скорость сходимости. Характеризуется количеством итераций n, необ-ходимых для достижения решения с заданной точностью, или законом изменения вектора погрешности при переходе от итерации к итерации;
2.3. Характер сходимости. Сходимость – апе-риодическая или колебательная.
Возможно влияние на скорость сходимос-ти за счет введения дополнительных коэффици-ентов;
4. Необходимость хранения в памяти ЭВМ всех коэффициентов систем уравнений. Удобство программирования, простота алгоритмов и т.д.
Рассматриваем систему нелинейных уравнений установившегося режи-ма. В матричной форме она имеет вид:
(1)
В развернутой форме такая система уравнений может быть представлена в следующем виде:
(2)
Преобразуем систему (2) квиду, пригодному для решения ее итераци-онными методами. Для этого каждое уравнение системы решим относитель-но одной из неизвестных величин Ui:
(3)
Любое i-ое уравнение этой системы можно записать в общем виде:
(4)
Если задать начальные приближения неизвестных U (0) , подставить их в правую часть уравнений (4) и выполнить необходимые вычисления, опреде-лим следующее приближение неизвестных U (1) и т.д. Такая после-довательность действий соответствует методу простой итерации. Тогда (4) в итерационной форме:
(4а)
В матричной форме система (3) может быть записана следующим образом:
здесь — вектор неизвестных напряжений;
D — вектор свободных членов, ;
С — матрица коэффициентов при неизвестных, .
В итерационном виде система (5) принимает вид:
. (6)
Здесь к – номер приближения неизвестных.
Общий алгоритм итерационных методов решения СНАУ установившегося режима
1) Задание начальных приближений вектора неизвестных U (0) =Uном.
Как правило, в качестве начальных приближений напряжений задают номи-нальные напряжения узлов Uном.В некоторых случаях, в качестве начальных приближений напряжений принимают значения, полученные в предыдущих близких расчетах для данной схемы;
2) Задание точности расчета E, предельного количества итераций nпред.,
начального значения счетчика итераций к=0 и других параметров расчета;
3) Выполнение итерации в соответствии с формулой (6):
;
4) Контроль завершения итерационного процесса:
Если условие не выполняется, то изменяем счетчик итераций (к=к+1) и возвращаемся к пункту (3). Повторяем расчет при новых приближениях неизвестных.
Если условие выполняется для всех значений Ui, то итерационный процесс завершается, найденные на последней итерации приближения неизвестных U ( k +1) принимаются в качестве искомых значений с заданной точностью.
Итерационные методы дают последовательность приближенных значе-ний неизвестных, сходящуюся к точному решению. Это означает, что су-ществует предел последовательности:
(7)
здесь U (* ) — точное решение при .
Таким образом, точное решение может быть получено лишь в резуль-тате бесконечного итерационного процесса. Всякий вектор U ( k ) , полученный на к-ой итерации, является приближенным решением системы уравнений.
Вектор погрешности этого приближенного решения:
(8)
Так как точное решение U (*) заранее неизвестно, то о погрешности судят по разности значений на смежных итерациях (к+1) и к, то есть по вектору поправок:
(9)
Если для всех і, то итерационный процесс завершается.
Такой подход к контролю завершения итерационного процесса — не единственный и не очень надежный, так как возможно такое незначительное изменение приближений от итерации к итерации даже вдали от решения.
Более строгим и надежным способом контроля завершения итераци-онных процессов является контроль невязок уравнений. Невязка уравнения – разность между левой и правой частями уравнения. Её значение получаем при подстановке в уравнения системы (2) очередного приближения неиз-вестных. Например, для 1-го уравнения:
. (10)
Для УУР невязка уравнения соответствует расчетному небалансу тока (мощ-ности) в узле. При подстановке точных значений неизвестных U1 (*) ,U2 (*) ,…,Un (*) невязки будут равны нулю:
.
То есть если итерационный процесс сошелся, то невязки близки к нулю. И чем дальше приближение Ui ( k ) от точного решения, тем больше величина не-вязок. В общем случае вектор невязок можно определить:
(11)
Итерационный процесс сошелся, если выполняются условия завершения итерационного процесса:
(12)
Это условие является более надежным критерием окончания итерационного процесса.
Достаточным условием сходимости итерационного процесса для урав-нений установившегося режима является:
Т.о. условие сходимости определяется только соотношением элементов матрицы проводимостей Y . В ней диагональные элементы Уіі (собственные проводимости узлов) неравны нулю. Как правило, диагональные элементы матрицы проводимостей больше или равны суммы недиагональных элемен-тов. Т.е. при правильном формировании матрицы, это условие сходимости выполняется всегда.
Два вида сходимости итерационных процессов:
1. Экспоненциальный (апериодический):
Итерационный процесс может быть так же несходящимся (приб-лижения не приближаются и не удаляются от решения), либо рас-ходящимся (значения приближе-ний удаляются от точного реше-ния).
В случае не сходящихся или расходящихся итерационных процессов, нужно проверять правильность расчетов параметров схемы замещения, правильность расчета элементов и формирования матрицы проводимос-тей, анализировать величины токов и мощностей в заданных узлах.
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/iteratsionnye-metody-reshenija-slau/
http://helpiks.org/8-13426.html