Извлечь корень из обеих частей уравнения

Извлечь корень из обеих частей уравнения

Равносильными уравнениями называются такие уравнения, которые имеют одни и те же корни, например уравнения х 2 = 3х — 2 и x 2 +2 = 3x равносильны (оба имеют корни х = 1 и х = 2).

Процесс решения уравнений заключается в основном в замене данного уравнения другим, ему равносильным.

Основные приемы, применяемые при решении уравнения, таковы.

1. Замена одного выражения другим, тождественно ему равным. Например, уравнение (x + 1) 2 = 2x + 5
можно заменить равносильным уравнением
x 2 + 2x + 1 = 2x + 5

2. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака на обратный; например, в уравнении х 2 + 2х + 1 = 2х + 5 можно перенести все члены в левую часть, причем члены + 2х и +5 из правой части в левую перейдут со знаком минус. Уравнение х 2 + 2x + 1 — 2x – 5 =0 или, что то же, х 2 — 4 = 0, равносильно исходному.

3. Умножение или деление обеих частей равенства на одно и то же выражение. При этом нужно иметь в виду, что новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим может быть равным нулю.

Пример. Дано уравнение (х — 1) (х + 2) = 4(x — 1). Разделив обе его части на х — 1, получаем х + 2 = 4. Это уравнение имеет единственный корень х = 2. Исходное же уравнение кроме корня х = 2 имеет еще корень х = 1. При делении на х — 1 этот корень «потерялся». Наоборот, при умножении обеих частей уравнения x + 2 = 4 сверх корня х = +2 появляется новый корень х = 1.

Из этого отнюдь не следует, что не нужно умножать или делить обеих частей уравнения на выражение, могущее равняться нулю. Нужно только каждый раз, когда такое действие производится, учесть, не пропадут ли при этом какие-нибудь старые корни и не появятся ли какие-нибудь новые.

4. Можно также возводить обе части уравнения в одну и ту же степень или извлекать из обеих частей корни одной и той же степени; однако при этом также могут получаться уравнения, не равносильные исходным. Например, уравнение 2х = 6 имеет один корень х = 3; уравнение же (2x 2 ) 2 = 6 2 , т. е. 4x 2 = 36, имеет два корня:
х = 3 и х = — 3.

Перед тем как выполнить преобразование уравнения, нужно посмотреть, не могут ли при этом пропасть некоторые старые его корни или появиться новые. Особенно важно установить, не пропадают ли старые корни; появление новых не так опасно, ибо всегда можно, получив некоторый корень, подставить его, в исходное уравнение и непосредственно, проверить, удовлетворяется ли оно.

Основные методы решения уравнений

Что такое решение уравнения?

Тождественное преобразование. Основные

виды тождественных преобразований.

Посторонний корень. Потеря корня.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием . Основные тождественные преобразования следующие:

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12x + 4 = 15x + 10 .

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9 x 2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего полу чим: 9 x 2 – 3x – 6 = 0 .

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

П р и м е р . Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1.

Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение

( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3.

Последнее значение не является корнем заданного уравнения

x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень.

И наоборот, деление может привести к потере корня. Так

в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным

уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении

обеих частей уравнения на x – 3 .

В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

Это уравнение равносильно исходному:

( 3x+ 2 ) 2 = 15x + 10 . 4.

Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь и з обеих частей уравнения корень нечётной степени . Необходимо помнить, что:

а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней ;

б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

П р и м е р ы . Уравнение 7 x = 35 имеет единственный корень x = 5 .

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение

является посторонним корнем.

Неправильное извлечение квадратного корня из обеих

частей уравнения 49 x 2 = 1225 даёт в результате 7 x = 35,

и мы теряем корень x = – 5.

Правильное извлечение квадратного корня приводит к

уравнению: | 7 x | = 35, а следовательно, к двум случаям:

1) 7 x = 35, тогда x = 5 ; 2) – 7 x = 35, тогда x = – 5 .

Следовательно, при правильном извлечении квадратного

корня мы не теряем корней уравнения.

Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся

с очень важным понятием арифметического корня

Copyright © 2004 — 2012 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.

Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

• Уравнения \(x+2=7\) и \(2x+1=11\) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число \(5\).
• Равносильны и уравнения \(x^2+1=0\) и \(2x^2+3=1\) — ни одно из них не имеет корней.
• А вот уравнения \(x-6=0\) и \(x^2=36\) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень \(6\), второе имеет два корня: \(6\) и \(-6\).

Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.

Основные равносильные преобразования уравнений:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.

Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt<2-x>=\sqrt<2-x>+3\)

Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.

Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.

Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета .

Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.

\(↑\) не подходит под ОДЗ

Запишем ответ.

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ .

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt\) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида \(a^=a^\) к виду \(f(x) =g(x)\), что тоже является равносильным преобразованием.