Изменение энтропии в изотермическом процессе уравнение которого

\ln \left(\frac+T_<2>><2T_<1>> \right)\left( 16 \right)$,

где $a=T_<1>;b=\frac+T_<2>><2>$ $c_p$ – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении.

Изменение энтропии второго газа запишем аналогично:

$\Delta S_<2>=\nu c_

\ln \left( \frac+T_<2>><2T_<2>> \right)\left( 17\right)$.

Поскольку энтропия является аддитивной величиной, то полное изменение энтропии найдем как сумму:

Энтропия идеального газа

В этой статье мы расскажем, что такое энтропия идеального газа и в чем заключается ее физический смысл. Начнем с определения.

Энтропия – это функция состояния системы ( S ) с дифференциалом в бесконечном обратимом процессе, равным d S = δ Q T .

Параметр δ Q обозначает элементарное тепло, которое сообщается системе. Соответственно, T – это общая температура системы.

Если у системы в обратимом процессе изменяется знак энтропии, то это говорит о смене направления обмена теплом. Основная формула дает нам возможность найти, на сколько изменилась величина энтропии. Важно подчеркнуть, что она будет верной только в том случае, если процесс будет обратим.

В чем состоит физический смысл энтропии

Свойства идеального газа таковы, что с их помощью удобно пояснять физический смысл энтропии. Допустим, у нас есть один моль некоторого газа, для которого мы можем записать первое правило термодинамики (в дифференциальной форме):

δ Q = d U + p d V .

Выполним деление левой и правой части выражения на температуру. У нас получится, что:

δ Q T = d U T + p d V T = c μ V d T T + p d V T .

Здесь c μ V = i 2 R . С помощью уравнения Менделеева-Клайперона мы можем выразить из него p T и получить:

p V = R T → p T = R V .

Подставляем это в исходное выражение:

δ Q T = c м V d T T + R d V V = d c м V ln T + R ln V .

Правая часть уравнения у нас получилась полностью дифференциальной, значит, и слева тоже должен быть полный дифференциал. Назовем его d S . С помощью одной из приведенных выше формул вычислим ∆ S в изотермическом процессе. Если температура остается постоянной, то и внутренняя энергия системы также остается прежней. Получаем следующее:

d S = R d ln V → ∫ ( 1 ) ( 2 ) d S = R ∫ ( 1 ) ( 2 ) d ln V = S 2 — S 1 = R ln V 2 V 1 .

Нам известно, что объем, занимаемый газом в равновесном состоянии, связан с количеством пространственных микросостояний частиц формулой Г 0 = N ! N — n ! ( Г 0 – общее количество микросостояний, N – количество ячеек, в которые помещены частица системы, n – общее количество частиц). Поскольку исходный объем идеального газа равен одному молю, то n = N A . Выведем формулу объемов V 1 и V 2 из выражения выше. Она будет иметь следующий вид:

Г 01 = N 1 ! N 1 — N A ! , Г 02 = N 2 ! N 2 — N A ! .

Здесь N 1 = V 1 l 3 , N 1 = V 2 l 3 , l = 10 — 10 м .

Для дальнейших преобразований нам потребуется формула Стирлинга (для больших n , n ! ≈ N 2 N 1 N A = V 2 V 1 N A ):

Г 02 Г 01 ≈ N 2 N 1 N A = V 2 V 1 N A .

Берем логарифм от этого выражения и получаем:

ln V 2 V 1 = 1 N A ln Г 02 Г 01 .

Таким образом, S 2 — S 1 = R ln V 2 V 1 = R N A ln Г 02 Г 01 = k ln Г 02 — k ln Г 01 .

Здесь параметр k обозначает постоянную Больцмана.

Формула Больцмана

Сам вид формулы энтропии говорит нам о том, что она может быть определена через логарифм числа микросостояний, образующих макросостояние, рассматриваемое как S = k ln Г .

Выведенное выше равенство называется формулой Больцмана. Она позволяет сделать вывод, что чем больше упорядоченность системы, тем меньше в ней микросостояний, с помощью которых достигается макросостояние. Поэтому энтропия является мерой упорядоченности системы. Максимальная энтропия достигается в состоянии упорядоченности.

Энтропия является аддитивной величиной. При S = c o n s t процесс называется изоэнтропийным. Если система является физически однородной, то ее энтропия выражается как функция двух независимых параметров состояния (масса считается постоянной).

Условие: есть идеальный газ, в котором происходит изотермическое расширение, при этом объем меняется от V 1 до V 1 . При этом температура системы в первом процессе равна T 1 , а во втором T 2 , причем вторая температура меньше, чем первая. Определите, как будет меняться значение энтропии.

Зная основное определение энтропии и обратимость процессов в идеальном газе, мы можем использовать формулу для вычисления ∆ S при постоянной температуре.

∆ S = ∫ ( 1 ) ( 2 ) δ Q T = 1 T ∫ ( 1 ) ( 2 ) δ Q .

Идеальный газ в физике – это понятие, подразумевающее, что мы можем пренебречь взаимодействием между его молекулами. Если V = c o n s t , то работа идеального газа равна 0 .

Обратимся к первому правилу термодинамики, зная, что при постоянной температуре d U = 0 :

Выражаем давление из уравнения Менделеева-Клайперона:

p V = ν R T → p = v R T V .

Подставляем в исходную формулу и получаем:

∆ S = 1 T ∫ ( 1 ) ( 2 ) н R T V d V = R T н T ∫ ( 1 ) ( 2 ) d V V = v R ln V 2 V 1

Ответ: поскольку не существует зависимости энтропии от температуры в изотермическом процессе, то в заданных условиях оба процесса будут иметь одинаковую энтропию.

Условие: на рисунке схематично обозначены обратимые процессы. Сопоставьте, какие количества теплоты будут поглощаться системой в ходе обеих процессов.

Данная задача решается на основе определения энтропии для обратимых процессов.

Выражаем показатель δ Q из уравнения, выведенного ранее, и получаем:

Для определения объема подведенного к системе тепла нам нужно проинтегрировать выражение:

∆ Q = ∫ S 1 S 2 T d S .

Теперь, используя геометрическое свойство интеграла (по площади) и рисунок, мы можем подытожить, что площадь, ограниченная кривой процесса, изоэнтропами, перпендикулярными S , и осью S , больше площади для процесса 2 , значит, Q I > Q I I .

Ответ: в первом процессе поглощается большее количество теплоты, чем в во втором.

Блог об энергетике

энергетика простыми словами

Основные термодинамические процессы

Основными процессами в термодинамике являются:

• изохорный, протекающий при постоянном объеме;
• изобарный, протекающий при постоянном давлении;
• изотермический, происходящий при постоянной температуре;
• адиабатный, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует;
• политропный, удовлетворяющий уравнению pv n = const.

Изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный процессы являются частными случаями политропного процесса.

При исследовании термодинамических процессов определяют:

• уравнение процесса в p—v иT—s координатах;
• связь между параметрами состояния газа;
• изменение внутренней энергии;
• величину внешней работы;
• количество подведенной теплоты на осуществление процесса или количество отведенной теплоты.

Изохорный процесс

При изохорном процессе выполняется условие v = const.

Из уравнения состояния идеального газа (pv = RT) следует:

т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:

Работа расширения в изохорном процессе равна нулю (l = 0), так как объем рабочего тела не меняется (Δv = const).

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 1-2 при c_v = const определяется по формуле:

Т. к.l = 0, то на основании первого закона термодинамики Δu = q, а значит изменение внутренней энергии можно определить по формуле:

Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле:

Изобарный процесс

Изобарным называется процесс, протекающий при постоянном давлении p = const. Из уравнения состояния идеального газа слуедует:

т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной температуре.

Работа будет равна:

Количество теплоты при c_p = const определяется по формуле:

Изменение энтропии будет равно:

Изотермический процесс

При изотермическом процессе температура рабочего тела остается постоянной T = const, следовательно:

т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изотермическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении – снижается.

Работа процесса будет равна:

Так как температура остается неизменной, то и внутренняя энергия идеального газа в изотермическом процессе остается постоянной (Δu = 0) и вся подводимая к рабочему телу теплота полностью превращается в работу расширения:

При изотермическом сжатии от рабочего тела отводится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.

Изменение энтропии равно:

Адиабатный процесс

Адиабатным называется процесс изменения состояния газа, который происзодит без теплообмена с окружающей средой. Так как dq = 0, то уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса будет иметь вид:

В адиабатном процессе работа расширения совершается только за счет расходования внутренней энергии газа, а при сжатии, происходящем за счет действия внешних сил, вся совершаемая ими работа идет на увеличение внутренней энергии газа.

Обозначим теплоемкость в адиабатном процессе через c_ад, и условие dq = 0 выразим следующим образом:

Это условие говорит о том, что теплоемкость в адиабатном процессе равна нулю (c_ад = 0).

и уравнение кривой адиабатного процесса (адиабаты) в p, v-диаграмме имеет вид:

В этом выражении k носит название показателя адиабаты (так же ее называют коэффициентом Пуассона).

k_{выхлопных газов ДВС} = 1,33

Из предыдущих формул следует:

Техническая работа адиабатного процесса (l_техн) равна разности энтальпий начала и конца процесса (i₁ – i₂).

Адиабатный процесс, происходящий без внутреннего трения в рабочем теле, называется изоэнтропийным. В T, s-диаграмме он изображается вертикальной линией.

Обычно реальные адиабатные процессы протекают при наличии внутреннего трения в рабочем теле, в результате чего всегда выделяется теплота, которая сообщается самому рабочему телу. В таком случае ds > 0, и процесс называется реальным адиабатным процессом.

Политропный процесс

Политропным называется процесс, который описывается уравнением:

Показатель политропы n может принимать любые значения в пределах от -∞ до +∞, но для данного процесса он является постоянной величиной.

Из уравнения политропного процесса и уравнения Клайперона можно получить выражение, устанавливающее связь между p, vи Tв любых двух точках на политропе:

Работа расширения газа в политропном процессе равна:

В случае идеального газа эту формулу можно преобразовать:

Количество подведенной или отведенной в процессе теплоты определяется с помощью первого закона термодинамики:

представляет собой теплоемкость идеального газа в политропном процессе.

При c_v, k и n = const c_n = const, поэтому политропный процесс иногда определят как процесс с постоянной теплоемкостью.

Политропный процесс имеет обобщающее значение, ибо охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов.

Графическое представление политропа в p, v координатах в зависимости от показателя политропа n.

pv 0 = const (n = 0) – изобара;

pv = const (n = 1) – изотерма;

p 0 v = const, p 1/∞ v = const, pv ∞ = const – изохора;

n > 0 – гиперболические кривые,

n По материалам моего конспекта лекций по термодинамике и учебника «Основы энергетики». Автор Г. Ф. Быстрицкий. 2-е изд., испр. и доп. — М. :КНОРУС, 2011. — 352 с.