Изобразить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения

Составление дифференциального уравнения семейства кривых

Составление уравнений семейства кривых

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства:

φ (1)

необходимо продифференцировать равенство (1) n раз, считая y функцией от x, а затем из полученных уравнений и уравнения (1) исключить произвольные постоянные C₁ … C_n.

Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом ϕ, называются изогональными траекториями . Углы β и α наклона траектории и кривой к оси Ox связаны соотношением β = α ± φ.

— дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а

— уравнение семейства изогональных траекторий.

Тогда tg α = f (x,y), tg β = f₁ (x,y).

Отсюда следует, что если дифференциальное уравнение семейства кривых написано и угол φ известен, то найти tg β не составит труда, а после также легко можно будет написать уравнение траекторий.

Частный случай:

Если уравнение семейства кривых записано в виде:

,

то при составлении уравнения траекторий можно обойтись без решения уравнения относительно y’, в этом случае будет достаточно y’ заменить на tg α = tg (β ± φ), где tg β = y’ — угловой коэффициент касательной к траектории.

Пример №1

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых:

• Так как уравнение содержит два параметра (С₁ и С₂), то и дифференцировать будем два раза:

Первая производная:

Вторая производная:

• Дальше, чтобы составить дифференциальное уравнение семейства кривых необходимо избавиться от С₁ , а для этого выведем его из уравнения первой производной С₁ = -2(y — С₂)y’ и подставим в наше уравнение:

(2)

• Теперь также нужно избавиться от параметра C₂, а для этого выведем ее из второй производной: y — C₂ = -y’ 2 / y» и подставим это в (2):

• Ну и наконец упростим полученное уравнение и получим:

Пример №2

Для закрепления составим еще одно уравнение:

Решение абсолютно идентично предыдущему, за исключением того, что вместо параметров С₁ и С₂ здесь представлены параметры a, b и с. Ну и, конечно, раз параметров три, то нам понадобятся производные первого, второго и третьего порядка.

Делать описание каждого шага я уже не буду, думаю вы уже сами разберетесь:

Первая производная:

Вторая производная:

Третья производная:

Ответ:

Ну, думаю, если вы разобрались в первыми двумя примерами, то все остальные вы решите без труда, а чтобы это проверить дам вам парочку заданий «на дом».

Пример №3

Выразим коэффициенты a и b через 1-ую и 2-ую производные:

Первая производная: , где

Вторая производная: , где

Подставим значение b второй производной в значение a первой производной:

А теперь подставим полученные значения a и b в исходное уравнение и упростим:

⇒

Ответ:

Пример №4

Ну а здесь все еще проще:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Чтобы воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, вычтем из единицы обе части уравнения:

Ну и теперь как мы видим во второй части получилось исходное уравнение, только в квадрате, а значит оно будет равно:

Приведем к общему виду и запишем ответ:

Ответ:

Ну и на этой ноте мы с вами закончим данный урок, всем спасибо!

Если вам что-то непонятно (или нашли неточности в уроке) пишите в комментариях и мы вам обязательно ответим в ближайшее время.

Метод изоклин для дифференциальных уравнений 1-го порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка

Если в каждой точке области задано значение некоторой величины, то говорят, что в области задано поле этой величины. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) определяет поле направлений.

Тройка чисел определяет направление прямой, проходящей через точку . Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь истолкована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Задача построения интегральной кривой часто решается введением изоклин . Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (1) определяется уравнением

где — параметр. Придавая параметру близкие числовые значения, получаем достаточно густую сеть изоклин, с помощью которых можно приближенно построить интегральные кривые дифференциального yравнения (1).

Замечание 1. Нулевая изоклина дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых.

Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Для этого находят в силу уравнения (1):

и приравнивают ее нулю. Линия, определяемая уравнением

и есть возможное геометрическое место точек перегиба.

Пример 1. С помощью изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения .

Решение. Для получения уравнения изоклин положим , тогда или .

Изоклинами являются параллельные прямые. При получим изоклину . Эта прямая делит плоскость на две части, в каждой из которых производная имеет один и тот же знак (рис. 6).

Интегральные кривые, пересекая прямую , переходят из области убывания функции в область возрастания, и наоборот, а значит на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых, именно точки минимума.

Возьмем еще две изоклины: и .

Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения с изоклинами и , образуют с осью углы в и соответственно. Найдем далее вторую производную .

Прямая , на которой , является изоклиной, получаемой при , и в то же время интегральной линией, в чем можно убедиться подстановкой в уравнение. Так как правая часть данного уравнения удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности во всей плоскости , то остальные интегральные кривые не пересекают эту изоклину. Изоклина , на которой находятся точки минимума интегральных кривых, расположена над изоклиной , а поэтому интегральные кривые, проходящие ниже изоклины , не имеют точек экстремума.

Прямая делит плоскость на две части, в одной из которых (расположенной над прямой) 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, а значит интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, а в другой и, значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вниз. Интегральные кривые не пересекают прямой , значит, она не является геометрическим местом точек перегиба. Интегральные кривые данного уравнения не имеют точек перегиба.

Проведенное исследование позволяет нам приближенно построить семейство интегральных кривых уравнения (рис.6).

Пример 2. Методом изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения .

Решение. Полагая , где , получаем уравнение изоклин , причем . При получим , откуда

Интегральные кривые в точках пересечения с этими изоклинами имеют горизонтальные касательные.

Определим, имеют ли интегральные кривые на изоклинах экстремум. Для этого найдем вторую производную:

Если четное, то 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, и, значит, в точках пересечения с изоклинами , интегральные кривые имеют минимум; если же нечетное, то и интегральные кривые в точках пересечения с изоклинами имеют максимум. Находим изоклины:

Изоклинами являются параллельные прямыми с угловым коэффициентом, равным –1 , т. е. изоклины пересекают ось под углом . Легко убедиться в том, что изоклины , являются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения (для этого достаточно подставить функции в уравнение ).

Во всех точках плоскости правая часть данного уравнения, т.е. функция , удовлетворяет всем условиям теоремы существования и единственности, а поэтому интегральные кривые не пересекаются, и, следовательно, не пересекают изоклины . Производная обращается в ноль при , т.е. на изоклинах (6), и при , т. е. на изоклинах (6) и (7). При переходе (слева направо) через изоклины (7) меняет знак с плюса на минус. Например, если рассмотреть полосу, заключенную между изоклинами и , то на изоклине производная , причем под изоклиной 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, а над изоклиной , значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вниз. Таким образом, изоклины (7) являются геометрическим местом точек перегиба интегральных кривых. Полученные данные позволяют приближенно построить семейство интегральных кривых данного уравнения. Для более точного построения следует нанести еще несколько изоклин (рис. 7).

Пример 3. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения .

Решение. Положим . Тогда уравнение изоклин будет

Изоклинами являются параболы с вертикальной осью симметрии . Среди изоклин нет интегральных кривых. В самом деле, подставляя в данное уравнение и , будем иметь , или . Но это равенство ни при каком значении не может выполняться тождественно относительно .

Пусть , тогда в точках пересечения с изоклиной интегральные кривые будут иметь горизонтальные касательные. Изоклина разбивает плоскость на две части: в одной из них (решения убывают), а в другой 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADQAAAAXBAMAAAC2bnFAAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAD3RSTlMAncEhYUEQgTHg8NGxUXFruPrBAAAA30lEQVQoz2NgIB8wr8MpxfIFpxTjAnSRDhiDUwBNplNwBpRlb4Bh9y2okBOYTIQrYPzAwAU1SARMsp4JgEpxb2BgmsDAJtTAcDcBao4QVI5fgYHpAwNT4wSGOXA7pB3gUt8Y3LknMH9H2F8NlusHSn1lCO5/wPIV4TY2sBw/WIqh3oDnA7JUAdxABm0GLgU0TQycQBcCA+gjg30BujOA/uIH+msOgzzMO3DHM39hiAcyvYTWQ2VYD8HUMHiKTwGantCwEMpPbEDYCQoFrgl8n3FElX1BlwMOKXadE6QnGABHNTFBqOdYeAAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;» /> (решения возрастают). И так как эта изоклина не является интегральной кривой, то на ней находятся точки экстремума интегральных кривых, именно на той части параболы , где — точки минимума, а на другой части этой параболы, где 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQBAMAAACigOGCAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAcChQSFZMdCB6RCQsVNol/AAAACdSURBVBjTY2AgCbDjEBexE8Aqzrl2HbJEZQCcKaiHLMGiDJdhBEvs0dymDJVxQJbgVpForkqAyBg5IEnwOPC+ngeRYGA1SkRIsDFIKWyHGc5qlQCXYGSImwB3AOsJhAQDY54DXBzZKGaDewISEGezGzkIIiTqtFcxZEIcpQvTKtAHVMBxwsPoAKoHWd69ewe0t5AhEMwtRgoSQUEGAFJBHb3FaZBuAAAAAElFTkSuQmCC» /> — точки максимума. Интегральная кривая, проходящая через точку , т.е. через вершину параболы , в этой точке не имеет экстремума. В точках изоклин и касательные к интегральным кривым имеют угловые коэффициенты, соответственно равные 1 и –1.

Для исследования направления вогнутости интегральных кривых найдем вторую производную:

Она обращается в ноль только в точках, лежащих на параболе . В точках плоскости , координаты которых удовлетворяют условию , интегральные кривые вогнуты вниз , а в точках, где x^2″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, они вогнуты вверх 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Точки пересечения интегральных кривых с параболой являются точками перегиба этих кривых. Итак, парабола есть геометрическое место точек перегиба интегральных кривых.

Правая часть исходного уравнения во всех точках плоскости удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, поэтому через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Используя полученные сведения, строим приближенно семейство интегральных кривых данного уравнения (рис. 8).

Замечание 2. Точки пересечения двух или нескольких изоклин могут быть особыми точками дифференциального уравнения (1), т.е. такими точками, в которых правая часть уравнения (1) не определена.

Рассмотрим уравнение . Семейство изоклин определяется уравнением . Это семейство прямых, проходящих через начало координат, так что в начале координат пересекаются изоклины, отвечающие различным наклонам касательных к интегральным кривым. Нетрудно убедиться, что общее решение данного уравнения имеет вид и точка является особой точкой дифференциального уравнения. Здесь изоклины являются интегральными кривыми уравнения (рис. 9).

Пример 4. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения .

Решение. Полагая , получаем уравнение семейства изоклин . Таким образом, изоклинами являются прямые, проходящие через начало координат .

При получим изоклину , при — изоклину , при — изоклину .

Рассматривая обратное уравнение найдем изоклину , во всех точках которой интегральные кривые имеют вертикальные касательные.

В точке пересекаются все изоклины данного уравнения (особая точка уравнения). С помощью полученных изоклин строим интегральные кривые (рис. 10).

Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Практикум по курсу «Прикладная синергетика»

Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем

1. Исследование качественного поведения математических моделей синергетических систем

(Методические указания по выполнению практических заданий)

1.1 Общие положения.

Данные практические задания выполняются в соответствии с учебным планом по дисциплине «Общая синергетика». Выполнению работ должно предшествовать изучение теоретического материала (лекции и литературные источники). Описание лабораторных работ также содержит некоторые основные теоретические положения качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и содержит ряд контрольных вопросов (заданий). Задание может считаться успешно выполненным, если не только получены правильные ответы на контрольные вопросы, но и приведены обоснования этих ответов со ссылками на соответствующие теоретические положения. Кроме того, в практических заданиях предусмотрено самостоятельное решение задач по теме выполняемой работы.

По результатам работы необходимо представить отчет, который должен содержать:

Название практического задания и номер упражнения, номер задачи или контрольного вопроса; цель работы решения задач и ответы на контрольные вопросы с теоретическим обоснованием; необходимые графические иллюстрации; дополнительные сведения и соображения по теме практического задания (по желанию студента).

2. Практические задания

Элементы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (теоретические сведения к заданиям 1 – 3)

Во всех системах, представляющих интерес для синергетики, решающую роль играет динамика. А. Пуанкаре разработал современную теорию динамических систем, цель которой — исследовать типы поведения систем, описываемых взаимосвязан-ными нелинейными уравнениями. Эволюцию этих систем во времени можно описать, с помощью представления о движении изображающей точки в фазовом пространстве. Поскольку имеется взаимно однозначное соответствие между движением динамических систем и движением в фазовом пространстве (характером фазовых траекторий), то изучая возможные типы последних, можно придти к качественной классификации явлений, наблюдаемых в динамических системах. В данной лабораторной работе рассматриваются динамические системы с конечным числом переменных, исключая пространственно распределенные системы, характеризуемые непрерывной зависимостью от пространственных координат.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ. Динамические уравнения для систем с конечным числом степеней свободы имеют вид dq/dt = F( q, л) , где q – n — мерный вектор, а л – некоторый (управляющий) параметр. Решение q(t) уравнения dq/dt = F(t, q) представляется геометрически графиком функции q(t). Этот график определяет интегральную кривую на плоскости t, q.

Если F непрерывна в D (обл. существования решений), то интегральные кривые заполняют область D плоскости t, q. Это следует из того, что каждая точка D должна лежать по крайней мере на одной интегральной кривой. Таким образом, решения дифференциального уравнения представляются семейством интегральных кривых в D.

Если обе функции F и дF/дq непрерывны в D, то существует единственная инте­гральная кривая, проходящая через каждую точку D (см.). Заметим, что семейства интегральных кривых на рис. 2 и 6 имеют между собой большое сходство. Любая инте­гральная кривая на одном рисунке имеет соответствующую ей кривую на другом; они похожи по форме, у них те же самые асимптоты, но они не идентичны. Соотношение между этими двумя семействами интегральных кривых является примером того, что мы будем называть качественной эквива­лентностью. Мы будем говорить, что качественное поведение интегральных кривых на рис. 2 такое же, как на рис. 6.

Рис.1-6. Примеры инте­гральных кривых

Сказанное выше приводит к двум важным идеям:

1. Два различных дифференциальных уравнения могут иметь решения с одинаковым качественным поведением.

2. Качественное поведение решений определяется функ­цией F (t, q).

АВТОНОМНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ

Дифференциальное уравнение вида dq/dt=F(q), называется автономным. Это название оправдано тем, что F(q), определяется одним только q, и, таким образом, решение само управляет своим изменением.

Для семейств интегральных кривых, в которых кри­вые получаются одна из другой сдвигами, качественное по­ведение семейства определяется качественным поведением каждого индивидуального решения, а оно в свою очередь определяется функцией F(q). Если F(q) 0, то решения либо возрастают, либо убывают; если же F(c) = 0, то существует решение q(t) = с.

Эти свойства решений удобнее изображать на оси q, чем на плоскости t, q. Если F(q) 0 для q принадлежащем интервалу (а, b), то на этом интервале рисуется стрелка, показывающая направление из­менения q. Если F(с) = 0, то решение q(t) = с изображается точкой q = с. Такие решения называются неподвижными (стационарными, особыми) точ­ками уравнения, так как q = с для всех значений t. Это геометрическое изображение качественного поведения реше­ний уравнения dq/dt = F(q) называется фазовым портретом (ось q – фазовая прямая, а q(t)- фазовая точка).

*) Употребляются и другие эквивалентные термины: «стационарная точка», «особая точка», «положение равновесия». Ось q называется при этом фазовой прямой, а точка q(t))—фазо­вой точкой.

Несколько фазовых портретов для конкретных функций F изображено на рис. 7 — 10.

Если решение q(t) нестационарное, то оно должно быть либо возрастающим, либо убывающим; таким образом, если число неподвижных точек конечно, то может существовать только конечное число «различных» фазовых портретов. Под словом «различные» мы подразумеваем «отличающиеся набором областей, в которых возрастает или убывает». На­пример, рассмотрим случай одной неподвижной точки q = с (см. рис. 11). На каждой из получаемых полупрямых

(q с) функция F может быть либо положительной, либо отрицательной. Следовательно фазовый портрет дол­жен соответствовать одному из четырех случаев, изображен­ных на рис. 11.

Рис. 11. Четыре возможных фазовых портрета для одной изолированной неподвижной точки. Неподвижная точка называется аттрактором в слу­чае (а), шунтом в случаях (b) и (с) и репеллером в случае (а).

Это значит, что качественное поведение любого автономного дифференциального уравнения с одной неподвижной точкой должно соответствовать одному из фа­зовых портретов на рис. 11 при некотором значении с.

Различные дифференциальные уравнения с одной непо­движной точкой, имеющие один и тот же фазовый портрет, считаются качественно эквивалентными.

Заметим, что соображения, которые использовались при получении рис. 11, сохраняют свою силу, если точка q = с — одна из многих неподвижных точек на фазовом портрете. Другими словами, качественное поведение q в окрестности любой неподвижной точки должно быть таким же, как в од­ном из случаев на рис. 11. Говорят, что это поведение определяет характер (вид, природу) неподвижной точки, и для его описания применяют термины, приведенные в под­писи к рис. 11.

Таким образом, из сказанного следует вывод, что фазовый портрет любого автономного уравнения полностью определяется видом его неподвижных точек. Введем следующее определение.

Определение. Два дифференциальных уравнения вида dq/dt = F(q) качественно эквивалентны, если они имеют равное количество неподвижных точек одинакового характера, рас­положенных в одинаковом порядке на фазовой прямой.

Например, уравнение dq/dt = (q + 2) (q + 1) эквивалентно уравнению dq/dt = 1/2 (q2 — 1). Оба уравнения имеют по две не­подвижные точки, одна из которых аттрактор, а другая ре­пеллер, причем аттрактору соответствует меньшее значение q. Уравнение dq/dt = — (q + 2) (q + 1) не является качественно эквивалентным уравнению dq/dt =1/2 (q2 — 1), потому что аттрак­тор и репеллер идут в обратном порядке.

Для нелинейных функций F(q) каждая неподвижная точка должна принадлежать одному из возможных типов, указанных на рис. 11. Таким образом, хотя и может существовать бесконечно много различных фазовых портретов, они содержат не более четырех различных видов неподвижных точек. Это ограничение связано с тем, что уравнение dq/dt = F(q) содержит только одну действительную переменную q. Поэтому возникает одномерный фазовый портрет, на котором q в каждой нестационарной точке может только возрастать или убывать.

Упражнение 1. Каким из нижеприведенных уравнений соответствуют семейства интегральных кривых, изображенные на рис. рис. 1 – 6.

dq/dt =2qt (4) dq/dt = — q/t, t 0 dq/dt = — t/q (5) dq/dt = — q/th t, t 0 dq/dt = q – t (6) dq/dt = Ѕ(q2 — 1)

Упражнение 2. Распределить следующие дифференциальные уравнения на группы качественно эквивалентных: