Изучение квадратных уравнений в школьном курсе математики

Курсовая работа: Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

ГОУ СПО «Кунгурское педагогическое училище»

Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

Курсовая работа

по методике математики

Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе

1.1. Из истории возникновения квадратных уравнений 6

1.2. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры 12

1.3. Методика изучения квадратных уравнений 15

Глава 2. Методико-педагогические основы обучения решению квадратных уравнений

2.1. Урок – лекция по теме «Формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом» 23

2.2. Урок – практикум по теме «Квадратные уравнения» 28

2.3. Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения» в форме игры «Звездный час» 32

Список литературы 38

Сухие строки уравнений –

В них сила разума влилась.

В них объяснение явлений,

Вещей разгаданная связь.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.[10,241].

Автором данной работы выбрана тема «Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе», так как она актуальна в современном мире; это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений. К изучению темы «Квадратные уравнения» учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале данной темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Исходя из вышесказанного, автор, выбирая тему курсовой работы, руководствовался ее значимостью и сложностью при обучении учащихся решению квадратных уравнений разного вида.

Цель работы: формирование представлений о работе над квадратными уравнениями на уроках математики. Исходя из данной цели, были поставлены следующие задачи:

· изучить научно-методическую литературу, касающуюся изучению уравнений;

· проанализировать школьные учебники и выделить в них место уравнений.

· разработать уроки по данной теме.

Для решения вышеуказанных задач были изучены следующие литературные источники:

1) Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 287 с.

2) Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 255с.

3) Мордкович А.Г.. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2004. – 287с.

4) Бекаревич А.Б. Уравнения в школьном курсе математики. – М., 2000. – 241с.

5) Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы. – М., 1982.

6) Колягин Ю.М. Методика преподавания математике в средней школе. Частные методики. – М.: Просвещение, 2002.

7) Маркушевич Л.А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы // Математика в школе. – 2001. — №1. – с.15

8) Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под ред. Н.Л.Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

9) Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе. – М.,1999.- 398с.

10) Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: Просвещение, 2003. – 368 с.

Проанализировав некоторые источники, можно сделать вывод о недостаточном освещении изучаемого вопроса в современной методической литературе.

Объект исследования работы: процесс обучения математике.

Предмет: формирование умения решения квадратных уравнений у учащихся 8-го класса.

Контингент: учащиеся 8-го класса.

Глава 1. Теоретические аспекты обучению решения уравнений в 8 классе

1.1. Из истории возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решению уравнения:

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax 2 + bх = с, а> 0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 3 уравнение:

,

Бхаскара пишет под видом:

x 2 — 64x = — 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

x 2 — б4х + 32 2 = -768 + 1024,

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах 2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах 2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах 2 .

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.[3,75]

Квадратные уравнения в Европе XII — XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x 2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых вXVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.[5,12].

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Итак, ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.

1.2. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры

Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Можно выделить главные области возникновения и функционирования понятия «уравнение» как:

· средства решения текстовых задач;

· особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения;

· формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.[12,268]

Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Названным областям относятся три основных направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры.

1. Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование (Математическое моделирование заключается в конструировании по определенным правилам некоторой формальной системы, которая отображает через совокупность математических операций над величинами определенную гипотезу о структуре или воспитания). Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании. [14,246].

2. Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах:

· выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, и их систем;

· изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом.

Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений.

3. Направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией, причем эта связь — двусторонняя. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий,— это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений.

Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х 2 = b, где b—неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.[9,341]

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений , так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений и их систем.[12,269]

Изучение и использование преобразований уравнений и их систем, с одной стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности для формирования логической культуры.

Таким образом, владение содержанием линии уравнений позволяет расширить список выполнимых преобразований. Так, умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращение дробей, в числителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен. В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.

1.3. Методика изучения квадратных уравнений

С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.

Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А.Г.Мордкович, С.М.Никольский, Ю.Н.Макарычев, М.И.Башмаков.

Методическая разработка раздела « Квадратные уравнения» образовательной программы по алгебре в 8 классе

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Управление образования

администрации Арзамасского района.

по алгебре в 8 классе

Разработал: учитель математики

МБОУ Наумовская основная

Спиридонова Людмила Ивановна

Педагогический стаж – 31 год

Стаж работы по предмету – 25 лет

2012 – 2013 учебный год

Название пункта раздела

Цели и задачи раздела

Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоение учебного материала обучающимися в соответствии с возрастными особенностями

Ожидаемые результаты освоения раздела программы

Обоснование используемых в образовательном процессе по разделу программы образовательных технологий, методов и форм организации деятельности обучающихся

Система знаний и система деятельности.

Поурочное планирование по разделу « Квадратные уравнения»

Разработка урока по теме: « »»

Приложения к уроку

Презентация к уроку

Исходными документами для составления методической разработки раздела:

«Квадратные уравнения» явились:

— Региональный базисный учебный план общеобразовательных учреждений Нижегородской области, утвержденный приказом Министерства образования Нижегородской области № 57 от 04. 03. 2005 года.

— Стандарты второго поколения. Проект. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы. Руководители проекта: А.А. Кузнецов, В.М. Рыжаков, А.М. Кондаков.– М.: Просвещение, 2010 год.

— Федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в образовательных учреждениях, на 2012-2013 учебный год. (Приказ Минобразования и науки РФ от 9 декабря 2008 года №349).

Раздел разработан на основе программы для общеобразовательных учреждений. Составитель: Т. А. Бурмистрова, Москва, «Просвещение», 2008 год.

Предлагаемая программа по алгебре составлена в соответствии с требованиями федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике. Раздел программы «Квадратные уравнения» является одним из ведущих в образовательной области «Математика». Тема «Квадратные уравнения» — основная тема курса алгебры 7 – 11 классов. Навык решения квадратных уравнений необходим каждому ученику для итоговой аттестации за курс основной и старшей школы. Умение решать квадратные уравнения является одним из базовых умений для приобретения новых.

Умение решать квадратные уравнения начинает формироваться ещё в 6 — 7 классах и к моменту начала изучения темы «Квадратные уравнения» дети умеют решать уравнения графически и выделением полного квадрата.

Во втором полугодии 8 класса идет завершение процесса обучения решению квадратных уравнений. При изучении темы происходит обобщение знаний учащихся по двум вопросам: квадратные уравнения и рациональные уравнения.

Считаю целесообразным поменять изучение материала в главе 3 «Квадратные уравнения», чтобы провести систематизацию способов решения квадратных уравнений и рассмотреть вопрос о выборе оптимального способа решения квадратного уравнения. Осуществление выбора способа решения предполагает анализ эффективности его применения, происходит осмысление выполняемой работы, таким образом, обеспечивается глубина и прочность знаний учащихся. Выбор можно осуществить только при наличии нескольких способов решения, поэтому в представленном поурочном планировании я изменила последовательность изучения параграфов в данной теме.

Концепция математической подготовки учащихся предполагает, что знания ученик должен добывать сам, поэтому считаю, что на уроках целесообразно организовывать исследовательскую работу, к которой я отношу и осуществление выбора оптимального способа для решения квадратного уравнения.

Данная разработка конкретизирует тематическое планирование, представленное авторами УМК, и раскрывает содержание уроков, исходя из образовательных целей урока, предлагается выбор образовательной технологии.

Полагаю, что данная разработка может быть полезна молодым специалистам, которые ещё не владеют содержанием программы, и тем учителям, кто только начинает работать по УМК под редакцией А.Г. Мордковича.

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении алгебраических, иррациональных, тригонометрических и других видов уравнений, а также занимает важное место в заданиях ЕГЭ. Раздел программы содействует сохранению единого образовательного пространства, не сковывая творческой инициативы учителя, предоставляет широкие возможности для реализации различных подходов к построению учебного курса с учетом индивидуальных способностей и потребностей обучающихся, материальной базы школы. Темы занятий в планировании распределены по принципам:

Основной целью данного раздела является освоение обучающимися понятий квадратное уравнение, полное и неполное квадратное уравнение, формирование умений решать квадратные уравнения различными способами, решать задачи, в которых математической моделью являются квадратные уравнения.

Место раздела в базисном учебном плане.

Федеральный базисный учебный план для общеобразовательных учреждений РФ на изучение программного материала по алгебре в 8 классе отводит 102 часа. Количество часов на изучение каждого раздела программы варьирует сам учитель, делая упор на программу. Так на изучение программного раздела «Квадратные уравнения» в 8 классе отводится 21 час из них 2 часа на контрольные работы. Я, учитывая реальный объем знаний школьников и уровень владения умениями, а также значимость материала для их формирования, оставила количество часов без изменения программы.

Это третья тема программы, изучается после темы: « Рациональные дроби. Квадратные корни».

В ней предусмотрено:

— использование разнообразных способов обучения (средств, методов, форм организации учебной деятельности);

— внедрение современных методов обучения и педагогических технологий.

Раздел ориентирован на использование учебника Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. «Алгебра» Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, М. «Просвещение» 2010г.

Дополнительные пособия для учителей и обучающихся:

1. Дидактические материалы по алгебре: 8 класс Авторы: Л.И.Звавич, Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Москва, «Просвещение», 2008

2. Тесты по алгебре 8 класс. К учебнику Ю.Н. Макарычев . 8 класс. М.: Издательство « Вако», 2010

3. Математические диктанты для 5 – 9 классов, М.: Издательство « Просвещение», 2009

4. Контрольные и проверочные работы по алгебре. 8 класс. Издательство «Экзамен», 2010

5. Тесты для промежуточной аттестации «Алгебра 7 -8 класс» под редакцией Ф.Ф.Лысенко, Издательство « Легион», Ростов – на — Дону, 2008

6. Поурочное планирование по алгебре, Т.М.Ерина, М.: Издательство «Экзамен», 2008

2 . Цели и задачи раздела.

Учебный предмет «Алгебра» в современной школе имеет познавательно — практическую направленность, т.е. он дает обучающимся расширенные знания об уравнении и способах его решения.

Цель данного раздела : выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

обеспечить усвоение обучающимися понятий квадратное уравнение, полное и неполное квадратное уравнение, биквадратное уравнение;

сформировать умение решать квадратные уравнения различными способами; применять их при решении задач.

развивать у школьников умение выделять главное в изучаемом материале, учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать.

пробудить любознательность, возбудить готовность решать задачи самостоятельно, побудить обучающихся к активности.

Познакомить обучающихся с понятием квадратного уравнения; неполного квадратного уравнения; биквадратного уравнения.

Научить переносить приобретенные знания на другие области (геометрия, физика).

Выработать навыки решения квадратных уравнений различными способами.

3. ПСИХОЛОГО – ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБЪЯСНЕНИЕ СПЕЦИФИКИ ВОСПРИЯТИЯ И ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ОБУЧАЮЩИМИСЯ В СООТВЕТСТВИИ С ВОЗРАСТНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ.

Учебно-воспитательный процесс — это не только процесс усвоения знаний, формирование умений и навыков самостоятельного и творческого мышления, но и создание благоприятных условий для формирования и позитивного развития личности ребенка. Одним из путей реализации данной цели является знание и учет уровня развития, способностей обучающегося, потребности и мотивации к учению, возрастные особенности. Перспективная цель – это создание благоприятных условий для формирования и развития личности ребенка. Для определения уровня развития и обученности детей использовала методы и приемы психологической диагностики, результаты которых использовала с целью оптимизации учебно-воспитательного процесса при составлении планирования раздела: «Квадратные уравнения».

В возрасте около 14 лет наступает период, называемый психологами «проектирование будущего». Единственным предметом, где такие размышления могут перейти из разряда «мечтаний» в разряд «целеполагания», является образование. В это время важно вывести обучающегося через образовательные ситуации на проживание ситуаций социальных, тем более что образ идеального будущего формируется в раннем юношеском возрасте под влиянием успешного настоящего. Помимо «академического настоящего», у старшеклассника должен появиться опыт реальной деятельности в рамках наиболее общих профессиональных направлений с тем, чтобы он смог примерить на себя ту или иную социальную роль. Поэтому деятельность обучающегося в этот период можно рассматривать как социальные практики. С другой стороны, в старших классах более четко проявляются образовательные интересы обучающихся, связанные с планами на дальнейшую учебу и трудовую деятельность.

В этом возрасте проявляется осознание собственных мыслительных процессов, поэтому выполнение действий контроля и оценки предполагает привлечение внимания школьников к содержанию собственных действий, к рассмотрению их оснований с точки зрения соответствия результату, требуемому задачей. Такое рассмотрение обучающимися оснований собственных действий, называемое рефлексией, позволяет сформировать у обучающихся навыки самоконтроля за процессом усвоения материала.

Система уроков по данной теме сориентирована не столько на передачу «готовых знаний», сколько на формирование активной личности, мотивированной к самообразованию, обладающей достаточными навыками и психологическими установками к самостоятельному поиску, отбору, анализу и использованию информации. Это поможет выпускнику адаптироваться в мире, где объем информации растет в геометрической прогрессии, где социальная и профессиональная успешность напрямую зависят от позитивного отношения к новациям, самостоятельности мышления и инициативности, от готовности проявлять творческий подход к делу, искать нестандартные способы решения проблем, от готовности к конструктивному взаимодействию с людьми.

Обучающиеся 8 класса обладают достаточными знаниями и навыками, для изучения темы. В начале темы приводятся решения неполных квадратных уравнений различного вида.

По уровню развития и обученности класс делится на 3 группы.

— уровень – низкий уровень развития. У них отсутствует способность к длительной сосредоточенности, быстро утомляются, внимание рассеянное, плохая память, постоянно делают ошибки при выполнении заданий, с трудом могут выразить свои мысли. Такая группа отсутствует в данном классе.

-уровень — средний уровень развития у — 66% обучающихся. Обучающиеся достаточно внимательны, редко отвлекаются, но не всегда могут точно выразить свои мысли, хотя правильно понимают изучаемый материал, недостаточна быстрота мыслительных операций. Есть среди них дети, которым нужно больше учить, а иногда и просто «зубрить». А есть и «лентяи», которые, пользуясь своей способностью быстро схватывать и запоминать, они мало работают дома, поэтому им необходима помощь учителя.

– уровень – высокий уровень развития у – 33 % обучающихся. Они глубоко и полно овладевают содержанием учебной программы. Это обучающиеся способны к самостоятельному построению учебных действий. Они выполняют достаточно сложные упражнения, критически оценивают свои действия, могут дать отчет на всех этапах выполнения задания. Обучающиеся этой группы активны, с высокой работоспособностью, долговременной памятью, любознательны, обладают устойчивым вниманием. Они быстро включаются в работу, умеют сравнивать, анализировать, способны запоминать и воспроизводить логику рассуждений, последовательность мыслей.

Поддержанию должностного уровня познавательного интереса к предмету способствует использование нетрадиционных форм проведения занятий по данной теме. Дифференциация обучения, личностный подход к ученику как к личности с ее потребностями и возможностями. Только дифференцированный и индивидуальный подход к каждому обучающемуся позволит организовать достаточно плодотворный, активный процесс на уроках по теме: « Квадратные уравнения». Ученики данного класса положительно относятся к школе. Её посещение у них не вызывает отрицательных переживаний. Усваивают основное содержание учебных программ. Достаточно внимательны, редко отвлекаются, но не всегда могут точно выразить свои мысли, хотя правильно понимают изучаемый материал, недостаточна быстрота мыслительных операций, процесс переключения с одного вида деятельности на другой замедленный, осуществляется при повторении целей деятельности со стороны учителя. Они могут выполнять намеченный план деятельности только при помощи взрослых (учителя). Волевое усилие присутствует не всегда. Недостаточная активность и самостоятельность при выполнении задания нуждаются в направляющей помощи учителя. В речи наблюдаются ошибки, сама речь недостаточно выразительна.

4. Ожидаемые результаты освоения раздела программы

В направлении личностного развития: умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания; креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач; умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

В метапредметном направлении: первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни; умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме; умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации; умение видеть различные стратегии решения задач; понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом; умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем.

В предметном направлении: умение работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации); владение базовым понятийным аппаратом: овладение символьным языком математики;овладение практически значимыми математическими умениями и навыками, применение их к решению математических и нематематических задач, предполагающее умение: выполнять устные и письменные вычисления; выполнять алгебраические преобразования рациональных выражений, применять их для решения учебных математических задач и задач, возникающих в смежных учебных предметах; применять изученные понятия, результаты и методы при решении задач из различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному применению известных алгоритмов; точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и символику; использовать различные языки математики (словесный, символический, графический); обосновывать суждения.

В результате изучения раздела программы « Квадратные уравнения» ученик

должен знать (понимать):

— определение квадратного уравнения,

— неполного квадратного уравнения,

— приведённого квадратного уравнения,

— формулу дискриминанта квадратного уравнения,

— формулу корней квадратного уравнения,

— формулу корней квадратного уравнения, в котором коэффициент является чётным числом.

— решать неполные квадратные уравнения,

— решать полные квадратные уравнения,

— решать приведённые квадратные уравнения

— решать простейшие рациональные уравнения,

— применять квадратные и рациональные уравнения к решению задач.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности:

— решение уравнений вида ax 2 + bx + c = 0, где, а ≠ 0, с использованием формулы корней,

— познакомить с формулами Виета, выражающими связь между корнями и его коэффициентами. Они используются в дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении квадратного трёхчлена на линейные множители.

— овладев способом решения дробных рациональных уравнений, который сводится к решению соответствующих целых уравнений с последующим исключением посторонних корней.

— изучение данной темы позволяет существенно расширить аппарат уравнений, используемых для решения текстовых задач.

5. Используемые в образовательном процессе образовательные технологии, методы и формы организации деятельности обучающихся.

При изучении алгебры в 8 классе использую различные методы и средства обучения, а также различные формы организации учебной деятельности.

На уроках изучения главы 3 « Квадратные уравнения» используются такие методы, как:

словесные методы обучения (рассказ, объяснение, лекция, беседа (репродуктивная и поисковая), работа с учебником;

наглядные методы (иллюстрация, демонстрация наглядных пособий, презентаций, таблиц, рисунков);

практические методы (устные и письменные упражнения, практические работы);

активные методы (дидактические игры, анализ контрольных ситуаций, решение проблемных задач, обучение алгоритму);

индуктивный и дедуктивный.

Каждый метод рассматриваю как определенную систему приемов. Использую приемы общей (внешней ) организации учебной деятельности : приемы слушания, наблюдения, планирования работы с учебником, компьютером, пересказа информации, самоконтроля, организации домашней работы, и приемы познавательной (внутренней) деятельности: приемы внимания, запоминания, приемы словесного описания, объяснения, приемы постановки вопросов и проблем, приемы рефлексии, приемы оперирования образами, суждениями, понятиями.

На уроке алгебры при изучении темы « Квадратные уравнения» использую различные формы организации учебной деятельности обучающихся:

В поурочное планирование включаю четыре вида занятий:

1) урок на изучение нового материала;

2) урок на отработку и закрепление пройденного материала;

3) урок контроля знаний (контрольная работа);

4) урок контроля знаний (тематический зачет).

Основные типы уроков:

урок усвоения новых знаний;

урок закрепления изученного материала;

урок систематизации и обобщения нового материала;

урок проверки и оценки знаний;

Эффективность знаний, умений и навыков, обучающихся по разделу

«Квадратные уравнения» во многом зависит от использования учителем различных образовательных технологий, методов и форм организации деятельности обучающихся. Учитывая возрастные и психологические особенности обучающихся для реализации раздела программы целесообразно использовать следующие методы обучения:

— по характеру познавательной деятельности:

Методические рекомендации по изучению тем: 1. Квадратные уравнения. 2. Квадратичная функция. 3. Квадратные неравенства методом УДЕ

Разделы: Математика

Введение

“Противопоставление облегчает и ускоряет наше здоровое мышление”

Академик И.Павлов“В каждый момент – в нашем мозгу происходит развертывание впечатлений, сопоставление наблюдений с уже известными образами. Отличительная особенность этого состоит в широком, использовании аналогий и прототипов”

Академик И. Пригожин

Все согласны с тем, что нет “царского пути в математику”. Много труда в терпения, настойчивости и внимания требуется от учителя и школьника, чтобы последний смог освоить программный минимум знание по этому предмету.

Мы привыкли сейчас к открытиям, одно поразительнее другого:

• изобретены лазеры и голография;
• расшифрован код наследственности;
• синтезирован ген;
• научались выращивать копии животных.

Недалеко, видимо, то время, когда и в психологии в педагогике будут найдены такие средства обучения, эффективность которых трудно сейчас представить.

Н.Е. Жуковский имел основания считать, что методы обучения математике можно сделать столь совершенными, что ее будет понимать “всякий желающий из публики”.

Добиться того, чтобы человек за меньшее, чем прежде, время овладел большим объемом основательных и действенных знаний, – такова одна из главных забот современной педагогики.

Нередко структура учебника математики определяет лишь формально – логическими связями самой науки математики, вне учета закономерностей усвоения математических знаний.

Между тем средства формальной логики ограничены, они упорядочивают отвлеченные результаты мышления, но никак не сам процесс мышления, к этим результатам приводящий.

Формально – логические соображения не только не являются единственными, но и не являются главными при решении вопросов методики: дело в том, что категории формальной логики не учитывают фактора времени, учет которого являются важнейшем элементом для совершенствования процесса обучения.

Как при изобретении новых механизмов, так и при конструировании новых методов обучения исходным толчком к удачным находкам и обобщениям могут стать соображения, связанные с любой из указанных наук. Это человек для удобства создал разные науки, а “природа не знает деления на науки”.

Укрупненная дидактическая единица – это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостностями, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.

Понятие укрупнения единицы усвоения достаточно общо, оно вбирает следующие взаимосвязанные конкретные подходы к обучению:

1. совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций теорем и т.п. (в частности, взаимно обратных);
2. обеспечение единства процессов составления и решения задач (уравнений, неравенств т.п.);
3. рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности, деформированных упражнений);
4. обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;
5. выявление сложной природы математического знания, достижение системности знаний;
6. реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами).

Общность выводов теоретического анализа позволяет предвидеть и выгоды переноса указанной методической системы с младших классов на старшие, с математики на друга учебные предметы, от школьной практики в вузовскую дидактику.

Фактором, обеспечивающим высокое качество укрупненного знания, может выступить:

• общий графический образ;
• общность символов для группы формул;
• наличие одних и тех же слов или словосочетаний в сравниваемых высказываниях, в цепи доказательств и в ткани развивающихся системных знаний, предыдущие и последующие во времени звенья должны иметь, как правило, больше общих носителей информации, начиная, с возможно более низкого, кода.

Цели: формирование умения решать квадратные уравнения и неравенства, строить графики квадратичных функций, развитие самостоятельного и творческого мышления, воспитание самостоятельной и творческой личности, потребности к учению.

Задачи:

• изучить одновременно взаимообратные действия и операции;
• обеспечить единство процессов составления и решения уравнений, неравенств;
• сформировать общеучебные, интеллектуальные практические умения.

Тематическое планирование курса алгебры 8-го класса
(3 ч. в неделю, всего 102 часа)

Сейчас существует множество учебников я методических рекомендаций по изучению “Алгебры 7-11 кл.”. Учителю в данной сфере важно выбрать для своих учеников наиболее оптимальный и адаптированный вариант для контингента учащихся данного класса. А самое главное, расположить изучаемый материал в логической последовательности, чтобы повысить эффективность и качество усвоения изучаемого материала. Так например, можно укрупнить и преподать в логической цепи такие темы “Линейная функция. Решение линейных уравнений и неравенств. Решение систем линейных уравнений и неравенств”. Мне бы хотелось остановиться на изложении следующих тем “Квадратные уравнения Квадратичная функция. Квадратные неравенства”.

Примерное тематическое планирование курса алгебры 8 класса
(3 часа в неделю, всего 102 часа)

15 ч.
18 ч.
12 ч.
20 ч.
17 ч.
13 ч.
7 ч.

Приближенные вычисления Квадратные корни Иррациональные числа Квадратные уравнения Квадратичная функция Квадратные неравенства Итоговое повторение

Планирование тем в такой последовательности предусматривает работу учащихся 8 классов по учебнику О.П. Эрдниева, П.М. Эрдниева “Математика” 8 класс.

Изучение темы “Квадратные уравнения” начинается с III четверти, на которую я отвожу – 20ч.

Вид квадратных уравнений с заданными корнями. Решение неполных квадратных уравнений. Решение приведенных квадратных уравнений т. Виета Решение полных квадратных уравнений т. Виета Решение биквадратных уравнений Решение задач с помощью квадратных уравнений Обобщающий урок Контрольная работа

– 3 ч. – 4 ч. – 4 ч. – 3 ч. – 4 ч – 1 ч. – 1 ч.

Важно, что на обобщающем уроке учащиеся вместе с учителем систематизируют и упорядочивают всю информацию по решению квадратных уравнений, заполнив следующую таблицу:

Виды квадратных уравнений

ах2+bx+c=0Если b=0 или c=0, то уравнение имеет вид ax 2 +c=0; ax 2 +bx=0 и называется

неполнымЕсли a=1, то уравнение имеет вид x 2 +px+q=0 и называется

приведеннымЕсли b, c, a ? 0, то уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и называется

полным

Формулы корней квадратных уравнений1. ax 2 +bx=0
x(ax+b)=0
x₁=0, или x₂=-b/a
(2-а корня)

2. ax 2 +c=0
ax 2 =-c
x 2 =-c/a

x_1,2= ±

если –c/a >0
(2 корня)

если –c/a 0
ax 2 -c=0
x 2 -c/a=0

(x-)(x+)=0

x₁=- или x₂=x 2 +px+q=0

x_1,2=-p/2±

если p 2 /4-q>0, то 2 корня
если p 2 /4-q=0, то 1 корень
если p 2 /4-q 2 +bx+c=0

x_1,2=

b 2 -4ac=D – называется дискриминант

если D>0, то 2 корня
если D=0, то 1 корень
если D 2 +px+q=0
x₁+x₂=-p
x_1? x₂=qax 2 +bx+c=0

a

a
x₁+x₂=-b/a
x_1? x₂=c/bСумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятом с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

На изучение темы “Квадратичная функция” отвожу 17 часов и распределяю материал следующим образом:

График квадратичной функции у = ах 2 Построение графика функции у = ах 2 + bх + с переносом графика функции у = ах 2 . Применение метода неопределенных коэффициентов Построение графика квадратного трехчлена выделением полного квадрата Координаты вершины параболы Исследование квадратного трехчлена Обобщающей урок Контрольная работа

2 часа 4 часа 4 часа 2 часа 3 часа 1 час 1 час

Можно изучение квадратичной функции вида у = ах 2 провести в форме лабораторной работы. Урок можно построить следующим образом.

Урок №1-2
Тема: Функция у = ах 2

Цель: Построение функции у = ах 2 , свойства данной функции; построение графиков функции вида у = ах 2 , изучение влияния значения коэффициента а на форму и расположение параболы.

Ход урока

1. Построение графика функции у = ах 2 , изучения ее свойства

Рассмотрим функцию у = ах 2 , то есть квадратичную функцию у = ах 2 +bх+с при a= 1, b =с = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений:

Построив указанные в таблице точки и соединив их плавной кривой, получим график функции у = ах 2 .

Кривая, являющаяся графиком функции у = ах 2 , называется параболой.

Рассмотрим свойства функции у = ах 2 .

1. значениями аргумента (абсциссами) могут быть любые числа. Говорят, областью изменения аргумента является множество действительных чисел;
2. график функции у = ах 2 симметричен относительно оси ординат, то есть, ось ординат является осью симметрии параболы;
3. парабола у = ах 3 проходит через начало координат, то есть, парабола у = ах 3 касается оси абсцисс в точке (0;0), которая является вершиной параболы;
4. функция у = аx 2 является возрастающей на промежутке х>0.
5. функция у = ах 2 является убывающей на промежутке х 2

Цель: изучение влияния значения коэффициента а на форму и расположение параболы.

Оборудование:

• Матрица “Расположение и форма параболы у = ах 2 в зависимости от значения коэффициента а”.
• Таблицы функции у = х 2 _, у = 2х 2 , у = 0,5х 2 .
• Маркеры трех цветов (красный, зеленый, синий).

I часть

1. Построить таблицу значений функций у = ах 2 , а>0.

2. Построим на одном чертеже графики трех данных функция е₁ – у=0,5х 2 – синим цветом; е₂— у=х 2 – красным цветом; и е₃ – у=2x 2 – зеленым цветом.

3.. Учащееся сравнивают положение графиков функции вида у = ах 2 (а>0) и отмечают чем похожи все три параболы:

а) они имеют одинаковую форму;
б) ветви парабол неограниченно стремятся ветвями вверх;
в) ветви всех парабол симметричны относительно оси ординат 0_у;
г) все эти параболы имеют самую низкую общую точку (0; 0), т.е. функция имеет минимум.

4. Чем отличаются положения графиков функций вида функции у = ах 2 (а>0):
функция вида у=ах 2 (а>О) возрастает тем круче (а соответствующая парабола тем быстрее поднимается вверх), чем больше коэффициент при х 2

II часть

5. Сравнить графики двух функций вида у = ах 2 (например, у = 0,5 х 2 и у = – 0,5 х 2 ), у которых коэффициентами а являются противоположные числа 0,5 и – 0,5.

6. Построить таблицу значений функций у = 0,5х 2 и у = -0,5х 2

7. Достроим в той же таблице недостающий график функции у = -0,5х 2 (см. таблицу)

8. Сравнить положения графиков функции у = 0,5х 2 и y=-0,5x 2

а) точка О (0; 0) есть самая низшая точка параболы у = 0,5 х 2 и наибольшая параболы у=-0,5х 2
б) графики (e₁ и e₁ 1 ) двух функций у = 0,5х 2 и у = – 0,5х 2 симметричны друг другу относительно оси абсцисс.

9. Чем отличаются положение графиков функций вида у=0,5x 2 ,у=-0,5х 2

Запомним важное правило:

Если в уравнении квадратичной функции у=ах 2 коэффициент, то парабола неограниченно стремится ветвями

Верно и обратное:

Если парабола стремится ветвями , то коэффициент a в уравнении квадратичной функции y=ax 2

y=0,5x 2l₂

y=x 2l₃

y=2x 2a>0

a

После прохождения всех способов построения графика функции у =ах 2 +bх+с переносом графика функции у=ах 2 можно провести урок по решению взаимно обратных задач: по заданному графику составить уравнение функции и обратные задачи – это по заданному уравнению функции у = ах 2 +bх+с построить её график. На этом же уроке необходимо завершить работу над матрицей “Взаимное расположение квадратной функции у=ах 2 +bх+с относительно оси абсцисс”.

Урок №10

Тема: Построение графика функций у=ах 2 +bх+с переносом графика функций у=ах 2

Цель:

• Закрепление навыков учащихся по построению графиков функций вида у=ах 2 +bх+с, выполнение обратных задач, завершение работы над матрицей.
• Формирование умения выделять существенные признаки и свойства функция вида у=ах 2 +bх+c и построение её графика
• Воспитание положительного отношения к знаниям.

I. Устная работа

1. Назовите основные свойства функции у=ах 2 ?
2. Как можно записать квадратичную функцию?
3. Что значит, построить график функции у=ax 2 +bx+c?
4. Что нужно вычислять в первую очередь при построении графика функции у=ax 2 +bx+c?
5. Сколько вы знаете способов их нахождения?

II. Выполнение заданий на чтение графиков

Задача: По заданному графику составить уравнение функции. (У доски работают трое учащихся, выполняют задания по трём заданным графикам).