Изобразите на комплексной плоскости все корни уравнения
. Вы вводите его по ссылке решение уравнений онлайн , указываете, что i — это комплексная единица (после того как ввели уравнение и нажали кнопку «решить»), нажимаете кнопку под формой «Обновить» и получаете ответ как здесь. Если в ответе присутствуют корни из комплексных чисел, то можно воспользоваться калькулятором по упрощению комлексных чисел по ссылке
© Контрольная работа РУ — примеры решения задач
Как изобразить на комплексной плоскости все корни уравнения Z^3=8?
z³ = 8; z³ = 8(cos(0) + i·sin(0)); z = 2(cos(2πk/3) + i·sin(2πk/3)), k = 0..2;
если нужно просто найти корни на комплексной плоскости, то будет :
z^3 = 8 ; z^3 — 8 = 0 ; z^3 — 2^3 = 0; (z-2)(z^2 + 2z + 4) = 0 ; z=2 -> это действительный корень ;
z^2 + 2z + 4 = 0 ; D = 4 — 16 = -12 ;
z1 = (-2 + √(-12) )/2 = (-2 + 2i√3)/2 = 2i√3 — 1 ;
z2 = -2i√3 — 1 ;
z1 и z2 -> это комплексные корни .
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Комплексные числа
- Формули Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.
Формулы Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Формулы Эйлера:
Формула Муавра:
Если $z=re^, $ то $$z^n=r^ne^
$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$
Пусть $a=re^, \,\, a\neq 0,-$ фиксированное комплексное число. Тогда уравнение $z^n=a,\,\,\, n\in N,$ имеет в точности $n$ различных решений $z_0, z_1, . z_
Примеры:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\cos\varphi=\frac
Решение.
Известно, что $e^=\cos<\varphi>+i\sin\varphi.$ Соответственно, $e^<-i\varphi>=\cos<(-\varphi)>+i\sin(-\varphi)=\cos\varphi-i\sin\varphi.$
Отсюда находим $e^+e^<-i\varphi>=\cos\varphi+i\sin\varphi+\cos\varphi-i\sin\varphi=2\cos\varphi.$
Cледовательно, $\cos\varphi=\frac
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
1.485. $(1+i)^<10>.$
Решение.
Запишем число $z=1+i$ в показательной форме:
Поскольку число $z$ находится в первой четверти, то
Таким образом, мы можем записать число $z=1+i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$
Теперь, используя формулу Муавра можно найти $z^<10>:$
Ответ: $(1+i)^<10>=32i.$
1.491. Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ функцию$\cos 3\varphi.$
Решение.
$$+\left.\cos^3(-\varphi)-3i\cos^2(-\varphi)\sin(-\varphi)+3i^2\cos(-\varphi)\sin^2(-\varphi)-i^3\sin^3(-\varphi)\right)=$$ $$=\frac<1><2>\left(\cos^3<\varphi>+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)\right.-i\sin^3\varphi+$$ $$+\left.\cos^3\varphi+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)-i\sin^3\varphi\right)=$$ $$=\cos^3\varphi+3i\sin\varphi-3i\sin^3\varphi-3\cos\varphi+3\cos^3\varphi-i\sin^3\varphi=$$ $$=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$$
Ответ: $4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$
1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
Решение.
Запишем число 1 в показательной форме:
$1=1e^<0i>.$ То есть $r=1, \varphi=0.$
Далее, пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
Вычисляем корень третьей степени из единицы:
Вычисляем корень четвертой степени из единицы:
Ответ: Корни второй степени: $z_0=1;\,\, z_1 =-1.$ Корни третьей сепени: $z_0=1;\,\, z_1=-\frac<1><2>+i\frac<\sqrt 3><2>;\,\, z_2=-\frac<1><2>-i\frac<\sqrt 3><2>.$ Корни четвертой степени: $z_0=1;\,\, z_1=i;\,\, z_2=-1;\,\, z_3=-i.$
Найти все значения корней:
Решение.
Запишем число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме:
Поскольку число $z$ находится во второй четверти, то
Таким образом, мы можем записать число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме: $z=2 e^<3>>.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
Ответ: $\pm\frac<\sqrt 2><2>(1+i\sqrt 3)$
1.501. $\sqrt [5]<-1-i>.$
Решение.
Запишем число $z=-1-i 3$ в показательной форме:
Поскольку число $z$ находится в третьей четверти, то
Таким образом, мы можем записать число $z=-1-i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\sin\varphi=\frac
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ следующие функции:
http://sprashivalka.com/tqa/q/29348827
http://mathportal.net/index.php/kompleksnye-chisla/formuli-ejlera-i-muavra-koren-n-j-stepeni-s-kompleksnogo-chisla