Из какого уравнения системы лучше выражать переменную

Решение систем уравнений.

Решение систем уравнений. 8 класс Колягин

Просмотр содержимого документа
«Решение систем уравнений.»

Решение систем уравнений.

учитель математики МБОУ

Привалова Мария Викторовна

Французский писатель Анатоль Франс заметил “Чтобы переварить знания надо поглощать их с аппетитом”

Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени.

• повторить способы решения систем уравнений; рассмотреть способ подстановки и сложения при решении систем уравнений с двумя переменными, составленных из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

1 этап: Общие практические задания;

2 этап: Задания по группам;

3 этап: Индивидуальная работа.

1 Этап: Общие практические задания

2 Этап: Задания по группам

3 Этап: Индивидуальная работа

Актуализация опорных знаний

1. Выразите одну переменную через другую из уравнения:

2. Определите, из какого уравнения системы какую переменную удобнее выразить:

Актуализация опорных знаний

3. Сколько решений уравнения

находится среди пар чисел

Способы решения систем уравнений

• Способ подстановки
• Способ сложения
• Графический метод

Способ подстановки (алгоритм)

• Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую.
• Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его.
• Вычислить значение второй переменной.
• Записать ответ: ( х ; у) .

Способ сложения (алгоритм)

• Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
• Сложить почленно левые и правые части уравнений системы.
• Решить получившееся уравнение с одной переменной.
• Подставить значение найденной переменной в одно из уравнений системы и найти значение другой переменной.
• Записать ответ: (х; у) .

Графический способ (алгоритм)

• Выразитьу через х в каждом уравнении.
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения.
• Определить координаты точек пересечения.
• Записать ответ.

Решение системы уравнений способом подстановки

Конспекты уроков по теме; «Решение систем линейных уравнений способом подстановки»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Чернослободская основная школа»

Шацкий муниципальный район

Конспекты уроков по теме;

«Решение систем линейных уравнений способом подстановки»

Автор: Трандина Л.Н. учитель математики

МОУ «Чернослободская ОШ»

Шацкого района Рязанской области

Тема урока : «Решение систем линейных уравнений способом подстановки»

Сформировать умение решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Вырабатывать умение выражать из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.

Развивать умение обобщать, анализировать, логически мыслить.

Воспитывать интерес к предмету через содержание учебного материала.

Оборудование: мультимедийный проектор, доска, мел, карточки.

Актуализация опорных знаний.

1. Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений:

а) б) в)

2. Сколько решений имеет система уравнений:

а) б) в)

Вывод: коэффициенты при х различны, то система имеет одно решение;

если коэффициенты при х одинаковы, то система не имеет решений.

3. Выразите у через х: а) х + у = 2; б) у – 6х = 1; в) х – у = 4.

4. Выразите х через у: а) х + у = 6; б) х – 2у = 4; в) 2у – х = 1.

II. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится согласно пункту 43 учебника.

1. Рассмотрите пример 1, учебника, что данный способ решения систем уравнений называется способом подстановки.

2. Выучите определение равносильных систем уравнений.

3. Записываем в тетрадях алгоритм решения систем уравнений способом подстановки . При этом каждый шаг алгоритма должен отражаться соответствующим действием в решении системы уравнений.

Выразить из какого-нибудь уравнения системы
одну переменную через другую

Подставить в другое уравнение системы вместо
этой переменной полученное выражение

Решить полученное уравнение с одной
переменной

Найти соответствующее значение второй
переменной

Обращаю ваше внимание , что выражать следует ту переменную, при которой стоит более «удобный» коэффициент (в частности ±1).

III. Формирование умений и навыков.

Желательно, чтобы вы запомнили алгоритм решения систем уравнений способом подстановки и могли его применять, не обращаясь к записям в тетрадях и разобранным примерам.

1. Выразите в уравнениях х через у и у через х .

Проверка а) х + у = 5; х = 5 – у; у= 5 – х .

б) у – х = –2; — х = — у – 2; х = у +2; у= х – 2.

Выразим у через х, подставим во второе уравнение.

а)

Вычислим, соответствующее значение переменной у

в)

– Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

– Какие вы знаете способы решения систем уравнений?

– Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.

– Из какого уравнения системы лучше выражать переменную?

V. На дом : п.43; № 1069(б,г,д,е).

Тема урока : «Решение систем линейных уравнений способом подстановки »

Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений способом подстановки. проверить первоначальный уровень усвоения материала.

Образовательные: обобщение и систематизация знаний и умений учащихся при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления и речи учащихся, способствовать формированию умений применять приёмы: обобщения, сравнения, выделения главного.

Воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, общей культуры, организованности и взаимопомощи через работу в парах.

Тип урока: урок закрепления знаний

I. Устная работа.

1.Является ли пара чисел (–3; 1) решением системы уравнений:

а)

2. Выразите в уравнении х через у и у через х .

II. Формирование умений и навыков.

На этом уроке мы будем решать системы уравнений, в которых ни один коэффициент при переменных не равен ±1. Сначала нужно разобрать пример 2 из учебника, сделать соответствующие выводы, а затем приступить к выполнению заданий (стр.212-213)

Обращаю ваше внимание , что иногда удобнее выражать переменную вместе с её коэффициентом.

а)

v = ;

2 u = –5 ∙ = –1;

u = .

б) Здесь не получится сделать, как в предыдущей системе, поскольку коэффициенты при переменных не являются кратными.

3 p + 4 ∙ p = 29;

3 · 3 р + 4 · 5 р = 29 · 3;

q = p = ∙ 3 = 5.

в)

u = .

3 v = 14 – 4 ∙ 4 ;

3 v = 14 – 17 = –3 ;

v = –1 .

Ответ : .

г)

2 р = –17,5 + 22 = 4,5;

2. Рата по учебнику : № 1073.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, нужно составить и решить соответствующую систему уравнений.

а)

16 х – 5 (23 – 7 х ) = 38;

16 х – 115 + 35 х = 38;

III. Обучающая самостоятельная раюота.

1. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку.

а) б)

– Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

– Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.

– В каких случаях при решении системы уравнений можно выражать переменную вместе с её коэффициентом?

IV. На дом: п. 43; № 1070(в,г),№ 1071(в),1073(б)

Тема урока: «Решение систем линейных уравнений способом подстановки»

Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений способом подстановки., проверить уровень усвоения материала.

Образовательные: обобщение и систематизация знаний и умений учащихся при решении систем линейных уравнений с двумя переменными; первичная проверка знаний и умений.

Развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления и речи учащихся, способствовать формированию умений применять приёмы: обобщения, сравнения, выделения главного.

Воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, общей культуры, организованности и взаимопомощи через работу в парах.

Тип урока: урок закрепления знаний.

I. Устная работа. Актуализация знаний.

1. Является ли пара чисел (–2; –2) решением системы уравнений:

а)

2. Из какого уравнения системы и какую переменную выразить «удобнее»? Ответ объясните.

а) б)

II. Формирование умений и навыков.

На этом уроке мы будут решать системы уравнений, в которых до применения алгоритма решения системы уравнений с двумя переменными способом подстановки предварительно необходимо провести ряд тождественных преобразований.

Я думаю, решение таких систем не должно у вас вызывать затруднений.

Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые – и система станет похожей на те которые мы уже решали.

3(х – 5) -1 = 6 – 2х 3х – 15-1=6-2х 3х+2х=22

3( х- у) – 7у = -4, 3х – 3у – 7у= -4, 3х -10у=-4,

3х – 10у =-4; 34,4 – 10у =-4; 13,2 -10у=-4 ; -10у= -13,2-4; -10у=-17,2; у=1,72

Мы уже знаем, что если в линейном уравнении встречаются дроби, то обе части уравнения нужно умножать на наименьший общий знаменатель этих дробей.

Таким же приёмом пользуются и при решении систем уравнений .

а)

Замечание . Обращаем внимание на опечатку: во втором уравнении системы вместо –2 должно стоять –1.

в)

2 (35 п + 120) + 5 п = 15;

70 п + 240 + 5 п = 15;

3 т = 35 · (–3) + 120;

3 т = –105 + 120 = 15;

Первичная проверка знаний и умений ( самостоятельная работа).

1. Решите систему уравнений способом подстановки

а) б)

в )

– Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

– Сформулируйте алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.

– Как, не выполняя построений, найти координаты точки пересечения графиков двух уравнений?

– Как следует начать решение системы уравнений, в которой встречаются дробные коэффициенты?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 595 243 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

§ 16. Решение систем линейных уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 27.10.2020
• 948
• 87

• 20.07.2020
• 522
• 6

• 15.06.2020
• 499
• 22

• 08.06.2020
• 3038
• 79

• 26.05.2020
• 885
• 21

• 15.05.2020
• 247
• 0

• 07.05.2020
• 175
• 4

• 05.05.2020
• 250
• 4

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 03.11.2020 386
• DOCX 64.8 кбайт
• 23 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Трандина Людмила Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4861
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Как решать системы уравнений с двумя переменными

Что такое система уравнений с двумя переменными

Системой уравнений в алгебре называется некое условие, смысл которого заключается в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (либо одной) переменных.

Это значит, что система представляет собой комплекс уравнений. Данные равенства могут содержать одну, две или более переменных. Основным условием понятия «система уравнений» является то, что все эти уравнения выполняются в одно время.

Объединить уравнения в систему можно с помощью фигурной скобки:

У р а в н е н и е 1 У р а в н е н и е 2 У р а в н е н и е 3 …

Графический метод решения

Принцип решения систем уравнений графическим способом заключается в построении графиков для каждого уравнения в общей системе координат. Тогда решения системы соответствуют точкам, в которых данные графики пересекаются. После объяснения решения ответ принято записывать, как координаты этих точек.

Разберем наглядный пример. Предположим, что дана некая система уравнений, решать которую нужно графическим способом. Выполним работу последовательно:

1. Запишем систему.
2. Выразим одну из переменных (пусть это будет у).
3. Построим на координатной прямой графики функций.
4. Найдем точки пересечения графиков.

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7 ⇔ y = 4 — 2 3 x y = 3 x — 7

Заметим, что точка пересечения графиков имеет следующие координаты:

Графический метод решения систем уравнений уступает в точности другим способам. Использовать график целесообразно в том случае, когда в задаче записана система линейных уравнений. Подобные задачи встречаются в средних классах школы. Такие уравнения имеют вид y = a x + b без квадратных членов, а их графики являются прямыми.

Метод подстановки

Алгоритм решения системы уравнений с помощью метода подстановки:

• выражение одной переменной через другие;
• подстановка выражения, которое получилось, в начальные уравнения на место выраженной переменной;
• повторение второго шага до тех пор, пока не будут определены другие переменные.

Рассмотрим последовательность действий на практике. Предположим, что имеется некая система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 3 y = 12 3 x — y = 7

Выразим у из второго уравнения:

Выполним подстановку полученного выражения в первое равенство:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

Для полученного уравнения с одной переменной несложно найти корни:

2 x + 3 3 x — 7 = 12

2 x + 3 · 3 x — 3 · 7 = 12

2 x + 9 x — 21 = 12

Зная х, выполним подстановку и найдем у:

y = 3 x — 7 = 3 · 3 — 7 = 2 .

Запишем в ответ значения двух переменных.

Ответ: x = 3 ; y = 2 , либо (3;2).

Метод сложения

При сложении левых частей пары (или более) уравнений выражение, полученное в результате, равно сложенным правым частям этих же равенств, согласно формуле:

a = b c = d ⇒ a + c = b + d

В обратную сторону записанное свойство не работает:

a + c = b + d ◃ ≠ ▹ a = b c = d

Таким образом, при решении систем уравнений можно увеличивать обе части уравнения на одинаковое число. Например, сложим первое уравнение с числом с:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c

Исходя из того что c=d, можно выполнить замену c на d справа:

a = b c = d ⇒ a + c = b + c ⇒ a + c = b + d .

В качестве примера попробуем решить систему уравнений:

2 x + y = 12 3 x — y = 3

Следуя правилу, суммируем уравнения. В процессе левые части складываем друг с другом. Аналогичным образом поступим с правыми частями равенств. В результате:

2 x + y = 12 3 x — y = 3 ⇒ 2 x ¯ ¯ + y ¯ + 3 x ¯ ¯ — y ¯ = 15 ⇔ 5 x = 15 ⇔ x = 3 .

Получилось избавиться от переменной у. В итоге задача значительно упростилась. Подставим число 3 на место слагаемого с х:

2 x + y = 12 x = 3 ⇔ 2 · 3 + y = 12 x = 3 ⇔ y = 6 x = 3

В следующем примере система уравнений имеет следующий вид:

2 x + 3 y = 13 4 x + 5 y = 23

Заметим, что с помощью сложения задание не получится упростить. В этом случае можно воспользоваться умножением уравнения на какое-либо число, отличное от нуля. Важно выбрать такой множитель, который позволит избавиться от одной из переменных. В этом случае лучше использовать (-2):

2 x + 3 y = 13 · — 2 4 x + 5 y = 23 ⇔ — 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23

Приступим к сложению:

— 4 x — 6 y = — 26 4 x + 5 y = 23 ⇒ — 4 x — 6 y + 4 x + 5 y = — 26 + 23 ⇔ — y = — 3 ⇔

Выполним подстановку у=3 в первое уравнение:

2 x + 3 y = 13 y = 3 ⇔ 2 x + 9 = 13 y = 3 ⇔ x = 2 y = 3

Задания для самостоятельного решения

Нужно решить систему уравнений:

13 x + 6 y = 7 2 x — 4 y = 6

Выразим х с помощью второго уравнения:

Найти значения переменных:

2 x + 5 y = 10 8 y — 5 x = 57

Из первого равенства выразим х:

2 x + 5 y = 10 2 x = 10 — 5 y

Подставим полученное значение во второе уравнение и запишем ответ.

Дана система уравнений, которую требуется решить:

2 x + 5 y = 10 3 x — 2 y = 1

В данном случае следует умножить первое уравнение на число 2, а второе равенство умножить на число 5:

2 x + 5 y = 10 · 2 3 x — 2 y = 1 · 5 ⇔ 4 x + 10 y = 20 15 x — 10 y = 5

После сложения уравнений остается лишь определить х:

19 x = 25 ⇔ x = 25 19

При подстановке х в какое-либо из двух уравнений можно вычислить у и записать ответ.

Ответ: ( 25 19 ; 28 19 ) .

Требуется найти переменные:

3 y — 4 x = — 13 3 x + 7 y = 56

Здесь следует в первую очередь найти произведение первого уравнения и числа 3, умножить второе уравнение на множитель 4. Далее остается суммировать уравнения и записать ответ.

Нужно решить систему уравнений:

7 x + 3 y = 21 4 y — 5 x = — 15

Множителем для первого уравнения является число 4. Второе уравнение нужно умножить на -3. Полученные равенства следует сложить и записать ответ.

Решить систему уравнений:

6 x — 8 y = — 2 9 x + 10 y = 8

В данном случае предполагается умножение уравнений на дробные числа. Множителем для первого уравнения является дробь 1 4 . Второе уравнение следует умножить на 1 5 :

6 x — 8 y = — 2 · 1 4 9 x + 10 y = 8 · 1 5 ⇔ 6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5

Далее выполним сложение:

6 4 x — 2 y = — 1 2 9 5 x — 2 y = 8 5 ⇔ 3 2 x + 9 5 x =-0,5+1,6 ⇔ ⇔ 15 10 x + 18 10 x = 1,1 ⇔ 33 10 x = 1 , 1 ⇔ ⇔ 33 = 11 x x = 3

Путем подстановки определим y:

6 3 — 8 y = — 2 x = 3 ⇔ — 8 y = — 4 x = 3 ⇔ y = 2 x = 3

Найти корни следующих систем уравнений:

2 x + 3 y = 11 3 x + 2 y = 9

3 x — y = 85 5 x + 2 y = 17

x — 3 y = 6 2 y — 5 x = — 4

y 4 — x 5 = 6 x 15 + y 12 = 0

y — x = 5 x + 3 y = 3

Ответ: (1; 3), (17; -34), (0; -2), (-15; 12), (-3; 2).