Из истории уравнений и неравенств

Из истории уравнений и неравенств

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа $$\pi$$: $$3 \frac <10>

Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического, т. е. что верно неравенство $$\frac<2a \cdot b> \le \sqrt \le \frac <2>$$.

Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.
Первым алгебраистом XVII века был воспитанник Оксфордовского университета Томас Гарриот (1560-1621), составитель ценного описания и карты исследованной им части Северной Америки, ныне именуемой Северной Каролиной (1586); карты Луны, которую он наблюдал через зрительную трубу в одно время с Галилеем, и, наконец, труда «Применение аналитического искусства к решению алгебраических уравнений», изданного через 10 лет после смерти автора в Лондоне в 1631 году. В этом сочинении, во многом примыкающем к алгебраическим трудам Виета, Гарриот поставил себе задачей изложить «аналитическое искусство» своего предшественника легче и проще для понимания и применения.

Этого он во многом достиг, усовершенствовав символику. Вместо прописных букв для известных и неизвестных величин он применил строчные, а их целые положительные степени стал обозначать, как иногда поступал ранее М. Штифель (1486-1567), записывая соответственно число раз подряд основанию. Виет писал рядом с буквой полное или сокращенное наименование степени или размерности величины. Так как Гарриот пользовался к тому же знаками равенства Р. Рекорда (1510-1558), его запись довольно похожа на современную.

Например, уравнение (один из корней которого есть 2b) $$aaa — 3.baa + 3. bba = +2.bbb$$ соответствует нашему x 3 — 3 bx 2 + 3 b 2 x = 2b 3 . Точка здесь служит для отделения числового коэффициента, а не знаком умножения, как это предложил Г.В. Лейбниц (1646-1716) в конце 17 века.
Между прочим, подобного рода запись, в которой свободный член стоит один в какой-либо части уравнения, Гарриот называл каноническим уравнением. Новыми полезными знаками Гарриота явились > и

В 1746 г. происходит не менее важное событие — издается капитальный труд французского ученого, одного из основателей фотометрии, Пьера Бугера (1698-1758 гг.) “Трактат о корабле, о его конструкции и о его движении”, который принято считать первым учебником по теории корабля, поэтому эту книгу часто называют просто “Теорией корабля”.

В сочинении разрабатываются основы строгого учения о плавучести и остойчивости корабля, его измерения, обосновывается понятие метацентра и его радиуса, плеча восстанавливающего момента, рассматриваются многие другие вопросы мореходных качеств судна, проблемы обеспечения прочности корпуса. Самое интересное, что Бугер сознавал в целом недостаточную теоретическую подготовленность судостроителей того времени, поэтому его книга написана простым языком и не загромождена сложными математическими выкладками, что сделало ее на долгие годы учебником для кораблестроителей не только Франции, но и многих других стран.

«Уравнения и неравенства с параметром История возникновения уравнений и неравенств с параметром Задачи на уравнения с параметром встречались уже в . »

Уравнения и неравенства с параметром

История возникновения уравнений и неравенств с параметром

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2+bx=c, a>0В уравнении коэффициенты, кроме параметра, могут быть и отрицательными.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми.

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ax2=bx2) «Квадраты равны числу», т. е. ax2=c.

3) «Корни равны числу», т. е. ax=c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ax2+c=bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ax2+bx=c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx +c=ax2.

Формулы решения квадратных уравнений по ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

Вывод формулы решения квадратного уравнения с параметром в общем виде имеется у Виета, однако Виета признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами. Параметр — независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.

Уравнение с параметром — математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает для каждого значения найти значения x, удовлетворяющие этому уравнению, а также:

1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Рассмотрим уравнение (х+k)=+c, где, c, k, x -переменные величины.

Системой допустимых значений переменных, c, k, x называется любая система значений переменных, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения.

Пусть А – множество всех допустимых значений, K – множество всех допустимых значений k, Х – множество всех допустимых значений х, C — множество всех допустимых значений c. Если у каждого из множеств A, K, C, X выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению, k, c, и подставить их в уравнение, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные, k, c, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита:, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные – буквами x, y, z.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

1)получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);

2)получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым.

При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – более одного корня.

При решении таких уравнений надо:

1) найти множество всех доступных значений параметров;

2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;

3) привести подобные слагаемые;

4) решать уравнение ax = b.

Возможно три случая.

1. а 0, b – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение x=ba.

2. а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все х R.

3. а = 0, b 0. Уравнение 0х = b решений не имеет.

Глава 2. Виды уравнений и неравенств с параметрами

Уравнения и неравенства первой степени

Решить такое уравнение – это значит:

1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ax-b=0.

При a 0 уравнение имеет единственное решение x= ba, которое будет: положительным, если a>0b>0 или a 0 или a>0b 1.

Ответ: при а 1 корни положительны.

Пример. Решить уравнение 3kx-12=13x-k (1).

Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых 3xk.

Приведём уравнение к простейшему виду:

Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:

Подставив в (2) x=12k, получим:

9-k12k=3k-12 108-12k=3k2-12k k=±6Если подставим x=k3, то получим так же k=±6.

Таким образом, при k=±6 уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. k=±6 — это недопустимые значения параметра k для (1). При k=±6 мы можем решать только уравнение (2).

1. Если 9-k0, то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение x=3k-129-k, которое будет:

а) положительным, если 3k-129-k>0, при 4 9 с учётом k-6, получаем k(-;-6)(-6;4](9;+).2. Если 9-k=0 k=9, то уравнение (2) решений не имеет.

Ответ: а) x=3k-129-k при k-6 и k9, причём х > 0 для k(4;6)(6;9); x=0 при k=4; x 0.

Решение. Установим ОДЗ: a-1xR.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

a>-1a-1x>2a-3 (1)a 1, то x>(2a-3)/(a-1).

Решая систему (2), учтем, что a-1 (2a-3)/(a-1). Ответ легко списать с оси ответа.

-11Rx>2a-3a-1x 2a-3a-1(ось ответа)

Пример. При каких значениях k неравенство k-1x+2k+1>0 верно при всех x,удовлетворяющих условиюx3?

Решение. Решим сначала неравенство k-1x>-2k-1.

Возможны следующие случаи:

k=1;тогда 0*x>-3, xR;k>1;тогда x>2k+11-k, x2k+11-k;+;k 1, достаточно, чтобы выполнялось неравенство 2k+11-k 3; 2k+11-k-3>0,5k-21-k>0, k0,4;1.Ответ: k0,4;1.yyyДанное неравенство можно решить и графически в системе координат (x0y). Пусть y=k-1x+2k+1. Имеем линейную функцию при любом kR.

Квадратные уравнения и неравенства

Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида ax2+bx+c=0, где а, b и с – числа.

Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения:

а) Если D > 0, а > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с > 0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с 0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b. в) Если D 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно представить свойства корней при а -1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D > 0, при a 1 D 0 и данное уравнение имеет два различных корня

Ответ: x1=-1-1-xx и x2=-1+1-xx при a

a+2y+1=0, a+2y=-1.Если a=-2, то решений нет.

Если a-2, то y2= -1/(2-a).

y1,y2y1,y2ay1=1/4y1=-1/4-22(ось ответа)Теперь сводим решения на координатной прямой параметра a.

1320114-14-1-2-3ayy=12-ay=-1a+2Проиллюстрируем полученный ответ в системе координат a0y.

Пример. Найдите все значения p, при каждом из которых число различных корней уравнения 2-3px+7+6px-2=p2+2 (1) равно числу различных корней уравнения 4-3px2-p-4x+1=0 (2).

Решение. Решаем уравнение (1):

2-3px+7+6p=xp2+2-2p2-4,p2+3px=2p2+6p+11:p=0;тогда 0*x=11. Решений нет.p=-3;тогда 0*x=11. Решений нет.p0, p-3;тогда x1=2p2+6p+11p2+3p.Исследование.

2p2+6p+11p2+3p2,p0, p-3; 110,p0, p-3.Итак, еслиp0, p-3, то уравнение (1) имеетединственный кореньx1=2p2+6p+11p2+3p.Рассматриваем уравнение (2):

4-3px2-p-4x+1=0ОДЗ: pR,x2.p=43;тогда8×3=-1, x=-3/8.p43;тогда дискриминант квадратного уравнения:D=p2+4p.Рассмотрим случаи:

Уравнение (2) имеет два различных корня x2 и x3Сравнив оси (1) и (2), получаем ответ.

004/3-4/8-3-3/8-1/2-1/4x1x1x1p (2)p (1)x2,x3x2,x3x2,x3x2,x3

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.

Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:

Пример. Решить уравнение |x-2|=b.

Так как, по определению модуля, |x-2|0, то при b 0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b 0 х=2+b и x=2-b.

Пример. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:

1. Первый интервал:

xaa-x=4-x xaa=4 x4Второй интервал:

a 0, b > 0. Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

При a=b=1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

При a=1, b1 решением уравнения (*) служит решение уравнения (x)=0 на области допустимых значений D.

При a1, b=1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(x) =0 на области D.

При a=b (a>0, a1, b>0, b1) уравнение (*) равносильно уравнению f(x)=(x) на области D.

При ab (a>0, a1, b>0, b1) уравнение (*) тождественно уравнению logcaf(x)= logcb(x) (c > 0, c 1) на области D.

Пример. Решите уравнение: aх + 1=b3 – хРешение. ОДЗ уравнения: xR, a>0, b>0. 1) При a0, b0 уравнение не имеет смысла.

2) При a=b=1, xR. 3) При a=1, b1 имеем: b3 – х=1 или 3 – x= 0 x=3.

4) При a1, b=1 получим: aх + 1=1 или x+ 1 = 0 x=-1.

5) При a=b (a>0, a1, b>0, b1) имеем: x+1=3 –x x=1.

6) При ab (a>0, a1, b>0, b1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию a, получим:

logaax+1=logab3-x, x+1=3-xlogab, x=3logab-1logab+1Ответ: при a0, b0 уравнение не имеет смысла;

при a1, b=1 x=-1 при a=b (a>0, a1, b>0, b1) x=1 при ab a>0, a1, b>0, b1x=3logab-1logab+1.

Логарифмические уравнения и неравенства

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2-loga21+x=3logax-1-loga2(x2-1)2Решение. ОДЗ: x>1, a>0, a1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

logaa2-loga2x2-1=loga(x-1)3+logax+1,loga(a2(x2-1))=loga(x-13x+1),a2 (x2 — 1)=(x-1)(x-1)(x+1),a2 (x — 1)(x+1)=(x-1)(x-1)(x+1)Так как х-1 и x1, сократим обе части уравнения на (x — 1)(x-1)(x+1).

a2x+1=x-1Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

a4x+1=x-1 a4x+a4=x-1 x1-a4=a4+1Так как a-1 и a1, то x=1+a41-a4.

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие x>1, то есть 1+a41-a4>1.

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

1+a41-a4-1>0, 2a41-a4>0Так как a > 0, то полученная дробь положительна, если 1-a4>0, то есть при a 1 решений нет;

Глава 3. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами

Методы решения уравнений с параметром:

Аналитический — способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в уравнении без параметров.

Графический — в зависимости от условия задачи рассматривается положение графика соответствующей квадратичной функции в системе координат.

Координатно-параметрический — метод решения задач с параметрами, использующий КП-плоскость.

Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами аналитическим методом, нужно разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмём значение параметра =1 и ответим на вопрос: является ли значение параметра =1 искомым для данной задачи.

Далее уже на конкретном примере попробуем разобраться в аналитическом методе решения уравнений с параметром

Пример. Решить относительно x линейное уравнение с параметром m:

3mx-5(m-1)(x+3)+3m-11m-1=2x+7x+3.m-1x+30, то есть m1, x-3.

Умножив обе части уравнения на m-1x+3, получим уравнение 3mx-5+3m-11x+3=(2x+7)(m-1), получаем x4m-9=31-2m.Отсюда при m2,25 x=31-2m4m-9.

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых найденное значение x равно –3. 31-2m4m-9=-3, решая это уравнение, получаем, что x=-3 при m=-0,4.

Ответ: при m=1, m=2,25.

Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. При таком характере не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь)

Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им «линией интенсивностей» или «линией верхнего края» (график соответствующей функциональной зависимости). Оресм изучал даже «плоскостные» и «телесные» качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных.Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: Равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств.

Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему.

Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций — неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии.

Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.

Алгоритм решения графическим методом

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты — соответствующими значениями функции y.

Алгоритм графического решения уравнений с параметром:

Находим область определения уравнения.

Выражаем как функцию от х.

В системе координат строим график функции (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой =с, с графиком функции (х).Если прямая =с пересекает график (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c=(x) относительно х.

Пусть на плоскости даны две взаимно перпендикулярные с общим началом (точкой О) числовые оси. Одну из них (Оx) назовем координатой; другую (Оa) — параметрической, а плоскость (xОa или aОx) — координатно-параметрической, или КП-плоскостью.

Метод решения задач с параметрами, использующий КП-плоскость, назовём координатно-параметрическим, или КП-методом.

Он основан на нахождении множества всех точек КП-плоскости, значения координаты x и параметра a каждой из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи условию (соотношению).

Если указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра a=const поставить в соответствие координаты x точек этого множества, дающие искомое решение задачи, или указать те значения параметра, при которых задача не имеет решения.

Решение КП-методом уравнений с параметрами

F(x, a)=0, (В.1)где F(x, a) — некоторая функция переменной x и числового параметра a.

Пусть на КП-плоскости найдено множество всех точек, значения координаты x и параметра a каждой из которых удовлетворяют рассматриваемому уравнению.

Может оказаться, что при любом допустимом значении параметра уравнение решений не имеет (x), либо для некоторых значений параметра x или уравнение имеет конечное число решений, или бесконечное множество.

Записывая ответ, поставим в соответствие каждому допустимому фиксированному значению параметра a значения искомой величины x — координаты соответствующих точек найденного множества.

Отметим два частных случая.

1°. Координата x есть функция параметра a:

x=f(a), (В.2)неявно заданная уравнением (В.1). (Вопросы существования неявно заданной функции рассматриваются в курсе высшей математики.)

На КП-плоскости xОa с горизонтальной параметрической осью Оa множество всех точек, значения координаты x и параметр a каждой из которых удовлетворяют уравнению (В.1), представляет собой график функции (В.2), где роль аргумента функции играет параметр.

2°. Параметр a есть функция координаты x:

a=(x), (В.З)неявно заданная уравнением (В.1).

В этом случае можно рассматривать КП-плоскость aОx с вертикальной параметрической осью Оa и интерпретировать множество всех точек, значения координаты и параметры каждой из которых удовлетворяют уравнению (В.1), как график функции (В.З), где роль аргумента функции играет координата.

Следует отметить, что в рассматриваемом КП-методе центральное место занимает нахождение множества всех точек КП-плоскости, определяемых уравнением (В.1).

Более просто обстоит дело, когда левой частью уравнения (В.1) являются многочлены первой или второй степеней.

Так в курсе аналитической геометрии доказывается, что уравнения вида

Px,a=0, (В.4)где P(x, a) — многочлен второй степени относительно x и a, определяет на КП-плоскости линии: эллипс (в частности, окружность), гиперболу, параболу или пару прямых (пересекающихся, параллельных или сливающихся в одну). Например, на КП-плоскости xОa уравнения

x2-a2-1=0, xa-1=0, x2-a=0определяют соответственно окружность, гиперболу и параболу, а уравнение

x2-a2=0 x+a=0,x-a=0определяет пару пересекающихся (взаимно перпендикулярных) прямых.

Метод «частичных областей» (МЧО) при решении неравенств и систем неравенств, содержащих параметры

Идея так называемого в прикладной математике метода «частичных областей» (МЧО) заключается в том, что решение задачи в исходной области сводится к решению ее или совокупности более простых задач в каждой из «частичных областей», из которых составляется исходная область.

Так же как метод «промежутков» (в одномерном случае), МЧО может быть применен при решении КП-методом уравнений и неравенств с параметрами, содержащих переменную и параметр под знаком абсолютной величины.

Применение МЧО при решении неравенств с параметрами во многом аналогично применению метода «интервалов» для решения неравенств с одной переменной.

Для примера решим систему x2-2ax+a2-1=0x2-3×0. различными способами.

Решим сначала графически в системе координат (аОх). Представим уравнение системы в виде

x-a-1x-a+1=0.xСтроим прямые с уравнениями x=a+1 и x=a-1. Неравенство xx-30 задает в плоскости два множества точек: 1) расположенных не ниже прямой x=3; 2) не выше прямой x=0.

Ответ: 1) Если a-; -14; +, то x1=a-1; x2=a+1.2) Если a-1; 1, то x1=a-1.

3) Если a1;2, то решений нет.

4) Если a[2;4), то x2=a+1.

41 x2=a+1 x1=a-1 x2=a+1 x1=a-1 x2=3 x2=0 x1=3 x1=0a(для x1)А теперь решим систему аналитически. Воспользуемся тремя координатными прямыми для параметра a: на первой оси покажем, когда x1=a-1 является корнем, на второй — x2, а на третьей оси сведем эти два случая.

421-12-1 x1, x2 x1 x2 x1=a-1; x2=a+1 x2=5 x2=0 x1=3, x2=3 x1=-2, x1=0(ось ответа)(для x2)aa

Пусть x1=a-1. Подставим a-1 вместо x в неравенство x2-3×0;

-12-++aПусть x1=a+1. Тогда получим неравенствоa+1a-20.

Глава 4. Практическое применение параметра

Применение параметра в решении задач по экономике

Предприятие производит телевизоры и является прибыльным. Известно, что при изготовлении «телевизоров в месяц расходы предприятия на выпуск одного телевизора составляют не менее 40500n+270- 90- 40500n тысяч рублей, а цена реализации каждого телевизора не превосходит 540- 310n тысяч рублей. Определить ежемесячный объем производства, при котором может быть получена наибольшая в данных условиях прибыль. Данная задача является простейшим примером задач на оптимизацию, что характерно для любой экономической системы. Приведем решение этой задачи, имеющей любопытные выводы.

Решение. Средние издержки производства, т.е. расходы предприятия на изготовление одного телевизора, заданы. Следовательно, можно составить функцию полных издержек:

Cn=40500+270n- 40500-90n= 360n, 1n45081000+180n, n450Построим график этой функции.

Заметим, что заданная в условии функция полных издержек производства отражает факт суммарных издержек при увеличении объема производства. Действительно, при выпуске менее 450 телевизоров в месяц издержки равны 360 тысячам рублей и 180 тысячам рублей при выпуске более 450 телевизоров в месяц. Найдем теперь возможную прибыль (в данном случае — зависимость прибыли от количества изготовленных и проданных телевизоров). Так как цена реализации каждого телевизора не превосходит 540- 310n тысяч рублей, то возможная прибыль не превосходит величины, равной

Pn= 540- 310*n-C(n)= -0,3n2+540n-360n, n 27y>9(x-10)x>2(y-12)x+y=27y=9(x-10)x=2(y-12)xy012

Искомое геометрическое место точек — треугольник, внутри которого лежит единственная точка с целочисленными координатами (11; 17).

Аналитическое решение. Основным условием нахождения аналитического решения задачи является целочисленность переменных.

Имеем: x+y>27y>9(x-10)x>2(y-12)y>27-xy 9(x-10)Из второго и третьего неравенств данной системы получим, что 9x-90 9(x -10)>0, то, по крайней мере, x>10. Таким образом, x=11. Из первых двух неравенств получим, что 16 0.

«СОЛНЕЧНЫЕ ИСТОРИИ О ГРУЗИИ, 8 дней. Гарантированные даты заезда. Даты тура: Июнь 2014 13 Июль 2014 12,26 Август 2014 09,23 Сентябрь 2014 06,20,27-17037054349751 день. Не зря со времен средневековья считали, что ключи от Кавк. »

«Пояснительная записка1. Статус программы.Программа по внеурочной деятельности „ Загадки истории“ построена в соответствии с документами:1. Федеральный закон «Об образовании в РФ»;2. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования;3. Федеральный базисный учебный пла. »

«»Семь красок лета» совместный семейный отдых 24.06. – 01.07.2017год, Италия, Римини 1 день 24.06. 19.00-20.00 20.00-20.15 20.15-21.45 21.4522.00 22.00 Приезд в отель. Регистрация и размещение в отеле. Ужин. Организационное собрание для детей и родителей. Ознакомление с. »

«Методическая разработка внеурочного мероприятия «Малые Олимпийские игры» в рамках реализации программы внеурочной деятельности «Олимпийское образование учащихся МОУ «СОШ №2». Актуальность: расширение знаний об Олимпийском движении, пропаганда иде. »

«Содержание: Введение1. Детство и юность2. Период возвышения3. Власть Октавиана4. Внешняя политика5. Семейная жизнь6. Смерть Выводы Список литературы 3 4 4 6 7 8 9 10 11 Введение Современный город Рим является столицей Итальянс. »

«МБОУ «Пуксибская основная общеобразовательная школа» Возрастная группа средняя Номинация: Учебно-исследовательская работа Исследовательская работа по теме «Происхождение и значение фамилии Федосеев» Автор – Федосеева Кристина Александровна МБОУ Пуксибская ООШ 7 класс, Косинский район село ПуксибРуководитель –. »

«ГРАФИК ЛИКВИДАЦИИ ЗАДОЛЖЕННОСТЕЙ В ЛЕТНЮЮ ЗАЧЕТНО-ЭКЗАМЕНАЦИОННУЮ СЕССИЮ 2015-2015 УЧ.Г.НА ФИЛОЛОГИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ ОЗО ZРО-11 Предмет ФИО преподавателя Дата История Курсеева О.А. 27.06.15 С 10.00 ч. до 14.00 ч. Иностранный язык Ярославова Л.А. Хабибу. »

«Конспект внеклассного мероприятия по окружающему миру для учащихся 3, 4 классов. ТЕМА: «ПУТЕШЕСТВИЕ В ГРИБНОЕ ЦАРСТВО». Задачи: 1. Познакомить с многообразием шляпочных грибов, их особенностя. »

2017 www.docx.lib-i.ru — «Бесплатная электронная библиотека — интернет материалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Из истории уравнений и неравенств

Математика — удивительнейшая наука, без которой не может существовать человечество. В ней интерсно абсолютно всё — от арифметических действий и решения различных задач до её истории.

Но историей люди зачастую пренебрегают, ссылаясь на то, что математика и история — науки совершенно противоположные. Позвольте разрушить этот стереотип, доказав, что изучать историю очень интересно и, к тому же, важно для знания и понимания самой математики, царицы всех наук.

 Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:

«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе.

Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х²= 16, мы получаем два числа: 4, –4.

 Разумеется, в задаче египтян мы приняли бы X = 4, так как длина поля может быть только положительной величиной.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел!».

Греческий математик Диофант составлял и решал квадратные уравнения. В его «Арифметике» нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическом трактате «Ариа-бхатиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений вида ах ² + bх = с.

​ В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам. стали прыгать, повисая. ​

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

​ Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

 Наиболее древние из дошедших до нас китайских математических текстов относятся к концу I в. до н.э. Во II в. до н.э. была написана «Математика в девяти книгах». Позднее, в VII в., она вошла в сборник «Десять классических трактатов», который изучали в течение многих столетий. В трактате «Математика в девяти книгах» объясняется, как извлечь квадратный корень с помощью формулы квадрата суммы двух чисел.

Метод получил название «тянь-юань» (буквально – «небесный элемент») – так китайцы обозначали неизвестную величину. ​

 Первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр»– со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми стало отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений, выражая их следующим образом:

— квадраты равны корням , то есть ах ² = bх;

— квадраты равны числу , то есть ах ² = с;

— корни равны числу , то есть ах = с;

— квадраты и числа равны корням , то есть ах ²+ с = bх;

— квадраты и корни равны числу , то есть ах ² + bх = с;

— корни и числа равны квадратам , то есть bх + с = ах ²;

Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» были включены почти во все европейские учебники XVI-XVII в. и частично XVIII в.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х ² + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он также признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.