Решение неравенств с комплексными переменными
Рассмотрим задачи на нахождение областей в комплексной плоскости, заданных неравенствами. Чтобы решить данные неравенства с комплексными числами, вначале необходимо перейти к декартовым координатам, т.е. перейти к действительному представлению.
Чтобы представить комплексное число в действительной форме, нужно заменить комплексную переменную z действительными переменными x и y, а именно z = x + iy, где
x = Re(z), y = Im(z).
Пример 1. Найти на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству
Множество точек. Изображение некоторых множеств точек на плоскости.
Представим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию х = 5 и х = -4,
В первом случае прямые параллельны оси ординат, во втором – абсцисс.
На прямой может быть расположено неограниченное количество точек. И у всего этого множества точек, координаты удовлетворяют условиям х = 5 и х = -4; у = -4 и у = 1.
На координатной прямой неравенству х 3. Проанализируем, что это за точки:
— множество точек, абсцисса которых больше или равна 3
— точки, лежащие правее прямой х = 3 и на прямой.
Алгоритм построения будет иметь вид:
— строим в координатной плоскости прямую: х = 3;
— определяем, где будут находиться точки, абсцисса которых больше 3; ответ – правее;
— множество всех точек удовлетворяющих условию х > 3 покажем при помощи штриховки;
х > 3 задает полуплоскость, находящаяся правее прямой х = 3 и все точки этой прямой. Прямую изображаем одной цельной линией, этим указываем, что все точки расположенные на прямой так же включены во множество.
Представим множество точек, удовлетворяющих условию у 1.
Постройте множество точек у > 1. По аналогии, точкам этого множества присуще свойство — у них ордината больше 1.
Следовательно, они будут находиться выше прямой у = 1. В соответствии со знаком неравенства точки прямой у = 1 не удовлетворяют условию y > 1. Графически мы это покажем, изобразив прямую у = 1 пунктиром.
Представим множество точек, соответствующих условию у > 1 так:
Представим на координатной плоскости множества точек, соответствующих условию: -2 ≤ х ≤ 2.
Изобразить на комплексной плоскости множество точек удовлетворяющих уравнению
Пример 15. Построим множество точек ( x , y ) (x, y) , удовлетворяющих уравнению x 2 + x y = 0 x^2 + xy = 0 .
Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что
x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 = 0 x^2 + 4x + 4 + 4y^2 = 0 .
Аналогично рассматривается следующий пример, в котором также существенно выделение полного квадрата.
т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка ( 0,5 ; – 0,5 ) (0,5; – 0,5) (см. рис. 39).
Множеством точек может быть область на плоскости. Рассмотрим пример.
Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что
Покажем ещё пример построения множеств точек, удовлетворяющим уравнениям с модулями.
Построим множество точек, удовлетворяющих | y | = | x | |y| = |x| .
http://www.calc.ru/Mnozhestvo-Tochek-Izobrazheniye-Nekotorykh-Mnozhestv-Tochek-.html
http://zftsh.online/articles/4712