Изобразите множество точек заданных уравнением

Изобразите множество точек заданных уравнением

Пример 15. Построим множество точек ( x , y ) (x, y) , удовлетворяющих уравнению x 2 + x y = 0 x^2 + xy = 0 .

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 = 0 x^2 + 4x + 4 + 4y^2 = 0 .

Аналогично рассматривается следующий пример, в котором также существенно выделение полного квадрата.

т. е. уравнению снова будет удовлетворять единственная точка ( 0,5 ; – 0,5 ) (0,5; – 0,5) (см. рис. 39).

Множеством точек может быть область на плоскости. Рассмотрим пример.

Построим множество точек ( x , y ) (x, y) таких, что

Покажем ещё пример построения множеств точек, удовлетворяющим уравнениям с модулями.

Построим множество точек, удовлетворяющих | y | = | x | |y| = |x| .

Множество точек на плоскости

Пример №1 . Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от точек A(1;2) и B(-2;0).
Решение
Пусть точка М принадлежит искомому множеству точек, тогда МА=МВ. Так как


то

После возведения левой и правой частей в квадрат и упрощений получим:
(x-1) 2 + (y-2) 2 = (x + 2) 2 + y 2
x 2 — 2x + 1 + y 2 — 4y + 4 = x 2 + 4x + 4 + y 2
или
— 6x — 4y + 1 = 0
Ответ: — 6x — 4y + 1 = 0.

Пример №2 .
Составить уравнение множества точек на плоскости, отношение расстояний которых от точки A(1;-2) и от прямой x=1 равно 1 /₂.
Решение
Из условия следует, что для любой точки M(x;y) искомого множества справедливо соотношение MA:MB = 1 /₂. Так как:


то

или

Возведя левую и правую части в квадрат и упрощая, получим:
4(x — 1) 2 + 4(y + 2) 2 = |x — 1| 2
т.е.
4(x 2 — 2x + 1) + 4(y 2 + 4y + 4) = x 2 — 2x + 1
или
3x 2 + 4y 2 — 6x +16y +19 = 0
Ответ: 3x 2 + 4y 2 — 6x +16y +19 = 0.

Пример №3 . Составить уравнение линий, если расстояние каждой ее точки А(2,0) относится к расстоянию до прямой 5x+8=0 как 5:4 .
Решение. Выражаем x = -8/5. λ=5/4. Подставляем данные в задание №2.

Пример №4 . Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой x+6=0 и от начала координат.
Примечание. Здесь x=-6 , λ=1.

Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными

Примеры изображения на координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств и систем неравенств с двумя переменными

Просмотр содержимого документа
«Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными»

Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств

с двумя переменными.

1. Изображение множества решений уравнений с двумя переменными.

Определение. Уравнение вида , где — некоторая функция переменных х и у, называется неравенством с двумя неизвестными х и у.

Решить уравнение – значит найти множество всех его корней.

Решением уравнения с двумя переменными называется любая упорядоченная пара (х; у), которая обращает заданное уравнение в верное числовое равенство.

Для того, чтобы решить уравнение с двумя переменными нужно построить его график.

Графиком уравнения с двумя переменными является множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Задача 1. Изобразить на координатной плоскости множество решений уравнений

Построим график уравнения

Так как произведение равно нулю, то каждый из множителей также равен нулю.

Решим каждое из полученных уравнений:

или

Решением является множество точек двух прямых: ,

Задача 2. Изобразить на координатной плоскости множество решений уравнений

Построим график уравнения .

Для этого выразим переменную .

Уравнение задает параболу с вершиной в точке

То есть решением уравнения является множество точек параболы

Задача 3. Изобразить на координатной плоскости множество решений уравнений

Построим график уравнения

Уравнение задает окружность с центром в точке , радиусом

То есть решением уравнения является множество точек построенной окружности

2. Изображение множества решений неравенств с двумя переменными.

Определение. Выражение вида , где — некоторая функция переменных х и у, называется неравенством с двумя неизвестными х и у.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений.

Решением неравенства с двумя переменными называется любая упорядоченная пара (х; у), которая обращает заданное неравенство с переменными в верное числовое неравенство.

Алгоритм решения неравенства

1. Построить график уравнения .

Если неравенство «строгое», тогда график изображаем пунктирной линией;

Если неравенство «нестрогое», тогда график изображаем сплошной линией.

2. Выделить штриховой часть координатной плоскости, соответствующей знаку неравенства.

Задача 1. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Построим график заданного неравенства . Для этого выразим переменную .

Уравнение задает линейную функцию, проходящую через точки:

Поскольку неравенство имеет знак «больше либо равно», значит выделяем часть координатной плоскости, которая лежит выше построенной прямой . Выделенная часть является решением заданного неравенства.

Задача 2. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Построим график заданного неравенства.

Уравнение задает параболу с вершиной в точке

Поскольку заданное неравенство имеет знак «больше либо равно», значит решением неравенства является множество всех точек, расположенных выше (внутри) параболы.

Задача 3. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства .

Графиком уравнения является гипербола .

Данная гипербола разбивает координатную плоскость на три области А, В и С.

Для определения необходимой области нужно выбрать контрольные точки, по одной из каждой области.

Возьмем из области А точку с координатами (5;4). Подставим координаты в заданное неравенство и проверим его истинность. Имеем: получили верное неравенство. Значит область А входит в решение заданного неравенства.

Возьмем из области В точку с координатами (1;2). Подставим координаты в заданное неравенство и проверим его истинность. Имеем: получили неверное неравенство. Значит область В не входит в решение заданного неравенства.

Возьмем из области С точку с координатами Подставим координаты в заданное неравенство и проверим его истинность. Имеем: получили верное неравенство. Значит область С входит в решение заданного неравенства.

3. Изображение множества решений системы неравенств с двумя переменными.

Решить систему неравенств – значит найти множество всех решений системы.

Решением системы неравенств с двумя переменными называется любая упорядоченная пара (х; у), которая обращает все неравенства заданной системы в верные числовые неравенства.

Системе неравенств удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, задаваемых каждым из неравенств системы

Задача 4. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

На координатной плоскости множество всех решений неравенства

изображается в виде множества точек полуплоскости, лежащих выше прямой и на этой прямой (смотри задачу 1).

Аналогично строим график неравенства .

То есть строим на координатной плоскости прямую

Множество решений неравенства изображается в виде множества точек полуплоскости, лежащих выше прямой и на этой прямой.

Системе неравенств удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, задаваемых каждым из неравенств системы.

Задача 5. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

На координатной плоскости множество всех решений неравенства

изображается в виде множества точек полуплоскости, лежащих ниже параболы и на этой параболе.

Аналогично, множество решений неравенства изображается в виде множества точек полуплоскости, лежащих выше параболы и на этой параболе.

Системе неравенств удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат пересечению множеств точек, задаваемых каждым из неравенств системы.