Извлечение корня n ой степени уравнения

Корень n-ой степени

Определение корня n-й степени из действительного числа

Корнем n-й степени (\(n=2, 3, 4, 5, 6… \)) некоторого числа \(a\) называют такое неотрицательное число \(b\), которое при возведении в степень \(n\) дает \(a\):

Число \(n\) при этом называют показателем корня.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

Если \(n=3\), то корень 3-й степени и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]<19>\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3] <8>\le \sqrt[3] <19>\le \sqrt[3] <27>$$ $$ 2 \le \sqrt[3] <19>\le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Корень четной и нечетной степени

Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.

Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

Свойства корня n-й степени

Пусть есть два неотрицательных числа a и b, для них будут выполняться следующие свойства:

Корни нужны для точных и сокращенных подсчетов в математике. Это необходимая функция, без которой представить современную математику невозможно. Корень n-ой степени обозначается при помощи всем известного значка радикала. Даже самый простой корень из двух будет равен длинному набору чисел, округлив который вы получите лишь приблизительное значение. Такие числа называются иррациональными и намного лучше представить их в виде радикала.

Основные ограничения и свойства

• Корень четной степени существует только из положительных чисел. Число, возводимое в четную степень, а затем извлеченное из той же степени не становится исходным, а превращается в модуль этого числа.

• Из-под знака нечетного показателя корня можно выносить минус. Это упрощает процесс подсчета.

В данном учебном ролике в понятной форме изложены все основные свойства и теоремы корней n-ой степени. Тема непонятна для большинства школьников 7-9 классов, но не по причине их сложности (всего пара определений и свойств), а вследствие неправильной подачи информации в учебниках. Поэтому в данном видео мы расскажем о самом грамотном и понятном определении корня – все то, что действительно нужно запомнить. Далее покажем, как все это можно применить на практике.

Корни бывают четные и нечетные. Основные определения, необходимые для изучения данной темы звучат так: корень четной степени n из числа a — это любое неотрицательное число b, которое при умножении на само себя n раз даст число a . А корень нечетной степени n из числа a — это любое неотрицательное или отрицательное число b, которое также при умножении на само себя даст a.

Извлечение корня из комплексного числа

Третий урок по комплексным числам. В этом уроке вы узнаете:

Начнём с ключевого определения.

1. Определение комплексного корня

Определение. Корнем $n$-й степени из комплексного числа $z$, где $n\in \mathbb$, $n \gt 1$, называется такое комплексное число $\omega $, что

т.е. $n$-я степень числа $\omega $ равна $z$.

Таких корней на множестве комплексных чисел всегда будет ровно $n$ штук. Все они обозначаются привычным знаком радикала:

Пример. Вычислить $\sqrt[3]<-1>$ на множестве комплексных чисел.

Очевидно, привычная нам единица является таким корнем, потому что $<<\left( -1 \right)>^<3>>=-1$. Но есть ещё два корня:

Итого три корня. Как и предполагалось.

Теорема. Для любого комплексного числа $z\ne 0$ существует ровно $n$ комплексных чисел, каждое из которых является корнем $n$-й степени из числа $z.$

Все эти корни считаются по следующей формуле.

2. Формула корней

Теорема. Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме:

\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]

Тогда все корни степени $n$ из этого числа можно найти по формуле:

По сути, эта теорема является обратной к формуле Муавра:

Почему степень всегда одна, а корней несколько — об этом в конце урока. Сейчас для нас главное — алгоритм извлечения корня из комплексного числа. Он состоит из четырёх шагов:

1. Перевести комплексное число в тригонометрическую форму;
2. Записать общую формулу корня степени $n$;
3. Подставить в эту формулу $k=0$, затем $k=1$ и так до $k=n-1$.
4. Получим $n$ комплексных корней. Вместе они и будут ответом.

В ответе всегда будет набор из $n$ чисел. Потому что невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа $z\ne 0$.

Представим число $-8i$ в тригонометрической форме:

\[\begin -8i &=0+\left( -8 \right)\cdot i= \\ & =8\cdot \left( 0+\left( -1 \right)\cdot i \right)= \\ & =8\cdot \left( \cos \left( -\frac<\pi > <2>\right)+i\sin \left( -\frac<\pi > <2>\right) \right) \end\]

Запишем формулу корней в общем виде:

\[\sqrt[3]<-8i>=2\cdot \left( \cos \left( -\frac<\pi > <6>\right)+i\sin \left( -\frac<\pi > <6>\right) \right)=\sqrt<3>-i\]

В ответе нужно указать все три числа: $-2i$; $\sqrt<3>-i$; $-\sqrt<3>-i$.

Ещё раз: подставляя разные $k$, мы будем получать разные корни. Всего таких корней будет ровно $n$. А если взять $k$ за пределами диапазона $\left\< 0,1. n-1 \right\>$, то корни начнут повторяться, и ничего нового мы не получим.

3. Геометрическая интерпретация

Если отметить на комплексной плоскости все значения корня $n$-й степени из некоторого комплексного числа $z\ne 0$, то все они будут лежать на окружности с центром в начале координат и радиусом $R=\sqrt[n]<\left| z \right|>$. Более того: эти точки образуют правильный $n$-угольник.

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[3]$.

Представим число $z=i$ в тригонометрической форме:

\[\begin z & =1\cdot \left( 0+i\cdot 1 \right)= \\ & =1\cdot \left( \cos \frac<\pi ><2>+i\sin \frac<\pi > <2>\right) \end\]

Формула комплексных корней:

\[\sqrt[3]=1\cdot \left( \cos \left( \frac<\pi ><6>+\frac<2\pi k> <3>\right)+i\sin \left( \frac<\pi ><6>+\frac<2\pi k> <3>\right) \right)\]

Это три точки $<_<1>>$, $<_<2>>$ и $<_<3>>$ на окружности радиуса $R=1$:

Получили правильный треугольник. Его первая вершина лежит на пересечении окружности радиуса 1 и начального луча, который образован поворотом оси $OX$ на угол $<\pi >/<6>\;$.

Рассмотрим более сложный пример:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[4]<1+i>$.

Сразу запишем формулу корней с выделением начального луча:

\[\sqrt[4]=\sqrt[8]<2>\cdot \left( \cos \left( \frac<\pi ><16>+\frac<\pi k> <2>\right)+i\sin \left( \frac<\pi ><16>+\frac<\pi k> <2>\right) \right)\]

Отмечаем эти точки на комплексной плоскости. Радиус окружности $R=\sqrt[8]<2>$, начальный луч $<\pi >/<16>\;$:

И вновь всё чётко: четыре точки — правильный четырёхугольник, т.е. квадрат. С отклонением начального луча $<\pi >/<16>\;$.

Ну и ещё один пример — вновь без промежуточных вычислений. Только формулировка задачи, формула корней и окончательный чертёж:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[6]<-64>$.

Формула корней с выделением начального луча:

\[\sqrt[6]=2\cdot \left( \cos \left( \frac<\pi ><6>+\frac<\pi k> <3>\right)+i\sin \left( \frac<\pi ><6>+\frac<\pi k> <3>\right) \right)\]

Получили правильный шестиугольник со стороной 2 и начальным лучом $<\pi >/<6>\;$.

Таким образом, мы получаем «графический» алгоритм извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $z\ne 0$:

1. Перевести число в тригонометрическую форму;
2. Найти модуль корня: $\sqrt[n]<\left| z \right|>$ — это будет радиусом окружности;
3. Построить начальный луч с отклонением $\varphi =<\arg \left( z \right)>/\;$;
4. Построить все остальные лучи с шагом $<2\pi >/\;$;
5. Получим точки пересечения лучей с окружностью — это и есть искомые корни.

Такой алгоритм прекрасно работает, когда аргумент исходного числа и отклонение начального луча $\varphi $ — стандартные «табличные» углы вроде $<\pi >/<6>\;$. На практике чаще всего именно так и бывает. Поэтому берите на вооружение.:)

4. Почему корней всегда ровно n

С геометрической точки зрения, всё очевидно: если мы будем последовательно зачёркивать вершины правильного $n$-угольника, то ровно через $n$ шагов все вершины будут зачёркнуты. И для дальнейшего зачёркивания придётся выбирать вершину среди уже зачёркнутых.

Однако рассмотрим проблему с точки зрения алгебры. Ещё раз запишем формулу корня $n$-й степени:

Последовательно подставим в эту формулу указанные значения параметра $k$:

Очевидно, последняя строка получена при $k=n-1$. Подставим теперь $k=n$:

Поскольку синус и косинус — периодические функции с периодом $2\pi $, $<<\omega >_>=<<\omega >_<0>>$, и далее корни будут повторяться. Как мы и заявляли в самом начале урока.

5. Выводы

Ключевые факты из урока.

Определение. Корень степени $n$ из комплексного числа $z$ — это такое число $\omega $, что $<<\omega >^>=z$.

Обозначение. Для обозначения комплексных корней используется знакомый знак радикала: $\omega =\sqrt[n]$.

Замечание. Если $z\ne 0$, таких чисел корней будет ровно $n$ штук.

Алгоритм нахождения корней состоит из двух шагов.

Шаг 1. Представить исходное число в тригонометрической форме:

\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]

Шаг 2. Воспользоваться формулой Муавра для вычисления корней:

Все полученные корни лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]<\left| z \right|>$ с центром в начале координат и являются вершинами правильного $n$-угольника. Первая вершина лежит на т.н. «начальном луче», который отклонён от положительной полуоси $OX$ на угол $<\varphi >/\;$. Остальные вершины обычно легко находятся из соображений симметрии с помощью циркуля и линейки.

Геометрическую интерпретацию можно использовать для быстрого «графического» извлечения корней. Но это требует практики и хорошего понимания, что именно и зачем вы делаете. Технология такого извлечения корней описана выше в разделе «Геометрическая интерпретация».

Всё. В следующем уроке начнём решать уравнения в комплексных числах.:)

Проект «Извлечение корня n-й степени»

Дeпартамeнт образования, наyки и молодeжной политики Воронeжcкой облаcти

Гоcyдарcтвeнноe бюджeтноe профeccиональноe образоватeльноe yчрeждeниe Воронeжcкой облаcти «Лиcкинcкий промышлeнно-транcпортный тeхникyм имeни А.К. Лыceнко»

(ГБПОУ ВО «ЛПТТ имeни А.К. Лыceнко»)

Тема «Извлечение корня n -ой степени»

Выполнил cтyдeнт грyппы 919 ИC

Рyководитeль проекта прeподаватeль

матeматики Михeeва C.В.

ГЛАВА 1 Определение, виды, свойства корня

1.2. Виды и свойства корней. ……………………. .5

ГЛАВА 2. Методы извлечения квадратного корня

2.2. Арифметический метод. 15

2.3. Вавилонский метод. 15

2.4. Метод Ньютона. 16

2.5. Метод геометрических построений. 17

2.6. Метод извлечения квадратного корня столбиком. 17

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ. 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ……………………. 27

При изучении темы квадратных корней по алгебре, которая в одно и то же время «переплеталась» с изучением теоремы Пифагора по геометрии, на уроках и дома приходилось часто пользоваться калькулятором и таблицей квадратов. Но не всегда эти предметы были под рукой. И уже тогда возник вопрос, как же быть в этих случаях, когда на экзаменах пользование калькулятором запрещено. Таблица квадратов целых чисел не всегда поможет(к примеру корень из 5,7,3).

Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора – это очень сложно. В том случае если калькулятора нет под рукой, прибегают к методу подбора или стараются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда помогает. И в эту ситуацию попадали многие из нас. Я решил, что выучить всю таблицу квадратов двузначных чисел у меня не получится, да и калькулятор пронести на экзамен тоже не получится. Но, а найти какие-нибудь простые способы вычисления квадратного корня у меня точно получится.

Цель работы: изучить способы вычисления арифметических корней ,которыми можно будет пользоваться не имея под рукой калькулятора.

1. Изучить что такое корень , виды и свойства
2. Методы извлечения квадратного корня

Объект исследования : корень

Гипотеза: извлечение корня без калькулятора упрощает вычисление, т.к. он не всегда бывает под рукой

ГЛАВА 1 Определение, классификация, свойства корня

1.1. История квадратного корня

Как мы знаем из определения, квадратный корень из числа а — это такое число, квадрат которого равен а, то есть решения уравнения относительно переменной х:

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной х, которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.

Знак корня происходит из строчной латинской буквы (от латинского radix — корень), сросшейся с надстрочной чертой. Ранее надчеркивание выражения использовалось вместо заключения его в скобки. Так что есть всего лишь видоизменённый способ записи выражения .

Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.

В ходе работы над данным исследованием можно обнаружить занимательную информацию. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвящённый квадратному корню.

День квадратного корня — праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02.02.04 или 3 марта 2009 года: 03.03.09). Ближайший такой праздник состоится 4 апреля 2016 года (04.04.16).

Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09.09.81). Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, штат Калифорния, США. Его дочь с помощью всемирных социальных сетей собрала группы поклонников этого праздника, где каждый может поделиться своим способом отметить эту необычную дату.

Главным блюдом на этом “праздничном столе” обычно являются варёные кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня.

По объективным математическим причинам это праздник отмечается строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и дважды — во второй), всегда в одни и те же дни:

1. января ХХ01 года
2. февраля ХХ04 года
3. марта ХХ09 года
4. апреля XX16 года
5. мая ХХ25 года
6. июня ХХ36 года
7. июня ХХ49 года
8. августа ХХ64 года
9. сентября ХХ81 года.

При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5, 7,9, 11, 13, 15, 17, 19.

1.2. Виды и свойства корней

Корнем степени n из действительного числа a, где n — натуральное число, называется такое действительное число x, n-ая степень которого равна a. Корень степени n из числа a обозначается символом . Согласно этому определению .

«Корни n-ой степени»

Арифметические корни Квадратные корни Кубические корни

Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a .

Чтобы привести примеры квадратных корней, возьмем несколько чисел, например, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , и возведем их в квадрат, получим соответственно числа 25 , 0,09 , 0,09 и 0 ( 5 2 =5·5=25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09 , (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 и 0 2 =0·0=0 ). Тогда по данному выше определению число 5 является квадратным корнем из числа 25 , числа −0,3 и 0,3 есть квадратные корни из 0,09 , а 0 – это квадратный корень из нуля.Следует отметить, что не для любого числа a существует действительное число , квадрат которого равен a . А именно, для любого отрицательного числа a не существует ни одного действительного числа b , квадрат которого равнялся бы a . В самом деле, равенство a=b 2 невозможно для любого отрицательного a , так как b 2 – неотрицательное число при любом b . Таким образом, на множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа. Иными словами, на множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не определяется и не имеет смысла.

Отсюда вытекает логичный вопрос: «А для любого ли неотрицательного a существует квадратный корень из a »? Ответ – да. Обоснованием этого факта можно считать конструктивный способ, используемый для нахождения значения квадратного корня .

Тогда встает следующий логичный вопрос: «Каково число всех квадратных корней из данного неотрицательного числа a – один, два, три, или еще больше»? Вот ответ на него: если a равно нулю, то единственным квадратным корнем из нуля является нуль; если же a – некоторое положительное число, то количество квадратных корней из числа a равно двум, причем корни являются противоположными числами . Обоснуем это.

Начнем со случая a=0 . Сначала покажем, что нуль действительно является квадратным корнем из нуля. Это следует из очевидного равенства 0 2 =0·0=0 и определения квадратного корня.

Теперь докажем, что 0 – единственный квадратный корень из нуля. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует некоторое число b , отличное от нуля, которое является квадратным корнем из нуля. Тогда должно выполняться условие b 2 =0 , что невозможно, так как при любом отличном от нуля b значение выражения b 2 является положительным. Мы пришли к противоречию. Это доказывает, что 0 – единственный квадратный корень из нуля.

Переходим к случаям, когда a – положительное число. Выше мы сказали, что всегда существует квадратный корень из любого неотрицательного числа, пусть квадратным корнем из a является число b .

Допустим, что существует число c , которое тоже является квадратным корнем из a .

Тогда по определению квадратного корня справедливы равенства b 2 =a и c 2 =a , из них следует, что b 2 −c 2 =a−a=0 , но так как b 2 −c 2 =(b−c)·(b+c) , то (b−c)·(b+c)=0 . Полученное равенство в силу свойств действий с действительными числами возможно лишь тогда, когда b−c=0 или b+c=0 . Таким образом, числа b и c равны или противоположны.

Если же предположить, что существует число d , являющееся еще одним квадратным корнем из числа a , то рассуждениями, аналогичными уже приведенным, доказывается, что d равно числу b или числу c . Итак, число квадратных корней из положительного числа равно двум, причем квадратные корни являются противоположными числами.

Для удобства работы с квадратными корнями отрицательный корень «отделяется» от положительного. С этой целью вводится определение арифметического квадратного корня.

Арифметический корень n -й степени из неотрицательного вещественного числа <\displaystyle a>a — это неотрицательное число <\displaystyle b>b , для которого <\displaystyle b^=a.> b n = a . Обозначается арифметический корень тем же знаком радикала.

Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение . Знак называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Поэтому можно часть слышать как «корень», так и «радикал», что означает один и тот же объект.

Число под знаком арифметического квадратного корня называют подкоренным числом, а выражение под знаком корня – подкоренным выражением, при этом термин «подкоренное число» часто заменяют на «подкоренное выражение». Например, в записи число 151 – это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением.

При чтении слово «арифметический» часто опускается, например, запись читают как «квадратный корень из семи целых двадцати девяти сотых».

Определение кубического корня из числа a дается аналогично определению квадратного корня. Только оно базируется на понятии куба числа, а не квадрата. Кубическим корнем из числа a называется число, куб которого равен a .

Приведем примеры кубических корней. Для этого возьмем несколько чисел, например, 7 , 0 , −2/3 , и возведем их в куб: 7 3 =7·7·7=343 , 0 3 =0·0·0=0 , . Тогда, основываясь на определении кубического корня, можно утверждать, что число 7 – это кубический корень из 343 , 0 есть кубический корень из нуля, а −2/3 является кубическим корнем из −8/27 .

Можно показать, что кубический корень из числа a , в отличие от квадратного корня, всегда существует, причем не только для неотрицательных a , но и для любого действительного числа a . Для этого можно использовать тот же способ, о котором мы упоминали при изучении квадратного корня.

Более того, существует только единственный кубический корень из данного числа a . Докажем последнее утверждение.

Для этого отдельно рассмотрим три случая: a – положительное число, a=0 и a – отрицательное число.

Легко показать, что при положительном a кубический корень из a не может быть ни отрицательным числом, ни нулем. Действительно, пусть b является кубическим корнем из a , тогда по определению мы можем записать равенство b 3 =a . Понятно, что это равенство не может быть верным при отрицательных b и при b=0 , так как в этих случаях b 3 =b·b·b будет отрицательным числом либо нулем соответственно. Итак, кубический корень из положительного числа a является положительным числом.

Теперь предположим, что помимо числа b существует еще один кубический корень из числа a , обозначим его c . Тогда c 3 =a . Следовательно, b 3 −c 3 =a−a=0 , но b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2 ) (это формула сокращенного умножения разность кубов), откуда (b−c)·(b 2 +b·c+c 2 )=0 . Полученное равенство возможно только когда b−c=0 или b 2 +b·c+c 2 =0 . Из первого равенства имеем b=c , а второе равенство не имеет решений, так как левая его часть является положительным числом для любых положительных чисел b и c как сумма трех положительных слагаемых b 2 , b·c и c 2 . Этим доказана единственность кубического корня из положительного числа a .

При a=0 кубическим корнем из числа a является только число нуль. Действительно, если предположить, что существует число b , которое является отличным от нуля кубическим корнем из нуля, то должно выполняться равенство b 3 =0 , которое возможно лишь при b=0 .

Для отрицательных a можно привести рассуждения, аналогичные случаю для положительных a . Во-первых, показываем, что кубический корень из отрицательного числа не может быть равен ни положительному числу, ни нулю. Во-вторых, предполагаем, что существует второй кубический корень из отрицательного числа и показываем, что он обязательно будет совпадать с первым.

Итак, всегда существует кубический корень из любого данного действительного числа a , причем единственный.

Арифметическим кубическим корнем из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, куб которого равен a . Арифметический кубический корень из неотрицательного числа a обозначается как , знак называется знаком арифметического кубического корня, число 3 в этой записи называется показателем корня. Число под знаком корня – это подкоренное число, выражение под знаком корня – это подкоренное выражение.

Хотя арифметический кубический корень определяется лишь для неотрицательных чисел a , но удобно также использовать записи, в которых под знаком арифметического кубического корня находятся отрицательные числа. Понимать их будем так: , где a – положительное число. Например, .

Свойства квадратного корня

В этом пункте мы разберемся со следующими основными свойствами арифметического квадратного корня:

1. свойство квадратного корня из произведения двух неотрицательных действительных чисел a и b, задающееся равенством вида , его можно распространить на произведение k неотрицательных множителейa₁, a₂, …, a_k как ;

2. корень из частного , которое часто записывают с помощью дробей как ;

3. свойство арифметического квадратного корня из степени числа a с четным показателем при любом действительном a, в частности, свойство квадратного корня из квадрата числа .

В каждом из записанных равенств можно левую и правую части поменять местами, например, равенство можно переписать как . В таком «обратном» виде свойства арифметического квадратного корня применяются приупрощении выражений столь же часто, как и в «прямом» виде.

Доказательство первых двух свойств базируется на определении арифметического квадратного корня и на свойствах степени с натуральным показателем . А для обоснования последнего свойства арифметического квадратного корня придется вспомнить определение модуля числа .

Итак, начнем с доказательства свойства арифметического квадратного корня из произведения двух неотрицательных чисел: . Для этого, согласно определению арифметического квадратного корня, достаточно показать, что — неотрицательное число, квадрат которого равен a·b. Сделаем это. Значение выражения неотрицательно как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени произведения двух чисел позволяет записать равенство , а так как по определению арифметического квадратного корня и , то .

Аналогично доказывается, что арифметический квадратный корень из произведения k неотрицательных множителей a₁, a₂, …, a_k равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. Действительно, . Из этого равенства следует, что .

Приведем примеры: и .

Теперь докажем свойство арифметического квадратного корня из частного: . Свойство частного в натуральной степени позволяет нам записать равенство , а , при этом есть неотрицательное число. Это и является доказательством.

Например, и .

Пришло время разобрать свойство арифметического квадратного корня из квадрата числа, в виде равенства оно записывается как . Для его доказательства рассмотрим два случая: при a≥0 и при a

Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство . Также легко заметить, что при a 0 и(−a) 2 =a 2 . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Приведем примеры: и .

Только что доказанное свойство квадратного корня позволяет обосновать следующий результат , где a – любое действительное число, а m – любое натуральное число .

В самом деле, свойство возведения степени в степень позволяет заменить степень a 2·m выражением (a m ) 2 , тогда .

К примеру, и .

Сначала перечислим основные свойства корней n-ой степени:

1. свойство корня из произведения двух неотрицательных чисел a и b, ему отвечает равенство , это свойство распространяется на произведение k неотрицательных чисел a₁, a₂, …, a_k как ;

2. корень из дроби обладает следующим свойством , где a – любое неотрицательное действительное число, а b – положительное действительное число;

3. при любом действительном a и четных показателях n=2·m справедливо , а при нечетных n=2·m−1 выполняется равенство .

4. свойство корня из корня , где a – любое неотрицательное число, n иm – натуральные числа, это свойство можно распространить как ;

5. для любого неотрицательного a и произвольных натуральных n и m справедливо равенство ;

6. свойство корня степени n из степени неотрицательного числа a в натуральной степени m, определяемое равенством ;

7. свойство сравнения корней с одинаковым показателем: для любых положительных чисел a и b таких, что a

8. свойство сравнения корней с одинаковыми подкоренными числами: если m и n такие натуральные числа, что m>n, тогда при 0 справедливо неравенство , а при a>1 выполняется .

Все записанные равенства остаются справедливыми, если в них поменять местами левую и правую части. В таком виде они употребляются также часто, в основном при упрощении и преобразовании выражений.

Доказательство всех озвученных свойств корня основывается на определении арифметического корня n-ой степени , на свойствах степени и на определении модуля числа. Докажем их в порядке очередности.

1. Начнем с доказательства свойства корня n-ой степени из произведения . Для неотрицательных a и b значение выражения тоже неотрицательно, как произведение неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство . По определению арифметического корня n-ой степени и , следовательно, . Этим доказано рассматриваемое свойство корня.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a₁, a₂, …, a_n выполняется и .

Приведем примеры использования свойства корня n-ой степени из произведения: и .

2. Докажем свойство корня из частного . При a≥0 и b>0 выполняется условие , а .

Покажем примеры: и .

3. Двигаемся дальше. Докажем свойство корня n-ой степени из числа в степени n. То есть, докажем, что и для любого действительного a и натурального m. При a≥0 имеем и , что доказывает равенство , а равенство очевидно. Приa

(последний переход справедлив в силу свойства степени с четным показателем), что доказывает равенство , а справедливо в силу того, что при разговоре о корне нечетной степени мы приняли для любого неотрицательного числа c.

Приведем примеры использования разобранного свойства корня: и .

4. Переходим к доказательству свойства корня из корня . Поменяем местами правую и левую части, то есть, докажем справедливость равенства , которое будет означать справедливость исходного равенства. Для неотрицательного числа a корень из корня вида является неотрицательным числом. Вспомнив свойство возведения степени в степень, и воспользовавшись определением корня, можно записать цепочку равенств вида . Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказывается и свойство корня из корня из корня и т.д. Действительно, .

Например, и .

5. Докажем следующее свойство сокращения показателя корня . Для этого в силу определения корня достаточно показать, что есть неотрицательное число, которое при возведении в степень n·m равно a m . Сделаем это. Понятно, что если число a неотрицательное, то корень n-ой степени из числа a является неотрицательным числом. При этом , что и завершает доказательство.

Приведем пример применения разобранного свойства корня: .

6. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида . Очевидно, что при a≥0 степень является неотрицательным числом. Более того, ее n-ая степень равна a m , действительно, . Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, .

7. Переходим дальше. Докажем, что для любых положительных чисел a и b, для которых выполняется условие a свойству степеней с натуральным показателем должно быть справедливым неравенство , то есть, a≥b. А это противоречит условию a

Для примера приведем верное неравенство .

8. Наконец, осталось доказать последнее свойство корня n-ой степени. Докажем сначала первую часть этого свойства, то есть, докажем, что при m>nи 0 справедливо неравенство . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что при указанных выше условиях . Свойства корня позволяют это неравенство переписать в виде . Тогда в силу свойств степени с натуральным показателем должно выполняться неравенство , то есть, a n ≤ a m . А полученное неравенство при m>n и 0 противоречит свойствам степени с натуральным показателем.

2. Методы извлечения квадратного корня

В ходе данного исследования были выявлены следующие методы извлечения квадратного корня .

2. арифметический метод

3. вавилонский метод

4. метод Ньютона

5. геометрический метод

6. метод извлечения квадратного корня столбиком

Данный метод эффективно применяется при вычислении квадратных корней из чисел в диапазоне от 100 до 10 000.

Алгоритм извлечения квадратного корня методом оценки

1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10, сократив диапазон поиска до 10 чисел;

2. На основании теоремы о последней цифре квадрата отобрать те, которые не могут быть корнями.

3. Возвести эти числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

Рассмотрим пример извлечения квадратного корня из числа 3364.

Шаг №1 — ограничение корней. Выясним, между какими числами расположен наш корень. Желательно, чтобы эти числа были кратны десяти:

10 2 = 100; 20 2 = 400; 30 2 = 900; . 90 2 = 8100; 100 2 = 10 000.

Получили ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Эти числа — границы — диапазон, в котором лежит исходный корень.

2500 2 2 50

Шаг №2 – «отсев» лишних чисел. У нас есть 10 чисел — «кандидатов» на корень.

Последняя цифра квадрата числа равна 0, 1, 4, 5, 6 или 9, и зависит только от последней цифры исходного числа.

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и понять, на что заканчивается искомое число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте квадрата числа. Зависимость последней цифры квадрата числа можно представить в виде следующей таблицы.

Квадратный корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. Получаем:

= *2 или = *8

Звездочки показывают, что мы пока не знаем этой цифры.

Но известно, что корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8, это числа 52 и 58

Шаг №3 — финальные вычисления. Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Чтобы узнать, какое из них является корнем, необходимо возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Получилось, что = 58.

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 и так далее.

Узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитав количество выполненных действий, определяем целую часть квадратного корня.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть.

Например: 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. Выполнено 3 действия, следовательно, квадратный корень числа 9 равен 3.

Аналогично найдем квадратный корень числа 12: 12 — 1 = 11; 11 — 3 = 8; 8 — 5 = 3; 3

Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин (при помощи которых деление чисел сводилось к умножению) таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

Древние вавилоняне пользовались следующим методом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а, и пользовались формулой

. (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например, из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим, метод вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2.4. Метод Ньютона

Метод извлечения квадратного корня, известный как метод Ньютона, заключается в следующем.

Пусть а₁ — первое приближение числа (в качестве а₁ можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а₂ числа найдется по формуле

.

Третье, еще более точное приближение

и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле

.

Указанный способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

Такой способ приближенного вычисления квадратных корней называется методом итераций.

Итерация (с латинского iteratio — повторение) — результат повторного применения какой-либо математической операции.

Итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х имеет вид:

где n =2,3,4,…, а_n — n-е приближение .

Метод Ньютона приближенного вычисления квадратных корней, изложенный в одной из найденных при раскопках клинописных табличек, проиллюстрируем на следующем примере.

Найдем приближенное значение квадратного корня из 720.

Ближайшее к 720 число, из которого извлекается квадратный корень, есть число 729, оно имеет корнем 27. Разделив 720 на 27, получаем 26 . Найдем среднее арифметическое чисел 27 и 26.

(26 + 27) : 2 = 53 : 2 = .

Это и есть результат. Если возвести это число в квадрат, получим 720 .

Нахождение приближенных значений числа методом Ньютона дает следующие результаты: а₁=5; а₂= 5,3; а₃=5,2915.

2.5. Метод геометрических построений

Д анный метод извлечения квадратного корня из числа опирается на утверждение: высота в прямоугольном треугольнике, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

В частности, если , а , то .

Алгоритм извлечения квадратного корня геометрическим методом

1. Построить в окружности (O;r) диаметр, где r = х+1;

2. На диаметре отложить отрезок ;

3. Провести СDAB, где С — точка пересечения перпендикуляра СD с окружностью (O;r);

1.

Рис. 1. Извлечение квадратного корня методом геометрических построений

Недостатком такого способа является невозможность его применения для больших чисел.

2.6. Извлечение квадратного корня столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня .

Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком

1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

3. Для нахождения второй цифры, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.

4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру.

Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.

5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Покажем применение данного метода на примере.

П ример № 1. Извлечь квадратный корень из числа 86436.

Разбиваем данное число справа налево по две цифры. У нас получилось три группы чисел (8’64’36), первое из которых однозначное число 8. Первая цифра искомого числа должна быть наибольшей, квадрат которой не превышает 8. Это цифра 2, так как 2 2 = 4

Как извлечь квадратный корень.

Часто на олимпиадах и экзаменах (например, на ЕГЭ по математике) нельзя пользоваться калькулятором. Да и в быту, иногда нужно прикинуть значение квадратного корня из целого числа, не имея калькулятора под рукой. Как поступить?

1. Прежде всего, посмотрите на последнюю цифру числа, если она равна 2, 3, 7, 8, то целого корня из этого числа не существует. А если число заканчивается цифрами 1, 4, 6, 9, то последняя цифра искомого корня может быть равна, соответственно, 1 или 9, 2 или 8, 4 или 6, 3 или 7.
Если число заканчивается цифрой 5, то нужно обратить внимание на предпоследнюю цифру. Для существования целого корня она должна быть 2-кой, т.е. только те числа, которые заканчиваются на 25, могут иметь корни с окончанием 5.
Особое место в этом строю занимает 0. Если число заканчивается одним или нечетным числом нулей, то целого корня нет, если двумя или четным, то есть корень кратный 10-ти.