Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Содержание:
Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:
Уравнения такого вида принято называть показательными.
Решении показательных уравнений
При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.
Пусть
Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.
Пример:
Решение:
Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению
Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:
Решив это уравнение, получим
Ответ:
При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно уравнению
Решая его, получаем:
Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим
б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим
Ответ:
При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Обозначим тогда
Таким образом, из данного уравнения получаем
откуда находим:
Итак, с учетом обозначения имеем:
При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Пример:
При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?
Решение:
Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство
Решив это уравнение, найдем
Ответ: при
Показательные уравнения и их системы
Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:
Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.
1 Приведение к одному основанию.
Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда
Пример №1
Решите уравнение
Решение:
Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде
Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.
Пример №2
Решить уравнение
Решение:
Переходя к основанию степени 2, получим:
Согласно тождеству (2), имеем
Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.
2 Введение новой переменной.
Пример №3
Решить уравнение
Решение:
Применив тождество 2, перепишем уравнение как
Введем новую переменную: Получим уравнение
которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,
Пример №4
Решить уравнение
Решение:
Разделив обе части уравнения на получим:
последнее уравнение запишется так:
Решая уравнение, найдем
Значение не удовлетворяет условию Следовательно,
Пример №5
Решить уравнение
Решение:
Заметим что Значит
Перепишем уравнение в виде
Обозначим Получим
Получим
Корнями данного уравнения будут
Следовательно,
III Вынесение общего множителя за скобку.
Пример №6
Решить уравнение
Решение:
После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей
системе :Отсюда получим систему
Очевидно, что последняя система имеет решение
Пример №8
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:
Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим
Пример №9
Решите систему уравнений:
Решение:
Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:
Очевидно, что эта система уравнений имеет решение
Тогда получим уравнения
Приближенное решение уравнений
Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что
Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.
Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .
Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности
- вычисляется значение f(х) выражения
- отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
- вычисляется значение выражения f(х) в точке
- проверяется условие
- если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
- если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
- для нового отрезка проверяется условие
- если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:
Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения
Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству
Пример №10
Найдите интервал, содержащий корень уравнения
Решение:
Поделив обе части уравнения на 2 , получим,
Так как, для нового уравнения
Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,
выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия
Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу
ПустьЕсли приближенный
корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.
Пример №11
Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью
Решение:
Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале
(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).
Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если
Пусть
Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Изучение показательные уравнения и неравенства
Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.
В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.
В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности, а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.
Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:
— осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.
-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.
— развитие логического мышления и алгоритмической культуры;
Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения.
Томас Хилл
Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.
История Показательных уравнений
Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.
Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.
Самое простое показательное уравнение имеет вид:
Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:
- метод приведения к одному основанию;
- метод введения новых переменных;
- метод вынесения общего множителя за скобки;
- метод почленного деления;
- метод группировки;
- метод оценки.
Метод приведения к одному основанию
Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:
Представим правую часть в виде 3 log 3 7 x+1 3 2x-1 = 3 log 3 7 x+1 2x-1= log 3 7 x+1 2x-1=x log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> + log 3 7 x(2- log 3 7 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image005.png» /> )= log 3 7 x= 1+ log 3 7 2- log 3 7 x= log 3 3+ log 3 7 log 3 3 2 — log 3 7 x= log 3 21 log 3 9 7 x= log 9 7 21 ≈12.1144 Ответ: 12.1144 4 x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012.png» /> — 2 x 2 Обозначим t= 2 x 2 t 2 t 1 t 2 Так как -1 2 x 2 x 2
Из первого уравнения совокупности находим x1 = — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image019.png» /> ,x2= 1 2 x — 1= x — 3 +2 x — 3= x — 3 x — 3= x — 3, если x ≥3 x — 3=- x +3, если x 0∙ x =0, если x ≥3 2 x =6, x =3, если x Ответ: — 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image025.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image027.png» /> ∪ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.png» /> 3; +∞ 22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0 /52х≠ 0
2· 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> 2х– 7· 2 5 Пусть 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2= 5 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image030.png» />
2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х=1, 2 5 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image029.png» /> х = 5 2 3·22х+ 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1– 6·4х+1= — 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х+1+ 1 3 1 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.png» /> ·9х·9+ 1 3 31,5= 21· 4 9 4 9 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image032.png» /> х= 3 2 2 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image034.png» /> 2х= 2 3 ( 5 ) 2+4+6+. +2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image035.png» /> = 5 45 1 2 Sn =n( a 1 + a n 2 x 1+ x 2 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image038.png» /> =45 2 x — 3 ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image040.png» /> 4+ 1 6- 2 x — 3 Пусть 2 x — 3 t ≥ 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image043.png» /> 4+ 1 6- t 4+ 1 6- t 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image045.png» /> – t ≤ t 2 — 10 t +25 6- t ≤ (t-5) 2 6-t ≤ t=5, t > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image049.png» /> 6. Отсюда 2 x — 3 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image042.png» /> =5 и 2 x — 3 > Пусть 2 x Из уравнения a-3 a-3=5 a-3=-5 a=8 a=-2 Подставим вместо a= 2 x 2 x =8 2 x =-2 Модуль a — 3 Для решения неравенств a — 3 > a — 3 > 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image056.png» /> 6 получаем a 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image057.png» /> -3 или a > 2 x 2 x >9 2 x > 2 log 2 9 x > log 2 9 Ответ: <3>∪ ( log 2 9 2 (3 2x + 2 x ∙ 3 x+1 + 3 0 ) > 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> log 2 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2)∙ log 2 3 3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 +1 3 2x + 2 x ∙ 3 x > (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 Поделим каждое слагаемое неравенства на ( 2 x ∙ 3 x ) 3 2 x +1> 2 3 x — 3 ∙ log 2 3 Обозначим: 3 2 x 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image069.png» /> =y, где y > y+1 > 1 y — 3 ∙ log 2 3 y 2 +y> 1-3y ∙ log 2 3 y 2 +y- 1-3y ∙ log 2 3 >0 y 2 +y — log 2 3+3y log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3 >0 y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3=0 D = 3 log 2 3 +1 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image076.png» /> 2 + 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image077.png» /> 4 log 2 3= 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 D >0 y = — 3 log 2 3 +1 ± 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 В связи с тем, что log 2 3 >0 1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image081.png» /> , то и D > 3 log 2 3 +1 y = — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 Отметим точку y на оси, y >0 y Î — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Из этого следует, что x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ Ответ: x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2
О чем эта статья:
10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательных неравенств
Показательными считаются неравенства, которые включают в себя показательную функцию. Другими словами, это неравенства с переменной в показателе степени: a f(x) > a g(x) , a f(x) g(x) .
Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.
Для изучения этой темы стоит повторить:
И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.
Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а больше и меньше единицы. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.
При этом заметьте — значения а всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2 -2 = 4, 2 -4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.
Для любых а и х верно неравенство a x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.
Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:
- a f(x) > a g(x) f(x) > g (x), когда функция возрастает, т. е. а > 1;
- a f(x) > a g(x) f(x)
Как решать показательные неравенства
Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости.
Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:
Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:
Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:
Проверим, верно ли в таком случае х > 2.
0,5 3 = 0, 125 и т. д.
Как видите, на самом деле в этом случае х